Bài giảng giải tích tập 2 nguyễn duy tiến

9| NHÀ XUẤT BẢN DAI HOC QUOC GIA HÀ NỘI

[NGUYEN DUY TIỀN (nã in) "NGUYÊN BUY TIEN (Chủ biến) NGUYÊN UY IỀN (chủ biên)
TRẤN BỨC LoNG. ‘RAN DUC LONG “TRAN DUC LONG

BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH

TẬP! TẬP H TẬP

NHÀ XUBẤẢNTDẠI HỌC QUGIỐÁ HCÀ NỘI “NHÀ XUẤT BẢN DẠI HỌC QUỐC GIÁ HÀ NỘI NWA XUẤT BAN ĐẠI HỌC QUỐC GIÁ HÁ NỘI

zu an omg 06 Hà vội vả xuất su xọc cuốc on Hà hột usu 1 19 006 Om HAH
-D4e714n06 (êoNSP-4012 re (091190 sợ (2057188097100 Fác (49479809 Tang Cush SHS Tang VN

— Frat eterna mài taRfmucairn

`"... CN ranh nh xế án:
onde HIPNGQUỐChâo mm...
"PHAN ANH HN
`"... Nth hi i dane CN tránh nhsệi nđăng:
ưng ghd th pi ian Mo de nei 2 in ght sh ge
ae DIKITS Das Oe nS
`" ....... —.~ rn KH = Pep WN
T NGÀNG QUỐC TOÁN, `... (a8 18 NOUYEN VAN CU
TS HOANG QUỐC TUẠY
-€ HOANG Quốc TOÀN

“Điển tập "Ngọc ques Men ine — ‘ant. Noo QUES

Trinh by be Ngọc AI.

Bãi GIẢSuNTGiên TẠP2. “BÃIGIẢNG GIÁ TÍEH. TẤP2 “BÀI GIẢNG GIẢI TiEM. TẬP 2
la E00 cu khổ I6 x2tai hà ñ Đa lọc Ouse a HON (MA sẽ 9001206
“S6 tu bận 1981G1138 3ngật⁄15E2/01 951 ngụ t0 XU " ........
ong và nỐp lạ đi gui năm 209%
........
song van i nqiinam 208

Muc luc

oi noi dau xiv

ac ky hieu va khai niem xvi

huong 9 Phép tinh vi phan tren ©’ 1
9.1.
Phép biến đổi tuyến tính... WH@55ã393 084p 2
9.9.
9.1.1. Vector : Shedeun vam 55.5 5 Ge ai š 2
9.3.
9.1.2. Ma tran : ‘j 358 3

9.1 Định nghĩa. ; REGRESS SewSgaas SF

9.1.4. Ma trận biểu điển phép biến đổi tuyến tính. `... 5

9.1.5. Chuan của ánh xạ tuyến tính... 26% 7

Đạo hàm và vi phân cấp ].............. ssa .

9.2.1. Khái niệm về ánh xạ khả vì........... . 9

922. Dini fPhia ¡ý 6k ng Lo 6a HÝ on 5 đ W 10

O23, Định lý 2c wee we semes wan wan awn es ĐÃ

9.2.4. Dinh ly. so HÀ HS BAS Em So Hw a MEE UE WS 18E 4 12

9.2.5. Định lý (quy tác lấy đạo hàm hàm hợp). ....... 13

Dao ham riêng. a #be S © Re Ee oe eS oe 14

Oil. DM NEMA «wos we ew we Boor se em cà. 4

923.9. Định lý... os Bk Ron Bie Ae hee HE RS 16

9.3.3. Dinh ly. . ¬ ¬"—..... A4:

923.4, Định nghĩa... co .... T§

" Muc luc

9.4 Dao ham theo hướng; Đạo hàm Gâteaux.

9.4.1. Định nghĩa. Se

94.2. Dinhly. 2.0.00... 0.020008

9.4.3. Dao ham Gâteaux..............

9.44. Vídụ...... ¬.

9.5, Công thức số gia hừt han

9.6. Các phép tính về sao ant.

ĐI, ĐT ;¡ sa c ¿acc các c mẻ... . rỉ

9.6 Biểu điễn đạo hàm bởi ma trận

9.6.3. Dao ham riéng cua ham hop

9:7. Dung dao ham dé tinh gan dung

9.8. Khảo sát cực trị của hàm số nhiều biến số.

9S, Dinhaghia, « «ck ceee 5% BHR DE wAS

2; ĐỊNH |Ệ(GENHỦ so wanw aecee aa

9.9. Hàm ngược và hàm ân ..............:..

9/9.1. Hẫum NGHỢCG wee wee ew 2

9.9.2. Định lý (về hàm ngược địa phương). .......

O93, MUEGQ asc naw cams won nares we won em

9:94, TAI AM 6 nc 5 oo: ew wo Lm Ow

9.9.5. Dinh ly (vé ham ẩn địa phương)...

9.10. Đạo hàm và vị phân cấp cao...

910.1. Đạo hàm riêng cấp cao...

9.10.2. Dao ham và ví phân cấp hai ..........

910.3. Cơng thức Taylor đổi với hàm nhiều biến

9.11. Cực trị của hàm nhiều biến .........

6 11.1. Cực tử EW HỒ; s kc2 ky cŸoc

9.11.2. Dang toan phương

9:11;8. Dink We. ses ccawes ae

9.11.4. Dinh ly (diéu kién du dé co hay khong ¢6 cực trị).

O16 Vi GG a: gw eayae w ee

Muc luc m

9.11.6. Cue trico diéu kién (cue tri rang bude) we 64

9.11.7. Vidu 8 ħ 7 70

12, Một số ứng dụng hình học của phép tính vì phần .. , TẾ

612.1. Phương trình tiếp tuyển cua một đường cong trơn. 75

9/122. Phương trình mặt phàng tiếp xúc của một mặt cong 77

912.3. Phương trình pháp tuyén cua mat cong... 2... 79

9.121. Bao hình của một họ đường cong... 80

9.13, Đôi biến ... wad hid ad Mab Oae Gees im BỊ

913.1. Đôi biển trong các biêu thức chứa đạo hàm ........ 8l

9.13.2. Doi bién trong cac biéu thức chứa đạo hàm riêng 82

9.11. Chú thích về lịch sử. sẽ Ñ Sổ Ha LAI 90

Chương 1Ú Tịch phan boi Riemann 92
10.1.
Tich phan Riemann trên hình hộp ............ . 92

10.1.1. Phân hoạch của hình hộp............... 93

10.1.2. Cae tang Darboux Ce 94

10.1.3. Mét sé tinh chat co ban cua các tổng Darboux .... 94

10.1.4. Dinh nghia tich phan Riemann. ............ 96

10.1.5. Ví dụ . HH an. 96

10.1.6. Định lý (tiêu chuân khả tích)... „ 97

10.1.7. Các tính chất cơ bản của tích phân... 97

LOLS Tap hop nổ dh dois 2. 6.6 cae meiw e mine 100

10.1.9. Dinh ly ee 100
10.1.10. Bổ để a oe SO ts A I oH Ba Shae: Bic 101

10/1/11. Bổ để... v2 102

10.1.12. Bo dé Oe mm Ge a oe oe 102

10.1.13. Dinh ly (Lebesgue) 20. ee 103

10.1.14. Hệ qua 8 9 oo Bom oA BO Y me how won . 104

10.1.15, Hé qua . . ee 104

10.1.16. Định lý (về giá trị trung bình)... 105

IV Mục luc

10.2 Tích phân Riemann trén mién tổng quát 106

1O:2:1..Ham: One things sas ge wes eae ae wae 106

10.2.2. Tap hop đo được Jordan 106

1O23.Viduo ws. ee 107

10.2.4. Tiéu chuan đo được Jordan............ 107

10.2:5. DM Wena: sw neeyuuwe s naww eaw@ en & 108

10.2.6. Dinh ly. 108

10.2.7. Dinh ly. 109

10.3. Dinh ly (Fubini) «is ese nes wee pew es weawee II

10.3.1. Trường hợp tổng quát.......... iW

10.3.2. Dinh ly Fubini trong mot sé truong hop đặc biệt 113

10.3.3. Tính tích phân trên miền tổng quát trong Z 114

107511601200. 000 0U Ty n tr 116

10.3.5. Tính tích phân trên miền tổng quát trong ?”....... IIÑ

10:3:6.ĐỊNh lý owas we va wre ew ee we 120

IOBINVI AW wcaweswisweamanwcsaaw s 121

19.4. (ống thúc đổi ĐẾN: «ss: ec 41 eam naw eee we ae wees 124

10.4.1.Ý nghĩa hình học của mô đun của Jacdbian trong
trường hợp hai chiều ................. 125

10.4.2. Cong thite ddi bién so. 127

10.4.3. Tính tích phân hai lớp trong toạ độ cực ........ 128

10.4.4. Tính tích phân ba lớp trong toạ độ cầu... 129

10.4.5. Tinh tich phan ba lớp trong toạ độ trụ... 131

10.5. Tính tích phân nhiều lớp 2... 133

10.5.1. Thể tích của đơn hình.................. 133

10.5.2. Toa dé cau tong quat 2... 134

10.5.3. Thể tích của hình cầu................. 135

10.6. Tích phân bội suy rộng............. 136

10.6.1.Định nghĩa. .................. 136

10.6.2.Dinh ly. 0. oe ee 137

Muc luc

10. 6.3. Ví dụ 138

1q 6.1. Tiêu chuầân hỏi tụ của ham dương 139

10 6,5, Tiêu chuận so sanh 139

10 6.6. Dinh ly Fubimi 139

10 6.7, Cơng thức đói biên 140

10 6.8, Ví dụ 140

107. Chú thích về lịch sử - B ied & we . 146

Chương Hl Tich phan đường và tích phản mát

11.1.Tích phân đường loại Ì

11.1.1. Khái niệm về đường cong

11.19 Khát niệm về các đường cong tương đương

11.1.3. Do dai đường công

11.1.4. Dinh ly

11.1.5. Dinh nghia tich phan dudng loai I

11.1.6.Su ton tai va cach tinh tich phan dudng loai I

tllZ.CHũ ÿ ‹ B lộ S lối Re EE MR me

11.1.8. Vi du 156
158
11.1.9. Ung dung cua tich phan dudng loail oo. 2... . 160
. 160.
11.2. Tich phan đường loại II . 161

. 162
112.1.Định hướng của một đường công... .. . 163
165
119.9. Hướng dương của đường cong Jordan........ . 167
169
11.2.3. Dang vi phan bac 1 _ 171
171
11.2.4. Bai toan dan dén tich phan dudng loai I « Lt

11.2.5. Dinh nghia tich phan dung loai IE...

11.2.6. Vi du “ eee BK me wm

11.2.7. Lién hé voi tich phan đường loại |

11.8.Cong thuc Green xạ thuộc lớp €†
i 3.1 Mở rộng khái niềm ảnh liên ............

11 3.9. Miền đơn liên. miền đa

vị Mục lừa

11.3.3. Hướng dương của biên giới.......... ca 172

11.3.4. Công thức Green 2... 0... . 172

11.3.5. Ung dụng cơng thức Green để tính diện tích . 179

11.3.6.Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc
đường cong lấy tích phân... ie ISI

11.4.Tích phân mặt loại ......... Đi a eo đấu & 189

11.4.1. Khái niệm về mặt cong ............. ...„ R9

11.4.2. Dién tich mat cong ................ Mà.

1143.Ví dụ... . ¬ 194

11.4.4, Bai toan dẫn đến tích phân mat loail . 195

11.4.5. Dinh nghia tích phân mặt loại lt. . 196

PLAC VEG. «a pb GA GRE R RER E HEA .... 199

11/4/7.ChÚ ý... 0c va 199

11.4.8. Một số ứng dụng cua tich phan mat loail . . . . 199

11.6.Tieh phân øigEHT0@TETT ; ;š ¿ ¿; ¡s v cẽ 2 vẽ mẽ š e2 ý „„ 202

11.5.1. Mặt một phía, mặt hai phía. Định hướng mặt cong 202

115.2.Vídụ............... T7.. .ố.c 304

11.5.3. Bài tốn dẫn đến tích phân mát loại I........... 205

11.5.4. Dinh nghĩa tích phân mặt loại H.......... . . 206

11.6. Công thức Stokes và công thức Ostrogadski........ z» ĐI3

11.6.1.Công thức Stokes..... side Ske wae Hy BIT

11.6.2.Dinh nghia. 2... ee ..217

11.63.Dinh ly. oe 217

11.6.4. Công thức Ostrogradski-Gauss ........... ow QF,

11.6.5. Ứng dụng công thức Ostrogradski-Gauss dé nghién
cứu tích phân mặt.......... `... 220

11:66/ÐĐlHhlứ6C ;¿¡¿:: sẽ ey jw dải K M VỆ s smửĐI

11.6.7. Tính thể tích bằng tích phân mat . ; 223

11.7. Sơ lược về lý thuyết trường ..........

Mire luc vu

117.1. Trường vò hướng Mặt mức. Gradient của trường

võ hướng . smn un Oe

11.7.2. Truong vector 228

11/728 Thông Tượng và div (divergence) cua mot trudng
Veectoi so « 228

11.7.1. Vĩ dụ bó HS Mất A 230

11.7.5. Luu thong cua trường vector, Vector xoấy wa 232

11.7.6. Trương thê g Mr... sa» 239

11.7.7. Trường ông s M tờ! BỊ 6 &: ø T5Ạ

11.8.Chú thích về lịch su ¬ ¬--.-

Chuong 12 Do do va tich phan 237

12.1. ø - đại số .. . 238

12.1.1. Khái niệm và ký hiệu......................... 138

12.1.9. Các phép tính của tập hợp... : ¡ =*a + á 239

12.1.3. Dai so tame . Bas ‘ ; « 243

12.1.1.đ - đại số 5 ¢ S58 RHR HE RESS TG Be 243

12.1.5. Lap đơn điệu Tarr) S ERR RR ER wS es Be 243

12.1.6. Ménh để ‘ bee wea eee 243

12.1.7. Ménh dé ‘ # ou ee ae os BAD

12.1.8. Dinh nghia 9ì kg ¬

12.1.9. Khong gian do được , 2 KỈ 6 HH 3E (3) 345

12.1.1022 - đại số ĐÍCh .. . ee 246

19.9.Hàm tập và độ d0... ee cà + +... 247

3.1. Hàm tập ¬— "MA:

12.2.2. Dinh nghia. bie. tre sae he wea me SS

3, Mệnh đề 5 i Sh RR BER AEOEE OS 248
ĐỒ VECWREEEOs 249
. gi kk DER EER EAR NER

12.2.5. Cac tinh chat cd ban cua dé do... .. svu as 249

12.2.6. Tinh o-cong tinh v ka ane Bow 250

19.3. hai triển Hahn - Jordnan ............ we me 8 «x 22

vill Muc luc

12.3.1.Ménh dé.

Ménh dé

3. Dinh ly (Khai trién Hahn).

12.3.4. Dinh ly (Khai trién Jordan), .......

12.4. Bién phan.... .

12.4.1. Dinh nghia.

12.4.2. Dinh lý...

12.4.3. Định lý. ..

12.5. Nới rộng độ đo...

12.5.1. Dinh nghĩa.

12.5.2. Dinh nghia.

12.5.3.Ménh để...

12.5.4. Mệnh đề...

12 .ð. Định nghĩa.

19.5.6. Định lý...

12.5.7. Dinh nghĩa.

12.5.8. Định lý...

12.5.9. Mệnh đề...

19.5.10.Mệnh đề.

19.6.Độ đo Lebesgue - Steltjes....... ..

12.6.1.Ménh dé... 2

12.6.2. Dinh ly. .

12.7.Ham do dude 2. cv.

12.7.1.Anh xa do dude... 2 ee

12.72. Dinh Y, o.cemsemess rere ee

ae. eo errr re ee reer re

19/7⁄4.Mẽnh đỀ ‹ : ‹ ¿ca (2 26bv o 2:

19.8. Không gian các hàm thực đo được.............

12.8.1. Ménh đề.

12.8.3. Mệnh đề...

Muc lie 1X

12.8.3. Dinh nghia

12.8.4. Dinh ly

12.9 Nhơng gian các hàm thực ø - đó được

12.9.1, Dinh nghia. ‘ eee wae Raw

12.9.2. Ménh de.

12.93. Mệnh để. " i a ww 8

12.9.4.Ménh dé... . oak me ÔÔÔÔÔÔ

12.9.5. Ménh dé

12.9.6. Dinh ly (Rgorov) 1... ƠƠƠƠƠƠƠ

12.10. Tích phân Lebesgue ..........

12.10.1. Tich phan cua ham bậc thang...

12.10.2. Ménh dé. . ee ¬

19.10.3. Tích phần của hàm thực khơng âm đo được

12.1024. Mệnh để......................

12.105. Mệnh để... ¬

12.106. Mệnh để.................

12.11. Tích phân của hàm thực đo được...

12.1%, Dink tighias «sec caw pswas Sh SUH aE

12.11.2. Ménh dé. . Peri rricree ree

19.12. Tích phân của hàm thực - đo được...

12.12.1. Mệnh để...... PMR RG ÔN

19,122: Ménh dé. ca uegp w nema es mc an wen we

12.13. Tich phan Lebesgue trên tập đo được bàt kỳ...

12.1G.1. M@MK AE, caee n see c o me ee A we

12.13.2. Mệnh đề.......................

12/13/8. Mệnh để... . co

12.11. Chuyển giới hạn dưới dấu tích phân Lebesgue.... .

12.111. Định lý hội tụ đơn điệu (B. Levv)........

12.11.2. Hệ qua... anim ai b dm e Bd

1.148) He qua, «2 ee eens me RRA RRS BEE DE

Muc luc

19.14.4. Bất đẳng thức Fatou................ 390

12.14.5. Định lý hội tụ bị chặn (Lebesgue)............ 290

12.15. Tích phân Lebesgue - Stieltjes...............

12.15.1. Định nghĩa.

12.1 Định lý.

12.16. So sánh tích phân Lebesgue với tích phân Riemann

12.16.1. Dinh ly...
12.16.2.ChUyY 2.2. ee

12.16.3. Định lý Lebesgue...............

12.17. Định lý Radon - Nikodym va khai trién Lebesgue... .

12.17.1. Tính tuyệt đối liên tục của độ đo

19.17.9.Mệnh để.........................

12.17.3. Tính ø - cộng tính và tính liên tục tuyệt đối của
tích phân bất định..................

12.17.4. Hệ quả..........................

12.17.5. Định lý Radon - Nikodym. .............

12.17.6. Các độ đo trực giao và khai triển Lebesgue

12.17.7. Định lý (Khai triển Lebesgue). ...........

12.17.8. Khai trién Lebesgue cua ham không giảm ......

12.18. Độ đo tích và định lý Pubini................

12.18.1.Mệnh để........................

19.18.9. Định lý...

12.18.3. Hệ quả.

12.18.4. Dinh ly (Fubini).

19.10.0060 ANH 2 ose we oe, oxo ew oe wm eae wa 8

19:19.1. Đình lÚ te ce ee ne oo aw

12.19.2.Dinh ly. 0.

12:20.Obu thich v6 lichistt «~
Chuong 13 Do do trong khong gian metric

Mure luc XI

13.1. Tập Borel và tập Bair ¬ 317

13.1.1. Ba dé. acide wae es gSlB

13.1.2. Dinh ly eR Se wWraweCTyD

13.1.3. Dinh ly § Se Rew Ee sia ee ev 320

13.1.4. Dinh ly (Perlman) Sei ga wea esa gO20

Dinh ly Souslin-Kuratovski ... ¿4ó ¡ ¿ca (2y 222: 320

13.3. Độ đo chính quy

13.3.1. Dinh nghia

13.3.2. Dinh nghia

13.3.3. Ménh dé

13.3.4. Ménh dé.

13.3.5. Dinh ly

13.4.Do do Radon

13.4.1. Dinh nghia

13.4.2. Ménh dé

13.4.3. Dinh ly

L8:4.4 Đình |jÿAUBẨN os cee mee Raee ee 325

13.5. Giá của độ đo... ¬ T... . .ằeằẽố.ẽ.. 325

13.5.1. Định nghĩa... ea sign Be HB om mB eS GB ow Bo OO

13.5.9.Mệnh để. ......
Liem va demaoyers

13.5.3. Dinh ly bà 81 6 §@ 8 3 4 š 6 6396
đi ee 326
13.5.4.Định lý... SESE SESW

18.5.5. Mệnh đề. SHR ES TW wm AFA We oie 327

13.6. Hội tụ yếu của độ do. § ly II 4: E TP SH 8N dc V217

13.6.1. Định nghĩa. ARO R Raw Fe | Hew a won Raw wo 327

13.6.2. Dinh nghia Se KOSH ENA Ow Kee Ba me awe

18:6:3, Tinh Chat: si gen nea sa mene ee ww eee we 328

13/7. MGtie NOE AGPO YOU 2 cus cen wiw reewmn an a ws we 330

13.7.1. Dinh ly (nhuing cua Urysohn), ............. 330

13.7.2. Dinh ly (Metric hoa cua Urysohn). ......... . 331

xh - Mue luc

ISS PMH W, ¡ ¡ kc1g co 6c Hes 33]

13.7.4. Hé qua. ä em Bì Ð š N5 & § § 332

137.5: DiAWIY sa ean eva eee wee wee wis 332

132/⁄.6LĐÐjHNÌỸ once wee measeisavww ees ra 335

13.8.Compact tương đôi trong tôpô yếu................ 333

13.8.1. Diéu kién (©, A) cua Prohorov..............4334

13.8.3. Điều kiện đủ của compact tương đổi yếu .......... 333

0/8/20 NNNỆN s6 màn g HH ere me He min R | Em 334

13.8.4. Điều kiện cần của compact tương đôi yếu ......... 335

13.9.Định lý Prohorov 336

13.9.1. Dinh nghia. 336

13.9.2. Dinh ly (Prohoroy). 22... 336

13.10. Hội tụ yếu của hàm phân phôi xác suất trên đường thang 337

13.10.1. Định nghĩa. ........... fiw beska Bae

13.10.2. Định lý. 2... ee 338

13.11. Lép cae tap con. 2. ee . 440
PSI NUAWANE, 655452 48h k È 5 LẺ CẾ Gà Đà mè 340

ISTE VAHE soi ee he AMER REY RESET DED KES . 341

13.11.3. Mệnh để............ cuc 341

18/11/4 M@HHIIỂU sa ng vốn bố n9 by nh Hàn g HS r » 2 2 S47

13:12) Hamide Qug@ wicca sceae wen x Se 8 en . 342

13.12/1,ĐìNH HC gcc aw aw ww ie wx wees x 342

13.12.2. Ham do duge yeu. 8 343

13.12.38. Dinh lye 0 2c. . 343

13.13. D6 do vector 2 ee . 343

13.14. Bién phan.... Se 344

13.14.1. Dinh nghia. ............... . 344

1SAAZ Dinh VW. ceca nce wham ea ede wo . 344

13.14.38. Dinh nghia. 2... en 344

13.14.4. Dinh ly, 2 ee . . 345

Mie Ine Xu

11.15, Tích phan Bochner NiRodvm
12 15.1, Định nghĩa
12 .15.3. Định lý (9H SAUER HS
a hom Be a a Ba

12.16, Tịch phần Petis
15.161. Định nghĩa
13.16,.2. Cha y

13.17. Tinh chat Radon -
13.17.1. Dinh nghia
13.17.2. Vi du

Chuong 14 Phu luc
11.1.
14.2. Tơbưo đại cương

14.3. 111.1. Định lý lindeloE y2

14.1.2. Dinh ly Tietze-Urvson

Khong gian Banach . . số...

14.2.1. Dinh ly Hahn - Banach (dang giai tích).

14.2.2. Dinh ly Hahn - Banach (dang hinh học).

.3. Định lý Banach - Steinhaus (nguyên lý giới nội
đều).

142.4. Nguyên: ly WANA ME, oe eo ew ww ee as

Đổi biến số trong tích phân nhiều lớp...

14.3.1, Bo dé

14.3.2. Bo dé.

14.3.3. Dinh ly. - ane nemhboxeh hd hanee

14.3.4. Bo dé

14.3.5. Dinh ly

Lai lieu tham khảo 366

Bang cac nguyen ham 370


LOI NOI DAU

Tham thoát đã hài năm ké tu khi toi viét xong \Bai Giang Giai Tich

Pap Iva tam chia tay với bạn, Như tôi đã hứa sẽ gặp lai ban trong
tương lại, va bay gid ban dang cam trong tay \Bai Giang Giai Tich Tap
I" do tai va tien Trần Đức Long biến soạn. Chúng tôi cô găng giữ
cach Viet cua tap I nghĩa là, viết Bài giảng giải tích có nội dung cơ
bản, hiện đại, tốc độ.

Như các bạn đã thấy nội dụng c hinh cua tap | la phép tinh vi phan
và tích phân ham s . dang khong gian metric đê trình
bay khai niém gidi han,
khai niệm liên tục

Nội dụng chỉnh của tập TI là phép tính ví phân và tích phân hàm

số nhiều biến số. Tập II gồm 5 chương. Cụ thê là

Chương 9 trình bày phép tính vì phân trên khơng gian Euchid 8"

Chương 10 trình bày phép tính tích phân trên khơng gian Euclil

Chương 11 trình bày phép tính vì tích phân trên đường và mặt của

Chương 12 trình bày lý thuyết độ đo và tích phân Lebesgue,

Chương 13 trình bày độ đo trong khơng gian metrie và tóm tắt các
kết q chính của tích phần trong khong gian Banach

Mỗi chương có nhiều bài tập và nhiều chú thích lịch sử thú vị.
Bài giảng giải tích tập HH là nội dụng chính của các bài giảng
(trong 5 nam liên tục, 1998-2002) cho sinh viên Toán-Lý-Cơ năm thứ
hài Hệ Đào Tạo Cử Nhân Khoa Học Tài Năng. Các bài giảng da
được viết lại và hoàn chỉnh nhiều lần, đã được sinh viên sửa chữa và
góp nhiều nhận xét quý bau.

XV

XVI

Chúng tôi xin chân thành cám ơn ban lãnh đạo trường Đại học Khoa
học Tự nhiên và Nhà Xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội đã động viên
và cố vũ chúng tôi viết và cho in các tài liệu có chất lượng cao

Chúng tôi cam ơn GS. TS. Nguyễn Văn Hữu và TS. Hồng Quốc
Tồn đã đọc rất kỹ bản thảo và góp nhiều ý kiến xác đáng để chúng tơi

hồn thiện sách này tốt và chính xác hơn.

Chúng tôi rất biết ơn Trần Mạnh Cường và Nguyền Thị Hồng Minh
đã cùng chúng tôi chế bản và sửa nhiều lỗi chính tả trong cuốn sách
này.

Hà Nội xuân 2002.
GS. TSKH. Nguyễn Duy Tiến

Z

Cac ky hiéu va khai niém

tập các số thực
tập các số thực dương
khong gian Euclid 1-chiéu

tap các sô nguyên
tay › các sô nguyên đương hay các số tự nhiên
tay › các số hữu tỷ
a,b) khoảng má có hai đầu mút là ø và b
ab đoạn (khoảng đóng) có hai đầu mút là a và b
r¡ - phần nguyên của số thực z
Với cr ‹ %, hàm dấu của z là

sgn ở với >0,
với or <0,
0 với + =0.

Với r‹

?,

(2n — 3) - (2n),
- (2n — 3) - (2n— 1)

XVil