Bài giảng giải tích 2 chương 5 2 nguyễn thị xuân anh

§2. Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ
Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng
¥
¥
n
n
å an ( x - x0 ) hay å an x
n=0
n=0

a0, a1, a2, .. là hằng số

Số hạng tổng quát un(x)=an(x-x0)n (1) hoặc un(x)=anxn
(2) phụ thuộc vào n và biến x, là 1 hàm lũy thừa theo
x hoặc (x-x0).
Ta có thể đặt X=x-x0 và đưa dạng (1) về thành dạng
(2) nên ta chỉ viết các kết quả sau đây với số hạng
tổng quát dạng (2)


§2. Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ
¥
n
Miền HT của chuỗi lũy thừa å an x là tập D nếu
n=1
¥
n
a
x
å
" x = x0 Î D chuỗi số

n 0 HT
n=1

Ví dụ: Chuỗi

¥
n
å x
n=0

Là chuỗi cấp số nhân nên HT khi và chỉ khi |x|<1
Suy ra MHT của chuỗi là (-1,1)


Đ2. Chui ly tha Min hi t
Ơ
1
Vớ d: Tỡm MHT ca chui ồ
2n
n=11 + x

un ( x ) =

1
2n

xỏc nh vi mi x

1+ x
Khi |x|<1: Cho n đ Ơ ta c x 2n đ 0

ị lim un = 1 chui PK theo kcssht
nđƠ

1
Khi |x|=1: x = 1, " n ị un = , " n Chui PK
2
n
ổ1 ử
1
1
ữ
ỗ
un =
:
=
Khi |x|>1: Cho n đ Ơ
ỗ
2n
2 n
2ữ
ữ
ỗ
1+ x
(x )
ố| x | ứ
Chui HT vỡ |x|>1
Vy MHT l (-,-1)U(1,+ )
2n

Đ2. Chui ly tha Bỏn kớnh HT, Min HT
Ơ

Tng quỏt: gi s chui ly tha ồ an x

n

n=1

Ơ

ồ an x0

tc l chui s

n

n =1

HT ti x=x0,

HT. Theo kccsht ta c

n
n
a
x
=
0
ị

$
M
>
0
:
a
x
< M, " n
lim n 0
n
0

n đƠ

Bin i s hng tng quỏt ca chui:
n

ổ ử
n
n ỗx ữ
n
an x = an x 0 ỗ ữ
=
a
x
n
0
ữ
ỗ
x

ố 0ứ

n

n

ổx ử
ổx ử
ữ
ữ
ỗ
ỗ
= vn, " n
<
M
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗx0 ứ
ỗx0 ứ
ố
ố

Ơ

Nu |x|<|x0| thỡ chui nồ=1v n HT
Suy ra chui ban u HTT theo t/c so sỏnh.

Vy ta chng minh xong nh lý Abel sau õy.


§2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT
Định lý Abel :
¥

Nếu chuỗi lũy thừa å an x HT tại x0 ¹ 0 thì nó HTTĐ tại
n

n=1

mọi điểm x Î (- | x0 |,| x0 |)
¥

Hệ quả: Nếu chuỗi nå=1 an x PK tại x1 thì nó PK với mọi x
thỏa |x|>|x1|
n

Bán kính hội tụ (BKHT):
¥

Số R>0 sao cho chuỗi å an x n HT với mọi x: |x|n =1

PK với mọi x: |x|>R được gọi là BKHT của chuỗi


§2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT
Cách tìm BKHT của chuỗi lũy thừa

élim n | a |
n
ên®¥
1
R=
Thì
BKHT
là
r =ê
Đặt:
ê | an+1 |
r
lim
ên®¥
ê
ë | an |
Cách tìm MHT của chuỗi lũy thừa
Sau khi tìm xong BKHT, ta chỉ còn xét sự HT của
chuỗi tại 2 điểm x=R và x=-R nữa là có kết luận


§2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT
Ví dụ: Tìm BKHT, MHT của các chuỗi
sau
n
¥
¥
x
n
1. å (nx )

2. å n 2
n=1
n=1 2 .n
1. Với chuỗi lũy thừa này, ta đang có an=nn:
r = lim n | an | = lim n = +¥ Þ R = 0
n®¥

n®¥

BKHT R=0 tức là MHT chỉ gồm 1 điểm duy nhất {0}
1
1
1
n
n
= Þ R =2
2. an = n 2 Þ lim | an | = lim
n 2
2
n ®¥
n ®¥ 2 .n
2 .n
¥ 1
Khi x=2: å
2 là chuỗi số dương HT
n=1 n
¥ (- 1)n
Khi x=-2: å
là chuỗi HTTĐ
2

n=1 n
Vậy MHT [-2,2]


Đ2. Chui ly tha Bỏn kớnh HT, Min HT
Vớ d: Tỡm BKHT, MHT ca cỏc chui:
n
n
Ơ
Ơ
ổn +1 ử
x
2n
ữ
ỗ
1. ồ n
2. ồ ỗ
( x - 1)
ữ
n
ữ
n=1 3 + 5
n=1ố2n - 1ứ
(n - 1)! x
3. ồ
n=1
5n
Ơ

n

n!
4. ồ n n
n=1 n x
Ơ

1. Chui ly tha vi BKHT R=5, MHT l (-5,5)
1
1
1
n
an = n
ị lim | an | = lim n n
= R=5
n
n
5
n đƠ
n đƠ 3 + 5
3 +5
Ơ (5)n
Khi x= 5: ồ n
L 2 chui PK theo kccsht
n
n=1 3 + 5
Chỳ ý: Khi chui s dng PK theo kccsht thỡ chui
an du tng ng cng PK theo kccsht


§2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT

æn +1 ön
2
÷
,
X
=
(
x
1)
³ 0
2. Chuỗi lũy thừa với an = ç
÷
ç
÷
è2n - 1ø
n
æ
ö
n +1 ÷ 1
n
n
ç
lim | an | = lim ç
= → R=2
÷
÷
n®¥
n®¥ è2n - 1ø
2
¥ æn + 1 ön n

÷
Ta chỉ xét X=2: å ç
2 Chuỗi PK theo đkccsht vì
÷
ç
÷
n=1è2n - 1ø
3
n
2 n - 1 ö 2 n- 1
æ
n
ç
3
æ
æ
ö3 ÷
2n + 2ö
3
÷
ç
2 ¹ 0
÷
÷
÷
ç
un = ç
=
1
+

n
®
¥
e
ç
uuuuuu
r
÷
÷
÷
ç
ç 2n - 1ø
÷ ç
÷
÷
è2n - 1ø
è
ç
÷
ç
è
ø
Suy ra, chuỗi đã cho HT khi
0 £ X < 2 « 0 £ ( x - 1)2 < 2 « 1Vậy BKHT R=2, MHT: (1-√2, 1+√2)

2 < x < 1+ 2


§2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT
(n - 1)!

3. Chuỗi lũy thừa với an =
5n
| an +1 |
n!
5n
n
Þ lim
= lim n +1 .
= lim = +¥ → R=0
n ®¥ | an |
n ®¥ 5
(n - 1)! n®¥ 5
Vậy BKHT R=0, MHT là {0}


Đ2. Chui ly tha Bỏn kớnh HT, Min HT
n!
1
4. Chui ly tha vi an = n , X =
x
n
n
n
ổ
ử
| an +1 |
(n + 1)! n
n ữ 1
ỗ
lim

= lim
. = lim ỗ
=
ữ
n
+
!
ữ
n đƠ | an |
n đƠ ( n + 1)
n ! nđƠ ốn + 1ứ e
R=e
Ơ n! n
Khi X=e: ồ
e
n
n =1 n
un +1 (n + 1)! e n +1 n n
e
ị Dn =
=
.
=
nđƠ 1
n +1
n
n uuuuuur
un
(n + 1)
n!e

1+ 1
n
n
n +1
ổ
ử
ổ
ử
1ữ
Tuy nhiờn, vỡ ỗ1 + 1ữ
ỗ
< e < ỗ1 + ữ
,"n
ữ
ỗ
ữ
ữ
ố nứ
ố nứ
Nờn Dn<1. Vy chui PK theo t/c dAlembert

(

)


§2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT
n!
1
4. Chuỗi lũy thừa với an = n , X =

, R=e
x
n
¥
n
!
n
n n! n
Khi X=-e: å
(- e ) = å (- 1) n e
n
n =1 n
n =1
n
¥

Chuỗi trị tuyệt đối PK theo tiêu chuẩn d’A nên nó
cũng PK
Suy ra, chuỗi đã cho HT khi
éx > 1
ê
1
1
e
X x
e
êx <- 1
ê

e
ë
Vậy BKHT R=e, MHT (-∞,-1/e)U(1/e,+ ∞)


§2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi
¥

Tính chất của chuỗi lũy thừa: å an x
n =1

n

(1)

Cho chuỗi (1) với BKHT là R, MHT là D và trong D
có tổng là S(x) Ta có các kết luận sau:
1. Hàm S(x) liên tục trong MHT D
2.Trong MHT D, ta có thể lấy đạo hàm từng số hạng
của chuỗi và được chuỗi lũy thừa cũng có BKHT là R
¢ ¥
¥
æ¥
nö
n
n- 1
÷
¢
S ¢( x ) = ç
a

x
=
a
(
x
)
=
a
nx
, " x Î (- R, R )
å
å
å
÷
n
n
n
ç
èn=1
ø n=1
n =1
3.Trong MHT D, ta có thể lấy tích phân từng số hạng
của chuỗi và được chuỗi lũy thừa cũng có BKHT là R
n +1
x
n
n
, " x Î (- R, R )
ò S(t )dt = ò å ant dt = å an ò t dt = å an
n +1

n =1
n =1
0
0 n =1
0
x

x ¥

¥

x

¥


Đ2. Chui ly tha Tớnh tng chui
Vớ d: Tỡmn BKHT v tớnh tng cỏc chui sau
Ơ x
Ơ
n
1. ồ
2. ồ nx
n =1 n
n =1
Ơ

3. ồ (- 1)n 2nx 2n- 1
n =1

xn
4. ồ 2
n =1 n + n
Ơ

1
1. Chui cú an =
D dng suy ra R=1.
n
Ơ xn
Ta tớnh tng vi x trong khong (-1,1). t S( x ) = ồ
n =1 n
n ửÂ
Ơ ổ
Ơ
x
1
n- 1
ữ
ỗ
Â
ị S (x) = ồ ỗ ữ
= ồ x
=
, " x ẻ (- 1,1)
ữ
ữ n=1
1- x
n =1ỗ
ốn ứ

x

1
dt = - ln(1- x ), " x ẻ (- 1,1)
Vy: S( x ) = ũ
0 1- t


§2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi
2. Dễ dàng thấy R=1, " x Î (- 1,1) ta đặt
¥

n

¥

S( x ) = å nx = x å nx
n =1

n- 1

n =1

æ¥ n ö¢ æ 1 ö¢ (1- x ) - x (- 1)
÷
S( x ) = x ç
å x ÷
= xç
x
=

x
÷
÷
ç
ç
÷
èn=1 ø
è 1- x ø
(1- x )2
x
S( x ) =
, " x Î (- 1,1)
2
(1- x )


§2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi
3. Dễ dàng thấy R=1, " x Î (- 1,1) ta đặt
¥
¢
æ¥
n
2n - 1
n 2n ö
÷
S( x ) = å (- 1) 2nx
=ç
(
1)
x

å
÷
ç
èn=1
ø
n =1
¢
æ¥
2 nö
÷
=ç
(
x
)
å
÷
ç
èn=1
ø
æ 2
ö¢
1
÷
=ç
(- x )
÷
ç
2
÷
ç

è
1- (- x ) ø
- 2 x (1 + x 2 ) + x 2.2 x
=
(1 + x 2 )2
2x
, " x Î (- 1,1)
Vậy: S( x ) = 2 2
(1 + x )


§2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi
4. Dễ dàng thấy R=1, " x Î (- 1,1) ta đặt
n
n
¥
¥
¥
¥
æ
ö
xn
1
1
x
x
n
÷
S( x ) = å 2
= å x ç

= å
- å
÷
ç
÷
èn n + 1ø n=1 n n =1 n + 1
n =1 n + n
n =1
¥ xn
1 ¥ x n +1
S( x ) = å
å
x n=1 n + 1
n =1 n
ö
¥ xn
¥ xn
1æ
x
÷
÷
S( x ) = å
- ç
å
Sử dụng kết quả câu 1.
ç
÷
÷
xç
1ø

n =1 n
èn=1 n
1
S( x ) = - ln(1- x ) - ( - ln(1- x ) - x )
x
æ1 ö
- 1÷
+ 1, " x Î (- 1,1)
Vậy : S( x ) = ln(1- x ) ç
÷
ç
÷
èx ø


§2. Chuỗi Taylor - Maclaurint
Cho hàm f(x) khả vi vô hạn lần trong lân cận của x0
Ta gọi chuỗi Taylor của f(x) là chuỗi
¥ f (n )( x )
0 ( x - x )n
å
0
n
!
n =0
Khi x0=0, ta được chuỗi Maclaurint của hàm
¥ f ( n ) (0) n
x
å
n =0 n !

Tuy nhiên, các chuỗi trên chưa chắc đã HT với mọi
x, tức là chưa chắc chúng đã có tổng để tổng có thể
bằng f(x).


§2. Chuỗi Taylor - Maclaurint
Định lý: (Điều kiện để hàm f(x) có thể khai triển thành
chuỗi Taylor)
Giả sử trong lân cận (x0-R,x0+R), hàm f(x) thỏa
1. f(x) khả vi vô hạn lần
2. Tồn tại hằng số C>0: |f(n)(x)|≤Cn, với mọi n
thì f ( x ) = å f
¥

n =0

(n )

( x0 )
( x - x0 )n , " x Î ( x0 - R, x0 + R )
n!

Chú ý: Trong khi làm bài, ta sẽ không kiểm tra 2 điều
kiện trên để có chuỗi Taylor của hàm f(x) mà ta sẽ sử
dụng các kết quả sau đây để chỉ ra MHT của chuỗi
Taylor - Maclaurint


§2. Chuỗi Taylor - Maclaurint
Một số chuỗi Maclaurint cơ bản

∞

n

x
1 / e = ∑ , MHT: D = R
n!
n =0
x

∞

∞
1
2/
= ∑ x n , 1 = ∑ (−1)n x n , D = ( −1,1)
1 − x n =0
1 + x n =0
∞

α (α − 1)...(α − n + 1) n
3 / (1+ x) =1+ ∑
x
n!
n =1
α

α ∈N
R ,
[ −1,1] , α > 0


D=
( −1,1] , − 1 < α < 0
( −1,1) , α ≤ −1


§2. Chuỗi Taylor - Maclaurint
∞

4 / ln(1 + x ) = ∑ (−1)

n −1 x

n

n =1

∞

n

,

D = ( −1,1]

2n +1

x
5 / sin x = ∑ ( −1)
(2n + 1)!

n =0
n

∞

2n
x
cos x = ∑ (−1)n
(2n )!
n =0
∞

2n +1
x
6 / arctan x = ∑ ( −1)n
,
2n + 1
n =0

D=R

D = ( −1,1)


§2. Chuỗi Taylor - Maclaurint
Ví dụ: Tìm chuỗi Maclaurint các hàm:
x
1. f ( x ) = 2
x - 5x + 6

2. f ( x ) = ln(2 - 3 x + x 2 )

æ1
x
1 ö
÷
ç
=
x
÷
ç
2
÷
èx - 3 x - 2ø
x - 5x + 6
æ
ö
÷
ç
n
nö
æ
÷
ç
¥
¥
æö
æö
1
1

1
1
1
x
1
x
÷
÷
ç
ç
÷
÷
÷
÷
ç
ç
= x ç+
=
x
+
å ç ÷
å
ç
÷
÷
÷
ç
÷
÷
ç

ç
x
x
÷
è
ø
è
ø
÷
3
2
3
3
2
2
ç
n =0
n =0
ç
è
ø
÷
1
1
ç
÷
è
ø
3
2

¥ æ1
1 ö
n +1
÷
x
Vậy: f ( x ) = å ç
MHT: (-2,2)
÷
ç
n
+
1
n
+
1
÷
n =0 è2
3 ø
1. f ( x ) =

x
x
Chuỗi HT nếu - 1 < < 1 và - 1 < < 1 ↔ -23
2


§2. Chuỗi Taylor - Maclaurint
2. f(x)=ln(2-3x+x2) = ln((1-x)(2-x)) = ln(1-x) + ln(2-x)
x

f ( x ) = ln(1 + (- x )) + ln2 + ln(1 + (- ))
2
n
n- 1
¥ (- 1)n- 1
¥
æ
ö
(- 1)
x÷
n
ç
f ( x ) = ln2 + å
(- x ) + å
- ÷
ç
÷
n
n è 2ø
n =1
n =1
1æ 1 ö
n
÷
f ( x ) = ln 2 - å ç
1
+
x
÷
MHT:

(-1,1)
ç
n
÷
n =1 n è
2 ø
¥

Chuỗi HT nếu

ìï - 1 <- x < 1
ïï
Û - 1< x <1
í
x
ïï - 1 <
<1
2
ïî


§2. Chuỗi Taylor - Maclaurint

(

Ví dụ: Tìm chuỗi Maclaurint hàm: f ( x ) = ln x + 1 + x 2

1+
Ta tính f ′( x ) =

x

(

1
1+ x =
= 1+
x + 1+ x2
1+ x2
2

1
−
2 2
x

)

Tìm chuỗi Maclaurint của hàm f’(x):

 −1  − 1 − 1
÷
1 2  2 ÷
2
4


′
f (x) = 1 − x +
x +L

2
2!
 − 1  − 1 − 1L  − 1 − n + 1

÷
÷ 
÷
2  2   2
2n


+L
x +L
n!

)


§2. Chuỗi Taylor - Maclaurint

f ′( x ) = 1 +

∞

∑

n =1

n 1.3.5...(2n − 1) 2n
(−1)

x
n

2 n!

Hàm khai triển được nếu 0 ≤ x 2 ≤ 1 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1
x
′(t )dt
f
0

Suy ra: f ( x ) = ∫

(

ln x + 1 + x

2

) =x+ ∑

MHT : −1 ≤ x ≤ 1

∞

n =1

+ f (0)

n 1.3.5...(2n − 1) 2n +1

(−1)
x
n

2 n !(2n + 1)