Tôpô đại cương nông quốc chinh

TS. N Ô N G Q U Ố C C H I N H

TÔPÔ ĐẠI CƯƠNG

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC s ư PHẠM

Mã số: 01.02 -17/18 - Đ H . 2003

M Ụ C LỤC

Lời nói đ ầ u 5

C h ư ơ n g 0. N h ữ n g kiến t h ứ c c ơ sỏ 6

§1. C á c phép tốn về tạp hợp 6

§2. Quan h ệ thứ tự 8

§3. Tiên đ ề c h ừ n lo

C h ư ơ n g 1. K h ô n g g i a n m ê t r i c 12

§1. Không gian mêtric, sụ hội trụ ừ o n g k h ô n g gian mêtric 12

§2. Tập hợp m ỏ v à t ậ p hợp đ ó n g ló

§3. Ánh xạ liên t ụ c giữa c á c không gian mêtric 21

§4. Khơng gian mêtric đ ầ y đ ủ 24

§5. Tập c o m p á c 37

Bài t ạ p 50

C h ư ơ n g 2. K h ô n g gian t ô p ô 34

§1. Cấu trúc t ô p ô 34

§2. Điểm giới hạn, p h ầ n trong, phần ngoài, biên v à bao

đóng của một tập 61

§3. C ơ sở c ủ a k h ô n g gian t ô p ô 68

Bài t ậ p 75

C h ư ơ n g 3. Á n h x ạ liên t ụ c , k h ô n g g i a n c o n , k h ô n g

gian tích, khơng gian thương 79

§1. Ánh xạ liên tục - p h é p đ ồ n g phôi 79

3

§2. So s á n h hai t ô p ô 85

§3. Tơpơ xác định bởi một hừ ánh xạ 86

§4. C á c tiên đ ề t á c h 89

§5. Khơng gian con của một không gian t ô p ô 97

§6. Tích Đ ề c á c c ủ a c á c k h ô n g gian t ơ p ơ 102

§7. Tổng trục tiếp của một hừ không gian t ô p ô 114

§8. Tơpơ thương nó

§9. Tơpơ mêtric. khơng gian mêtric hoa 117

Bài t ậ p 122

C h ư ơ n g 4. K h ô n g g i a n c o m p â c , k h ô n g g i a n liên t h ô n g 127

§1. Khơng gian compổc 127

§2. Khơng gian c o m p ắ c địa phương 136

§3. C o m p á c hoa 141

§4. Khơng gian liên t h ơ n g 144

B à i t ạ p 153

4

Lịi n ó i đ á u

Giáo trình "Tơpỏ đại cương" trình bày những khái niệm cơ bản

của tôpô, cách xây dựng tôpô, phân loại các không gian tôpô, sự đồng
phôi giữa các khôn", gian tôpô và xét trường hợp riêng của không gian
tốpõ như không gian compắc, không gian liên thông, không gian
mêtric, . . . . Đây là những kiến thức cơ sở cần thiết cho nhiều lĩnh vực
tốn hừc khác nhau như Giải tích hàm, Lý thuyết độ đo và tích phân,
Tơpỏ đại số, Hình hừc vi phân, . . . .

Giáo trình được viết trên cơ sở những bài giảng cho sinh viên năm
thứ 3 hệ Cử nhân n g à n h T o á n và sinh viên h ệ Sau đ ạ i hừc n g à n h Toán
của khoa Toán, trường Đ ạ i hừc Sư phạm - Đ ạ i hừc Thái Nguyên.

Giáo trình bao g ồ m 4 c h ư ơ n g , trong m ỗ i chương có nêu nhiều ví
dụ minh hoa và có phần bài tập cơ bản để sinh viên tự giải.

Trong lần xuất bản đầu tiên này chắc rằng khơng tránh khỏi thiếu
sót. Chúng tơi mong nhận được sự góp ý của bạn đừc.

TÁC GIẢ

5

Chương 0
N H Ữ N G KIÊN THỨC c ơ S Ỏ

§1. C Á C PHÉP TOÁN VỀ TẬP H Ợ P

Ì Giao, hợp, hiệu
Đ ố i với các tập con A, B, c của tập hừp X ta có:
A u B = B u A,
A n B = B n A,

A u (B u C) = (A u B) u c,
A n (B n C) = (A n B) n c,
A n (B u C) = (A n B) u (A n C),
A u (B n C) = (A u B) n (A u C),
X \ (A u B) = (X \ A ) n (X \ B), (Công thức De Morgan)
X \ (A n B) = (X \ A ) u (X \ B), (Công thức De Morgan)
A \ B = A n (X\B),
(A\B)\C = A\(BUC),
X\(A\B) = BU(X\A).
Giả sử ( A j ) i e j và ( B k ) k e K là hai hừ những tập con tùy ý I

hừp X. Khi đó:

isl
keK
6

íìAi U n B * =fì(AiUBk),

J VksK J isl
ksK

x \ u A i = p | ( X \ A i ) .(Công thức De Morgan m ở rộng)
isi J i€i

X \ ỉ P l A i = | J ( X \ A i ) . (Công thức De Morgan m ở rộng)
. isl / isl

2 Tích Đềcác

Giả sử, X và Y là những tập hợp, X x Y là tích Đềcác của chúng.
Với u , , ụ c X và V , , V j C Y ta có:

(U,xv,) n (U2XV2) = (U, n U2)X(V, n Vj),
(U,xvẵ) u (U2XV2) c (U, u U2)X(V, u v 2 ) .

3 Ánh xạ
Cho ánh xạ f : X - > Y. Đ ố i với bất kỳ A, B c X ta có:

f(A u B) = f(A) u f(B),
f(A n B) c f(A) n f(B),
f(A) \ f(B) c f(A \ B).
Giả sử ( A i ) i e i là hừ những tập con tùy ý của tập hừp X . K h i đó:

f(UAi) = Ùf<Ai>'
i-I i 1

f(nA,)cfìf(Aj)
L-I

Đ ố i với bất kỳ M , N c Y ta có:

f l ( M u N) = r ' ( M ) u r ' ( N ) ,

7

r ' ( M n N) = r ' ( M ) n r'(N),
r '(M \ N) = r ' ( M ) \ r'(N),
f(r'(M)) = M n f(X),
Giả sử ( M i ) , e i là hừ những tập con tùy ý của tập hóp Y. K h i đó:

r'ÍUMiì = Url(Mi),

i ì ) iì

í =ni'"(M,).
-Ì r ì M ;

v i ! J isl

§2. Q U A N HỆ THỨ Tự

Quan hệ hai ngôi < trên tập hợp X được gừi là một quan hệ thứ tự
nếu các điều kiện sau thỏa m ã n :

a) Phản xạ: X < X , Vx e X .

b) Phản đ ố i xứng: Vx, y e X , nếu X < y và y < X thì X = y
c) Bắc cầu: Vx, y, z e X , nếu X < y và y < z thì X < z
Tập hợp X đã trang bị m ộ i quan hệ thứ tự < được gừi là tập sắp
thứ tự. Nếu X < y, ta nói X đứng trước y, hay X nhỏ hơn hoặc bang y
Khi X < y và X + y, tã sẽ viết X < y. Ta nói hai phần tử X và y trong X
là so sánh được nếu X < y hoặc y < X.
Cho X là tập sắp thứ tự. Phẩn tử a e x được gừi là phần tử cực
tiểu (lương ứng cực đại) trong X , nếu Vx e X , điều kiện X < a (tương
ứng a < X) kéo theo X = a. Trong một táp sắp thứ tự khơng nhát
thiết phải ln có phần tử cực tiêu (cực đại), và cũng có thể có nhiêu

s

phần tử cực tiểu (cực đại) khác nhau.
G i ả sử A c X . Phần l ử a 6 X được g ừ i là cận dưới (tương ứng cận

trên) của tập A , nếu Vx E A , ta ln có a < X (tương ứng X < a). Nếu
tập con A c X có cận dưới (tương ứng cận trên) thì la nói A bị chặn
(lưới (tương ứng chặn trên). Tập A được gừi là bị chặn (hay giới nội)
nếu A đồng thời bị chặn dưới và bị chặn trẽn. Ta ký hiệu D A là lặp tất
cả các cận dưới của A , ký hiệu T \ là tập tất cả các cân trên của A .
Nếu D A + 0 , và à,, e D A thỏa m ã n a < ao, Va e D A , thì a„ được g ừ i là
cận d ư ớ i đ ú n g của tập A , ký hiệu là ào = i n f A . T ư ơ n g tự, nếu
T A £ 0 , và ao e T A thỏa m ã n ao < a, Va e T A , thì ao được g ừ i là cận trên
đúng của tập A, ký hiệu là a0 = supA. Phần tử x 0 6 A được gừi là
phần tử bé nhất (tương ứng lớn nhất) của A nếu Vx e A ln có Xo < X
(tương ứng X < Xo).

Ta nói tập X được sắp thứ tự tồn phần (hay tuyến tính) nếu
Vx,y e X , thì X < y hoặc y < X. K h i đó ta cũng nói < là quan h ệ thứ tự
tồn phần trên X.

G i ả sử X là tập sắp thứ tự toàn phần, với a.b e X tùy ý, a < b. Ta
ký hiệu: [a, b] = (X € X I a < X < b Ị , và g ừ i là k h o á n g đóng với đầu
múi trái là a, đầu mút phải là b.

ịa, b) = Ị x e X I a < X < b } , và gừi là khoảng mở bên phải, đóng
bên trái.

(a.b| = | x e X I a < X < b}, và gừi là khoảng đóng bên phải, mở
bên trái.

(a,h) = { x e Xịa < X < b } , và gừi là khoáng mớ trong X .

Tập sắp thứ tự toàn phần X được gừi là tập sắp thứ tự tốt nếu m ừ i
tập con khác rỗng của X ln có phần tử bé nhất.

Giả sử X là một tập hợp sắp thứ tự. Tập hợp tất cả các tập con sắp
thứ tự toàn phần của X với quan hệ bao hàm là một tập sắp thứ tự.

9

M ỗ i phần tử cực đại của tập này được g ừ i là tập con sắp thứ tự toàn
phần cực đ ạ i của tập hừp X .

§ 3 . TIÊN Đ Ề C H Ọ N

Giả sử ơ là một hừ nào đó các tập hợp. Ta nói rằng hừ a có đặc
trưng hữu hạn nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

(1) V A e a, nếu B là m ộ t tập con hữu hạn của A thì B £ a.
(2) N ế u A là m ộ t tập hợp thỏa m ã n : m ỗ i tập con hữu hạn bất kỳ
của A đều thuộc a, thì A e a.
Định lý. Các điều k i ệ n sau là tương đ ư ơ n g :
(í) Cho tập hợp k h á c rỗng bất kỳ X . Đ ố i v ớ i m ộ t h ừ t ù y ý (AịXei
những tập con khác rỗng của tập X , tồn t ạ i h à m f : ì - > X sao cho
f(i) e Ai với m ừ i i E ì.
(li) Trên m ỗ i tập hợp tùy ý luôn tồn t ạ i m ộ t quan h ệ thứ t ự tốt.
(Hi) M ỗ i một tập con sắp thứ tự toàn phần của tập hừp sắp t h ứ tự X
luôn được chứa trong một tập con sắp thứ tự toàn phần cực đ ạ i .
(iv) N ế u h ừ ơ các tập có đặc trưng hữu hạn thì m ỗ i phần tử của n ó
được chứa trong một phần tử cực đ ạ i xác định.
(v) N ế u m ừ i tập con sắp thứ tự toàn phần của tập sắp t h ứ tự X

đều bị chặn trên, thì m ỗ i phần tử X e X luôn so sánh được v ớ i một
phần tử cực đ ạ i nào đó của X.
Đ i ề u k i ệ n (í) được g ừ i là tiên đề chừn.
Đ i ề u k i ệ n (li) được g ừ i là đ i ề u k i ệ n Zermelo.
Đ i ề u kiện (iii) được g ừ i là điều k i ệ n Hausdortĩ.

LO

Điều kiện (iv) được g ừ i là điều kiện Tukey.
Điều kiện (v) được g ừ i là điều kiện Kuratovvsky - Zorn.

Ì Ì

Chương Ì
KHƠNG GIAN MÊTRIC

§1. KHƠNG GIAN MÊTRIC, sự HỘI TỤ TRONG
K H Ô N G GIAN MÊTRIC

Ì Khơng gian mêtric
Định nghĩa 1.1. K h ô n g gian m ê t r i c là một cặp ( X , d), trong đó X là

một tập hợp, d : X X X -» [R là một h à m xác định trên X X X thoa
mãn các điều kiện sau:

1. V ớ i m ừ i X, y e X : d(x, y) > 0; d(x, y) = 0 <=> X = y, (tiên đề
đồng nhất).

2. V ớ i m ừ i X, y e X : d(x, y) = d(y, x ) , (tiên đề đ ố i xứng)
3. V ớ i m ừ i X, y, z e X : d(x, z) < d(x, y) + d(y, z), (tiên đề tam

giác).
Hàm d được gừi là mêtric trên X. M ỗ i phần tử của X được gừi là
một điểm của không gian X, số d(x, y) được gừi là khoảng cách giữa
hai điểm X và y.

Ví dụ 1.1
Tập hợp các số thực 1R và tập hợp các số phức c là những k h ô n g
gian métric, với mêtric d(x, y) = IX — y I , với m ừ i X. y e R
(hoặc
Ví dụ 1.2
Táp hơp R k là khổng gian mêtric với mêtric d xác định n h ư sau:

12

d(x,y) = f t | ạ i - n i | 2 , vớix = (ệ„ ...,ệk),y = (ri,, .... HkíelR'

Hiến nhiên d thoa mãn hai tiên đề đồng nhất và đối xứng. Ta

kiếm tra tiên đề tam giác. Trước hết, để ý rằng nếu a,,...,ak,

b,,...,bk là những số thực thì:

Ì Ì
f - L 7^2 í í ^
(Bất đẳng thức thức C ô s i ) .
r±|b.r
1=1 V Í=1 y Vi=i )

L ấ y tùy ý X = c ạ , , . . . £ k ) , y •= ( T Ị , , . : . , r | k ) . z = (C3l,..., C k ) e R k . K h i đ ó

(d(x,y))2 = - ự < - Tui + h - tí)2
i=l i=l

k le le

i = l i=l 1=1

< ẳ f e - n , f +2 ấfe -Ti.r J ấ h i -Cif + È k -c,r
1=1 1=1 i=l

-V

Từ đó ta có d(x,z) < d ( x , y ) + d ( y , z ) .

Ta gừi d là mêtric Euclid và ( R \ d) được gừi là khơng gian
Euclid.

Ví dụ 1.3

G ừ i C[a. b | Là tập hợp các hàm số thực liên tục trên khoảng đ ó n g

hữu hạn [a, b j . D ễ dàng chứng minh được rằng C[a,b] là một

không gian mêtric với mêtric d(x,y)= súp |x(t)-y(t)|, với mừi
x.y e C[a,b]. SI
[3

Định nghĩa 1.2. Giả sử M là một tập hợp con của k h ô n g gian

mêtric (X, d). Dễ dàng thấy rằng hàm d M = d | M M là một mêtric trên

tập hợp M . Không gian mêtric ( M , d M ) được gừi là không gian con của
không gian mêtric (X, d), ta gừi d M là mêtric cảm sính bởi mêtric d
trên M .

2 Sự hội tụ trong không gian mêtric

Định nghĩa 1.3. Ta nói dãy Ị x u Ị * = 1 những phần tử của không gian

mêtric (X, d) hội tụ đến phần tử x 0 e X nếu l i m d ( x u , x 0 ) = 0. Khi đó
li—>w * *

ta viết limx„ = Xo, hoặc x u — > x 0 . Ta nói dãy { x n } * , là dãy

hội tụ và gừi x0 là giới hạn của dãy { x u Ị .

Nhận xét.
a) Dãy h ộ i tụ trong khơng gian mêtric có một giới hạn duy nhất.
Thật vậy, giả sử l i m x n = a và l i m x = b trong X. Khi đó:

d(a, b) < d(a, xu) + d(xu, b) với mừi n.
Vì l i m d ( a , x „ ) = 0 và l i m d ( b , x „ ) = 0 , nên từ bất đẳng thức trên

suy ra d(a,b) = 0 tức là a = b.

b) Trong khống gian mêtric (X, d) nếu lim X = a và

Ịimy,, =b thì limd(xu,yu) = d(a,b).
u -»00 n—>oo v / \ /

Thật vậy, với m ừ i n, ta đều có:

cl(a,b) Từ đó ta có: d(a,b) - d ( x u , y u ) < d ( a , x „ ) + d ( y u ,b) .

14

Chứng minh tương tự ta được:
d(xn,yu)-d(a,b)
Từ hai bất đẳng thức trên suy ra:
|d(xu,yu)-d(a,b)|
Vì l ú n d ( a , x n ) = 0 và lim d ( y u , b ) = 0, nên từ bất đẳng thức trên
suy ra l i m d ( x u , y u ) = d ( a , b ) . Ta có điều cần chứng minh.

VI d ụ Ì .4 l i m x u = x0"í=>lim|xu - x 0 | = 0. Đây là
Trong k h ô n g gian BR và c ,

sự hội tụ m à ta đã biết trong giải tích cổ điển.

Ví d ụ 1.5 giả sử { x n = tì" >,..., ^ n ) ) Ị : = 1 là dãy
Trong không gian R \

trong Rk và x 0 = feị0),...,sís°') e R k . K h i đ ó :

2 N

l i m x n = x 0 <=> l ú n ẳ ^ U ) - ^ : 0 <^>

u -><o li —>«j i=l

limí, = í')i=l,..,k.
n ->'
Vì Vậy, người ta nói rằng sự hội tụ trong khơng gian Euclid IRk là
sự hội tụ theo các toa độ.

Ví d ụ 1.6
Trong k h ô n g gian C[a,b], l i m x u = x 0 <=> dãy h à m số { x u ( t ) Ị " = 1

hội tụ đều đến hàm số x 0 ( t ) trên la. b]. Thật vậy,

15

l i m x u = x 0 < = > l i m d ( x u , x 0 ) = 0 <=> V 8 > 0, 3 n 0 e N , sao cho

Vn £ ra thỏa mãn n > rin ta có d(x„, x„) < s, tức là

súp |xn(t)-x0(t)| <s với mừi n > n0 l x u ( t ) - x 0 ( t ) | < E,
ai l< b

V n > n 0 và Vt e [a, b].

§2. TẬP H Ợ P M Ở V À TẬP H Ợ P ĐÓNG
ĩ-

Ì Tập mỏ

Định nghĩa 1.4. G i ả sử ( X , d) là một k h ô n g gian m ê t r i c x 0 s X và r

là m ộ t số d ư ơ n g . Tập hợp S(x0, r) = Ị x e X I d(x, Xo) < r} được g ừ i là

hình cầu m ở tâm x 0 bán kính r.

Tập hợp S[x0, r] = {x e X I d(x, x0) < r} được gừi là hình cầu
đóng tâm x 0 bán kính r.

Với A , B là 2 tập con khác rỗng trong X , ta gừi:

d(A,B)= inf {d(x,y)}
xeA.yeB

là khoảng cách giữa hai tập con A , B.

Định nghĩa 1.5. Giả sử A là một tập con của không gian métric
( X , d). Đ i ể m Xo của X được g ừ i là đ i ể m trong của tập hợp A nếu t ồ n
tại một hình cầu mớ S(x(J,r) c A. Tập tất cả các điểm trong của tập A
được gừi là phần trong của A và ký hiệu là intA hoặc A°.

Phần trong của một tập hợp có thế là tập hợp rồng.

Định nghĩa 1.6. Tập hợp G c X được gừi là tập mở nếu mừi điểm
của G đều là điểm trong của nó.

lổ

Hiển nhiên tập X và tập 0 đều là những tập mở trong khơng gian
mêlric (X, d). M ỗ i hình cầu mở là tập mở trong (X, d).

Định lý 1.1. Trong khơng gian mêtric (X, d) ta có:
a) ì lợp của một hừ tuy ý những tập m ở là một tập mở.
b) Giao của một số hữu hạn những tập m ở là một tập mở.
Chứng minh.
a) G i ả sử { u , } i e T là một hừ tùy ý những tập con m ở trong k h ô n g

gian mêtric (X, d). Ta chứng minh u = | j u , là một tập mở.
1=1

Thật vậy, giả sử X e u tùy ý. Khi đó X € u, với t nào đó. Vì u m ở
nên tồn tại một hình cầu S(x, r) c u „ do đó S(x, r) c u . Vậy u là
một tập mớ.

li
b) G i ả sử U j , ..., u „ là những tập mở. Ta chứng minh V = P | u .

1=1
là tập mở. Thật vậy, nếu x e V thì x e U ị với m ừ i i = Ì,... lĩ. Vì m ỗ i u
mở nên tồn tại một số dương r, sao cho S(x,r-j) C Ư , i = I ... n. Đặt
r = min{r1, r„}. K h i đổ, hiến nhiên S(x, r) c Ui với ĩ = Ì ... n do
đó S(x, r) c V . V ậ y V là một tập mở. •

Định nghĩa 1.7. Với X e (X, d) tùy ý. tập con bất kỳ u c X chứa
điểm X được g ừ i là lân cận của điểm X nếu u chứa một tập m ở chứa X.

Hiển nhiên, tập A trong không gian mêtric X là mở khi và chỉ khi
với mỗi X e A luôn tồn t ạ i một lân cận u của X chứa trong A.

Hiển nhiên ta có:
1) A° là tập mở, và đó là tập m ở lớn nhất chứa trong A.

2) Tập A là m ở khi và chỉ khi A = A".
3) N ế u A c B thì A° c B°.

2-TDru~ [7

2 Tập đóng

Định nghĩa 1.8. Tập con A c ( X , d) được g ừ i là tập đ ó n g nếu phần
bù của A trong X (tập X \ A ) là một tập mở.

Hiển nhiên các tập X và 0 là những tập đóng trong không gian
mêtric (X, d). Dễ dàng chứng minh được mừi hình cầu đóng là tập
đóng.

Định lý 1.2. Trong k h ô n g gian mêtric ( X , d) ta c ó :
a) Giao của một h ừ tuy ý những tập đ ó n g là một tập đ ó n g .
b) H ợ p của một h ừ hữu hạn những tập đ ó n g là một tập đ ó n g .

Chứng minh. là một hừ tùy ý những tập đóng trong khơng
a) G i ả sử {F,Ị

gian mêtric X. Khi đó X \ p | F , = Ị J ( X \ F , ) là tập mở, vì với mừi
íeT IST

t e T, tập X\F, là mở. Vậy p|F, là một tập hợp đóng.

b) Chứng minh tương tự. •

Định lý 1.3. Tập con F của khơng gian mêtric X là đóng khi và chỉ

khi với dãy bất kỳ {x„} "=J những phần tử của F, nếu lún x n = x 0 e X
li—>x

thì x 0 e F .

Chứng minh.
(=>) Cho tập F đ ó n g , g i ả sử tồn t ạ i d ã y { x u Ị * = l trong F thỏa m ã n
lim xu = x 0 và x 0 Ể F.
ti >'
Vì X\I^' là tập mở nên tồn tại một hình cầu s ( x 0 , e ) chứa trong

X\F. Vì l ừ n d ( x n , x 0 ) = 0 nên với n đủ lớn d ( x u , x 0 ) < 8 , tức là
11-»»

x„ e X \ F với n đủ lớn. Đ i ề u này m â u thuẫn với g i ả thiết.

18