CHUYÊN ĐỀ: BÀI TẬP NHIỆT HỌC VÀ VẬT LÍ PHÂN TỬ TRỌNG TÂM CHO ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI VẬT LÍ LỚP 10”

Chuyên đề nhiệt học

CHUYÊN ĐỀ: BÀI TẬP NHIỆT HỌC VÀ VẬT LÍ PHÂN TỬ TRỌNG TÂM
"CHO ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI VẬT LÍ LỚP 10”

Phần 1. MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn chuyên đề

Bài tập nhiệt học và vật lí phân tử là một nội dung xuất hiện thường xuyên trong
các đề thi khi học sinh tham gia thi các trại hè, thi chọn học sinh giỏi quốc gia hay khu
vực. Hơn thế nữa xã hội ngày càng phát triển, mức sống người dân ngày càng nâng cao,
nhu cầu về tiện nghi tăng lên khơng ngừng. Điều này địi hỏi các thiết bị, máy móc phải
tăng lên khơng ngừng về số lượng, chất lượng, mẫu mã. Để đáp ứng nhu cầu đó, các nhà
sản xuất đặt vấn đề với các nhà khoa học phải nghiên cứu tìm ra mọi biện pháp thích hợp
nhằm nâng cao năng suất, cải thiện mẫu mã, giảm giá thành sản phẩm, nâng cao khả năng
cạnh tranh giữa các đơn vị sản xuất. Máy nhiệt là một bộ phận khơng thể thiếu trong các
thiết bị trên. Do đó, là học sinh chuyên lí, học sinh ở đổi tuyển học sinh giỏi lí cần nắm
vững kiến thức và vận dụng giải tốt các bài tập về nhiệt học và vật lí phân tử để vừa có
thể đáp ứng tốt cho các kỳ thi học sinh giỏi cũng đồng thời có kiến thức nền tảng để sau
này có cơ hội tìm hiểu sâu hơn về máy nhiệt là việc rất cần thiết.

Qua quá trình giảng dạy học sinh lớp 10 chun vật lí và các đội tuyển học sinh
giỏi vật lí, tơi đã rút ra được một vài kinh nghiệm nhỏ về mảng kiến thức này, xin được
trao đổi cùng các bạn đồng nghiệp.

2. Mục đích của chuyên đề

Đề tài này nhằm mục đích hệ thống kiến thức, giúp học sinh lớp 10 chuyên vật lí
và học sinh các đội tuyển học sinh giỏi vật lí nắm vững các kiến thức cơ bản, các dạng
bài tập trọng tâm của phần nhiệt học và vật lí phân tử để chuẩn bị cho các kì thi của trại

hè, thi chọn học sinh giỏi quốc gia hay khu vực. Có kiến thức nền tảng để sau này có cơ
hội tìm hiểu sâu hơn về máy nhiệt.

Phần 2. NỘI DUNG

A. LÍ THUYẾT:
I. Năng lượng chuyển động nhiệt của khí lí tưởng:

Năng lượng chuyển động nhiệt (nhiệt năng) của một vật nào đó bằng tổng năng
lượng chuyển động nhiệt của tất cả các phân tử cấu tạo nên vật. Đó là tổng của động năng
chuyển động nhiệt của tất cả các phân tử và thế năng tương tác phân tử.

Với chất khí lí tưởng: lực tương tác phân tử rất nhỏ nên thế năng tương tác phân
tử rất nhỏ có thể bỏ qua.

1) Khái niệm bậc tự do và định luật phân bố đều động năng theo bậc tự do.

Số bậc tự do của một cơ hệ là số toạ độ độc lập cần thiết để xác định vị trí và
cấu hình của cơ hệ đó trong khơng gian.

VD: Với khí đơn ngun tử, động năng chuyển động quay của nguyên tử =0 (giải thích ở
mục 2) nên coi như mỗi nguyên tử của khí đơn nguyên tử chỉ chuyển động tịnh tiến. Vì
vậy để xác định vị trí và trạng thái của mỗi nguyên tử chỉ cần 3 toạ độ độc lập Ox, Oy,
Oz hay khí đơn ngun tử có 3 bậc tự do.

1

Chuyên đề nhiệt học

Định luật phân bố đều động năng theo bậc tự do của Bônzơman: Nếu hệ phân

tử ở trạng thái cân bằng nhiệt ở một nhiệt độ T thì động năng trung bình phân bố
đều theo bậc tự do và ứng với mỗi bậc tự do của phân tử thì động năng trung bình
là 12 kT.

Thật vậy:

Động năng trung bình của chuyển động tịnh tiến của mỗi phân tử coi như gồm 3
thành phần, tức gồm động năng chuyển động của mỗi phân tử theo 3 phương vng góc:

mv 2 = mu 2 + mc 2 + mw2
2 2 2 2

Do tính hỗn độn nên: mu 2 2 = mc 2 2 = mw2 2 = 13 Wd = 12 kT

Vậy mỗi thành phần động năng bằng 12 kT

2) Số bậc tự do và năng lượng chuyển động nhiệt của chất khí lí tưởng

Đối với khí đơn nguyên tử:

Phân tử gồm một hạt nhân và một vành nhẹ các electron. Khi phân tử va chạm với nhau,
ngoài việc trao đổi động năng chuyển động tịnh tiến, phân tử này còn truyền cho vành
electron của phân tử kia một xung lượng quay. Nhưng xung lượng quay này không làm
quay được hạt nhân vì hai lí do sau:

+ Vành electron và hạt nhân liên kết khơng chắc

+ Mơmen qn tính I của đơn nguyên tử rất nhỏ

Vì vậy động năng quay của đơn nguyên tử là: 12 I 2 0

KL: Do đó với khí đơn ngun tử có ba bậc tự do và năng lượng chuyển động nhiệt
của nó chỉ là động năng chuyển động nhiệt tịnh tiến:

E = NWd = 32 NkT (N là tổng số phân tử của chất khí)

Với 1mol: E0 = 32 RT

Đối với khí lưỡng nguyên tử:

Mỗi phân tử gồm hai nguyên tử, trạng thái của phân tử được xác định bởi:

+ Ba bậc tự do xác định trạng thái của khối tâm

+ Ba bậc tự do xác định chuyển động quay xung quanh Ox, Oy, Oz.

Nhưng thực nghiệm cho thấy: Chuyển động quay xung quanh Ox nối tâm hai nguyên tử
chỉ xuất hiện ở nhiệt độ rất cao, ở nhiệt độ bình thường chuyển động quay này khơng
xảy ra. Do đó để xác định chuyển động quay chỉ cần hai bậc tự do.

KL: Vậy khí lí tưởng lưỡng ngun tử có 5 bậc tự do và năng lượng chuyển động
nhiệt của khí lưỡng nguyên tử là:

2

Chuyên đề nhiệt học

E = 52 NkT Với 1mol: E0 = 52 RT

* Đối với khí gồm 3 nguyên tử trở lên:

Gọi là khí đa ngun tử, chúng có 6 bậc tự do và có năng lượng chuyển động nhiệt:

E = 62 NkT Với 1mol: E0 = 3RT

II Nội năng của khí lí tưởng:

Xét với 1 mol bất kì:

Gọi E0 là năng lượng chuyển động nhiệt

Et là tổng thế năng tương tác phân tử

Ep là tổng năng lượng bên trong các phân tử (động năng, thế năng các hạt tạo nên
ph.tử)

Thì nội năng của 1mol chất là: U0 = E0 + Et + Ep

Ứng với mỗi trạng thái nhất định có một giá trị duy nhất của nội năng .

Với các cách làm thay đổi thông thường trạng thái vật chất thì khơng làm thay đổi Ep

Với khí lí tưởng ta lại có thêm Et =0 do đó sự biến đổi nội năng của chất khí lí
tưởng chỉ phụ thuộc vào sự biến đổi của động năng chuyển động nhiệt của phân tử.

Vì vậy khi nhiệt độ thay đổi một lượng dT thì nội năng của 1mol khí lí tưởng biến đổi
một lượng là:

dU0 = i2 R.dT (i là số bậc tự do)

và nội năng của một lượng khí lí tưởng (n mol) biến đổi một lượng là: dU = i2 n.R.dT

III. Nguyên lí thứ nhất của nhiệt động lực học:

Gọi U1 là nội năng của một hệ khí ở trạng thái 1, U2 là nội năng của hệ khí ở trạng

thái 2, Q là nhiệt lượng trao đổi giữa hệ khí với ngoại vật, A là cơng mà hệ khí phải

thực hiện: Q = U + A

2 2 2

Với biến đổi rất nhỏ: dQ = dU + dA Với cả quá trình dQ = dU + dA

1 1 1

(dQ>0: hệ nhận nhiệt lượng; dU>0: nội năng hệ tăng; dA>0: hệ thực hiện công )

Trường hợp hệ thực hiện một q trình kín (chu trình) thì dU = 0 và ta có: dQ =
dA tức là hệ nhận bao nhiêu nhiệt lượng thì thực hiện cơng hết và nhận vào bao nhiêu
cơng thì biến hết thành nhiệt toả ra môi trường, nội năng hệ không thay đổi.

(Học sinh tự ôn lại biểu thức NLTN đối với các đẳng quá trình) p A
Áp dụng nguyên lí I nhiệt động lực học trong các đẳng quá trình: 2 1

Xét một q trình cân bằng của một lượng khí diễn biến theo
đường cong 1-2: Hình vẽ:

Với biến thiên thể tích dV nhỏ ta coi p là khơng đổi ta có cơng

ngun tố: dA = pdV OV V V

dV 3

Chun đề nhiệt học

Cơng thực hiện trong cả q trình là: 2

A = pdV
1

1. Q trình đẳng tích:

Do dV = 0 nên dA = pdV = 0  Vậy: A = pdV = 0

Nhiệt lượng khối khí nhận được:

m T2

Q Q  CV dT = C(T - T) = C T

 T1

Với C là nhiệt dung mol đẳng tích. Do thể tích khơng đổi nên chất khí khơng thực hiện
cơng cho ngoại vật: dA = 0, tồn bộ nhiệt lượng truyền cho chất khí để làm tăng nội
năng:

CV = ( dQ dT )V = dU 0 dT = i2 R (*) Vậy: CV = i2 R

2. Quá trình đẳng áp:

Do p = const nên dA = pdV

Vậy cơng do khí thực hiện A = pdV = p.(V2 - V1)

Nhiệt lượng khối khí nhận được:

m T2

Q Q  C p dT = C (T - T) = C T

T

Với C là nhiệt dung riêng mol đẳng áp

Trong q trình đẳng áp nhiệt lượng truyền cho chất khí được chia làm hai phần: Một
phần làm tăng nội năng, một phần nữa tuy cũng biến thành nội năng nhưng ngay sau đó
vì để giữ cho áp suất khơng đổi nên phần nội năng này đã được dùng để sinh cơng thắng
ngoại lực để tăng thể tích khí:

dQ = dU0 + dA  Cp = ( dU 0 dT )p + ( dA dT )p

Do dU0 không phụ thuộc vào V hoặc p nên ( dU 0 dT )V = ( dU 0 dT )p = i2 R

Gọi dV0 là độ tăng thể tích của 1mol chất khí khi thực hiện cơng dA đẳng áp:

 dA = pdV0 và V0 = p RT ( p không đổi)

Vậy Cp = i2 R + p.d (RT ) p.dT = i2 R + R  Cp = i  2 2 R

3. Quá trình đẳng nhiệt:

Do T = const nên pV = nRT = const  p = nRT. 1V

Vậy cơng do khí thực hiện

4

Chuyên đề nhiệt học

2 V2 A = pdV = nRT dV = nRT ln V2 = nRT ln p1 = pV ln
1 V1 V V1 p2

Vì quá trình đẳng nhiệt  U = 0  dQ = dA

Nhiệt lượng khí nhận được: Q = A = A = 2 V2 = nRT dV = nRT ln V2 = nRT ln

p1 pdV V1 V V1 (1)
p2 (3)
1

4. Q trình đoạn nhiệt

a. Các cơng thức của q trình đoạn nhiệt:

Q trình đoạn nhiệt là q trình khơng trao đổi nhiệt với ngoại vật  dQ = 0

+ Từ dU + dA = 0 ta suy ra:

0 = nCV.dT + p.dV = nCV.dT + n RT V dV

Chia hai vế cho (n.T.CV ) và lưu ý rằng R = Cp - CV ta được:

0 = dT + C p  CV . dV = dT T + (  1) . dV V
T CV V

+ Tích phân hai vế ta có: lnT + lnV  1 = const  TV  1 = const

+ Với T = pV nR ta biến đổi được: pV  = const (2)

+ Hoặc từ (1) và (2) :

T1  V2    1 V 2    p1    p2    1  1 1 
=   =   =   =    T  . p1  = const
T2  V1     
 V1   p2   p1 

Ta được các cơng thức của q trình đoạn nhiệt hay các công thức Poatxông:

TV  1 = const

pV  = const ( = Cp = i2 )
CV i

T  . p1  = const

* Với  gọi là chỉ số đoạn nhiệt, được xác định từ hệ thức Mayer:

Cp = i2 = 
CV i

Hệ quả: Vì: Cp - CV = R

Vậy kết hợp với hệ thức Mayer ta có: R

CV =   1

b. Công do chất khí thực hiện trong q trình đoạn nhiệt:

Từ ngun lí I kết hợp với hệ thức Mayer ta được:

dA = -dU = -ndU0 = -nCvdT

5

Chuyên đề nhiệt học

T2 nR 1

 A = -nCV dT = -nCv(T2 - T1) =   1 (T1 - T2) =   1 (p1V1 - p2V2)
T1

Kết hợp với các công thức Poatxông ta có:

1

A = - U = nCv(T1 - T2) =   1 (p1V1 – p2V2)

A = nR T1 1 T2  ; A = nR T   V 1 1  1  1    ;  1 
  1  T1  nR   p1   

  1   V2   A =   1 T1 1  p  
   2

IV. Nguyên lí II nhiệt động lực học:

1. Nguyên lí II:

+ Cách phát biểu thứ nhất: Khơng thể có động cơ vĩnh cửu II có nghĩa là khơng thể
biến đổi hồn tồn nhiệt lượng thành cơng.

+ Cách phát biểu thứ hai: Nhiệt không thể truyền từ vật lạnh hơn sang vật nóng hơn
mà khơng để lại dấu vết gì xung quanh.

2. Động cơ nhiệt:

Hiệu suất của động cơ nhiệt: η = A = Q1  Q2 T1  T2
Q1 Q1 T1

3. Máy làm lạnh:

Hiệu năng của máy lạnh:  = Q2 = Q2  T2

A Q1  Q2 T1  T2

4. Chu trình cácnơ:

+ Là một chu trình kín, gồm hai quá trình đẳng nhiệt xen kẽ với hai q trình đoạn nhiệt.

+ Định lí Cacnơ: Hiệu suất của các động cơ nhiệt thuận nghịch hoạt động theo chu trình
Cacnơ với cùng nguồn nóng, nguồn lạnh thì bằng nhau và không phụ thuộc vào tác nhân,

kết cấu của động cơ

+ Hiệu suất của động cơ nhiệt hoạt động theo chu trình Cácnơ thuận nghịch:

η = T1  T2 = 1 -

T1

+ Hiệu suất của chu trình Các nơ khơng thuận nghịch:
η < T1  T2 = 1 -

T1

 Đối với chu trình Các nơ: η ≤ T1  T2 = 1 - = 1 -

T1

5. Hàm entrôpy và nguyên lí tăng entrơpy

a. Hàm entropy

Khi một hệ biến đổi theo chu trình thuận nghịch, theo bất đẳng thức Clau-di-út ta có:

Q

 0

T

6

Chuyên đề nhiệt học

Q tương tự

Đặt S =  là hàm trạng thái hay hàm entropy (tính chất của hàm entropy thái (2)
trình 1
T

như tính chất của nội năng)

b. Nguyên lí tăng entropy

2 S = S - S = Q là độ biến thiên entropy của hệ từ trạng (1) sang trạng

1T

Ta có: S = S - S ≥ 0 (dấu = nếu quá trình 1 2 là thuận nghịch, dấu > nếu quá

2 là không thuận nghịch)

c. Entropy của khí lí tưởng

+ Q trình đoạn nhiệt: (Q 0 )  Q

 S  0  S = const

T

+ Quá trình đẳng nhiệt: (T = const) Q Q

 S  

TT

+ Quá trình bất kì: Q dU  A = dU + pdV

Với dU = CdT; p =  Q = CdT + RT

Q

 S =  = C + R = Cln + Cln

T

7

Chuyên đề nhiệt học
B. CÁC BÀI TẬP VỀ NGUYÊN LÍ I VÀ II NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC

Bài 1. Một khối khí Hêli trong một xilanh có pitơng di chuyển p
được. người ta đốt nóng khối khí này trong điều kiện áp suất

khơng đổi, đưa khí từ trạng thái 1 đến trạng thái 2. Cơng khí thực hiện được trong q trình này là A. Sau đó, khí bị nén 1 2

theo q trình 2-3 trong đó áp suất p tỉ lệ thuận với thể tích V.

Đồng thời khối khí nhận một cơng là A (A > 0). Cuối cùng khí

được nén đoạn nhiệt về trạng thái ban đầu. Hãy xác định công 3

A mà khí thực hiện trong q trình này. Lời giải: O V

Trong q trình đẳng áp 1-2, cơng do khối khí thực hiện là:

A = p (V - V) = nR(T - T) (1)

Trong q trình 2-3, cơng do khí nhận vào có trị số bằng:

A = (V - V) = (2)

Vì trên giản đồ p-V hai điểm 2 và 3 nằm trên đường thẳng đi qua gốc toạ độ, nên ta có:

A= = (3)

Trong quá trìnhđoạn nhiệt 3-1, độ tăng nội năng của khí bằng cơng mà khí nhận được:

A = nR( T - T ) (4)

Từ (1) và (3) suy ra: T - T = (5)

Thay (5) vào (4), ta được: A = nR( T - T ) = (2A - A)

Bài 2. Một lượng khí đơn ngun tử thực hiện

chu trình 123a1 như hình vẽ. Biết rằng độ biến

thiên thể tích từ trạng thái 1 sang 2 có giá trị

bằng độ biến thiên thể tích từ trạng thái 2 sang 3

và bằng thể tích ban đầu. Độ biến thiên áp suất

từ trạng thái 1 sang 2 bằng giá trị áp suất ban

đầu. Đường biểu diễn chu trình 123b1 có diện

tích giới hạn bằng diện tích đường trịn bán kính

là độ dài đường biểu diễn trạng thái 1 sang 2 p 2
hoặc trạng thái 2 sang 3. Cung trịn 3a1 bằng p
cung 3b1. Cơng mà khí thực hiện trong cả chu 2

trình là A. Hãy xác định nhiệt lượng trong từngp 2 a

quá trình theo A, cho biết trong q trình đó khí
p2 1
nhận hay tỏa nhiệt? p 3
1 

Lời giải: a
b
1
p 3
1
Vì V2  V1 V3  V2 V V1
p2  p1  p2  p3 p  p1 O V1 V2 V3 V
b

Và đường biểu diễn chu trình có V1 V2 V3

diện tích giới hạn bằng diện tích O V

đường tròn bán kính là độ dài đường

biểu diễn trạng thái 1 sang 2 hoặc

trạng thái 2 sang 3.

8

Chuyên đề nhiệt học

Nên 1 2 300

tan V V1 tan 300  1  p1  3V1
p p1 3

Cơng của khí thực hiện trong cả chu trình :
A = 2pV -  (p + V) + 2pV = 2 V - V
 V = (1)
- Xét quá trình 1  2, độ biến thiên nội năng:
U = nC(T - T) = (2pV- pV) = V = (2)
Cơng khí thực hiện trong q trình 1  2 :
A = (p + V)(V - V) = V =
Nhiệt lượng khí nhân được trong q trình 12 :
Q = U + A =

- Xét quá trình 2 3, độ biến thiên nội năng:
U = nC(T - T) = (pV - pV) = - V = -

Công khí thực hiện trong q trình 23:
A=A= V=

Nhiệt lượng khí trong q trình 23 : Q23 U23  A23 0

- Xét quá trình từ 31:
Khí thực hiện cả chu trình nên

U = 0  Q = A

 Q=Q-Q-Q=A-Q-Q=A- <0

Vậy quá trình 31 là quá trình nhận nhiệt. l l

Bài 3. Trong một bình hình trụ nằm ngang, thành xung

quanh cách nhiệt, có hai pít tơng: pít tơng A nhẹ ( trọng

lượng có thể bỏ qua) và dẫn nhiệt, pít tơng B nặng và cách

nhiệt. Hai pít tơng tạo thành hai ngăn trong bình (hình vẽ).

Mỗi ngăn chứa một mol khí lí tưởng lưỡng nguyên tử và

có chiều cao là l = 0,5m.

Ban đầu hệ ở trạng thái cân bằng nhiệt. Làm cho khí trong bìAnh nóng Blên thật
chậm bằng cách truyền cho khí (qua đáy bình nối với A) một nhiệt lượng Q. Pít tơng A

có ma sát với thành bình và khơng chuyển động, pít tơng B chuyển động khơng có ma sát

với thành bình. Tính lực ma sát tác dụng lên pít tông A. l l l

Biết rằng nội năng U của một mol khí lí tưởng lưỡng nguyên tử phụ thuộc vào

nhiệt độ T của khí theo cơng thức U  3 RT . (R là hằng số khí lí tưởng).
2 )) p

Lời giải:

))

AB 9

Chuyên đề nhiệt học

Gọi nhiệt độ ban đầu của hệ là T0, nhiệt độ sau cùng là T1, áp suất ban đầu của khí trong
hai ngăn bằng nhau và bằng p0.

Áp suất cuối cùng trong ngăn trái là p1  p0 T1 (q trình đẳng tích).

T0

Thể tích cuối cùng của ngăn phải là V1 V0 T1 (quá trình đẳng áp)

T0

Độ tăng thể tích của ngăn phải. V V1  V0 V0  T1  1
 T0 

V  p0V0  T1  1 RT1  T0 
Công sinh ra bởi chất khí A = p0  T0 

Độ tăng nội năng của hệ 2 mol khí là U 2 32 RT1  T0  3RT1  T0 

Theo nguyên lí I: Q = U  A 4RT1  T0 

Lực ma sát tác dụng lên pít tơng A có diện tích S = V0 là
h

F  p1  p0 S  p0  T1  1 V0 RT1  T0  1
 T0  h h

 F  Q4h .

Bài 4. Một bình hình trụ, thành mỏng, tiết diện ngang S đặt nằm ngang. Trong bình có
một pittong khối lượng M, bề dày khơng đáng kể. Pittong được nối với phần bên phải của
bình bằng một lị xo có độ cứng k. Trong bình bên trái có một lượng khí lý tưởng đơn
ngun tử, khối lượng m, khối lượng mol là µ, phần bên phải là chân khơng. Lúc đầu
nhiệt độ của khí trong bình là T1. Biết rằng chiều dài của lị xo khi khơng biến dạng đúng
bằng chiều dài của bình. Bỏ qua khối lượng lò xo và ma sát giữa pittong với thành bình.
Bình và pittong làm bằng các vật liệu cách nhiệt lý tưởng. Người ta nung nóng bình đó
đến nhiệt độ T2 (T2 > T1) sao cho pittong di chuyển thật chậm.

1. Tìm độ dịch chuyển của pittong.

2. Tính nhiệt lượng đã truyền cho khối khí.

Lời giải:

1. Gọi p, p là áp suất khí ban đầu (nhiệt độ T) và sau (nhiệt độ T) trong phần bình bên
phải.

Lúc đầu: kh1 = p1S (1)

Mà pV = Sh = RT (2)

10

Chuyên đề nhiệt học

Sh = RT  h = (3)

Lúc sau khi nhiệt độ của khí trong bình là T: kh = pS (4)

pV = Sh = RT  h = (5)

Độ dịch chuyển của pittong: h = h - h = -

2. Nhiệt lượng đã truyền cho khối khí

dQ = dU + pdV = CdT + dV

Lấy tích phân, ta được:

T2 m h2 kh m k (h22  h12 )
Q dQ  CV dT   Sdh  CV (T2  T1 ) 
T1  h1 S  2

Mặt khác từ phương trình: pV = kh = RT

 = (T - T) Với C =

 Q = 3 (T - T) 

Bài 5. Một bình hình trụ AB = l, nằm ngang đầu A B
A hở, đầu B kín. Bình quay đều với tốc độ góc 
trục thẳng đứng () đi qua A. Áp suất nhiệt độ khí
xung quanh là p, T, khối lượng mol là . Xác định
áp suất của khí tại đáy B của bình.

O

Lời giải:

Xét một khí mỏng có bề dày dx, có tọa độ x  x + dx A p dx p + dp B
áp suất khí hai bên của lớp khí là p và p + dp.

Khi bình quay đều quanh A, lớp khí chịu các lực tác dụng ))

như hình vẽ. )) ))

Vì bình quay đều nên khí ở trong bình ở trạng thái cân O
bằng, ta có:
x

+ ++ =

 F = F + F  (p + dp)S = pS + dmx  dmx = Sdp (1)

Mặt khác, phương trình trạng thái với lớp khí là

pSdx dm RT  dm = dx (2)



Từ (1) và (2) ta tìm được:

 2 l pB xdx  dp  2 . l 2 ln pB
RT0 0 p0 p RT0 2 p0

 2l 2

 pB  p0.e 2RT0

11

Chuyên đề nhiệt học

Bài 6. Một bình hình trụ chứa chất khí đơn nguyên tử, chiều dài L, diện tích đáy S,
chuyển động dọc theo phương song song với trục của bình. Khối lượng khí trong bình là
m. Ở thời điểm bình đang chuyển động với gia tốc a (a > 0). Giả thiết ở mỗi thời điểm,
các phần tử khí có gia tốc như nhau và nhiệt độ đồng đều trong tồn khối khí và bằng T.

Bỏ qua tác dụng của trọng lực. Cho aoL 1 , trong đó  là khối lượng mol của chất

RT

khí, R là hằng số khí. Bỏ qua tác dụng của trọng lực.

1. Hãy tính áp suất do khí tác dụng lên mỗi đáy bình khi gia tốc của bình là a.

2. Làm cho gia tốc của bình giảm xuống 0. Tính cơng do khối khí thực hiện trong q
trình giảm gia tốc trên.

3. Giả thiết bình hồn tồn cách nhiệt và nhiệt độ khí thay đổi rất nhỏ trong quá trình
giảm gia tốc. Biết nhiệt độ ban đầu của khối khí là T. Tìm độ biến thiên nhiệt độ của
khối khí trong quá trình trên.

Lời giải

1. Chọn trục Ox dọc theo trục bình, chiều dương cùng chiều chuyển động của bình.

Xét một lớp khí mỏng khối lượng dm, chiều dày dx, ở cách đáy bình một đoạn x. Trong
hệ quy chiếu gắn với trái đất, lớp khí này chuyển động cùng bình với gia tốc a và chịu tác
dụng của hai lực theo phương Ox là pS và – (p + dp)S.

Theo định luật II Newton ta có: [pS – (p + dp)]S = dm.a hay –dp.S=dm.a (1)

Mặt khác, phương trình trạng thái với lớp khí là pSdx  dm RT (2)

 a x  a 
RT
Từ (1) và (2) ta tìm được: - = dx  p  p(0)e  p(0) 1  x  (3)
 RT 

Để tìm p(0) ta dùng định luật bảo tồn khối lượng. Từ (2) và (3) tính dm, sau đó tích phân,
tính được:

L p(0)S L  a  p(0)S  a 2 

m dm  1  x dx  L L .
RT 0  RT  RT  2RT 
0

p(0)  mRT mRT  aL  mRT  aL  aL  mRT  aL 
 1   p  1 1   1 
Vậy  aL  SL  2RT  SL  2RT  RT  SL  2RT  .
SL1  
 2RT 

2. Xác định vị trí khối tâm chất khí:

1L 1 L p(0)S  a   L aL2  aL   1 aL 
xG  xdm   x1  x dx   1   L  .
m0 m 0 RT  RT   2 3RT  2RT   2 12RT 

Khi gia tốc thay đổi một lượng da, khối tâm dịch chuyển một khoảng dxG  L da 2 .

12RT

Trong hệ quy chiếu gắn với vỏ bình, cơng ngun tố do lực qn tính thực hiện lên khối
khí là:

dA FdxG ma L2 0 mL2 mL2 2
da  A  ada  a.
12RT a 12RT 24RT

12

Chun đề nhiệt học

Cơng do khí thực hiện: A' A  mL a 2 2 .

24RT

3. Áp dụng nguyên lý I NĐLH cho cả khối khí:

m 3R mL2 2  2 L2 2
U A  T  a  T  2 a .
2 24RT 36R T

Bài 7. Khảo sát một động cơ hoạt động theo chu trình lí tưởng dùng chất khí có nhiệt
dung c khơng đổi làm tác nhân. Chu trình gồm hai quá trình đẳng áp (12, 34) nối với
nhau bằng hai quá trình đoạn nhiệt (41, 23).

1. Tìm hiệu suất của động cơ này theo p, p.

2. Tìm nhiệt độ cao nhất, thấp nhất trong các nhiệt độ T, T, T, T.

3. Chứng minh rằng một động cơ Cacno dùng chính tác nhân trên làm việc giữa hai
nguồn nhiệt cao nhất, thấp nhất nói trên có hiệu suất cao hơn động cơ này.

Lời giải:

1. Trong chu trình năng lượng mà tác nhân nhận từ nguồn

có nhiệt độ cao là quá trình 12 là: p
Q = C(T - T) p1 2

Năng lượng nhả ra cho nguồn có nhiệt độ thấp là quá trình

3  4 là: Q = C(T - T) p 3

Hiệu suất của động cơ nhiệt: 4

 =1- =1- OV VVV V
Mặt khác: phương trình trạng thái pV = nRT

Quá trình đoạn nhiệt pV = pV ; pV = pV

Ta được:  1

 1     p4   (1)

 p1 

2. Từ đồ thị ta thấy V > V > V > V; p > p

Từ phương trình trạng thái: 1  2: =  T > T;

3  4: =  T > T

Từ phương trình đoạn nhiệt: 2 3: TV = TV  T > T

4 1: TV = TV  T > T

Vậy nhiệt độ thấp nhất và cao nhất trong chu trình là T = T; T = T

3. Hiệu suất của động cơ Cacno ứng với tác nhân giữa nguồn nhiệt cao nhất, thấp nhất là:

C 1  T4 (2)

T2

Từ (1) và (2) ta được: C 1  T4  1

T2 > =1-  p4  

= 1  
p 
 1

13

Chuyên đề nhiệt học A B CD
20 A 20 B 20 C 10 D
Bài 8. Động cơ nhiệt là một khối hình
trụ chứa đầy khí, trong đó có 1 pít tơng
mà chuyển động của nó bị giới hạn bởi
các gờ chắn AA và BB. Khí được nung
nóng từ từ cho đến khi pít tơng bị gờ
BB chặn lại. Sau đó đáy của lị xo di
chuyển từ vị trí CC đến DD, rồi khí
được làm lạnh từ từ cho đến khi pít
tơng bị gờ chặn AA giữ lại và đáy lị xo
được di chuyển ngược lại trở về vị trí
CC. Sau đó khí lại được nung nóng
v..v…

Tìm hiệu suất của động cơ này.

Khối trụ chứa đầy khí Hêli, diện tích bề mặt pít tơng S = 10 cm2, độ cứng lò xo K =
10 N/m, chiều dài lị xo ở trạng thái khơng bị dãn 0 = 60 cm. Giả thiết áp suất bên
ngồi bằng khơng.

Lời giải:

bắt đầu giãn nở. Do sự nung nóng được tiến hành rất từ 4 Ta vẽ chu trình trên giản đồ p-V từ thời điểm khi khí p 2
từ nên có thể cho rằng pít tơng ở thời điểm bất kì nằm ở 3 1 3
trạng thái cân bằng.

2

Để ý chiều dài lị xo ở trạng thái khơng dãn bằng
khoảng cách từ thành trái của hình trụ đến đường CC. 1 4

lị xo tỉ lệ với thể tích khí: Do đó khi dãn khí (pít tơng từ AABB) lực đàn hồi của 0 V

Fdh = k.x = k VS Và p1-2 = S 2 k V

Trên đoạn này thể tích khí tăng từ V1 = 2.10-4m3 đến V2 = 4.10-4m3.

Áp suất khí tăng từ p1 = kS 2 V1 = 2.103 pa đến p2 = kS 2 V2 = 4. 103 pa.

Sau khi đáy lò xo dịch chuyển từ CC đến DD, lực đàn hồi của lò xo giảm đi. Do đó
khi làm lạnh bình trụ khí bắt đầu bị nén không phải ngay lập tức mà chỉ sau khi áp suất
khí lên pít tơng giảm sao cho áp lực của khí trở nên bằng lực đàn hồi của lị xo. Điều đó

xảy ra khi p3  10 3 10 0,3 pa 3.103 pa

Khi làm lạnh tiếp khí sẽ bị nén và áp suất sẽ thay đổi theo biểu thức

14

Chuyên đề nhiệt học

p3 4  S 2 k (V  V0 )

trong đó V0 là thể tích khí khi lị xo ở DD khơng giãn được nữa:
V0 0,1.10 3 m3 1.104 m3

Như vậy: p4  kS (V1  V0 ) 1.103 pa

Sau khi đáy lò xo được dịch chuyển ngược trở lại từ vị trí DD về vị trí CC lực đàn
hồi tăng lên. Vì thế khi làm nóng tiếp khí chỉ bắt đầu giãn từ thời điểm khi áp lực khí
tăng đến giá trị của lực đàn hồi. Điều đó xảy ra khi p = p1= 2.103 Pa.

Nếu tiếp tục quá trình sẽ lặp lại. Cơng của chất khí sau một chu trình có thể tìm
theo diện tích của hình bình hành trên hình vẽ: A = 0,2 Pa.m3 = 0,2 J

Khi nhân được nhiệt trên đoạn 1-2 và 4-1, do đó khí là khí đơn ngun tử nên ta
tìm được:

Q Q1  Q2 A1 2  U1 2  U 41

P1  P2 2 (V2  V1 )  32 R(T2  T1 )  32 R(T1  T4 )
P1  P2 2 (V2  V1 )  32 (P2V2  P4V4 )
2,7J

Vậy hiệu suất của động cơ này bằng QA 100% =7,4%

Bài 9. (Đề thi chọn đội tuyển dự IphO năm 2008). Một bình trụ kín, thẳng đứng, được
chia làm hai ngăn bằng một vách ngăn di động có trọng lượng đáng kể. Nhiệt độ của cả
hệ là T, vách ngăn ở vị trí cân bằng, khí ở ngăn trên (kí hiệu là ngăn B), áp suất khí ở
ngăn dưới là 20 kPa.

1. Lật ngược bình hình trụ, để cho bình thẳng đứng, ngăn B ở trên, ngăn A ở dưới.
Tính áp suất và thể tích khí trong ngăn A sau khi nhiệt độ trở về T và cân bằng
được thiết lập.

2. Sau khi lật ngược bình như ở ý 1 của câu này thì phải làm cho nhiệt độ của hệ
biến đổi như thế nào, thể tích của ngăn A và của ngăn B bằng nhau.

3. Tính tổng nhiệt lượng cần truyền cho khí trong cả hai ngăn để thực hiện biến đổi
như ý 2. Biết rằng khí trong cả hai ngăn đều là lưỡng nguyên tử và thể tích ban
đầu của ngăn B là V = 0,1 lít.

4. Sau khi thay đổi nhiệt độ như ý 2, dùng tác động từ bên ngồi (ví dụ dùng từ
trường mạnh tác dụng lên vách ngăn có từ tính) kích thích để vách ngăn dao
động nhỏ quanh vị trí cân bằng. Tính tần số dao động. Có thể coi khí trong từng
ngăn biến đổi đoạn nhiệt khi vách ngăn dao động. Biết chiều cao của cột không
khí trong vách ngăn khi cân bằng là 20 cm, g = 9,8 m/s.

Lời giải:

15

Chuyên đề nhiệt học

1. Áp dụng định luật Bôilơ - Mariốt cho khí ở vách ngăn A, và cho khí ở ngăn B

(như hình vẽ)

30V = ( p + 10)(4V - V) (1)

20 V = p V (2)

Khử V’ trong hệ (1) và (2), ta có :

30V = ( p + 10) ( 4V - ) T T T
 2 p - 5 p - 100 = 0 (3)
(B)
Giải (3) và lấy nghiệm dương ta được: (A) (B)

p = ≈ 8,43 (kPa)

V = ≈ 2,37 V p; V p; 2V
Áp suất trong ngăn A là: 10; 3V
(kPa)
p + 10 = 18,43

Thể tích của ngăn A là : p + 10

4V - V = 1.63 V. h2ai0n; gVăn P + 10 2V
nha4uVv-àVbằng áp dụng
2. Gọi T là nhiệt độ mà tại đó thể tích của bằng (A) 2V, (A)
PTTT lần lượt cho khí trong ngăn A và B, ta có :(B)

= (4) H.1 H.2 H.3

= (5)

Từ (4) và (5) ta có: =  p = 20 (kPa)

Thay p vào (5) ta được:

T = 2T

Vậy phải tăng nhiệt độ tuyệt đối của hệ lên gấp đôi.

3. Nhiệt lượng Q mà khí nhận được sẽ là

Q = ΔU + AU + A

ΔU + AU = (n + n)C ΔU + AT = ( + ) RΔU + AT hp
= 12,5 (J)

A = 10 (2,37V - 2V) = 3700 V = 0,37 (J)

4. Lấy trục Oz thẳng đứng, hướng lên trên, Nên: Q = 12,87 (J) dh O

gốc O ứng với vị trí cân bằng của vách ngăn hp
(đáy dưới).

Xét tại một thời điểm, độ dời của vách ngăn

là dh. Toạ độ của đáy vách ngăn là z = dh S
Biến thiên áp suất ở hai ngăn tác dụng lên vách ngăn là hai lực cùng chiều Sdp và Sdp

F = S(dp + dp)

Coi quá trình biến đổi của khí trong từng ngăn là đoạn nhiệt thuận nghịch

ph = const  +  = 0  dp = - p

Tương tự:

p h = const  dp = - p

F = - (p + p) S = -  (p + p) S

Gọi M là khối lượng của vách ngăn: F = M z

Mặt khác Mg = S.10

Suy ra:  = = = 18,53 (rad.s)

Tần số dao động là:

f = = 3 (Hz)

Bài 10. 1. Một mol khí lí tưởng biến thiên từ nhiệt độ T và thể tích V đến T, V. Chứng

minh độ biến thiên entropy của khí là:

S = Cln + Rln

16

Chuyên đề nhiệt học

2. Một chất khí lí tưởng giãn nở đoạn nhiệt từ (p, V) đến (p, V). Sau đó được
nén đẳng áp đến )p, V). Cuối cùng áp suất tăng tới p ở thể tích V. Chứng minh răng hiệu
suất của chu trình là:
p
 1   V2  1 / p1  1 với  = A
 V1   p2 
p
Lời giải:
B
1. Từ dS = (dU+pdV) = (C dT +pdV) C
Và pV = RT

Ta được S = Cln + Rln

2. Chu trình biến đổi trạng thái của chất khí trên đồ thị trêpn
Cơng hệ thực hiện trong chu trình là

A = pdV  pdV  p2 (V1  V2 )
AB

Xét quá trình AB: pdV  CV dT  CV (T2  T1 )  1 ( p2VV2  p1V1V) V
1 
AB AB

Với pV = nkT và C = C + R

Chất khí nhận nhiệt trong giai đoạn CA:

Q = TdS  CV dT CV (T1  T2 )  1 V1 ( p2  p1 )
CA CA 1 

Hiệu suất của động cơ là:

  A 1   V2  1 / p1  1Q
 V1   p2 

Bài 11. (Đề thi chọn đội tuyển IphO năm 2005). Một xilanh nằm ngang có dạng hình

hộp, chiều dài 2ℓ và tiết diện ngang hình vuông cạnh a. Xilanh được chia làm hai phần

bởi vách ngăn S (có bề dày và khối lượng khơng đáng kể), có thể dịch chuyển khơng ma

sát dọc theo xilanh. Thành xilanh và vách ngăn làm bằng vật liệu

cách nhiệt. Phần bên trai của xilanh chứa một

lượng thuỷ ngân, phía trên có lỗ nhỏ A thơng A S
V
với khí quyển bên ngồi. Phần bên phải xilanh

chứa một khối khí lưỡng nguyên tử. Khi hệ a

cân bằng thì vách ngăn S nằm ngay chính giữa Hg

xilanh, thuỷ ngân chiếm một nửa thể tích phần

bên trái và khối khí có nhiệt độ T (hình vẽ). 2ℓ

1. Tính áp suất của khối khí lên vách ngăn.

2. Nung nóng khối khí (nhờ một dây điện được đưa trước vào phần bên phải của

xilanh. (Vách ngăn bắt đầu dịch chuyển sang bên trái. Thiết lập hệ thức giữa áp

suất p và thể tích V của khối khí trong q trình dịch chuyển của S.

3. Vách ngăn S vừa chạm vào thành bên trái của xilanh, hãy xác định:

a. Nhiệt độ của khối khí đó

b. Cơng tổng cộng mà khối khí thực hiện.

c. Nhiệt lượng tổng cộng đã cung cấp cho khối khí.

Lời giải:

1. Gọi dH là áp lực của thuỷ ngân có độ cao dh tác dụng lên S:

dF = (p + ρgh) adhgh) adh  F = dF = p a + ρgh) adhga

Áp lực của khí quyển tác dụng lên nửa còng lại của vách ngăn:

F= pa

17

Chuyên đề nhiệt học

Áp lực toàn phần tác dụng lên phía trái của S:

F = F + F = p a + ρgh) adhga

Áp lực này cân bằng với áp lực của khối khí tác dụng lên mặt phải của S, vì vậy áp suất

khối khí là:

p = = p + ρgh) adhga = 1,029. 10 (Pa)

2. Khi vách ngăn dịch chuyển sang bên trái một

đoạn x sao cho 0 ≤ x ≤ thì thuỷ ngân có độ x

cao b. Thể tích khối khí bây giờ là: A S
V
V = (1 + x) a  x = - 1 a

- Nếu 0 ≤ x ≤ thì thuỷ ngân chưa trào ra Hg
ℓ
ngoài theo lỗ A nên: b
2ℓ
= (1 - x)ab  b = =

Trong đó V = aℓ . Do đó tương tự như trên ta có:

p(V) = p + ρgh) adhga .

- Nếu ≤ x ≤ 1 tức là V ≤ V ≤ 2 V thì thuỷ ngân trào ra ngồi và trong q trình đó:

p(V) = p + ρgh) adhga

Trong quá trình Hg trào ra ngồi p(V) khơng đổi.

Thay số:

- Nếu V ≤ V ≤ V hay 2lít ≤ V ≤ 3lít thì:

p(V) = (kPa) (V tính ra lít; V = 2lít).

- Nếu V ≤ V ≤ 2V hay 3lít ≤ V ≤ 4lít, thì:

p(V) = p + ρgh) adhga = 108 (kPa)

3. a. Nhiệt độ của khối khí:
=  T = T = 2T = 629,74 K = 356,6 C.

b. Cơng tổng cộng mà khối khí thực hiện.
Cơng khối khí dùng để đẩy lượng khơng khí ở phần bên trái xilanh ra ngoài:

A = p ΔU + AV = p V
Cơng để đưa tồn bộ khối thuỷ ngân trào qua lỗ A:

A = mg ΔU + Ah = ρgh) adhga V
Cơng mà khối khí thực hiện:

A = A + A = V = 202, 41 (J)
c. Nhiệt lượng tổng cộng đã cung cấp cho khối khí

Độ tăng nội năng của khí:

ΔU + AU = nCΔU + AT = pV - pV = V = 565 (J)

Nhiệt lượng cung cấp cho khối khí:

Q = ΔU + AU + A = 767 (J)

Bài 12. Một mol khí trong xilanh có chỉ số đoạn nhiệt  xác định, xilanh và pit tông cách

nhiệt, pit tông có thể chuyển động khơng ma sát. Bên ngồi khơng khí có áp suất p. Tại

một thời điểm nào đó người ta tăng hoặc giảm áp suất bên ngoài một lượng p một cách

đột ngột (điều này có thể thực hiện được bằng cách thêm hoặc bớt một phần tải trọng lên

pit tơng). Tính thể tích khí sau khi cân bằng được thiết lập. Biết ban đầu khí có T, V.

Lời giải:

Khí ban đầu: p, V, T

Khí lúc sau: p = p + p , V, T

Theo phương trình trạng thái: = (1)

Do xilanh cách nhiệt: A = -A

18

Chuyên đề nhiệt học

Q =0  A + U = 0  pV + nCT = 0  p (V - V) + nCT = 0 (2)

 == (3)

Giải hệ phương trình

pV + nCT = pV  pV + nC T = pV
pV - . T = pV (nC + ) T = (p - p)V

 V = pV - nC = pV -
= (p + p)V - = .

Bài 13. Một xilanh kín hai đầu ngăn cách nhau bởi một pitong cách nhiệt. Phần bên trái
chứa n mol khí đơn nguyên tử (xem là khí lý tưởng) ở áp suất po, thể tích Vo và nhiệt độ
To, phần bên phải chứa 2n mol của cùng một loại khí trên ở thể tích V o và nhiệt độ .
Pittong có khối lượng m = 10kg, tiết diện S có thể chuyển động khơng ma sát. Phần khí
bên phải có một lị xo có độ cứng k nối pittong với thành bên phải của bình. Bỏ qua sự lọt
khí ở các mặt tiếp xúc, khối lượng lò xo, nhiệt dung của bình chứa và pittong. Hệ nằm
cân bằng và pittong khơng bị nén hay dãn.

1. Hãy tìm tần số dao động của pittong khi nó bị làm lệch khỏi VTCB một đoạn nhỏ.

2. Bây giờ pittong bị đẩy xuống dưới đến khi thể tích khí cịn một nửa, rồi được thả ra
khơng vận tốc đầu. Hãy tìm các giá trị của thể tích khí lúc vận tốc của pittong là

gV0 . Cho độ cứng k mgS . Mọi q trình trong chất khí đều là đoạn nhiệt. R =
3S Vo

8,31J/mol.K;  = 5/3. x

Lời giải: )) k
1. Phương trình chuyển động khi pitong dịch chuyển
một đoạn x từ VTCB: pS pS

mx’’ = - kx - pS + p S (1)
Với p và p lần lượt là áp suất của khí trong phần bên
chứa lị xo và phần chỉ chứa khơng khí

p = = = p(1+ )

p0V0 Sx
p =   p0 (1   )
(V0  Sx) V0

mx’’ = -kx - p(1+ ) + p(1-  ) = -kx - 2p = - (k + 2p ) x (2)

Với pV = nRT  p = (3)

Từ (2) và (3), ta được: mx’’ = -(k + 2  )x

Vậy pitong dao động điều hòa với tần số

 = k  2 nRT0  S (4)

V0 V0

2. Công thực hiện bởi phần khí bên trái khi thể tích tăng từ V đến V

V V p0V0 p0V0 1     2V0 1  

W = pdV    dV  V     (5)
2V 0 2V0 V 1     3  
3 3

Cơng thực hiện bởi phần khí bên phải khi thể tích giảm từ V dến V - V

  2V0  V 2V0  V p0V0 p0V0 1   1 
W = pdV    dV  1  (V0  V )  2V0  V  (6)
4V0 V
4V 0 3 3

19

Chuyên đề nhiệt học

Sự thay đổi thế năng của lò xo:

  2V  2 
 2  2V0  
1   2V0  V  
3 
W = kx - kx = 2 k  S    S   (7)
   
   
 

Động năng : W = mv = m (8)

Theo đinh luật bảo toàn năng lượng

W + W = W + W (9)

Giải hệ (5), (6), (7), (8), (9) ta thu được kết quả. p 5

4p 6

Bài 14: Trên hình vẽ hai chu trình kín nhiệt động

lực học diễn ra với khí lí tưởng đơn nguyên tử: 1 2

 2  3  4  1 và 1  5  6  4  1. Chu 2p 3

trình nào có hiệu suất có ích lớn hơn và lớn hơn p1 4

bao nhiêu lần.

Lời giải: O V 2V V

Hiệu suất của chu trình bằng tỉ số cơng thực hiện bởi khí và nhiệt lượng truyền cho

khí trong một chu trình. Cơng bằng diện tích hình giới hạn bởi đồ thị của chu trình.

Với chu trình đầu:

A = (2p - p) (2 V - V) = pV

Khí nhận nhiệt trong giai đoạn 1  2 và 2  3 và sinh công trên đoạn 2  3:

Q = Q + Q = U + U + A = U + A’

U = nC(T - T) = nR(T - T) = nR ( 4 P0 V0 - P0 V0 ) = pV
VR VR

A’ = 2p V

 Q = pV

Với chu trình thứ hai:

A = (4p - p) (2V - V) = 3 pV

Tương tự trong quá trình 1  5  6  4  1 khí nhận nhiệt trong giai đoạn 1  5

và 5  6, sinh công trên đoạn 5  6.

A’ = 4 pV

Q= pV

Hiệu suất của chu trình:   A' Q , ta được:

1  2 ,2  6 , 1 0,74
13 29 2

20