bài tập ôn học sinh giỏi môn toán lớp 9 tham khảo (6)

đại số 9
dãy số có quy luật
*******************
Chú ý : Có bốn cách thông thờng để làm loại toán này
- Cách 1 : Truy toán
- Cách 2 : Phân tích đánh giá số hạng tổng quát
- Cách 3 : Dùng quy nạp toán học
- Cách 4 : Đa về tính ngiệm của một phơng trình
- Cách 5 : Vận dụng tổng hợp các cách đã học
-
Ví dụ 1 : Cho
2 2 2 2A
= + + + +
có 100 dấu căn
Chứng minh A không phải là một số tự nhiên
Giải :
Dễ tháy A > 1 .Sau đây ta chứng minh A < 2
Thật vậy
2 2
+
<
2 2 4 2
+ = =

2 2 2
+ +
<
2 2 4 2
+ = =

2 2 2 2A
= + + + +
<
2 2 4 2
+ = =

Do vậy ta có 1 < A < 2 , chứng tỏ A N ( dpcm )
Cách giải này thờng đợc gọi là truy toán
Ví dụ 2 : Rút gọn dẫy tính sau
1 1 1 1

1 2 2 3 3 4 1n n
+ + + +
+ + + +
Với n là số tự nhiên lớn hơn 1
Giải :
Xét số hạng tổng quát
1 1 1
1
1
1 1
n n
n n
n n
n n n n

= = =
+
+ +
Vậy :

1 1 1 1

1 2 2 3 3 4 1n n
+ + + +
+ + + +

Trang 2
=
( 2 1) ( 3 2) ( 4 3) ( 1)n n
+ + + +
=
1n


Nh vậy cứ cho n một giá trị cụ thể ta lại đợc một bài toán
Cách giải này gọi là cách phân tích đánh giá số hạng tổng quát
Ví dụ 3 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n ta đều có
1 1 1 1 1

2 1 3 2 4 3 5 4 ( 1)n n
+ + + +
+
< 2
Giải :
Xét số hạng tổng quát ta có :

1 1 1 1 1 1 1
( 1) 1
( 1) 1 1
n

n n
n n n n
n n n n n n


= = = +
ữ
ữ ữ
+ +
+ + +



<
1 1 1 1 2 1 1
.
1 1
n n
n n n n n n n

+ =
ữ ữ ữ
+ +

=
=
2 2
1n n

+

. Từ đây tiếp tục giải bài toán dễ dàng
Ví dụ 4 : Tính giá trị của biểu thức
5 13 5 13 5 13 B
= + + + + + +
Trong đó các dấu chấm có nghĩa là lặp đi lặp lại cách viết căn thức có chứa 5 và 13 một cách vô hạn lần
Giải :
Nhận xét B > 2
Ta thấy :
2
5 13 5 13 5 13 B
= + + + + + +
( B
2
5 )
2
= 13 + B
B
4
10 B
2
+ 25 = 13 + B
B
4
10 B
2
B + 12 = 0
B
4
9 B
2

B
2
+ 9 B + 3 = 0
B
2
( B 3 )( B + 3 ) ( B 3)( B + 3) ( B 3) = 0
( B 3)[ B
2
( B + 3) ( B + 3) 1 ] = 0
( B 3)[ ( B + 3)( B
2
1 ) 1 ] = 0
Vì B > 2 nên B
2
1 > 3 và B + 3 > 4 nên ( B + 3)( B
2
1) 1 > 11
do đó B 3 = 0 . Vậy B = 3
Trang 3
Cách giải của ví dụ 4 gọi là đa về tính ngiệm của một phơng trình
Ví dụ 5 : Tính giá trị của biểu thức

2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
1 2 2 3 3 4 99 100
C
= + + + + + + + + + + + +
Giải :
Xét số hạng tổng quát :

2 2
1 1
1
( 1)k k
+ +
+
với k là số nguyên dơng , ta có :
2 2
2
2 2
1 1 1 1
1 1
( 1) 1k k k k

+ + = + + =
ữ ữ
+ +


2 2
2
1 1 1 1 1 1
1 2 1. 2 2 1
1 1 1k k k k k k

= + + +
ữ ữ ữ ữ ữ ữ
+ + +

Vì :

1 1 1 1 1 1
2 1. 2 . 2 1 2. 0
1 1 ( 1)
k k
k k k k k k

+

= =
ữ
ữ ữ ữ
+ + +



Vậy :
2
2 2
1 1 1 1
1 1
( 1) ( 1)k k k k

+ + = +
ữ
+ +

Nên :
2 2
1 1 1 1 1 1
1 1 1

( 1) ( 1) 1k k k k k k
+ + = + = +
+ + +
áp dung vào bài
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
1 2 2 3 3 4 99 100
C

= + + + + + + + +
ữ ữ ữ ữ


1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
99 100 99,99
1 2 2 3 3 4 4 99 100 100
= + + + + + = =
Ví dụ 6 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n ta đều có
4 4 4 4
+ + + +
< 3
Giải :
Ta chứng minh bằng quy nạp toán học
Với n = 1 ta có D
1
=
4 2
=
< 3 Đúng
Trang 4

Giả sử bài toán đúng với n = k , tức là ta có :
4 4 4 4
k
k
B
= + + + +
1 4 4 44 2 4 4 4 43
< 3 là đúng
Ta c/m bài toán cũng đúng với n = k + 1
1
1
4 4 4 4
k
k
B
+
+
= + + + +
1 4 4 442 4 4 4 43
=
4
k
B
+
Vì B
k
< 3 ( Giả thiết quy nạp ) , nên B
k+1
=
4

k
B
+
<
4 3
+
< 3
Vậy bài toán đúng với n = k + 1 . Do đó bài toán đúng với mọi n
Ví dụ 7 : Cho biểu thức
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
A
+ + + +
=
+ + + +

ở đó trên tử có 100 dấu căn , dới mẫu có 99 dấu căn .
Chứng minh A >
1
4
Giải :
Đặt :
2 2 2 2
n
a
= + + + +
có biểu thức có n dấu căn
Ta có :
2
1

2
n n
a a

= +

2
1
2
n n
a a

=
và
100
99
2
2
a
A
a

=


Vậy :
( ) ( )
100 100 100
2 2
100 100 100 100 100

2 2 2
1
2 ( 2) 4 2 2 2
a a a
A
a a a a a

= = = =
+ +
Sau đây ta c/m
100
a
< 2 bằng truy toán
Ta có
1
2a =
< 2 đúng
2 1
2 2 2a a
= + = +
<
2 2 4 2
+ = =

3 2
2 2 2 2a a
= + + = +
<
2 2 4 2
+ = =

100 99
2a a
= +
< 2
Trang 5
Vậy :
100
2a
+
< 2 + 2 = 4 , nên :
100
1
2 a
+
>
1
4
Từ đó A >
1
4
( dpcm )
Bài toán trên đã giải bằng vận dụng tổng hợp các kiến thức đã học
Ví dụ 8 : Chứng minh rằng :
2 3 4 5 6 2003 2004
< 3
Giải :
Đặt :
( 1) ( 2) ( 1)
k

a k k k n n
= + +
Với n > k
và n và k là những số nguyên dơng . Ta chứng minh
1
k
a k
< +
Phản chứng :
Giả sử
1
k
a k
+
thì theo cách đặt trên ta có :

2
2
1 1 1
. .
k
k k k k k
a
a k a a k a a
k
+ + +
= = =
mà
2 2
( 1)

k
a k
+
nên
2
2 2 2
1
( 1) 2 1 2
2
k
k
a
k k k k k
a k
k k k k
+
+ + + +
= = > = +
với mọi số nguyên dơng k , tức là
2002 2003 2003
>
phải đúng . điều này vô lý . Vậy
1
k
a k
+
là sai . Vậy
1
k
a k

< +
là đúng .
Do đó
2
3a
<
. Ta có điều phải chứng minh .
Ví dụ 9 : Tìm ngiệm tự nhiên của phơng trình
2 2 2 2 2 3x x x x x x x
+ + + + + + =
Giải :
Dễ thấy x = 0 là một ngiệm
Nếu x = 1 , ta có :
1 2 1 2 1 2 1 2 3.1 1 2 3 1
+ + + + + > + = >
Vậy x = 1 không phải là ngiệm của phơng trình
Nếu x = 2 , ta có :
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 2 2 2
+ + + + + + > + =
Vậy x = 2 không phải là ngiệm của phơng trình
Nếu x = 3 , xét căn trong cùng ta có :

2 2 3x x
+
do x = 3 nên
2 2 3 2 3 2 3.3 2 9 6x x
+ = + = =
Căn tiếp theo sẽ là :
2 2 2 3 2 3 2 3 2 3.3 2 3 6 6x x x
+ + = + + = + =

và quá trình nh vậy cứ lặp lại cho đến căn ngoài cùng , ta có :
3 2.3 3
+ =
đúng . Vậy x = 3 là một ngiệm của phơng trình
Nếu x > 3 , thì
2
2 2 2 2 2 3
2 2 2 2 2 3
x x x x x x x
x x x x x x x
+ + + + + + =
= + + + + + +
x
2
= x + 2x
x
2
3x = 0
x = 0 hoặc x = 3
Nhng do x > 3 nên trong trờng hợp này phơng trình vô ngiệm
Vậy phơng trình chỉ có hai ngiệm là 0 và 3
Bài tập luyện tập
dãy tính có quy luật
Bài 1 : Tính giá trị các biểu thức sau
a )
2 2 2 2 A
= + + + +
vô hạn dấu căn
b )
6 6 6 6 B = + + + +

vô hạn dấu căn
Bài 2 : Chứng minh rằng :
a )
6 6 6 6 3
n
C
= + + + + <
1 4 4 442 4 4 4 43
b )
3
3
3
3
6 6 6 6 2
n
D
= + + + + <
1 4 4 44 2 4 4 4 43
Bài tập 3 : Dùng quy nạp toán học chứng minh rằng :
2 2 2 2
1
n
n
T a a a a a
= + + + + +
1 4 4 4 44 2 4 4 4 4 43
; Với n Z
+
Bài tập 4 : Chứng minh rằng

1 1 1 1
1
2 1 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 ( 1) 1n n n n
+ + + + <
+ + + + + +
với mọi số nguyen dơng n
Bài 5 : Chứng minh rằng với mọi n nguyên dơng và n > 1 , ta đều có

1 1 1 1
2 3 2 2
2 3 4
n n
n
< + + + + <
Bài 6 : Rút gọn các biểu thức sau
a )
1 1 1 1

1 4 4 7 7 10 97 100
A
= + + + +
+ + + +
b )
1 1 1 1

2 3 3 4 4 5 100 101
B
= + +

Bài 7 : Chứng minh rằng

1 1 1 1 1
1
2 3 4 5 100
S
= + + + + + +
không phải là một số tự nhiên .
Trang 8
Bài 8 : Dùng quy nạp toán học chứng minh rằng :
1 1 1 1 1

1 2 3 4
n
n
+ + + + +
, với mọi n Z
+
Bài 9 : Cho 100 số :
1 2 3 4 100
, , , , ,a a a a a
là 100 số tự nhiên sao
cho ta có :
1 2 3 4 100
1 1 1 1 1
20
a a a a a
+ + + + + =
Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai số bằng nhau
Bài 10 : Chứng minh bất đẳng thức

1 1 1 1 2001

2003
3(1 2) 5( 2 3) 7( 3 4) 4003( 2001 2002)
+ + + + <
+ + + +
Bài 11 : Chứng minh rằng :

2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1

1 2 2 3 3 4 2002 2003 2
+ + + + <
+ + + +
Bài 12 : Chứng minh rằng :

2
2
3 8 15 1

4 9 16
n
n

+ + + +
, n N và n > 1 không phải là
một số nguyên .
Bài 13 : a ) Chng minh rằng n Z
+
ta đều có

1
1 1
1 1
( 1)
n
n
n n n
+
+
< < +
+
b ) áp dụng chứng minh

3 5
2008
4
3 4 5 2008
2007 2 2008
2 3 4 2007
< + + + + + <
Bài 14 : Tìm ngiệm nguyên của phơng trình

y
x x x x x z
+ + + + + =
1 4 4 4 442 4 4 4 4 43
vế trái có y dấu căn