BTL Giải Tích 2 Định nghĩa và ý nghĩa của Trường vecto, gradient, div, curlrot và bài tập ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
----------------

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MƠN GIẢI TÍCH 2

Đề tài: 5 Nhóm: 5

GVHD: ThS Nguyễn Hữu Hiệp

Sinh viên thực hiện MSSV Nhiệm vụ % Mức độ hoàn
thành
Nguyễn Thị Thuy Vy 2015120 Câu 2 100%
Tổng hợp Word 100%
Trần Ngọc Thùy Trinh 2115076 Câu 3: 20, 35, 36, 37, 17 100%
100%
Võ Ngọc Yến Xuân 2112720 phần 15.1 100%
Câu 3: 18, 19 phần 15.1 0%
Trần Tuấn Đức 2252169 0%
Chuẩn bị PPT
Lê Đông Hải 2210886 Câu 1
Ngô Quang Tùng 2112614
Chuẩn bị PPT
Nguyễn Minh Trí 2251055 Câu 3: 1, 2 phần 15.1

Câu 2
Không tham gia

Không tham gia

Thành phố Hồ Chí Minh – 2023

1

MỤC LỤC
I. Định nghĩa và ý nghĩa của trường véc-tơ................................................. 3

1. Định nghĩa trường véc-tơ: ........................................................................ 3
2. Ý nghĩa trường véc-tơ .............................................................................. 5
3. Các nội dung của trường véc-tơ: .............................................................. 6

3.1. Đường dòng........................................................................................ 6
3.2. Dive .................................................................................................... 6
3.3. Rota .................................................................................................... 7
3.4. Trường thế .......................................................................................... 7
3.5. Toán tử Hamilton ............................................................................... 8
4. Cách vẽ trường vecto thủ công:................................................................ 8
5. Cách vẽ trường vecto bằng phần mềm máy tính: ................................... 12
1. Sử dụng phần mềm Python: ................................................................ 12
2. Sử dụng phần mềm JavaScript: ........................................................... 12
3. Sử dụng phần mềm Matlab: ................................................................ 12
II. Định nghĩa và ý nghĩa của Gradient, Div, Curl/rot............................. 13
1. Gradient của hàm nhiều biến ................................................................ 13
2. Divergence của trường vecto................................................................ 13
3. Curl/Rot của trường vecto .................................................................... 13
III. Bài tập.................................................................................................... 14
1–2 Match the vector field F(x, y) with one of the plots, and explain your
reasoning. ................................................................................................... 14

2

I. Định nghĩa và ý nghĩa của trường véc-tơ
1. Định nghĩa trường véc-tơ:
Dẫn dắt:
• Theo định luật Vạn vật hấp dẫn của Newton: Trái Đất tác dụng

lực hấp dẫn lên một điểm vật chất, hướng về tâm Trái Đất, độ
lớn tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách đến tâm Trái
Đất. Vậy thì các vụn thiên thạch ngồi vũ trụ bị hút vào tâm
Trái Đất và được biểu diễn như hình. Sự liên kết của vecto lực
- các vụn thiên thạch bằng trường hấp dẫn của Trái Đất.

• Một dịng sông đang chảy, xét tại một khu vực xác định,
ở mỗi khúc sẽ có các vận tốc (độ lớn + hướng) khác nhau tùy
vào địa hình. Ta biểu diễn chuyển động của các giọt nước
bằng các vecto. Sự liên kết của vecto lực - các giọt nước =
trường vận tốc của dịng chảy.

Các véc-tơ trong Hình 1 là các véc-tơ vận tốc khơng khí chỉ ra tốc độ và hướng gió tại các điểm
10 m độ cao so với bề mặt ở khu vực vịnh San Francisco. Chúng ta thấy các mũi tên lớn nhất
trong phần (a) rằng tốc độ gió lớn nhất tại thời điểm gió vào vịnh qua cầu Golden Gate. Phần
(b) cho thấy mơ hình gió rất khác nhau 12 giờ trước đó. Liên quan đến tất cả các điểm trong
khơng khí chúng ta có thể tưởng tượng một véc tơ vận tốc gió. Đây là một ví dụ về trường véc
tơ vận tốc.

3

Những ví dụ khác về trường véc tơ vận tốc được minh họa trong Hình 2: các dịng hải lưu và
dòng chảy qua một cánh máy bay.

Như vậy, hiểu theo cách toán học, một trường véc-tơ là một hàm mà miền xác định của nó

là tập các điểm trong R2 (hoặc R3) và miền giá trị của nó là tập các véc-tơ trong R2 (hoặc
R3).
Định nghĩa trường véc-tơ 2 chiều: Giả sử D là tập R2 là tập trong R2 (miền phẳng). Một
trường véc-tơ trên R2 là một hàm F cho tương ứng mỗi điểm (x,y) trong D với véc-tơ hai
chiều F(x,y).
Cách tốt nhất để minh họa bằng hình ảnh một trường véc-tơ là vẽ các mũi tên biểu thị véc-
tơ F(x,y) bắt đầu tại điểm (x,y). Tất nhiên, không thể làm điều này cho tất cả các điểm,
nhưng chúng ta có thể đạt được một cảm giác hợp lý của F bằng cách thực hiện nó cho một
vài điểm đại diện trong D (hình). Bởi vì F(x,y) là một véc-tơ hai chiều, chúng ta có thể viết
nó qua các hàm thành phần của nó, P và Q, như sau:

𝑭 (𝒙, 𝒚) = 𝑷(𝒙, 𝒚)𝒊 + 𝑸(𝒙, 𝒚)𝒋 = (𝑷(𝒙, 𝒚), 𝑸(𝒙, 𝒚))
hoặc ngắn gọn,

𝑭 = 𝑷𝒊 + 𝑸𝒑
Chú ý rằng P và Q là các hàm vô hướng cùa hai biến và đôi khi được gọi là trường vô
hướng để phân biệt chúng với trường véc-tơ.
Định nghĩa trường véc-tơ 3 chiều: Giả sử E là tập con của R3. Một trường véc-tơ trên R3
là một hàm F cho tương ứng mỗi điểm (x,y,z) trong E với véc-tơ ba chiều F(x,y,z).
Một trường véc-tơ trên R3 được minh họa bằng hình ảnh trong Hình 4. Chúng ta có thể
biểu diễn nó qua các hàm thành phần của nó là P, Q và R như sau:

𝑭 (𝒙, 𝒚) = 𝑷(𝒙, 𝒚)𝒊 + 𝑸(𝒙, 𝒚)𝒋 + 𝑹(𝒙, 𝒚)𝒌 = (𝑷(𝒙, 𝒚), 𝑸(𝒙, 𝒚), 𝑹(𝒙, 𝒚))

4

hoặc ngắn gọn,

𝑭 = 𝑷𝒊 + 𝑸𝒑 + 𝑹𝒌

Định nghĩa trường véc-tơ theo sách CET10:

Trường vectơ trong mặt phẳng là một hàm liên kết với mỗi điểm P trong mặt phẳng một
vectơ duy nhất F(P) song song với mặt phẳng. Tương tự, một trường vectơ trong không
gian 3 chiều là một hàm liên kết với điểm cách P trong không gian 3 chiều một vectơ duy
nhất F(P) từ 3 điểm xác định.

2. Ý nghĩa trường véc-tơ

Các trường vectơ thường được dùng trong vật lý để miêu tả, ví dụ, tốc độ và hướng của
một chất lưu trong không gian, hoặc độ lớn và hướng của một lực nào đó, như lực từ hay
lực hấp dẫn, khi nó thay đổi tùy thuộc vào vị trí (dịng chất lỏng, dịng chất khí, dịng điện,
cơn gió…)

Dùng trong địa lý để miêu tả tốc độ và hướng của một dịng hải lưu, dịng khí trên Trái Đất,
độ lớn và hướng cong của một dòng vật chất chuyển động nào đó.

Dùng trong Tốn học, giải các bài tốn từ dễ đến khó trong nhiều nội dung. Ví dụ về các
bài tốn tính tích phân, vi phân, tính tốn trong khơng gian 3 chiều; đưa các bài tốn hình
học 3 chiều vào hệ tọa độ; tính các góc tương đối giữa các đường và mặt; hoặc ta hình học
hóa các bài tốn đại số…

⇒ Trường vecto có ý nghĩa rất quan trọng. Nội dung này giúp ta nhìn trực quan hơn về
chuyển động của điểm vật chất, hoặc dòng vật chất, trong khoảng thời gian xác định trên
mặt phẳng. Thực vậy, ta khó có thể thực nghiệm được sự chuyển động, mơt số thậm chí
khơng thể xác định chuyển động bằng mắt. Nhưng ta có thể biểu diễn chuyển động bằng
cách ứng dụng trường vecto, kết hợp với các định lí, định luật, quy tắc về sự chuyển động
của vật chất.

5

3. Các nội dung của trường véc-tơ:
3.1. Đường dòng
Cho trường vector:

𝐹⃗ = 𝐹⃗𝑀 = 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑖⃗ + 𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑗⃗ + 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑘⃗⃗
Đường cong C ∈ R3 gọi là đường dòng của véc-tơ 𝐹𝑀 nếu tại mỗi điểm M trên đường cong
C, tiếp tuyến tại đó cùng phương với véc-tơ 𝐹𝑀.
Ví dụ, các đường sức trong từ trường hoặc điện trường là các đường dịng.

* Lưu ý:
1. Hệ phương trình vi phân của họ đường dòng của trường véc-tơ F là:

𝑥′(𝑡) 𝑦′(𝑡) 𝑧′(𝑡)
𝐹𝑥 = 𝐹𝑦 = 𝐹𝑧

hay,
𝑥′(𝑡)𝑑𝑡 𝑦′(𝑡)𝑑𝑡 𝑧′(𝑡)𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
𝐹𝑥 = 𝐹𝑦 = 𝐹𝑧 => 𝐹𝑥 = 𝐹𝑦 = 𝐹𝑧

2. Qua mỗi điểm của trường véc-tơ có duy nhất một đường dịng. Các đường dịng khơng
cắt nhau.
3.2. Dive
Cho trường véc-tơ

𝐹⃗ = 𝐹⃗𝑀 = 𝐹⃗(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐹𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑖⃗ + 𝐹𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑗⃗ + 𝐹𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧)
Tại mỗi điểm M(x,y,z) của trường, ta xét đại lượng vô hướng:

6

𝐹⃗ = 𝜕𝐹𝑥 + 𝜕𝐹𝑦 + 𝜕𝐹𝑧
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

Và gọi là Dive của trường 𝐹⃗ tại M, kí hiệu là: div𝐹⃗ .

⃗ 𝜕𝐹𝑥 𝜕𝐹𝑦 𝜕𝐹𝑧
div𝐹 = + + .
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

Như vậy,

⃗ 𝜕𝐹𝑥 𝜕𝐹𝑦 𝜕𝐹𝑧
div𝐹(𝑀0) = (𝑀0) + (𝑀0) + (𝑀0)
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

* Lưu ý:
Trường 𝐹⃗ là trường ống khi và chỉ khi div𝐹⃗ = 0, ∀𝑀 ∈ 𝑉.

3.3. Rota

Cho trường véc-tơ
𝐹⃗ = 𝐹⃗𝑀 = 𝐹⃗(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐹𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑖⃗ + 𝐹𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑗⃗ + 𝐹𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑘⃗⃗

Xét véc-tơ
𝑅⃗⃗⃗⃗ = 𝑅⃗⃗(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑅𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑖⃗ + 𝑅𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑗⃗ + 𝑅𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑘⃗⃗
với 𝑅𝑥 = 𝜕𝐹𝑧 𝜕𝑦 − 𝜕𝐹𝑦 𝜕𝑧 ; 𝑅𝑦 = 𝜕𝐹𝑥 𝜕𝑧 − 𝜕𝐹𝑧 𝜕𝑥 ; 𝑅𝑧 = 𝜕𝐹𝑦 𝜕𝑥 − 𝜕𝐹𝑥 𝜕𝑦

𝑅⃗⃗ được gọi là véc-tơ xoáy (rota) của trường 𝐹⃗, kí hiệu là: 𝑟⃗⃗⃗𝑜⃗⃗⃗𝑡⃗𝐹⃗

Như vậy,

𝑟⃗⃗⃗𝑜⃗⃗⃗𝑡⃗𝐹⃗ = (𝜕𝐹𝑧 − 𝜕𝐹𝑦) 𝑖⃗ + (𝜕𝐹𝑥 − 𝜕𝐹𝑧) 𝑗⃗ + (𝜕𝐹𝑦 − 𝜕𝐹𝑥) 𝑘⃗⃗* Lưu ý:
𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦

Với một dịng nước đang chảy tì trong đó sẽ có một điểm xốy 𝑀0 nếu 𝑟⃗⃗⃗𝑜⃗⃗⃗𝑡⃗𝐹⃗(𝑀0) ≠ 0

3.4. Trường thế

Cho trường véc-tơ
𝐹⃗ = 𝐹⃗𝑀 = 𝐹⃗(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐹𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑖⃗ + 𝐹𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑗⃗ + 𝐹𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑘⃗⃗

7

Nếu tồn tại hàm vô hướng 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) sao cho mọi điểm của V ta đều có 𝑔⃗⃗⃗⃗𝑟⃗⃗𝑎⃗⃗⃗𝑑⃗⃗𝑢 = 𝐹⃗
thì 𝐹⃗ được gọi là trường thế và 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) được gọi là hàm thế vị của trường 𝐹⃗.

* Lưu ý:
Trường 𝐹⃗ là trường thế khi và chỉ khi 𝑟⃗⃗⃗𝑜⃗⃗⃗𝑡⃗𝐹⃗(𝑀) = 0⃗⃗ , ∀𝑀 ∈ 𝑉.

3.5. Toán tử Hamilton

Toán tử Hamilton là “véc-tơ tượng trưng” ∇⃗⃗= 𝑖⃗ 𝜕 + 𝑗⃗ 𝜕 + 𝑘⃗⃗ 𝜕 .
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

* Lưu ý:
1. Nhân vơ hướng ∇⃗⃗ với chính nó ta được một đại lượng vô hướng 𝜕𝑥2 𝜕2 + 𝜕𝑦2 𝜕2 + 𝜕𝑧2 𝜕2
được gọi là tốn từ Laplace, kí hiệu là: ∆.
𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 𝜕2𝑢
∆𝑢 = 2 + 2 + 2 (∗)
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

2. Hàm 𝑢 thỏa mãn phương trình ∆𝑢 = 0 được gọi là hàm điều hòa.
3. Phương trình Laplace: (∗) = 0 có nghiệm là 1 hàm điều hịa.

4. Các hàm điều hịa có nhiều ứng dụng trong vật lý khi nghiên cứu sự truyền nhiệt,
sụ bức xạ nhiệt, từ trường, âm học….

5. Một trường véc-tơ được xác định bởi 1 hàm điều hịa thì gọi là trường điều hịa.

4. Cách vẽ trường vecto thủ cơng:

Bước 1: Chọn giá trị x,y bất kì. Sau đó thay vào hàm đầu bài, tính ra được một cặp x,y mới.

Bước 2: Nối 2 điểm được tạo ra từ 2 cặp x,y trên. Hướng mũi tên chỉ về hướng điểm x,y
mới sau tính tốn.

8

Bước 3: Thay thế cặp x,y bất kì khác. Làm lại như bước 1 và bước 2 để tạo nên nhiều véc-
tơ khác. Số lượng véc-tơ sẽ phụ thuộc vào độ phức tạp của trường (trường càng phức tạp
càng nên vẽ nhiều véc-tơ).

Bước 4: Dựa vào các véc-tơ để xác định xu hướng của trường véc-tơ theo hàm đã cho.

9

Hình mơ phỏng cho trường véc-tơ trên nếu vẽ có tính tốn các điểm

10

Thực hành thử

Hình mơ phỏng cho trường véc-tơ trên nếu vẽ có tính tốn các điểm

11

5. Cách vẽ trường vecto bằng phần mềm máy tính:
Tham khảo video:
1. Sử dụng phần mềm Python: />
2. Sử dụng phần mềm JavaScript:
/>
3. Sử dụng phần mềm Matlab: />
12

II. Định nghĩa và ý nghĩa của Gradient, Div, Curl/rot
1. Gradient của hàm nhiều biến

Nếu ta kết hợp các đạo hàm riêng lại thành một véc-tơ và tính đạo hàm theo véc-tơ đó thì ta
sẽ thu được đạo hàm tồn phần. Hay nói cách khác là đạo hàm theo tất cả các biến hay đạo
hàm theo véc-tơ hợp thành đó. Đạo hàm này được gọi là gradient của hàm theo véc-tơ tương
ứng.

* Định nghĩa: cho 𝑓 là một hàm ba biến. Khi đó Gradient của 𝑓 là 1 hàm vecto được xác
định bởi ∇𝑓

∇𝑓(𝑥, 𝑦) = 〈𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑓𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧)〉 = 𝜕𝑓 𝜕𝑥 i + 𝜕𝑓 𝜕𝑦 j +𝜕𝑓 𝜕𝑧 k

2. Divergence của trường vecto
* Định nghĩa: Cho 𝐹⃗ = 𝐹1𝑖 + 𝐹2𝑗 + 𝐹3𝑘 = 〈𝐹1, 𝐹2, 𝐹3〉 là trường vecto 3 chiều sao cho

𝜕𝑃 𝜕𝑄 𝜕𝑅 ⃗
tồn tại , , . Toán tử div biến trường vecto 𝐹 thành trường vô hướng.

𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

⃗⃗⃗⃗ 𝜕𝐹1 𝜕𝐹2 𝜕𝐹3
div 𝐹 = + +

𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

Nếu xem toán tử Gradient ( ∇) như là vecto hình thức; ∇= 𝜕 . 𝜕 . 𝜕

𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

Thì ta có thể viết ngắn gọn: div 𝐹⃗⃗⃗⃗ = ∇. 𝐹⃗ = 𝜕𝐹1 + 𝜕𝐹2 + 𝜕𝐹3

𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

* Ý nghĩa: Nghĩa là thông lượng của trường véctơ 𝐹⃗ qua phía ngồi mặt S bao miền V
bằng tổng độ phân kỳ tại tất cả các điểm trong miền V của trường véctơ. Theo ý nghĩa cơ
học của tích phân bội ba, suy ra div𝐹⃗ (x, y, z) chính là mật độ thơng lượng tại điểm
M(x,y,z) của trường. Từ ý nghĩa vật lý của trường vận tốc ta thấy thông lượng của trường
vận tốc qua mặt kín S ra phía ngồi là hiệu của lượng vật chất từ trong chảy ra và từ
ngoài vào qua S (chẳng hạn lượng nước). Nếu thông lượng Φ > 0 , từ ý nghĩa vật lý, cũng
như từ tính chất của tích phân ta thấy trong miền V bao bởi S phải có điểm nguồn. Chính
vì thế ta gọi M là điểm nguồn của trường nếu div𝐹⃗ (M ) > 0 , ngược lại nếu div𝐹⃗ (M ) < 0
thì M là điểm hút.

3. Curl/Rot của trường vecto
* Định nghĩa: Curl là một toán tử biến một trường vecto 3 𝐹⃗ = 𝐹1𝑖 + 𝐹2𝑗 + 𝐹3𝑘 =

〈𝐹1, 𝐹2, 𝐹3〉 chiều thành một trường vecto mới Curl 𝐹⃗ cũng 3 chiều, được cho bởi:

13

𝑖 𝑗𝑘

⃗ 𝜕𝜕𝜕
Curl 𝐹 = | 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 |

𝐹1 𝐹2 𝐹3

Nếu xem toán tử Gradient ( ∇) như là vecto hình thức; ∇= 𝜕 . 𝜕 . 𝜕

𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

𝑖 𝑗𝑘
Thì ta có thể viết ngắn gọn: Curl 𝐹⃗⃗⃗⃗ = ∇ × 𝐹⃗ = | 𝜕 𝜕 𝜕 |

𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

𝐹1 𝐹2 𝐹3

* Ý nghĩa: Từ ý nghĩa cơ học, ta thấy ∫ 𝐹⃗ . 𝑑𝑟⃗ là công của trường lực 𝐹⃗ (x, y, z) khi di
chuyển dọc theo L. Nếu L là đường cong kín thì cơng sinh ra thường bằng khơng vì cơng
sản ra trên phần ”thuận chiều ” của đường cong kín L cân bằng với cơng sản ra trên phần
”ngược chiều”, nếu khơng có ”xốy” ( rot𝐹⃗ = 0 ). Do đó, từ cơng thức Stokes ta thấy
hồn lưu theo chu tuyến kín L đặc trung cho tính xốy của trường trên mặt S có chu
tuyến L, nói cách khác là tính chất ”xốy” của trường theo chu tuyến đó. Do đó, nếu rot𝐹⃗
(M ) ≠ 0 ta nói rằng M là điểm xốy của trường và rot𝐹⃗ (M ) = 0 ta nói rằng M là điểm
khơng xốy.

III. Bài tập
1–2 Match the vector field F(x, y) with one of the plots, and
explain your reasoning.
1. (a) F(x, y) = xi
Trường vector này ứng với hình III vì khơng có véc-tơ đơn vị theo hướng trục y là j nên
tại các điểm trong trường véc-tơ này lực không hướng lên hay hướng xuống và lệch trái
hoặc lệch phải tùy thuộc vào dấu của x

14

(b) F(x, y) = sin(x)i + j
Trường véc-tơ này ứng với hình IV vì j có hệ số đứng trước là 1 nên lực tại mọi điểm
luôn hướng lên trên và hệ số sin(x) có giá trị từ -1 đến 1 nên lực lệch trái hoặc lệch phải
tùy vào giá trị sin(x) âm hay dương

2. (a) F(x, y) = i + j
Trường véc-tơ này ứng với hình I vì i, j ln có hệ số là 1 nên lực tại mọi điểm trong
trường véc-tơ này hướng lên, lệch phải và có độ lớn khơng đổi là 1

15

x y
(b) F(x, y) = 2 2i + 2 2j
√x +y √x +y

Trường véc-tơ này ứng với hình II vì √x2 + y2 ln dương nên dấu của hệ số của i, j phụ

thuộc vào dấu của x,y. Nếu x,y đều dương thì lực hướng lên, lệch phải.Nếu x,y đều âm

thì lực hướng xuống,lệch trái.Nếu x âm, y dương thì lực hướng lên,lệch trái.Nếu x

dương,y âm thì lực hướng xuống,lệch phải.

15.1 17-20 Find div F and curl F

17. F ( x, y, z ) = x2i − 2 j + yzk

divF = F

=   i +  j +  k ( x2i − 2 j + yzk )

 x y z 

16

=  ( x2 ) +  (−2) +  ( yz)
x y  z

= 2x + 0+ y

curlF =  F

i jk
=  

x y z
x2 −2 yz

=  ( yz)i +  ( x2 ) j +  (−2) k −  ( x2 ) k −  (−2)i −  ( yz) j

y z x y z  x

    2     2
=  ( yz) − (−2)i +  ( x ) − ( yz) j +  (−2) − ( x ) k
 y z   z x   x y 

= (z −0)i +(0−0) j +(0−0)k

= zi

18. F ( x, y, z ) = xz3i + 2 y4x2 j + 5yz2k

divF = F

=   i +  j +  k ( xz3i + 2y4x2 j + 5z2 yk )

 x y z 

=  ( xz3 ) +  (2y4x2 ) +  (5yz2 )
x y z

= z3 + 8y3x2 +10zy

curlF =  F

i j k

=  
x y z

xz3 2 y4 x2 5 yz2

=  (5z2 y)i +  ( xz3 ) j +  (2y4x2 ) k −  ( xz3 ) k −  (−5z2 y) j −  (2y4x2 )i
y z x y x  z

17

 2  4 2   3  2   4 2  3 
=  (5z y) − (2y x )i +  ( xz ) − (5yz ) j +  (2y x ) − ( xz ) k
 y z   z x   x y 

= (5z2 − 0)i + (3xz2 − 0) j + (4y4x − 0) k

= 5z2i + 3xz2i + 4 y4xk

19. F ( x, y, z ) = 7 y3z2i − 8x2z5 j − 3xy4k

divF = F

=   i +  j +  k (7 y3z2i − 8x2z5 j − 3xy4k )

 x y z 

=  (7 y3z2 ) +  (−8x2z5 ) +  (−3xy4 )
x y z

= 0

curlF =  F

i j k
=  
y z
x −8x2 z5 −3xy4
7 y3z2

=  (−3xy4 )i +  (7 y3z2 ) j +  (−8x2z5 ) k −  (7 y3z2 ) k −  (−3xy4 ) j −  (−8x2z5 )i
y z x y x  z

 4 2 5   3 2  4   25  32 
=  (−3xy ) − (−8x z )i +  (7 y z ) − (−3xy ) j +  (−8x z ) − (7 y z ) k
 y z   z x   x y 

= (−12xy3 + 40x2z4 )i + (14 y3z + 3y4 ) j + (−16xz5 − 21y2z2 ) k

20. F ( x, y, z) = exyi − cos ( y) j + sin2 ( z ) k

divF = F

18

=   i +  j +  k (exyi − cos ( y) j + sin2 ( z) k )

 x y z 

=  (exy ) +  (− cos( y)) +  (sin2 ( z))
x y z

= exy y + sin y + 2sin ( z) cos ( z)

curlF =  F

i j k

=  
x y z

exy − cos ( y) sin2 ( z )

=  (sin2 ( z))i +  (− cos( y)) k +  (exy ) j −  (exy ) k −  (− cos ( y))i −  (sin2 ( z)) j
y x z y z x

 2     xy  2     xy 
=  (sin ( z)) − (− cos( y))i +  (e ) − (sin ( z)) j +  (− cos( y)) − (e ) k
 y z   z x   x y 

= −xexyk

35. Chứng minh div ( F ) = divF +   F

F = Mi + Nj + Pk

div (F ) = div (Mi + Nj +Pk )

=  (M ) +  ( N ) +  (P)
x x x

=   M +  M +   N +  N +   P +  P
x x y y z z

=   M + N + P  +    M +   N +   P 
 x y z   x y z 

= div ( F ) + F 

36. Chứng minh curl ( F ) = curl F +   F

19

curl ( F ) = ( F )

= i  + j  + k  ( F )

 x y z 

= i   ( F ) + j   ( F ) + k   ( F )
x y z

          
=i F + F+ j F + F+k F + F 
 x x   y y   z z 

= i   F + j   F + k   F +  i   F + j   F + k   F 
x y z  x y z 

          
=  i + j + k  F +  i + j + k  F 
 x y z   x y z  

=   F + curl F

37. Chứng minh div (curl ( F )) = 0

F = fxi + fy j + fzk
divF = fx + f y + fz

x y z

curl (F ) =  F

i jk

=  
x y z

fx fy fz

=  ( fz )i +  ( fy )k +  ( fx ) j −  ( fx )k −  ( fz ) j −  ( fy )i
y x z y x z

       
=  ( fz )− ( fy )i + ( fx )− ( fz ) j + ( fy )− ( fx )k
 y z   z x   x y 

       
div (curl (F )) =  ( fz ) − ( fy ) +  ( fx ) − ( fz ) +  ( fy ) − ( fx )
x  y z  y  z x  z  x y 

=  ( fz ) − 2 2 ( fy ) +  ( fx ) − ( fz ) + 2 2 2 ( fy ) −  ( fx ) 2
xy xz yz yx zx zy

= 0

20