100 bai tap ham so nang cao

BÀI TẬP HÀM SỐ


Câu 1: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm f  x  x2  2x  3 với x. Số giá trị nguyên của tham số m

 2 5 
thuộc 10;10 để hàm số g  x  f sin x  3sin x  m  m  2 đồng biến trên  ;  là:22

3 6

A. 11. B. 13 . C. 14. D. 15 .

Lời giải: Chọn D

Ta có: g  x  f sin2 x  3sin x  m  m2  2

g   x  2 sin x cos x  3 cos x f sin 2 x  3 sin x  m   cos x 2 sin x  3 f  sin 2 x  3 sin x  m 

 2 5   2 5 
Để hàm số g x đồng biến trên  ;   g x  0,x  ; 
3 6 3 6

 cos x 2sin x  3 f sin2 x  3sin x  m  0  f   sin 2 x  3sin x  m   2 ; 5 
0,x  
3 6

Theo giả thiết: f  x  x2  2x  3  0  x  1 , ta có:

x  3

2  2 5 

sin x  3sin x  m  1,x   ; 
 2 5  3 6
f sin2 x  3sin x  m  0, x  ;   

3 6  2  2 5 
sin x  3sin x  m  3,x   ; 
 3 6

2  2 5 
sin x  3sin x  m 1, x  ; 
 3 6 (1)

2  2 5 
sin x  3sin x  m  3,x  ; 
 3 6

Xét hàm số u  x  sin2 x  3sin x trên  2 ;  5  , ta có max u  x   3  6 3 , min u  x  7
3 6  2 ;  5  4 2  3 ;5  6  4
3 6

m  3  3  6 3 m  15  6 3
Do đó 1   4  4

m 1  7 m  3
4  4

Kết hợp với m và thuộc 10;10 ta được m10;9;...;0;7;...;10

Vậy có 15 số nguyên m thỏa mãn bài toán.

Câu 2: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên  và f 3  0 và có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Hỏi hàm số g  x  2 x 16  6 x  12  3 f x4  4x3  4x2  2 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A. 1;2 . B. 1; 0 . C. 0;1 . D. 2;3.

Lời giải: Chọn B

Xét hàm số h  x   2  x  16  6  x  12  3 f  x4  4 x3  4 x 2  2  . Khi đó g  x   h  x .

Ta có h  x  2 x  16  6 x  12  3 f   x  14  2 x  12  3 

Suy ra h x   12 x 15 12  x 1  3 4  x 13  4  x 1 f   x 14  2  x 12  3
 

Hay h x  12  x 1  x 14 1 12  x 1 x 12 1 f   x  14  2 x 12  3
 

Hay h  x   12  x  1  x  12  1  x  12  1 f    x  14  2  x  12  3

Hay h  x   12  x  1  x  2 x x  12  1 f    x  14  2  x  12  3

Ta có   x  14  2  x  12 3   x  12 2 2  2,  x

 1

Từ bảng xét dấu suy ra f    x 14  2  x  12  3  0,x 

Do đó,  x 12 1 f    x 14  2  x  12  3  0,x

x  1

Vậy h x  0  12 x 1 x  2 x  0  x  2 và có bảng biến thiên:

x  0

Từ bảng biến thiên có thể khẳng định hàm số g  x đồng biến trên khoảng 1; 0
Câu 3: Cho hàm số y  f  x liên tục trên  và hàm số g  x  f 2x  2 có đồ thị như hình dưới.

Có bao nhiêu số ngun dương m để hàm số y  4 f sin x   cos 2x  m  
nghịch biến trên khoảng  0;  ?
A. 2 . B. 3 . C. 0 .
 2

D. 1.

Lời giải: Chọn B

x  0  f 2  0
Ta có:  g x  2 f 2x  2  0   x 1  f 0  0

x 2 f 2  0


Từ đó, ta có bảng biến thiên của hàm số y  f  x

Đặt h x  4 f sin x  cos 2x  m

Khi đó h x  4cos xf sin x  2sin 2x

   cos x, sin 2x  0  
Với x  0;     h x  0,x  0; 
 2  sin x 0;1  f sin x  0  2

 

Suy ra hàm số h x nghịch biến trên  0; 

 2
 

Do đó, hàm số y  h  x  nghịch biến trên khoảng  0; 

 2
    

 h x  0,x 0;   h   0  4 f 1 1 m  0  3 m  0  m  3

 2 2

Kết hợp với điều kiện nguyên dương của m  m1; 2;3  có 3 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 4: Cho hàm số y  f  x liên tục trên  và có đị thị hàm số y  f  x như hình vẽ.

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số g  x  4 f  x  m  x2  2mx  2021 đồng

biến trên khoảng 1;2 .

A. 2 . B. 3 . C. 0 . D. 1.

Lời giải: Chọn A

Để g x đồng biến trên khoảng 1;2  g x  0, x 1;2

 g x  4 f  x  m  2x  2m  0,x 1; 2  f  x  m   x  m ,x  1;2 (*)

2

Đặt t  x  m . Với x 1; 2  t 1 m; 2  m

Ta có: *  f t    t ,t 1 m; 2  m

2

Vẽ đồ thị hàm số f t  và h t    t trên cùng hệ trục ta được:

2

Từ đồ thị ta có: f t   ht  2  t  0

t  4

Nên để f t    t , t  1  m; 2  m  1 m; 2  m  2; 0  2  1 m  2  m  0  2  m  3
2 1 m; 2  m  4;  1 m  4 m  3

Mà m nguyên dương  m2;3 . Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn đề bài.

Câu 5: Cho hàm số f  x  có đạo hàm f  x  x3  4x2  x  4 . Biết rằng tập hợp các giá trị của tham số

3 2 

m   \ a;b thì hàm số h x  f   m 1 nghịch biến trên 2;  . Tính S  a  b .
 x1 

A. S  1. B. S  3 . C. S  0 . D. S  1.
2

Lời giải: Chọn C

Ta có: f  x  0  x3  4x2  x  4  0  x  1

1  x  4

Ta có: h x  3 3 2
2 . f   m 1
 x 1  x 1 

Hàm số h  x nghịch biến trên 2;   h x  0,x 2;

 3  3  m2  f   3  m2   0, x  2; 
2 .f  1
 x 1  x 1 1  0, x 2;    x 1
 

  3 x 1  m2 1  1 ,x 2;  (*)

1  3 x 1  m2 1  4

Ta có bảng biến thiên của hàm số g  x  3  m2 1 trên 2; 

x 1

m2 1  1 m 1
 2
Khi đó: *  m  4  m  1  2  m   \ 1;1

2 m  1
m  1

Suy ra: a  1,b  1 . Vậy S  11  0

Câu 6: Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên  , f 1  10 2 , f 3  9 và có bảng xét dấu đạo hàm như

sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc 2023; 2023 của m để bất phương trình

 x 12  f 3  x x 1  f  x  mx m2x2  x 1 nghiệm đúng với mọi x 2; 4.

A. 2005 . B. 2006 . C. 2007 . D. 2008 .

Lời giải: Chọn C

 x 12  f 3  x  x 1  f  x  mxm2x2  x  1

  x 13 f 3  x   x 12 f  x   mx3  mx  x 1  0

  x 1 f  x  mx  x 12 f 2  x   x 1 f  x  mx   mx 2    x  1  f  x x 1  mx 0



  x 1 f  x  mx  x 12 f 2  x   x 1 f  x mx  mx2  x 1  0 * 

Vì  x 12 f 2  x   x 1 f  x mx  mx2  x 1  0, x 2; 4 nên

*   x 1 f  x  mx  0   x 1 f  x  m f  x  0, f  x  0, x 2; 4

x

Xét hàm số g  x   x 1 f  x , x 2; 4

x

g x  2 x  x 1 f  x  f  x  0, x 2; 4 vì

x

Bảng biến thiên của hàm số g  x trên 2; 4

Dựa vào bảng biến thiên ta có  x 1 f  x  m đúng với mọi x 2; 4 khi và chỉ khi m  15 .

x

Mà m 2023; 2023 nên có 2007 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Câu 7: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  . Hàm số y  f  x có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu
giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 20; 20 để hàm số g  x nghịch biến trên khoảng 1; 2 biết

g  x  3 f  x3  3x  m   x3  3x  m2  2 x3  6x  2m  6 .

A. 23. B. 21. C. 5 . D. 17 .

Lời giải: Chọn A

g  x  3 f  x3  3x  m  2x3  3x2  m2 x2  3x  3  m  3 f x3  3x  m  2x3  3x2  m3  6 x3  3x  m2

Ta có: g x  9 x2 1 f  x3  3x  m 18 x2 1x3  3x2  m2  36 x2 1 x3  3x  m

Để hàm số nghịch biến trên 1; 2

 g x  0,x 1; 2  f x3  3x  m  2  x3  3x  m2  4 x3  3x  m  0, x 1; 2
 f x3  3x  m  2 x3  3x  m2  4 x3  3x  m, x 1;2

Đặt t  x3  3x  m . Với x 1; 2 có t '  3x2  3  0,x  1; 2  t  m 14; m  4
Xét bất phương trình f t   2t2  4t 1
Đồ thị hàm số y  f t  và y  2t2  4t trên cùng hệ trục tọa độ:

t  m 14; m  4
t m 14; m  4 
  t  1 m  4  1 m  3
Để (1) luôn đúng  t  1  
t  m 14; m  4 m 14  2 m 16
t  2
 
t  2

Do m 20; 20 nên có 23 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Câu 8: Cho hàm số f  x , có bảng xét dấu f  x như sau:

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m 1093;1093 để hàm số y  f  x  m2 1 nghịch biến trên

 1
khoảng  0;  . Tổng giá trị thực các phần tử của S bằng:

 2

A. 597870 . B. 597865 . C. 597871. D. 597868 .

Lời giải: Chọn A

Xét hàm số y  f  x  m2 1 có y  2 x  m f x  m2 1 .

 1  1  1
Để hàm số nghịch biến trên khoảng  0;  thì y  0,x  0;  , hay  x  m f  x  m 1  0, x  0;  .2

 2  2  2

xm  0  1  m  x  1
 , x  0;    ,x  0; 
TH1:  f  x  m 1  0  2  1  x  m  1  2  2 
2 2

m  x m  x
 1   1
 ,x  0;   m  x 1,x 0; 
1  x  m  1  2   2
m  x 1

 max  x 1  m  min x   1  m  0  m  0
0; 1  0;12 2
 2

xm  0 m  x

 ,x  0; 1    x  m2 1  1,x  0; 1 
TH2:   f  x  m 1  0  2  
2  2

  x  m 1  2 2

m  x m  x m  x
 1   1   1
 2 , x  0;   x  m  1 , x  0;   m  x 1, x  0; 
 x  m  1  2    2   2
x  m  1 m  x 1

 m  x 1,x  0;  1   m  max  x 1  3

 2  0;1  2

 2

Suy ra S  0; 2;3;...;1093 . Tổng các phần tử của S bằng 597870 .

Câu 9: Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên  , có bảng biến thiên như sau:

Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y  m f  x   2  2 đồng biến trên khoảng 1;1 ?
f x2 m

A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 1.

Lời giải: Chọn B

Đặt u  f  x  2 , suy ra y  mu  2 .

um

Ta có : y  yu.ux  m2  2 2. f x  m2  2 f x

u  m 2 f x 2  2

f x 2  m 2 f x 2

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số f  x nghịch biến trên khoảng 1;1  f  x  0, x 1;1 .

Với x 1;1  f  x 1;2  f  x  2  1; 2 .

Để hàm số đồng biến trên khoảng 1;1 thì y  0, x 1;1

m2  2 f  x  0 m2  2  0  2  m  2
  
 ,x  1;1  m  2  m  2  1  m  2
 f  x  2  m  0
m  1 m  1
  

Lại có m   nên m 1;0;1 .

Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.

Câu 10: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm f  x   x 12  x2  2x với x   . Có bao nhiêu giá trị nguyên

dương của tham số m để hàm số f  x2  8x  m có 5 điểm cực trị?

A. 15 . B. 17 . C. 16 D. 18

Lời giải: Chọn A

Đặt g  x  f  x2  8x  m

f  x  x 12  x2  2x  g x  2x  8  x2 8x  m 12  x2 8x  m x2 8x  m  2

x  4

x2  8x  m 1  0 1
gx  0   2

x 8x  m  0 2

 x2  8x  m  2  0 3


Các phương trình 1 , 2 , 3 khơng có nghiệm chung từng đôi một và  x2  8x  m  12  0 với x  

Suy ra g  x có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi 2 và 3 có hai nghiệm phân biệt khác 4 2  16  m  0

3  16  m  2  0

16  32  m  0
16  32  m  2  0

m  16

 m  18

  m  16  m  16 .

m  18

Vì m nguyên dương và m  16 nên có 15 giá trị m cần tìm.

Câu 11: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và có biểu thức đạo hàm f  x  x3  3x2 10x . Hỏi có tất cả bao

nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số g  x  f  x2  2mx  m  2  3 có 13 điểm cực trị?

A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 .

Lời giải: Chọn A

x  0

Ta có f  x  x3  3x2 10x  0  x  5

x  2

Đặt u  x2  2mx  m  2

Xét hàm số g  x  f  u  3  f  x2  2mx  m  2  3

 x  3  2 x  1


Xét hàm số gốc: hx  f  x 3  h x  x  . f  x 3  0  x 3 0   x  3

 x  8
 x 35

Nhận xét: h x không xác định tại x  0 .

m  1 5
m2  m  2  3 m2  m 1  0  2

Yêu cầu bài toán   2  2   1 5
m  m  2  8 m  m  6  0 m 
 2

2  m  3

Vì m nguyên dương nên m 2;3 . Vậy có 2 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn.

Câu 12: Cho f  x là đa thức bậc ba, biết hàm số y  f  x2  x 1 có đồ thị là đường cong trong hình vẽ.

Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc 10;10 để hàm số y  f  x2  4  m có 5 điểm cực trị.

A. 8 . B. 9 . C. 10 . D. 11.

Lời giải: Chọn B

Ta có f  x là đa thức bậc ba nên f  x là đa thức bậc hai  f  x2  x 1 là đa thức bậc bốn.

Do đó từ đồ thị hàm số y  f  x2  x 1 ta có:

f  x2  x 1  a  x 1 x  x 1 x  2 , với a  0

f  x2  x 1  a  x2  x  2 x2  x  a  x2  x  1 3x2  x 11

Suy ra f  x  a x  3 x 1,x 

Xét hàm số y  f  x2  4  m có y  x . f  x2  4  x2  4  m

  x  0 x  0 x  0

y  0   f  x2  4  m  x2  4  m  1   x2  4  m 1
  0    x2  4  m 3
2 
 x  4  m  3 

Hàm số y  f  x2  4  m có 5 điểm cực trị

 y  0 có 5 nghiệm phân biệt và y đổi dấu khi x qua các nghiệm đó  m 1  2  m  1

Mà m   và m 10;10 nên m 2;3;4;...;10

Vậy có 9 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 13: Cho hàm số f  x thỏa mãn f 2  f 2  0 , đồ thị y  f  x là đường cong trong hình bên. Hàm số

g  x  f  x  1 x4  1 x3  2x2  4x có bao nhiêu điểm cực tiểu?

43

A. 2 . B. 4 . C. 3 . D. 5 .

Lời giải: Chọn C

Đặt h  x  f  x  1 x4  1 x3  2x2  4x

43

Ta có h x  f  x  x3  x2  4x  4

Với h x  0  f  x  x3  x2  4x  4

Đặt k  x  x3  x2  4x  4 , ta sẽ khảo sát và vẽ đồ thị của k  x

Ta có k x  3x2  2x  4 .

Cho k x  0  3x2  2x  4  0  x  1 13

3

Chú ý sự tương giao giữa đồ thị hàm số k  x và trục hoành, ta thấy:

x  2

k  x  0  x3  x2  4x  4  0  x  1

x  2
Từ đó ta có hình vẽ như sau:

x  2

Từ hình vẽ, ta có: h x  0  x  1

x  2

Hơn nữa, h 2  f  2  28  0, h 2  f  2  4  0 . Từ đó, ta có bảng biến thiên của hàm số h  x và h  x
3 3

như sau

Vậy hàm số g  x  h x có 3 điểm cực tiểu.

Câu 14: Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị như hình vẽ.

Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số g  x  f  f 2  x  4 f  x  m  có 17 điểm cực trị là:

A. 1652 . B. 1653 . C. 1654 . D. 1651.

Lời giải: Chọn A

f x2 f x4 f 2 x4 f xm 2
Ta có: g x  .f  f x4 f x m   0
f x4f xm2

 f  x  0  f  x  0(1)

2 f  x  4  0 
 f  x  2(2)

2
2
  f  x  4 f  x  m  0   f  x  4 f  x  m(3)

 f  2  x  4 f  x  m  1  f 2  x  4 f  x  m  2(4)
 f  2  x  4 f  x  m  2
 f 2  x  4 f  x  m  2(5)


Dễ thấy (1) có 2 nghiệm đơn (vì có 2 cực trị) và (2) có 3 nghiệm đơn

Vậy tổng số nghiệm của phương trình (3), (4), (5) là 12 thì thỏa mãn

Đặt u  u  x  f 2  x  4 f  x  u  2 f  x f  x  2  u  0  x 1; 2

x a;b; c

Các nghiệm trên được sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn như sau: a  1  b  2  c

Bảng biến thiên của hàm số u  f 2  x  4 f  x

Vậy số giao điểm của đường thẳng y  m  2; y  m; y  m  2 với đồ thị u  x là 12 điểm phân biệt

3  m  2  60  1  m  58  m 1;0;1;...;57  S  1562

3  m  2  60

Câu 15: Cho hàm số f  x  mx3  3mx2  3m 1 (với m là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của

m sao cho max f  x  min f  x  2 . Số phần tử của S là:
0;1 0;1

A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 1.
Lời giải: Chọn A

*) Nếu m  0 , thì f  x  1,x   nên ta có min f  x  1, max f  x  1 max f  x  min f  x  2
0;1 0;1 0;1 0;1

 m  0 thỏa mãn bài toán.

*) Nếu m  0 , ta có f  x  3mx2  6mx  3mx  x  2
Vì x  x  2  0,x 0;1 và m  0 nên f  x là hàm đơn điệu trên 0;1.
Ta có: f 0  3m 1, f 1  m 1.

TH1: f 0. f 1  0  3m  1m 1  0  m   13


m  1

Ta có min f  x  min 3m 1 ; m 1 và max f  x  max 3m 1 ; m 1
0;1 0;1

Nên max f  x  min f  x  2  3m 1  m 1  2 (*)
0;1 0;1

+) Với m   1 , ta có (*)  3m 1  m 1  2  m  0 (loại vì khơng thỏa m  0 )
3

+) Với m  1, ta có (*)  3m 1  m 1  2  4m  2  2 3m2  4m 1  4

 3m2  4m 1  2m  3  m  4  2 2 (thỏa mãn)

TH2: f 0. f 1  0  3m 1m 1  0  1  m   1

3

Ta có: min f  x  0 và max f  x  max 3m 1 ; m 1
0;1 0;1

m 1

 3m 1  2   5
  m  

 3m 1  m 1  3

Nên max f  x  min f  x  2     3m 1  m  1 (loại vì khơng thỏa 1  m   )1

0;1 0;1  m 1  2  3
 m  3
  
 3m 1  m 1    m  5


 3m 1  m  1

Vậy S  0; 4  2 2

Câu 16: Cho hàm số y  f  x  xác định trên  , và có đồ thị f  x như hình vẽ. Tìm m để hàm số

 1 
g  x  f  x 1 1 2   m có ít nhất 3 điểm cực trị.
 x 
 

A. m  2 . B. m  2 . C. m  0 . D. m  0 .

Lời giải: Chọn D

Tập xác định của g  x : D   \ 0

 1 
Nhận thấy hàm số g  x  f  x 1 1 2   m là hàm số chẵn
 x 
 

Xét trường hợp x  0 : g  x  f  x  x2 1  m

 x
g x  f  x  x 1  m.1 2 2

 x 1 

 x
Xét phương trình g x  0  f  x  x 1  m.1 2   02

 x 1 

x  x2 1  m  1 x  x2 1  m 1(1)
  x2 1  m 1(2)
 x x2 1  m  3(3)
 x2 1 m 1  x 
x  


x2 1  m  3 x 


 1 
Để hàm số g  x  f  x 1 1 2   m có ít nhất 3 điểm cực trị thì phương trình phải có ít nhất 2 nghiệm dương
 x 
 

phân biệt

Do đó các phương trình phải có ít nhất hai nghiệm dương phân biệt.

Xét hàm số f t  t  t2 1 có f t  1 t  0, t  0

t2 1

Ta có bảng biến thiên

Suy ra để có ít nhất hai nghiệm dương phân biệt thì  m 1  1  m  0

Câu 17: Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trên  , đồ thị hàm số y  f  x có đúng 4 điểm chung với trục

hồnh như hình vẽ bên dưới.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y  f  x 3  3 x  m  2021  2022m3 có đúng 11 điểm cực

trị? B. 3 . C. 0 . D. 1.
A. 2 .
Lời giải: Chọn D

Với mỗi tham số m thì số điểm cực trị của hàm số y  f  x 3  3 x  m  2021  2022m3 và

y  f  x 3  3 x  m  2021 bằng nhau.

Do đó ta chỉ cần tìm giá trị nguyên của tham số m để hàm số y  f  x 3  3 x  m  2021 có đúng 11 điểm cực trị.

Xét x  0 : Hàm số có dạng y  f  x3  3x  m  2021

Khi đó ta có đạo hàm như sau: y  3x2  3 f  x3  3x  m  2021

Do nghiệm của phương trình x3  3x  m  2021  4 là các nghiệm bội bậc chẵn của phương trình y  0 nên ta chỉ

cần quan tâm đến các nghiệm còn lại. Tức là:

x 1 x 1

3x2  3 x3  3x  m  2021  1 m  2021   x3  3x 1
y  0   3  3 
 f  x  3x  m  2021  0 x  3x  m  2021  1 m  2021   x  3x  13

x3  3x  m  2021  2 m  2021  x3  3x  2

Vẽ đồ thị ba hàm số y  x3  3x 1; y   x3  3x  1; y   x3  3x  2 với x  0 trên cùng một hệ trục

Hàm số y  f  x 3  3 x  m  2021 có đúng 11 điểm cực trị

 Hàm số y  f  x3  3x  m  2021 có đúng 5 điểm cực trị dương.

 Phương trình f  x3  3x  m  2021  0 có đúng 4 nghiệm bội lẻ dương và khác 1.

 Đường thẳng y  m  2021 cắt đồ thị ba hàm số y  x3  3x 1; y   x3  3x  1; y   x3  3x  2 tại 4 điểm

phân biệt có hồnh độ dương khác 1.

1  m  2021  1 2022  m  2020
 
2  m  2021  3 2019  m  2018

Do điều kiện m nguyên m  2021

Vậy chỉ có 1 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 18: Cho hàm số y  f  x   ax3  bx2  cx  d và hàm số y  xf  x cùng đạt cực tiểu tại x  1 và có tổng

hồnh độ giao điểm của đồ thị hai hàm số bằng 4 (các nghiệm bội chỉ tính là một). Biết giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của hàm số y  f  x  trên đoạn  1 ; 4 lần lượt là  và 2 1. Giá trị của số thực  bằng:

2 

A.  27 . B.  16 . C.  11 . D.  32 .
320 291 108 307

Lời giải: Chọn D

Xét hàm số y  f  x   ax3  bx2  cx  d và f  x  3ax2  2bx  c và f  x  6ax  2b

Xét y  g  x  xf  x có g x  f  x  x. f  x và g x  2 f  x  x. f  x

Vì cả hai hàm số f  x và g  x cùng đạt cực tiểu tại x  1 nên ta có:

 f 1  0 3a  2b  c  0 3a  2b  c  01


 f 1  0 6a  2b  0 
 
 a  b  c  d  02
g1  0  f 1 1. f 1  0 
g1  0 2 f 1 1. f 1  0 3a  b  03


Xét phương trình hồnh độ f  x  xf  x   x 1ax3  bx2  cx  d   04

Từ (2) suy ra đa thức ax3  bx2  cx  d có nghiệm x  1

Khi đó ax3  bx 2  cx  d   x 1 ax2  a  b x  a  b  c

x 1

 Từ đó suy ra phương trình (4) tương đương với ax2  a  b x  a  b  c  0 5
Từ (1) suy ra đa thức ax2  a  b x  a  b  c có nghiệm x  1 . Như vậy để tổng các nghiệm của phương trình

(4) bằng 4 thì phương trình (5) phải có một nghiệm bằng 1 và một nghiệm bằng 3, nên:

9a  3a  b   a  b  c  0  13a  4b  c  0

b  5a
c  7a
 Từ (1), (2), (3) và (6) ta được d  3a
a  0

Vậy f  x   ax3  5ax2  7ax  3a , với a  0

x 1

Ta có f  x  3ax2 10ax  7a , f  x   0  x  7

 3

Vậy max f  x   32a , min f  x  9a .
 1 ;4 27 1 2;4
2 

 32a    32
    307
Ta có:  27   27

9a  2 1  307 a 

Câu 19: Cho hàm số f  x  x  33 x 1  m . Đặt P  max  f  x2  min  f  x2 . Có bao nhiêu giá trị nguyên m
1;7 1;7

để giá trị lớn nhất của P không vượt quá 26?

A. 6 . B. 7 . C. 4 . D. 5 .

Lời giải: Chọn B

Đặt t  3 x 1 thì t 0; 2 và f  x  g t   t3  3t 1 m .

2 2  2  2
Nhận xét: P  max  g t  min  g t    max g t     min g t  .
0;2 0;2  0;2   0;2 

g t   t3  3t 1 m, t 0; 2

gt  3t2  3. Khi đó g  t   0  t  1 .
t 0; 2

Bảng biến thiên:

TH1: m  3m 1  0  1  m  3  min g t   0

0;2

 2 m  32  26
Khi đó max P  26   max g t    26   2  3 26  m  1 26
 0;2  m 1  26

Kết hợp với điều kiện và giả thiết suy ra m 1; 0;1; 2;3 .

TH2: m  3 m 1  0  m  3

m  1

 P  m  32  m 12  2m2  4m  10

YCBT  2m2  4m 10  26  2  m  4 .

Kết hợp với điều kiện và giả thiết suy ra m 4; 2

Vậy có 7 giá trị m thỏa đề.

Câu 20: Cho hàm số f  x  ax5  bx3  cx , a  0,b  0 thỏa mãn f 3   7 ; f 9  81. Gọi S là tập hợp tất

3

cả các giá trị của tham số m sao cho max g  x  min g  x  86 với g  x  f 1 2x  2 f  x  4  m . Tổng của
1;5 1;5

tất cả các phần tử của S bằng:

A. 11. B. 80 . C. 148 . D. 74 .

Lời giải: Chọn D

Ta có f  x  ax5  bx3  cx , a  0,b  0 là hàm số lẻ trên  và f  x  5ax4  3bx2  c .

Khi đó: g x  2 f 1 2x  2 f  x  4

 2 5a 1 2x4  3b1 2x2  c  2 5a  x  44  3b x  42  c
 

 10a  x  44  1 2x 4   6b  x  4 2  1 2x2 
 

 10a  x  42  1 2x2  x  42  1 2 x2   6b  x  42  1 2x2 
  

 10a  x  42  1 2x2  x  42  1 2x2   6b

 

 30a 1 x5  x x  42  1 2x 2   6b  0,x 1;5

Suy ra hàm số g  x đồng biến trên đoạn 1;5 nên ta có:

g 1  g  x  5  f 3  2 f 3  m  g  x  f 9  2 f 9  m

 3 f 3  m  g  x   f 9  2 f 9  m (Do f  x là hàm số lẻ)

 3 f 3  m  g  x  f 9  m  m  7  g x  m  81

TH1: Nếu m  7 m  81  0  m  7 (*) thì:

m  81

max g  x  min g  x  86  m  7  m  81  86
1;5 1;5

m  6
 2m  74  86   (loại do (*)).
m  80

min g  x  0

 1;5

TH2: Nếu m  7m  81  0  81  m  7(**) thì 

max g  x  max m  7 ; m  81

 1;5

Khi đó: max g  x  min g  x  86  max m  7 ; m  81  86
1;5 1;5

 m  81  86

  m  7  m  81  m  5 
 m  7  86 m  79


 m  81  m  7

Vậy tổng tất cả các phần tử của S bằng: 5  79  74

Câu 21: Cho hàm số bậc ba y  f  x có bảng biến thiên của hàm số g  x  f  x 1  2 như sau

Giá trị lớn nhất của hàm số y  f  3 sin x cos x  2  2cos 2x  4 sin x 1 là:

A. 2 . B. 4 . C. 9 . D. 2 .

Lời giải: Chọn B

Bằng cách biến đổi ta rút được f  x  g  x 1  2

Suy ra bảng biến thiên của hàm số f  x là:

   
Đặt t  3 sin x  cos x  2 sin  x   , ta có 0  sin  x    1 t 0; 2  t  2 0; 2

 6  6

Suy ra f  3 sin x  cos x  2  f t  2  2 , dấu “  ” xảy ra được khi x  6 .

Ta có: 2 cos 2x  4sin x 1  21 2 sin2 x  4sin x 1  4sin2 x  4sin x 1  2sin x 12  2  2

Dấu “  ” xảy ra được khi x   .
6

Suy ra f  3 sin x  cos x  2  2cos 2x  4sin x 1  4 , dấu “  ” xảy ra được khi x  6 .
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số y  f  3 sin x cos x  2  2cos 2x  4 sin x 1 là 4.

Câu 22: Cho hàm số f  x  8x4  ax2  b , trong đó a , b là tham số thực. Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số

f  x trên đoạn 1;1 bằng 1. Hãy chọn khẳng định đúng?

A. a  0 , b  0 . B. a  0 , b  0 C. a  0 , b  0 . D. a  0 , b  0 .

Lời giải: Chọn C

x  0

Xét g  x  8x4  ax2  b , g x  32x3  2ax  0  x2   a .
 16

Ta có max f  x  1  g 0  b1;1 .

1;1

TH1. a  0 . Ta có g 1  g 1  8  a  b  1 . Suy ra max f  x  1 không thỏa YCBT.

1;1

TH2. a  0 .

Nếu  a  1  a  16 . Ta có g 1  g 1  8  a  b  1 . Suy ra max f  x  1 không thỏa YCBT.
16 1;1

Nếu  a  1  a  16 .
16

Ta có BBT

 a 2 2
1  1 a  64
▪ max f  x  b  1. Khi đó YCBT   32   a  8 (thỏa a  16 )
1;1  a  8
8  a  b  1

b  1

a2
▪ max f  x  8  a  b 1. Khi đó, YCBT  
1;1 b   1
 32

a  8
 2 a  8
 a   a  8  b  1 .
  a  6  0 24  a  8

 32

 a2 b  a2 1
b   1  32
a2  32  a2 a  8

▪ max f  x  b   1. Khi đó, YCBT  8  a  b  1  6  a   0   .
1;1 32 32 b  1
b  1 

 a  8




Vậy a  8 , b  1 thỏa YCBT.

Câu 23: Cho hai số thực x, y thỏa mãn: 9x3  2  y 3xy  5 x  3xy  5  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của

P  x3  y3  6xy  33x2  1 x  y  2

A. 296 15 18 . B. 36  296 15 . C. 36  4 6 . D. 4 6 18 .
9 9 9 3xy  5 . 9

Lời giải: Chọn B 3xy  5  x  3xy  5  0  27x3  6x  3xy  5 3xy  5  2

Ta có : 9x3  2  y