De hoc sinh gioi tinh toan 9 nam 2023 2024 so gddt ha tinh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9

HÀ TĨNH NĂM HỌC 20-223024

ĐÈ THI CHÍNH THỨC Môn thi: TỐN

(Đề thi có 01 trang, gồm 13 câu) Thời gian làm bài: 120 phút.

L PHÀN GHI KÉT QUẢ (10 điểm, thí sinh chỉ cần ghỉ kết quả vào tờ giấy thị, mỗi câu 1,0 điển

Câu 1. Tính giá trị của biểu thức P =Š 4 — ae tee ,biết z={l5+2413 +\Í5~2\3.

Câu 2. Cho đường thẳng (đ): y=(m—1)x+3. Tìm tất cả các giá trị của m để đường thắng (d) cat

trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A và B sao cho tam giác AOB vuông cân.

Câu 3. Cho dãy số được xác định béi u, =1; t„,=M te); mờ luneN, Tĩnh gi tị Ma

Câu 4. Bạn Hà làm một bài thi gồm 20 câu hỏi. Mỗi câu trả lời đúng được 5 điểm, mỗi câu trả lời sai

tịnh 1 điểm, mỗi câu bỏ qua khôtnrảglời đư0ợđciểm. Tính số câu trả lời đúng, số câu trả lời sai,
số câu bỏ qua không trả lời của bạn Hà, biết rằng bạn Hà được 57 điểm.

a 3a? + 4b? =bC 4 4
Câu 5. Cho các số thực a, ö,c thỏa mãn ở# 0 “| ị= Tinh giá trị của P=22_-TẺ..
b(a? +3b*)=2ac b`+3a

Câu 6. Cho hình vẽ, biết rằng AE = 2, ED = 3, CB = 6. Trong đó AB và

CD cùng vng góc với AD tại A và tại D. Tìm độ dài đoạn BE.

Câu 7. Tìm nghiệm nguyên của phương trình

x?—3y? +2xy—2x—10y+4=0.

Câu 8. Giải phương trình (x+6)”—8\x°+3x =33.

Câu 9, Cho tam giác ABC có đường cao AH, đường phân giác trong AD
sao cho AC - AB=36cm, DC - DB = 24cm. Tính giá trị HC - HB.

Câu 10. Cho a,,e là các số nguyên dương thỏa mãn a+ö +e =100

Tìm giá trị lớn nhấvà tgiá trị nhỏ nhất của biểu thite M =a +b? +c’.

H. PHÀN TỰ LUẬN (10 điểm, thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)
Câu 11. (4.0 điểm)

a. (1.0 điểm) Cho hai số nguyên đương a,ö thỏa mãn a” — 4b +1 chia hét cho (a—2b)(2b-1).
Chứng minh |a—2 là số chính phương.

b. (3.0 điển) Giải hệ phương trình XI =ây)=810 t3).
3x? —2y+1=7x+2Vx+1
Câu 12. (4.0 điểm) Cho đường trịn đường kính BC, A là một điểm thuộc đường tròn (A khác B và
C), kẻ AH vng góc với BC tại H. Gọi M, N lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác
AHB và AHC. Đường thẳng MN cắt AB, AH, AC lần lượt tại I, E, K. Đường thắng AN cắt BC tại D.
a. Chứng minh tam giác ABD cân.
b. Chứng minh ME.NK = MI.NE.
Câu 13. (2.0 điểm) Cho a,b,c là các số thực không âm và a? + +e? =4. Tìm giá trị nhỏ nhất của
a b c
biểu thức Pests as3 ,

——Hét—

SỞ GIÁO DỤC VẢ ĐẢO TẠO 'KÌ THỊ CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP TINH,

Hả TĨNH LOP 9 NAM HOC 2023 - 2024

DE CHINH THUC MONTOAN

Thời gian làm bài: 120 phút

Lời giải: Nguyễn Ngọc Hù~nTgHCS Hoàng Xuan Han ~ Đức Thọ - Hà Tĩnh

I PHAN GHI KET QUA (Thi sinh chi cm ghi két quả vào tờ giấu t x? +x7+6x+12
Câu 1. Cho 542 + —2J13 . Tinh gid tri của biểu thức P=
:

xÌ~2x+12

Gợi ý. Ta có x) =10+343|S+ 2413 ](S—2213] ©x) +9x ~10 =0 ©(x—1)(xÌ+x+10)}=0

Vì xÌ +10+>0x =>x =1. Do đó P= 6
11

Câu 2. Cho đường thing (d): y=(m—1)x+3. Tìm tất cả các giátrị của tham số m để đường thăng
(4) cất trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho tam giác OAB là tam giác vuông cân

Gợi ý. Nếu m = 1 thì (đ) song song với Ox

Cau 3. Cho day số được xác định bởi u; =1; u„; =u„+ nín+]) với neN”. Tính giá trị của u.

Goi §.Tac6 u,,=0,+ou4,-=L144
a a4]
+20 1 1
2024 = 2024
Câu 4. Bạn Hà làm một bài thi gồm 20 câu hỏi. Mỗi câu trả lời đúng được Š điểm, mỗi câu trả lời sai
bị trừ 1 điểm, mỗi câu bỏ qua không trả lời được 0 điểm. Tỉnh số câu trả lời đúng, số câu trả lời sai, số
câu bỏ qua không trả lời của bạn Hà, biết rằng bạn Hà được 57 điểm.
Gợi ý. Gại số cầu Hà trả lồi đúng là a, số câu trả lời sai là b.
Với a,b €N; 1 Ta cú Sa~b Đ?âb+2 55 —(b+2):5b+2e (510â;be1[53;8}:13}
Vi b=3=a=12; Vi b=Đ=a=13; Vi b=13a=14
Vi a~b <20 nờn H trả lời đúng 12 câu, trả lời sai 3 câu và bỏ qua5 câu

[a(3a°+4b*)=be

Câu5. Cho các số thực a, b thỏa mãn ab =0 và ¬

| b(a? +367

Tỉnh giá trị của biểu thức P 2a*+b*

bỔ+3a”
[a(3a`+4b°)=bc

Gợi ý. Vì ab#n0ên |. „

| b(a? +367

= 2a? (3a* +4b*)= b* (a? +3b* ) = 6a* +7a°b* —3b* =0 > (3a°—b*) (2a +367

=3a

Câu6 Cho hình vẽ, biết rằng AE =2, ED = 3, CB= 6
Trong đó AB và CD củng vng góc với AD tại A và tại D,
Tỉnh độ dai đoạn thing BE
Gợi ý. Kẻ BH _ CD tại H. Dễ thấy ABHD là hình chữ nhật
=BH=AD Ấp dụng định lí Pythagore,
tacó HC=-JBBH?C =xj6`~5° =v/11. Vì EDi

nén EC 1a dvong kinh, suyra EBC = 90° =AB= AHBE =HBC = AABE © AHBC

= BE _AE _ pp AEBC _ 2.6 _12vil
BC HC HC Ji 11
Câu 7. Tìm tất cả các nghiệm ngun của phương trình
x?~3y?~2xy~2~10y~4=0
Gợiý. Ta có xÌ~3y? +2xy ~2x~10y+=40

©x'+y?+1+2xy

THR

THỊ. |[x-y-3=7 Ìx+3y+1=

Vậy (x:y) [(=&1):(1:~3):(31):(7:~3)}

Câu 8. Tìm tắt cả các nghiệm của phương trình (x+6)` ~8⁄x` +3x =33

Gợiý. ĐKXĐ: x >0. Phtưrìnhơtwn ong gdong x? +12x +3-8 fx (x?+3) =0

Dat ¥x'+3=a23: Ve =b20.Tacé a’ +12b' Sab =0 = (a—6b)(a—2b) =0

Xt a=6b=+x`+3 = 6x â xè~36x+3=0âx=1Đ+V321

Xta=2bAl)+3 =2j âxè~4x+3=0 âx=l:x=3

i chin DKXD ta có tập nghiệm S=18~321:1§+321;1:3)
Câu 9. Cho tam giác ABC có đường cao AH, đường phân giác trong AD sao cho ACAB~=36 cm.
DC-~ DB = 24 cm. Tinh gid tri cia HC- HB
Gợiý. Đặt AB =x, DB =y thì AC =x~36, DC=y+24
Theo tỉnh chất đường phân giác ta có A
BO OD 136D Y2 9: ay+2 ÑWN.
AB DB x EL/ Noe
BHD

<= (AC-AB)(AC+AB) =(HC-HB)(HC+HB)

©36(x+36+x) =(HC—HB )(2: 424) @ HC—Hp = 2366(22x% ++3366)) __3366((33yy +3+636):
2y+24 2y+24

Câu 10. Cho các số nguyên đươnga, b, c thỏa mãn a+b+c =100)

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biêu thức M =aŸ + bỶ +c?

Gợiý. Giả sử 1
Vi c nguyên dương nên c > 34 +(a~b)` +(b~e} +(e~a}`

Tacó M=+bỶ +cŸ = (a+b+e)` 3

Vì 1

(a~b)Ÿ +(b—e]`+(e—a}Ÿ

(a~b)Ÿ+(b—e)Ì+(e—a 9606

Vậy GTcủaNMIN ả 3334. Đạt được khi (a;b;c) là các hoán vị của (33:33.34)
GTcủaLM N là 9606. Đạt được khi (a:b:c) là các hováị ncủa (1:1:9§)

TL PHẢN TỰ LUẬN (7đ vào tờ giấy thi)
Câu 11. a) Cho hai số nguyên đương a, b thỏa mãn aˆ~4b +1 chia hết cho (a~2b)(2b ~1)

Chứng minh răng |a— 2b| là số chỉnh phương.

b) Giải hệ phương trình [x(4°~3y)=9x+(y+3).w+3 Ìšx?~2y+1=7x+2K+1

Lời giải. a) Ta có (a?~4b+1):(a~ 2b)(2b—1). Đặt aˆ~ 4b+1=k(a~2b)(2b—1) ,k £ Z.

Suy ra a? 4b? +4b7—4b+1=k(a—2b)(2b-1)

©(a~2b)(a+2b)+(2b~1} =k(a~2b)(2b~1) ©(2b~1) =(a~ 2b) |k(2b~1)~(a+2b)|

Goi (k(2b-1)-(a+2b),a-2b) =d> ÍE(2b-1)~(a+2b):d

|(a-2b):d

Vi (2b-1) a—2b)[k(2b—1)-(a+2b) | nén (2b-1)°:d? > (2b-1):d

= [(a+2b):d_ = [4b:d 2:4. Vì 2blà~số—lẻ1nên đ

|(a-2b):á [2(2e=1):4

Vậy (a~2b)=x” Œ e Z), suy ra |a—2b| là số chính phương.

b)ĐKXĐ: x>~—l; y >~3. Từ phương trình x(4xˆ=3y)=9x +(y+3)„jy +3

4x? -3x +3)(-(yy+3) fy43 =0© 4xŸ~4x(y+3)+x(y+3)—(y+3)xJÿ+3 =0

©=4x[x-dWw+3|Íx+xjy+3|+(y+3]|x—jy+3|=0

©lx-dWy+3)|+34+xy+°3]+=40©x(xÿ=#+3|(2x+-jÿ+3J =0

Xétx=jy+3 x>0 y+1=7x +2xjK+Ï được
...-

x?+7=7x+24X+l ©x?-6x+9=x+1+22/#+I+1©(x-3)Ì =(4x+1+1]

a Jx+l+l=x-3 es yx +1=x-4

vx+1+l=-x+3 Vx + =2-x

` ya Stl 4 +9,/21
TH1. a a re |x?-9x +15 =0 2 a

í0TH2. Pn ees . 2 Ï——_
lx`~ãx+3=0
mã -
¬ Í—1Xet 2x+ X Tế Hit | 4523 thể vào phương trình 3xˆ —2y +1=7x+2vxni+l1 đượcv
=ÄxÊ-

§x2 47x —7+2 +1=a0 f>x 5x (x +1)+2x +2¥x +1—7 =0

Do -1£x 50> 5x(x +1)+2x=+24x =-1-2-5<0.vonghiém

Vạy hệ phương trinh có tập nghiệm ( x; y | E (9+.f21 45+9(5J-3211 3-5)13 }|
> : > |:| > , 3 |

Câu 12. Cho đường tròn đường kinh BC, A la mot điểm thuộc đường tròn (A khác B, C). ke AH

vng góc với BC tại H. Gọi M, N lân lượt là tầm đường tròn nội tiếp của các tam giác AHB và AHC.

Đường thăng MN cắt AB, AH, ÁC lần lượt tai I, E. K Đường thang AN cat BC tai D.

a) Chứng minh răng tam giác ABD là tam giác cân.
b) Chứng minh răng ME.NK = MLNE.

Lời giải. a) Ta có ADB = ACD +DAC
=BAH+HAD =BAD = AABD can tai B.
b) Dé thay BAC =90°: AHN = NHC = 45°

MAH = “BAH =+ACH -NCH

— AMAH 2ANCH > ME_AF. jaye @acna = AHN BB. MH _ BBN

NH CH CH HA NH HA

MHN = AHB =90° = AAHB ~ ANHM (c—g—c) > ABH =HMN= ABH +IMH =180°

= BIM+BHM =180° => AIK =BHM = 45° = AAIK vuông cân = AI = AK. Áp dụng tỉnh

chất đường phân giác của tam giác. ta có bso = oe 2% 2a => ME_NK = MINE

ME AE AE NE

Câu 13. Cho các số thực không am a, b. c thoaman a7+b? +c? =4.

Tien cil eth ai Gli ae Bg Fy, 54 08as2

a+3 b°+3 cˆ+3

Lời giải. Tw giathiét a7 +b? +c? =4 Sa? =4-(b’ +07 |< 4a°

Tương tự ta cũng có 0
Suy ra a(2—a)(a?+2a+7] >0©14a >aˆ( +3] © eae "
-

2 2 a +3 14
g3 2 x
Tưtơ ự tn a cũg ng có — 3. = SẼ“ ay append Tote _2
b+3 14 c +3 14 14 7
: - 9
Gia tri nho nhat cuP baang = . Đạt được khi (a:b:c) 1a các hoán vị cua (0;0; 2).