Tap 2 18 chuyen de phat trien tu duy toan tieu hoc (1)

TOÁN TƯ DUY EINSTEIN
Trí Tuệ Việt - Năng lượng Việt

18 CHUYÊN ĐỀ:

PHÁT TRIỂN TƯ DUY
TOÁN TIỂU HỌC

(Vươn lên tầm cao mới từ xuất phát điểm hiện tại)

Tập 2

- Tài liệu nội bộ -

Hãy lên tầm cao mới từ xuất phát điểm hiện tại

Học sinh yêu quý của thầy!

Bạn có biết không? Hầu hết mọi người đều chờ đợi một “THỜI ĐIỂM THÍCH

HỢP” để bắt tay vào làm điều gì đó đáng phải làm. Thực ra, khơng có thời điểm nào là

“thích hợp” để thực hiện ý tưởng đó. Hãy BẮT ĐẦU NGAY từ chỗ Bạn đang đứng và

làm việc với bất kì những gì Bạn có trong tay, rồi Bạn sẽ tìm thấy những điều tốt hơn

trên đường đến với thành công trong học tập cũng như trong cuộc sống.

Thầy là Nguyễn Văn Nam, mọi người thường gọi là Thầy Nam Tỉ Phú, đơn

giản vì đó là tên mà mọi người đặt ra.

Nếu Bạn đang gặp khó khăn, loay hoay trong học tập mơn Tốn thì cuốn sách

này sẽ giúp giải quyết vấn đề đó.

Những gì mà Thầy viết trong cuốn sách này khơng phải là những thứ cao siêu

bởi nó chỉ là sự trải nghiệm, tích luỹ những tri thức mà Thầy học được. Trong học toán,

những điều mà thầy viết trong cuốn sách này sẽ ln bên cạnh bạn. Vì vậy, bằng cách

nào đó, Bạn có thể vận dụng những bí mật này hoặc một vài bí mật nào đó phù hợp với

Bạn để bản thân, chắc chắn bạn sẽ sớm trở nên vượt trội từ xuất phát điểm hiện tại. Học

xong cuốn sách này, Bạn sẽ thấy rằng Bạn giỏi hơn những gì mà bạn đã nghĩ!

Bộ sách mà Bạn đang cầm trên tay là bộ tài liệu cực kì giá trị. Dù Bạn ở bất kì

tầm nào thì Bạn cũng sẽ học được điều gì đó bổ ích đối với Bạn. Hãy đọc thật kĩ từng từ

ngữ, từng bài, từng dạng và hãy mở tâm hồn cho phép toán học chạm đến trái tim của

Bạn.

Bộ sách này có 2 tập, gồm 18 chuyên đề giúp Bạn phát triển năng lực toán học

để Bạn vươn lên một tầm cao mới!

Trong cuốn sách này, Thầy cũng chia sẻ những công thức, phân tích, hướng dẫn

và có một số ví dụ được giải minh hoạ. Cuối mỗi chuyên đề có Bài tập thực hành, Bạn

hãy xếp công việc để thực hành, khám phá và chiếm lĩnh tri thức cho riêng mình nhé!

CHUYÊN ĐỀ 11
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY
THÔNG QUA BÀI TỐN TRUNG BÌNH CỘNG

Tập 1, chúng ta đã cùng nhau tìm hiểu những bài tốn liên quan đến đếm hình, tơ
màu, dãy số, bài toán liên quan đến tiền, dấu hiệu chia hết, hình trịn, hình tam giác,
hình thang, hình hộp chữ nhật, hình lập phương. Để giúp các em phát huy năng lực tư
duy toán học, ứng dụng trong cuộc sống… trong chuyên đề này chúng ta cùng nhau
tìm hiểu một số bài tốn Trung bình cộng nhé !

I. MỘT SỐ DẠNG TỐN TRUNG BÌNH CỘNG

Dạng 1: Tìm trung bình cộng của nhiều số
“Muốn tìm trung bình cộng của nhiều số, ta tính tổng các số đó, rồi đem tổng vừa
tính chia cho số các số hạng”.

Phương pháp giải:
Bước 1: Xác định các số hạng có trong bài tốn
Bước 2: Tính tổng các số hạng vừa tìm được
Bước 3: Tìm số trung bình cộng

Trung bình cộng = Tổng các số hạng vừa tìm được: số các số hạng

Ví dụ 1: Tìm trung bình cộng của các số: 3; 5; 10; 12; 25.
Phân tích:

- Bài tốn đã cho có 5 số: 3; 5; 10; 12 và 25.
- Bài toán yêu cầu tìm số trung bình cộng của 5 số đã cho.
Hướng dẫn:
- Tìm tổng của 5 số hạng đã cho.
- Tìm số trung bình cộng của 5 số đó.

Bài giải:
Tổng của 5 số đã cho là:
3+5+10+12+25=55
Trung bình cộng của 5 số đã cho là:
55:5=11

Đáp số: 11.

Ví dụ 2. Khối 4 của một trường tiểu học gồm lớp 4A1, 4A2 và 4A3. Lớp 4A1 có 37
học sinh, lớp 4A2 có 35 học sinh, lớp 4A3 có 36 học sinh. Hỏi trung bình mỗi lớp có
bao nhiêu học sinh?
Phân tích:
- Số các số hạng ở đây là 3.
- Tổng các số hạng bằng tổng học sinh của 3 lớp cộng lại.
Hướng dẫn:
- Tìm tổng số học sinh của cả ba lớp.
- Tìm số trung bình cộng.

Bài giải:
Tổng số học sinh của ba lớp là:
37 + 35 + 36 = 108 (học sinh) Trung
bình mỗi lớp có số học sinh là:

108 : 3 = 36 (học sinh)

Đáp số: 36 học sinh.

Dạng 2: Tính trung bình cộng của các số cách đều nhau.
”Muốn tính trung bình cộng của một dãy số cách đều nhau, ta lấy tổng của số nhỏ
nhất và số lớn nhất chia cho 2.”

Ví dụ 3: Tính trung bình cộng của dãy số tự nhiên từ 110 đến 118.
Phân tích:
- Khoảng cách của hai số tự nhiên liên tiếp là 1.chọn cách 2
- Dãy số tự nhiên từ 110 đến 118 là (118-110):1+1 có 9 số là: 110; 111; 112; 113; 114;

115; 116; 117 và 118.

Cách giải:
Cách 1: Tìm tổng của 9 số đó rồi chia cho 9.
Cách 2: Chúng ta chỉ cần tìm tổng của số lớn nhất với số bé nhất rồi chia cho
2.

Bài giải:
Cách 1:
Trung bình cộng của các số đã cho là:
(110 + 111 + 112 + 113 + 114 + 115 + 116 + 117 +
118) :9=114

Cách 2:
Trung bình cộng của các số đã cho là:

(110 + 118): 2 = 114
Đáp số: 114.

Bài tập áp dụng 4: Tìm số trung bình cộng của tất cả các số chẵn từ 2 đến 98.
Phân tích:
- Các số chẵn từ 2 đến 98 là: 2; 4; 6; 8; 10; …; 94; 96; 98.
- Dễ dàng nhận thấy khoảng cách giữa hai số trong các số đã cho là 2.
Lưu ý: Các em chú ý các số chẵn từ 2 đến 98 chứ không phải chỉ có các số 2; 4; 6;
8; 10; 94; 96; 98.
Hướng dẫn: Chúng ta chỉ cần lấy tổng của số lớn nhất và số bé nhất rồi chia cho
2.

Bài giải:
Trung bình cộng của tất cả các số chẵn từ 2 đến 98 là:

(98+2):2=50
Đáp số: 50.
Dạng 3. Tìm tổng của các số khi biết trung bình cộng của các số.
“Muốn tìm tổng của các số, ta lấy số trung bình cộng nhân với số số hạng.”
Ví dụ 5. Tìm hai số, biết một trong hai số đó là số bé nhất có hai chữ số và trung
bình cộng của hai số đó là 25.

Phân tích:
- Số bé nhất có hai chữ số là 10.
- Trung bình cộng của hai số là 25 nên ta tìm được tổng của hai số.
- Tìm số cịn lại.
Hướng dẫn:

B1: Tìm tổng của hai số đó.
B2: Tìm số còn lại.

Bài giải:
Số bé nhất có hai chữ số là 10 nên số thứ nhất là 10.

Tổng của hai số đó là:
25×2=50

Số thứ hai là:

50-10=40.
Đáp số: 10 và 40.

Dạng 4: Dạng tốn bằng trung bình cộng
Ví dụ 6: Bác an có 30 thỏi vàng. Bác Thành có 36 thỏi vàng. Bác Minh có sốthỏi vàng
bằng trung bình cộng của cả ba bác. Hỏi bác Minh có bao nhiêu thỏi vàng?
Phân tích:
- Bác An có 30 thỏi vàng. Bác Thành có 36 thỏi vàng.
- Số thỏi vàng của bác Minh bằng trung bình cộng số thỏi vàng của cả ba bác, tức là số
thỏi vàng bác Minh bằng trung bình cộng số thỏi vàng của bác An và bác Thành.
Hướng dẫn:

B1: Tìm tổng số thỏi vàng của bác an và bác Thành.
B2: Tìm số thỏi vàng của bác Minh.

Bài giải:
Tổng số thỏi vàng của bác an và bác Thành là:

30 + 36 = 66 (thỏi vàng)
Số thỏi vàng của bác Minh là:

66: 2 = 33 (thỏi vàng)
Đáp số: 33 thỏi vàng.
Bài tập áp dụng 7: Một cửa hàng, ngày thứ nhất bán được 55m vải, ngày thứ hai bán

được 59m vải. Ngày thứ ba bán được số mét vải bằng trung bình cộng số mét vải của
ngày thứ nhất và thứ hai đã bán. Hỏi cả ba ngày cửa hàng đó bán được bao nhiêu mét
vải?
Phân tích:
- Một cửa hàng bán vải:
+ Ngày thứ nhất bán 55m vải.
+ Ngày thứ hai bán được 59m vải.
+ Ngày thứ ba bán được bằng trung bình cộng số mét vải của hai ngày đầu đã bán.
- Bài tốn u cầu tìm số mét vả bán được trong cả ba ngày.
Hướng dẫn:
B1: Tìm trung bình số mét vải bán được của ngày thứ ba.
B2: Tìm số mét vải bán được của cả ba ngày.

Bài giải:
Số mét vải ngày thứ ba bán được là:
(55 + 59) : 2 = 57 (m)
Cả ba đội bán được số mét vải là:
55 + 59 + 57 = 171 (m)
Đáp số: 171 mét vải.

Dạng 5. Dạng tốn ít hơn trung bình cộng một số đơn vị.

TBC của ba số = (a + b – n) : 2
Số c = TBC của ba số - n

- Giả sử cho bốn số: a, b, c, d. Trong đó, số d ít hơn TBC của bốn số là n thì:
TBC của bốn số = (a + b + c – n) : 3

Số d = TBC của bốn số - n

Ví dụ 8: An có 28 quyển vở, Ngun có 14 quyển vở. Mai có số vở ít hơn trung bình
cộng của cả ba bạn là 6 quyển vở. Hỏi Mai có bao nhiêu quyển vở?

Phân tích:

- An có 28 quyển vở, Nguyên có 14 quyển vở.

- Số vở của Mai có ít hơn trung bình cộng số vở của ba bạn là 6 quyển.

- Bài toán yêu cầu tìm số vở của Mai.

Hướng dẫn:

B1: Tìm trung bình cộng số vở của cả ba bạn.

B2: Tìm số vở của Mai.

Bài giải:

Trung bình cộng số vở của cả ba bạn là:

(28 + 14 - 6) : 2 = 18 (quyển vở)

Số vở của Mai là:

18 - 6 = 12 (quyển vở)

Đáp số: 12 quyển vở.

Dạng 6. Dạng toán nhiều hơn trung bình cộng một số đơn vị.

- Giả sử cho ba số: a, b, c. Trong đó, số c nhiều hơn TBC của ba số là n thì:

TBC của ba số = (a + b + n) : 2
Số c = TBC của ba số + n

- Giả sử cho bốn số: a, b, c, d. Trong đó, số d nhiều hơn TBC của bốn số là n thì:
TBC của bốn số = (a + b + c + n) : 3
Số d = TBC của bốn số + n

Ví dụ 9: An có 28 quyển vở, Nguyên có 14 quyển vở. Mai có số vở nhiều hơn trung
bình cộng của cả ba bạn là 6 quyển vở. Hỏi Mai có bao nhiêu quyển vở?
Phân tích:
- An có 28 quyển vở, Ngun có 14 quyển vở.
- Số vở của Mai có nhiều hơn trung bình cộng số vở của ba bạn là 6 quyển.
- Bài tốn u cầu tìm số vở của Mai.
Hướng dẫn:
- Tìm trung bình cộng số vở của cả ba bạn.
- Tìm số vở của Mai.

Bài giải:
Trung bình cộng số vở của cả ba bạn là:
(28 + 14 + 6) : 2 = 24 (quyển vở)
Số vở của Mai là:
24 + 6 = 30 (quyển vở)

Đáp số: 30 quyển vở.

Dạng 7: Tốn trung bình cộng trong bài tốn tính tuổi
Ví dụ 10: Trung bình cộng số tuổi của bố, mẹ và Xuân Tùng là 32 tuổi. Nếu khơng
tính tuổi mẹ thì trung bình cộng số tuổi của bố và Xuân Tùng là 28 tuổi. Hỏi mẹ Xn

Tùng bao nhiêu tuổi?
Phân tích:
- Trung bình cộng số tuổi của bố, mẹ và Xuân Tùng là 32 tuổi.
- Trung bình cộng số tuổi của bố và Xuân Tùng là 28 tuổi.
- Bài tốn u cầu tìm số tuổi của mẹ Xuân Tùng.
Hướng dẫn:
- Tìm tổng số tuổi của ba người.
- Tìm tổng số tuổi của bố và Xuân Tùng.
- Tìm số tuổi của mẹ Xuân Tùng.

Bài giải:
Tổng số tuổi của ba người là:
32 × 3 = 96 (tuổi)
Tổng số tuổi của bố và Xuân Tùng là:
28 × 2 = 56 (tuổi)
Tuổi của mẹ Xuân Tùng là:
96 – 56 = 40 (tuổi)

Đáp số: 40 tuổi.

BÀI TẬP THỰC HÀNH
Bài 1: Tìm số trung bình cộng của các số sau:
a) 45; 32; 12; 67; 74
b) 34; 76; 19; 35
c) 40; 50; 160; 10; 330

Bài 2: Một đội xe gạo, hai xe đầu mỗi xe chở được 3
tấn 5 tạ gạo, ba xe sau mỗi xe chở được 3150kg gạo.
Hỏi trung bình mỗi xe chở được bao nhiêu ki-lơ-gam
gạo?

Bài 3: Tìm 9 số chẵn liên tiếp, biết trung bình cộng của chúng là 102.
Bài 4: Tìm 10 số chẵn liên tiếp, biết trung bình cộng của chúng là 2021.
Bài 5: Tìm ba số lẻ liên tiếp, biết trung bình cộng của chúng là 2019.

Hãy lên tầm cao mới từ xuất phát điểm hiện tại
Bài 6: Kho thứ nhất có 9500kg thóc, kho thứ
hai có 12800kg thóc, kho thứ ba có số thóc
bằng trung bình cộng số thóc cả ba kho. Hỏi
kho thứ ba có bao nhiêu ki-lơ-gam thóc?

Bài 7: Thùng thứ nhất có 55 lít dầu, thùng thứ hai có
68 lít dầu. Thùng thứ ba có nhiều hơn trung bình
cộng số dầu của cả ba thùng là 5 lít dầu. Hỏi thùng
thứ ba có bao nhiêu lít dầu?

Bài 8: Một đội xe chở hàng, ba xe đầu mỗi xe chở
được 35 tạ hàng, hai xe sau mỗi xe chở được 45 tạ
hàng. Hỏi trung bình mỗi xe chở được bao nhiêu tạ
hàng?

Bài 9: Tìm hai số. Biết trung bình cộng của hai số là 52. Nếu viết thêm chữ số 5 vào
bên phải số thứ nhất thì được số thứ hai.
Bài 10: Một kho gạo, ngày thứ nhất xuất 108 tấn, ngày thứ hai xuất 270 tấn, ngày thứ
ba xuất 165 tấn. Hỏi trung bình mỗi ngày cửa hàng đã xuất được bao nhiêu tấn gạo?
Bài 11: Tìm trung bình cộng của các số lẻ khơng q 2031.
Bài 12: Lớp 4A góp sách tặng các bạn vùng bị bão lụt. Tổ Một và Tổ Hai góp được
45 quyển, Tổ Ba góp được 27 quyển. Hỏi trung bình mỗi tổ góp được bao nhiêu
quyển sách?
Bài 13: Xe A chở đươc̣ 20 tấn hàng, xe B chở đươc̣

30 tấn. Xe C chở được kém trung binh̀ công̣ của ba
xe là10 tấn. Hỏi xe C chởđươc̣ bao nhiêu tấn hàng?
Bài 14: An và Dương trồng cây ở vườn trường. Ngày đầu, hai bạn trồng được 34 cây,
ngày sau trồng được 30 cây. Hỏi trung bình mỗi ngày, một bạn trồng được bao nhiêu
cây?
Bài 15: Tìm trung bình cộng của các số chẵn từ 100 đến 200.

Bài 16: Một đồn có chín thuyền chở quặng nhơm. Bốn thuyền đầu, mỗi thuyền chở
5 tấn quặng nhơm, cịn lại mỗi thuyền chở 41 tạ quặng nhôm. Hỏi trung bình mỗi
thuyền chở được bao nhiêu tạ quặng nhơm?

Bài 17: Lớp 4A1 trồng được 35 cây, lớp 4A2 trồng được 32 cây, lớp 4A3 trồng được ít
hơn trung bình cộng số cây của của cả ba lớp là 1 cây. Hỏi lớp 4A3 trồng được bao nhiêu
cây?
Bài 18: Tìm hai số, biết trung bình cộng của hai số là 275 và số bé là số nhỏ nhất có 3
chữ số.
Bài 19: Lớp 4A1 trồng được 21 cây; lớp 4A2 trồng được 22 cây; lớp 4A3 trồng được
29 cây; lớp 4A4 trồng được số cây ít hơn trung bình cộng số cây của cả bốn lớp là 3
cây. Hỏi lớp 4A4 trồng được bao nhiêu cây?
Bài 20: Ở một đội bóng, tuổi trung bình của 11 cầu thủ là 22 tuổi. Nếu khơng tính đội
trưởng thì tuổi trung bình của 10 cầu thủ là 21 tuổi. Hỏi đội trưởng bao nhiêu tuổi?
Bài 21: Thùng A có 55 lít dầu, thùng B có 62 lít dầu. Thùng C có nhiều hơn trung
bình cộng số dầu của cả ba thùng là 5 lít dầu. Hỏi thùng C có bao nhiêu lít dầu?
Bài 22: Một tháng có 15 lần kiểm tra. Sau 10 lần kiểm tra đầu thì điểm trung bình của
An là 7. Hỏi với các lần kiểm tra cịn lại, trung bình mỗi lần phải đạt bao nhiêu điểm
để điểm trung bình của cả tháng là 8 điểm?
Bài 23: Nhân dịp khai giảng, An mua 10 quyển vở, Lan mua 20 quyển vở, Đào mua
số vở bằng trung bình cộng của 2 bạn trên, Tâm mua hơn trung bình cộng của cả bốn
bạn là 3 quyển. Hỏi Tâm mua bao nhiêu quyển vở?
Bài 24: An có số quyển sách là số lớn nhất có2 chữ số khác nhau. Số sách của Nam ít

hơn số sách của An là 4 quyển. Bình có số sách kém trung binh̀ công̣ số sách của ba
baṇ là 6 quyển. Hỏi Bình có bao nhiêu quyển sách?
Bài 25: Cho bốn chữ số: 1, 3, 5, 7.
a) Hỏi viết được bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau?
b) Tính trung bình cộng các số đó.

CHUYÊN ĐỀ 12

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỐN HỌC THƠNG QUA

BỐN DẠNG TỐN TỔNG - HIỆU THƯỜNG GẶP TRONG
CUỘC SỐNG

Trong chuyên đề trước, chúng ta đã cùng nhau tìm hiểu chuyên đề “Phát triển

năng lực tư duy thơng qua bài tốn trung bình cộng”. Thầy có nhận được một số thư từ

một số em học sinh trên cả nước muốn tìm hiểu về những bài tốn liên quan đến Tổng -

Hiệu. Những bài toán nào liên quan đến Tổng - Hiệu? Trong chuyên đề này, chúng ta

sẽ cùng nhau tìm hiểu Bốn dạng tốn Tổng - Hiệu thường gặp trong cuộc sống nhé !

I. LÍ THUYẾT

Để giải bài toán liên quan đến tổng - hiệu, các em cần chú ý công thức sau:

Công thức:

Số bé = (Tổng – Hiệu): 2 Số lớn = (Tổng + Hiệu): 2

Số bé = Tổng – Số lớn Số lớn = Tổng – Số bé

Số bé = Số lớn – Hiệu Số lớn = Số bé + Hiệu

II. BỐN DẠNG TOÁN TỔNG - HIỆU THƯỜNG GẶP TRONG CUỘC SỐNG
Dạng 1: Cho biết cả tổng và hiệu
Phương pháp giải: Vận dụng cơng thức trên để giải bài tốn.
Dạng 2: Cho biết tổng nhưng giấu hiệu
Phương pháp giải: Tìm hiệu. Khi đó bài tốn trở về dạng 1.
Dạng 3: Cho biết hiệu nhưng giấu tổng
Phương pháp giải: Tìm tổng. Khi đó bài tốn trở về dạng 1.
Dạng 4: Giấu cả tổng và hiệu
Phương pháp giải: Tìm tổng và hiệu. Khi đó bài tốn trở về dạng 1.
III. MỘT SỐ VÍ DỤ
Dạng 1: Cho biết cả tổng và hiệu
Ví dụ 1:
Tìm hai số, biết tổng của hai số bằng 38 và hiệu của hai số là 10.
Phân tích:
- Chúng ta biết tổng hai số là 38 và hiệu của hai số là 10.

- Bài tốn u cầu tìm hai số.
Hướng dẫn:
- Vận dụng cơng thức để tìm hai số đó.
Bài giải:
Số bé cần tìm là:
(38–10):2=14
Số lớn cần tìm là:
38–14=24
Đáp số: Số bé: 14. Số lớn: 24.

Ví dụ 2:
Bạn An cắt được 96 thẻ số gồm thẻ số 6 và thẻ số 8, trong đó thẻ
số 6 nhiều hơn thẻ số 8 là 22 thẻ số. Hỏi mỗi loại có bao nhiêu thẻ
số?

Phân tích:
- Bài tốn cho biết tổng hai loại thẻ là 96 thẻ số và hiệu số thẻ của hai loại là 22.
- Bài tốn u cầu tìm thẻ số của mỗi loại.
Hướng dẫn:

- Vận dụng cơng thức để tìm số thẻ mỗi loại.
Bài giải:
Loại thẻ số 6 có tất cả số thẻ là:
(96 – 22): 2 = 37 (thẻ)
Loại thẻ số 8 có tất cả số thẻ là:
96 – 37 = 59 (thẻ)
Hoăc̣ 37 + 22 = 59 (thẻ)
Đáp số: Thẻ số 6: 37 thẻ. Thẻ số 8: 59 thẻ.
Ví dụ 3:
Trong hai ngày, một đội công nhân sửa được 136m đường, biết ngày
thứ nhất sửa được nhiều hơn ngày thứ hai 28m đường. Hỏi mỗi ngày
đội cơng nhân đó sửa được bao nhiêu mét đường?

Phân tích:
- Bài tốn cho biết tổng số mét đường của hai ngày sửa được là 136m, ngày thứ nhất
sửa được nhiều hơn ngày thứ hai là 28m (đây chính là hiệu).
- Bài tốn hỏi mỗi ngày sửa được bao nhiêu mét đường?
Hướng dẫn:
- Vận dụng công thức để tìm số mét đường mỗi ngày sửa được.
Bài giải:

Ngày thứ nhất sửa được số mét đường là:
(136 + 28) : 2 = 82 (m)
Ngày thứ hai sửa được số mét đường là:
136 – 82 = 54 (m)
Hoặc 82 – 28 = 54 (m)
Đáp số: Ngày thứ nhất: 82 mét đường. Ngày thứ hai: 54 mét đường.
Dạng 2: Cho biết tổng nhưng giấu hiệu
Phương pháp giải: Tìm hiệu, sau đó giải bài tốn như dạng 1.
Ví dụ 4:
Tổng số dầu của hai thùng là 90 lít dầu. Sau khi sử dụng hết
16 lít ở thùng thứ nhất thì thấy thùng thứ nhất vẫn còn nhiều
hơn thùng thứ hai 6 lít. Hỏi ban đầu mỗi thùng có bao nhiêu lít
dầu?

Phân tích:
- Bài tốn cho biết tổng số lít dầu của hai thùng là 90 lít nhưng chưa biết hiệu. Làm thế
nào để tìm hiệu? Dễ thấy rằng sau khi sử dụng hết 16 lít dầu ở thùng thứ nhất mà
thùng thứ nhất vẫn nhiều hơn thùng thứ hai 6 lít. Tức là hiệu số lít dầu ban đầu là 16 +
6 = 22 lít. Bài tốn trở về dạng 1.
- Bài tốn u cầu tìm số lít dầu ban đầu của mỗi thùng.
Hướng dẫn:
Cách 1:
- Tìm hiệu số lít dầu ban đầu của hai thùng.
- Vận dụng công thức để tìm số lít dầu của mỗi thùng.

Ngồi ra, bài tốn này có thể giải theo cách sau:
- Tìm tổng mới (sau khi thùng thứ nhất sử dụng hết 16 lít).
- Tìm số lít dầu ban đầu của mỗi thùng.
Bài giải:
Cách 1:

Ban đầu thùng thứ nhất nhiều hơn thùng thứ hai số lít dầu là:
16 + 6 = 22 (l)
Ban đầu thùng thứ nhất có số lít dầu là:
(90 + 22) : 2 = 56 (l)
Ban đầu thùng thứ hai có số lít dầu là:
90 – 56 = 34 (l)
Hoặc 56 – 22 = 34 (l)
Cách 2:
Sau khi thùng thứ nhất sử dụng hết 16 thì tổng số lít dầu của hai thùng lúc này là:
90 – 16 = 74 (l)
Ban đầu thùng thứ nhất có số lít dầu là:
(74 + 6) : 2 + 16 = 56 (l)
Ban đầu thùng thứ hai có số lít dầu là:
90 – 56 = 34 (l)
Đáp số: Thùng thứ nhất: 56 lít dầu. Thùng thứ hai: 34 lít dầu.
Ví dụ 5:

Hải và Hà có tất cả 52 viên sỏi, sau khi Hà cho Hải 7 viên sỏi
thì số viên sỏi của hai bạn bằng nhau. Hỏi ban đầu mỗi bạn có
bao nhiêu viên sỏi?

Phân tích:
- Chúng ta biết tổng số viên sỏi của hai bạn là 52 nhưng chưa biết hiệu. Dựa vào đâu
để tìm hiệu? Nhận thấy, sau khi Hà cho Hải 7 viên sỏi thì số viên sỏi của hai bạn bằng
nhau, có nghĩa là Hải được nhận 7 viên sỏi, cịn Hà thì bớt đi 7 viên sỏi thì số viên sỏi
của hai bạn bằng nhau. Từ đây, em tìm được hiệu số viên sỏi ban đầu. Bài tốn trở về
dạng 1.
- Bài tốn u cầu tìm số viên sỏi ban đầu của mỗi bạn.
Hướng dẫn:
Cách 1:

- Tìm số viên sỏi của mỗi bạn sau khi Hà cho Hải 7 viên sỏi.
- Tìm số viên sỏi ban đầu của mỗi bạn.
- Tìm hiệu số viên sỏi của hai bạn.
- Vận dụng cơng thức để tìm số viên sỏi của mỗi bạn.
Bài giải:
Cách 1:
Sau khi Hà cho Hải 7 viên sỏi thì số viên sỏi của hai bạn bằng nhau, tức là mỗi bạn có
số viên sỏi là:
52: 2 = 26 (viên sỏi)
Ban đầu, Hải có số viên sỏi là:
26 – 7 = 19 (viên sỏi)
Ban đầu, Hà có số viên sỏi là:
26 + 7 = 33 (viên sỏi)
Cách 2:
Hà có nhiều hơn Hải số viên sỏi là:
7 × 2 = 14 (viên sỏi)
Ban đầu, Hải có số viên sỏi là:
(52 – 14): 2 = 19 (viên sỏi)
Ban đầu, Hà có số viên sỏi là:
19 + 14 = 33 (viên sỏi)
Hoặc (52 + 14): 2 = 33 (viên sỏi)

Đáp số: Hà: 33 viên sỏi. Hải: 19 viên sỏi.
Qua ví dụ 5, các em lưu ý khi tìm hiệu ban đầu: Nếu chuyển từ A (số thứ nhất, kho A,
…) sang B (số thứ hai, kho B,…) n đơn vị (số tấn, tạ, m, kg,…) thì hiệu của A và B bằng
n × 2.
Ví dụ 6:
Hải và Hà có tất cả 52 nhãn vở. Sau khi Hà cho Hải 7 nhãn vở thì
số nhãn vở của Hà vẫn nhiều hơn Hải 4 nhãn vở. Hỏi ban đầu
mỗi bạn có bao nhiêu nhãn vở?

Phân tích:
- Tổng số nhãn vở của hai bạn là 52 nhãn vở, nhưng em băn khoăn chưa biết hiệu?
Làm thế nào để tìm được hiệu? Em để ý thấy rằng sau khi Hà cho Hải 7 nhãn vở thì có
nghĩa là số nhãn vở của Hà giảm đi 7, còn số nhãn vở của Hải tăng thêm 7. Nói cách
khác là tổng khơng đổi (vẫn là 52 nhãn vở). Hiệu mới chính là 4 nhãn vở (Hà hơn Hải
4 nhãn vở). Nhưng em muốn tìm hiệu ban đầu thì sẽ làm thế nào? Hãy lấy: 7 × 2 + 4 =
18 nhãn vở.
- Bài toán yêu cầu tìm số nhãn vở ban đầu của mỗi bạn.
Hướng dẫn:
Theo phân tích trên, chúng ta xác định hiệu rồi tìm số nhãn vở ban đầu của mỗi bạn.
Bài giải:
Cách 1:
Ban đầu, Hà có số nhãn vở là:
(52 + 4) : 2 + 7 = 35 (nhãn vở)
Ban đầu, Hải có số nhãn vở là:
52 – 35 = 17 (nhãn vở)
Cách 2:
Hiệu số nhãn vở của Hà và Hải là:
7 × 2 + 4 = 18 (nhãn vở)
Ban đầu, Hà có số nhãn vở là:
(52 + 18) : 2 = 35 (nhãn vở)
Ban đầu, Hải có số nhãn vở là:

52 – 35 = 17 (nhãn vở)
Đáp số: Hà: 35 nhãn vở. Hải: 17 nhãn vở.
Qua ví dụ 6, các em lưu ý khi tìm hiệu ban đầu: Sau khi chuyển từ A (số thứ nhất, kho
A, …) sang B (số thứ hai, kho B,…) n đơn vị (số tấn, tạ, m, kg,…) mà A vẫn nhiều
hơn B a đơn vị (số tấn, tạ, m, kg,…) thì hiệu ban đầu của A và B bằng n × 2 + a.
Ví dụ 7:

Hải và Hà có tất cả 52 nhãn vở. Sau khi Hà cho Hải 7 nhãn vở thì
số nhãn vở của Hà ít hơn Hải 4 nhãn vở. Hỏi ban đầu Hà có bao
nhiêu nhãn vở?

Phân tích:
- Mới đọc đề bài, có nhiều học sinh tưởng rằng ví dụ 6 và ví dụ 7 giống nhau. Thực tế,
em để ý sẽ thấy ở ví dụ 6 là sau khi Hà cho Hải 7 nhãn vở thì Hà vẫn nhiều hơn Hải 4
nhãn vở, cịn ở ví dụ 7 thế nào? Ở ví dụ 7, sau khi Hà cho Hải 7 nhãn vở thì Hà ít hơn
Hải 4 nhãn vở. Các em chú ý chỗ này nhé!
Vậy, bài này giải như thế nào?
Hướng dẫn:
- Theo phân tích trên, chúng ta xác định được hiệu mới (Hải hơn Hà 4 nhãn vở) hoặc
hiệu ban đầu (7 × 2 – 4 = 10 nhãn vở)
- Tìm số nhãn vở ban đầu của mỗi bạn.
Bài giải:
Cách 1:
Sau khi cho Hải 7 nhãn vở thì Hà cịn lại số nhãn vở là:
(52 – 4) : 2 = 24 (nhãn vở)
Ban đầu, Hà có số nhãn vở là:
24 + 7 = 31 (nhãn vở)
Cách 2:
Ban đầu, Hà hơn Hải số nhãn vở là:
7 × 2 – 4 = 10 (nhãn vở)
Ban đầu, Hà có số nhãn vở là:

(52 + 10) : 2 = 31 (nhãn vở)
Đáp số: 31 nhãn vở.
Qua ví dụ 7, các em lưu ý khi tìm hiệu ban đầu: Sau khi chuyển từ A (số thứ nhất, kho
A, …) sang B (số thứ hai, kho B,…) n đơn vị (số tấn, tạ, m, kg,…) mà A ít hơn B a
đơn vị (số tấn, tạ, m, kg,…) thì hiệu ban đầu của A và B bằng n × 2 – a.

Dạng 3: Cho biết hiệu nhưng giấu tổng
Ví dụ 8:
Tổng hai số là số lớn nhất có hai chữ số khác nhau. Tìm hai số,
biết số lớn hơn số bé 22 đơn vị.

Phân tích:
- Bài toán cho biết hiệu hai số là 22 đơn vị, nhưng chưa biết tổng. Làm thế nào để tìm
được tổng? Em cịn nhớ số lớn nhất có hai chữ số khác nhau là số nào khơng? - Bài
tốn u cầu tìm hai số.
Hướng dẫn:
- Tìm tổng hai số.
- Vận dụng cơng thức tìm mỗi số theo u
cầu. Bài giải:
Số lớn nhất có hai chữ số khác nhau là 98 nên tổng hai số là
98. Số bé cần tìm là:
(98–22):2= 38 Số
lớn cần tìm là:
98–38=60
Hoặc (98 + 22) : 2 = 60
Đáp số: Số bé: 38. Số lớn: 60.
Ví dụ 9:
Chu vi một mảnh đất hình chữ nhật là 186m, biết chiều dài hơn
chiều rộng 15m. Tìm chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó.

Phân tích:

Toan Tư duy Einstein – Tài liệu lưu hành nội bộ 21
́|

Hãy lên tầm cao mới từ xuất phát điểm hiện tại

- Bài toán cho biết chiều dài hơn chiều rộng là 15m (đây chính là hiệu). Thế cịn tổng
thì sao nhỉ? Muốn tìm tổng chiều dài và chiều rộng thì ta lấy chu vi chia cho 2, em
nhé!
- Bài tốn u cầu tìm diện tích.
Hướng dẫn:
- Tìm tổng chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó.
- Tìm chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó.

Bài giải:
Nửa chu vi chính là tổng chiều rộng và chiều dài của mảnh đất đó và bằng:
186 : 2 = 93 (m)
Chiều rộng mảnh đất đó là:
(93 – 15) : 2 = 39 (m)
Chiều dài mảnh đất đó là:
39 + 15 = 54 (m)
Đáp số: Chiều rộng: 39m. Chiều dài: 54m.
Dạng 4: Giấu cả tổng và hiệu
Ví dụ 10:

Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là 140m. Nếu tăng
chiều rộng thêm 5m và bớt chiều dài đi 5m thì mảnh đất hình
chữ nhật đó trở thành một mảnh đất hình vng. Tính diện
tích mảnh đất hình chữ nhật đó.
Phân tích:
- Nếu gặp bài tốn dạng này, em biết cách tìm tổng rồi chứ? Lấy chu vi chia cho 2.
Thế cịn hiệu thì sao nhỉ? Nhớ rằng chiều rộng tăng thêm 5m, chiều dài giảm đi 5m thì
mảnh đất đó trở thành hình vng. Từ đây, em tìm được hiệu chiều dài và chiều rộng.
- Bài tốn u cầu tìm diện tích mảnh đất đó.
Hướng dẫn:
- Tìm tổng chiều dài và chiều rộng. Tìm hiệu chiều dài và chiều rộng.

- Tìm diện tích của mảnh đất đó.

Bài giải:

Toan Tư duy Einstein – Tài liệu lưu hành nội bộ 22
́|