Xây dựng hệ thống bài tập theo chủ đề tổ hợp trong trường trung học phổ thông chuyên nhằm phát triển tư duy sáng tạo

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC



LÊ ĐỨC THỊNH



XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP THEO CHỦ ĐỀ TỔ HỢP
TRONG TRƢỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN
NHẰM PHÁT TRIỂN TƢ DUY SÁNG TẠO


LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN)
Mã số: 60 14 10


Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Lê Anh Vinh



HÀ NỘI – 2013

i

DANH MỤC CÁC BẢNG

Trang
Bảng 3.1. Nhận xét của học sinh lớp thực nghiệm về bài giảng… …
76
Bảng 3.2. Mức độ hứng thú của học sinh ở hai lớp thực nghiệm và đối
chứng…………………………………………………………………

77
Bảng 3.3. Kết quả ba bài kiểm tra của 48 em học sinh ở hai lớp……
79

ii

DANH MỤC CÁC HÌNH

Trang
Hình 2.1. Tô bàn cờ bằng 4 màu xanh, đỏ, tím, vàng…… ……………
22
Hình 2.2. Tô màu bảng
55
bằng 3 màu 1, 2, 3……… ……………
23
Hình 2.3. Cách lát bằng 8 miếng lát
13
trừ ra ô chính giữa…………
23
Hình 2.4. Tô lại bàn cờ
66
bằng 4 màu xanh, đỏ, tím, vàng…… …
24
Hình 2.5. Tô màu bàn cờ
4 n
…………………………………… …
27
Hình 2.6. Tô màu các điểm nguyên của
3
S
…………………… ……
28
Hình 2.7. Hai dạng miếng lát………………………………… ………

32
Hình 2.8. Tô màu bảng
22kk
………………………………………
35


















iii
MỤC LỤC

Trang
Lời cảm ơn………………………………… …………………………
i
Danh mục các bảng…………………………… ………………………

ii
Danh mục các hình vẽ…………………………… ……………………
iii
Mục lục……………………………………………… ………………
iv
MỞ ĐẦU………………………………………………… ………
1
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN……………… ……
5
1.1. Tổ hợp và vai trò trong chương trình chuyên toán………………
5
1.1.1. Tổ hợp………………………………… ………………………
5
1.1.2. Vai trò của Tổ hợp trong chương trình chuyên toán…… ………
5
1.1.3. Một số dạng bài tập và phương pháp trong Tổ hợp……… ……
6
1.2. Phương pháp dạy học phát triển tư duy sáng tạo trong Tổ hợp…
9
1.2.1. Phương pháp dạy học phát triển tư duy sáng tạo………………
9
1.2.2. Sử dụng phương pháp dạy học phát triển tư duy sáng tạo trong
Tổ hợp…………………………………………………………………

14
1.2.3. Sử dụng phương pháp dạy học phát triển tư duy sáng tạo trong
hướng dẫn học sinh học Tổ hợp………………………………… ……

15
1.3. Thực trạng việc sử dụng phương pháp dạy học phát triển tư duy

sáng tạo trong Tổ hợp………………………………………………….

16
Chƣơng 2: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP………… ………
18
2.1. Yêu cầu về kiến thức và kĩ năng……………………… …………
18
2.1.1. Yêu cầu về kiến thức…………………………………… ………
18
2.1.2. Yêu cầu về kĩ năng………………………………………… …
18
2.2. Những nội dung kiến thức và các dạng bài tập…………………
18
2.2.1. Nội dung kiến thức……………………………………………
18
2.2.2. Các dạng bài tập và phương pháp giải………… …………
19

iv
2.3. Xây dựng hệ thống bài tập…………………… …………………
19
2.3.1. Phương pháp tô màu…………………………… ……………….
19
2.3.2. Mạng lưới nguyên………………………………… ……………
36
2.3.3. Định lý Helly………………………………………… …………
51
2.4. Soạn thảo tiến trình dạy học……………………………… ………
72
Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM……………………… …

74
3.1. Mục đích, nhiệm vụ, đối tượng thực nghiệm sư phạm…………
74
3.1.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm………………………………
74
3.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm………………… ……………
74
3.3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm………… ……………
74
3.1.3. Đối tượng thực nghiệm sư phạm……………………… ……
74
3.2. Phương pháp thực nghiệm sư phạm…………………………… …
74
3.2.1. Chọn mẫu………………………………………………………
74
3.2.2. Phương pháp tiến hành………………………………………….
75
3.2.3. Xây dựng tiêu chí đánh giá……………………………………
75
3.3. Kết quả thực nghiệm sư phạm…………………………………….
75
3.3.1. Phân tích định tính kết quả thực nghiệm sư phạm……………
75
3.3.2. Phân tích định lượng kết quả thực nghiệm sư phạm……………
76
3.3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm………………………
80
KẾT LUẬN
81
TÀI LIỆU THAM KHẢO

82



1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Tổ hợp là chủ đề khó trong chương trình trung học phổ thông chuyên.
Trong các kì thi học sinh giỏi Toán các cấp, Tổ hợp thường chiếm tới 20 – 30%
tổng số bài. Tuy nhiên, học sinh Việt Nam nói chung còn tương đối yếu về mảng
toán này. Nguyên nhân chính là các bài toán này thường không yêu cầu nhiều
kiến thức nhưng mỗi bài toán lại đòi hỏi những suy luận, sáng tạo riêng để giải
quyết.
Thực tế cho thấy, cả giáo viên lẫn học sinh hiện nay khi dạy và học Tổ
hợp thường mới chỉ dừng lại ở mức độ tổng hợp bài tập và lời giải chứ chưa
xây dựng được một hệ thống các phương pháp để phát triển tư duy sáng tạo
và sự chủ động của học sinh trong chủ đề này. Điều này dẫn đến khi học sinh
gặp một bài toán Tổ hợp được phát biểu hơi khác những gì đã được học sẽ
gặp những lúng túng nhất định, thậm chí là không phát hiện ra sự liên kết với
các bài toán có liên quan.
Dạy học phát triển tư duy sáng tạo là phương pháp nhằm tìm ra các
phương án, biện pháp thích hợp để kích hoạt khả năng sáng tạo và đào sâu khả
năng tư duy của một cá nhân hay một tập thể về một đề tài hay lĩnh vực nào đó.
Vì vậy, tôi đã chọn đề tài “Xây dựng hệ thống bài tập theo chủ đề tổ hợp trong
trường trung học phổ thông chuyên nhằm phát triển tư duy sáng tạo” nhằm kích
thích và phát huy khả năng suy luận cũng như sự chủ động cho học sinh trong
chuyên đề này. Tôi hi vọng rằng hệ thống bài tập và phương pháp giải được xây
dựng trong đề tài này sẽ là một tài liệu tham khảo có giá trị nhằm nâng cao năng
lực dạy và học Tổ hợp cho giáo viên và học sinh các trường trung học phổ thông
chuyên.

2. Lịch sử nghiên cứu
Đã có một số tài liệu tham khảo về Tổ hợp, ví dụ như cuốn Các bài
giảng Hình học Tổ hợp của PGS. TS. Nguyễn Hữu Điển và cuốn Hình học Tổ

2
hợp của PGS. TSKH. Vũ Đình Hòa, nhưng các tài liệu này phần lớn chỉ tập
chung vào hệ thống các bài tập chứ chưa chú trọng đến các phương pháp
giảng dạy môn học để phát triển tư duy sáng tạo và sự chủ động của học sinh
trong chủ đề này.
3. Mục tiêu nghiên cứu
Trong đề tài này, tôi sẽ xây dựng một hệ thống các bài tập, từ trực quan
đến trừu tượng, nhằm kích thích và phát huy tính sáng tạo cũng như sự chủ
động cho học sinh.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
-) Nghiên cứu chương trình trung học phổ thông chuyên hiện hành, và các
dạng bài toán Tổ hợp. Hệ thống hóa các dạng bài tập và phương pháp giải.
-) Vận dụng phương pháp dạy học phát triển tư duy sáng tạo để xây dựng hệ
thống các dạng bài tập nhằm giúp học sinh giải các bài tập hiệu quả.
-) Xây dựng tiến trình dạy học hướng dẫn học sinh giải bài tập theo phương
pháp dạy học phát triển tư duy sáng tạo.
-) Thực nghiệm sư phạm.
5. Phạm vi nghiên cứu
Xây dựng hệ thống bài tập phong phú và đa dạng giúp giáo viên giảng
dạy môn Tổ hợp cho học sinh giỏi ở các trường trung học phổ thông chuyên.
6. Mẫu khảo sát
-) Thực tiễn về việc vận dụng phương pháp dạy học phát triển tư duy sáng tạo
trong môn học Tổ hợp của giáo viên trường trung học phổ thông Chuyên Trần
Phú, thành phố Hải Phòng.
-) Thực tiễn về việc vận dụng phương pháp dạy học phát triển tư duy sáng tạo
trong môn học Tổ hợp của học sinh trường trung học phổ thông Chuyên Trần

Phú, thành phố Hải Phòng.

3
7. Vấn đề nghiên cứu
-) Vai trò của phương pháp dạy học phát triển tư duy sáng tạo trong chuyên đề
Tổ hợp cho các trường trung học phổ thông chuyên.
-) Vận dụng phương pháp dạy học phát triển tư duy sáng tạo như thế nào để
phát triển tư duy và kích thích sự chủ động cho học sinh trong việc học Tổ
hợp ở các trường trung học phổ thông chuyên, cụ thể là trường trung học phổ
thông Chuyên Trần Phú, thành phố Hải Phòng.
8. Giả thuyết nghiên cứu
Vận dụng phương pháp dạy học phát triển tư duy sáng tạo để xây dựng
các dạng bài tập Tổ hợp cho học sinh trung học phổ thông chuyên sẽ giúp học
sinh phát huy tính sáng tạo cũng như sự chủ động trong việc hệ thống hóa
kiến thức, phát triển kĩ năng giải bài tập và khả năng ứng biến trước những
bài tập có cách phát biểu mới lạ.
9. Phƣơng pháp nghiên cứu
9.1. Nghiên cứu lí luận
-) Nghiên cứu cơ sở lý luận để làm sáng tỏ vai trò của phương pháp dạy học
phát triển tư duy sáng tạo trong chuyên đề Tổ hợp ở các trường trung học phổ
thông chuyên.
-) Nghiên cứu chương trình, giáo trình, tài liệu hướng dẫn về chuyên đề này,
nội dung các sách tham khảo có liên quan để xác định mức độ nội dung và
yêu cầu về mặt kiến thức, kĩ năng giải bài tập mà học sinh cần nắm vững.
9.2. Nghiên cứu thực tiễn
-) Tìm hiểu nội dung, phương pháp và hình thức tổ chức việc hệ thống hóa bài
tập và lời giải cho chuyên đề Tổ hợp ở các trường trung học phổ thông
chuyên theo phương pháp dạy học phát triển tư duy sáng tạo.

4

-) Điều tra thực tiễn với giáo viên giảng dạy tại trường trung học phổ thông
Chuyên Trần Phú, thành phố Hải Phòng và với học sinh thuộc các đội dự
tuyển…
9.3. Thực nghiệm sƣ phạm
-) Tiến hành giảng dạy song song nhóm đối chứng và nhóm thực nghiệm ở
trường trung học phổ thông Chuyên Trần Phú, thành phố Hải Phòng theo
phương án đã xây dựng.
-) Trên cơ sở phân tích định tính và định lượng kết quả thu được trong quá
trình thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi và tính hiệu quả của các
biện pháp do đề tài đưa ra.
10. Các luận cứ
Dạy học phát triển tư duy sáng tạo là phương pháp nhằm tìm ra các
phương án, biện pháp thích hợp để kích hoạt khả năng sáng tạo và để đào sâu
khả năng tư duy của một cá nhân hay một tập thể về một đề tài hay lĩnh vực
nào đó. Phương pháp này giúp cá nhân hay tập thể thực hành tìm ra các
phương án, các lời giải từ một phần đến toàn bộ cho các vấn đề hóc búa.
Trong giáo dục phổ thông, luyện tập cho học sinh phương pháp tư duy
sáng tạo là cực kì quan trọng giúp cho học sinh được tiếp cận một cách khoa học
về phương pháp luận và các mối quan hệ trong các vấn đề được đặt ra, tạo điều
kiện thuận lợi cho việc chủ động tích cực của người học được phát huy.
11. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung chính của
luận văn được trình bày trong 03 chương:
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chương 2: Xây dựng hệ thống bài tập
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm



5

CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Tổ hợp và vai trò trong chƣơng trình chuyên toán
1.1.1. Tổ hợp
Toán học rời rạc (tiếng Anh: discrete mathematics) là tên chung của
nhiều ngành toán học có đối tượng nghiên cứu là các tập hợp rời rạc, các
ngành này được tập hợp lại từ khi xuất hiện khoa học máy tính làm thành cơ
sở toán học của khoa học máy tính. Nó còn được gọi là toán học dành cho
máy tính. Người ta thường kể đến trong Toán học rời rạc Lý thuyết Tổ hợp,
Lý thuyết Đồ thị, Lý thuyết độ phức tạp, Đại số Boole.
Một quan điểm rộng rãi hơn, gộp tất cả các ngành toán học làm việc
với các tập hữu hạn hoặc đếm được vào toán học rời rạc như Số học modulo
m, Lý thuyết nhóm hữu hạn, Lý thuyết mật mã,
Toán học Tổ hợp (hay Giải tích Tổ hợp, Đại số Tổ hợp, Lý thuyết Tổ
hợp) là một ngành Toán học rời rạc, nghiên cứu về các cấu hình kết hợp các
phần tử của một tập hữu hạn phần tử. Các cấu hình đó là các hoán vị, chỉnh
hợp, tổ hợp, các phần tử của một tập hợp.
1.1.2. Vai trò của Tổ hợp trong chương trình chuyên toán
Trong phạm vi ở trường trung học phổ thông chuyên, Toán rời rạc nói
chung và Toán Tổ hợp nói riêng bao gồm các bài toán có đặc trưng phát biểu
và cách giải rất đơn giản, không cần nhiều kỹ thuật. Việc giải các bài toán này
đòi hỏi sự sắc bén trong tư duy, sự trong sáng trong cách suy nghĩ. Mỗi bài
toán rời rạc, Tổ hợp thường mang tính "riêng biệt", khó có thể hệ thống chúng
lại với nhau. Và rất nhiều bài toán đem lại cho người đọc một cảm giác thú vị
vì lời giải của chúng rất đẹp, đơn giản và đầy bất ngờ.
Tổ hợp là chủ đề khó trong chương trình trung học phổ thông chuyên.
Trong các kì thi học sinh giỏi Toán các cấp, Tổ hợp thường chiếm tới 20 – 30

6

phần trăm tổng số bài. Tuy nhiên, học sinh Việt Nam nói chung còn tương đối
yếu về mảng toán này. Nguyên nhân chính là các bài toán này thường không
yêu cầu nhiều kiến thức nhưng mỗi bài toán lại đòi hỏi những suy luận, sáng
tạo riêng để giải quyết vấn đề. Ngoài ra cũng còn là vì Tổ hợp thường là các
bài toán khó nhất, mang tính phân loại học sinh nên học sinh của chúng ta
cũng thường có tư tưởng "sợ" Tổ hợp, coi Tổ hợp như một con "ngáo ộp" và
vì vậy không dám dành thời gian thỏa đáng để nghiên cứu, học tập và giải
toán Tổ hợp. Điều này gây nên sự lãng phí trong rất nhiều trường hợp.
1.1.3. Một số dạng bài tập và phương pháp trong Tổ hợp
Thực tế cho thấy, cả giáo viên lẫn học sinh hiện nay khi dạy và học Tổ
hợp thường mới chỉ dừng lại ở mức độ tổng hợp bài tập và lời giải chứ chưa
xây dựng được một hệ thống các phương pháp để phát triển tư duy sáng tạo
và sự chủ động của học sinh trong chủ đề này. Điều này dẫn đến khi học sinh
gặp một bài toán Tổ hợp được phát biểu hơi khác những gì đã được học sẽ
gặp những lúng túng nhất định, thậm chí là không phát hiện ra sự liên kết với
các bài toán có liên quan.
Trong mục này tác giả xin giới thiệu sơ lược một số dạng bài tập Tổ
hợp, rời rạc và các phương pháp giải chúng:
Phương pháp đếm bằng các quy tắc cơ bản
Đây là các bài toán đếm số lượng các phần tử thỏa mãn một điều kiện
cho trước nào đó mà các kiến thức cần huy động chỉ xoay quanh các quy tắc
cộng, quy tắc nhân, hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp, chỉnh hợp lặp, quy tắc cộng
tổng quát Trong phần này điều quan trọng trong thực hành là học sinh phải
biết cách phân chia công việc của mình thành các công đoạn đếm đơn giản
với một thứ tự thực hiện tối ưu.
Phương pháp đếm bằng truy hồi
Phương pháp này thường xuất hiện trong các bài toán có số liệu là các
số nguyên dương lớn hoặc số nguyên dương bất kỳ (điều này cũng hay gặp vì

7

nhiều đề toán hay có xu hướng ra số liệu phù hợp với năm thi). Khi đó học
sinh có thể tìm cách đưa bài toán đã cho về bài toán với số liệu nhỏ hơn 1, 2
đơn vị hoặc cũng có thể là nhỏ hơn nữa (tương ứng với bài toán truy hồi cấp
1, 2 hoặc cấp cao hơn).
Phương pháp đếm bằng song ánh
Phương pháp này đòi hỏi học sinh phải biết cách xây dựng một ánh xạ
hợp lý để so sánh số phần tử của tập hợp này với một tập hợp khác mà việc
đếm số phần tử của tập mới đơn giản hơn tập ban đầu. Hoặc trong nhiều
trường hợp cũng có thể phải thay đổi cách nhìn của bài toán, chẳng hạn có
khá nhiều bài toán có thể có cách nhìn đơn giản hơn bằng cách sử dụng xâu
nhị phân
Phương pháp sử dụng hàm sinh
Đây là một phương pháp khá đặc biệt và cũng tương đối "nhạy cảm"
khi sử dụng sự hội tụ của chuỗi lũy thừa "hình thức" để đếm số phần tử hoặc
tính toán rút gọn một tổng có nhiều, thậm chí là vô hạn phần tử.
Phương pháp sử dụng lý thuyết đồ thị
Phương pháp này chuyển cách phát biểu của bài toán về cách phát biểu
theo ngôn ngữ đồ thị. Ở dạng đơn giản nhất thì chỉ cần sử dụng các khái niệm,
kết quả khá hiển nhiên xoay quanh bậc của các đỉnh. Ở các mức độ cao hơn
có thể sử dụng các định lý, kết quả kinh điển như Euler, Hamilton, Ramsey,
Ore, Dirac,
Phương pháp sử dụng số phức
Số phức là một công cụ đặc biệt, một công cụ ảo nhưng có giá trị rất
thật, không những được áp dụng có hiệu quả trong Hình học, Đại số, Lượng
giác, Số học, mà trong Tổ hợp cũng có thể được sử dụng để đếm, chứng
minh.



8

Phương pháp đếm bằng hai cách
Đây là phương pháp sử dụng nguyên lý Fubini, hiểu nôm na giống như
ta đếm số phần tử của một bảng ô vuông hình chữ nhật theo hai cách: cộng
theo dòng hoặc cộng theo cột, từ đó có thể sử dụng để đếm kết quả bài toán
hoặc để chứng minh các đẳng thức Tổ hợp.
Phương pháp tô màu
Tô màu thực chất là phân chia các đối tượng thành các nhóm có các
tính chất khác nhau để từ đó chứng minh một đối tượng không thỏa mãn điều
kiện đề bài yêu cầu hoặc là tìm ra tính chất của đối tượng thỏa mãn. Đương
nhiên điều quan trọng nhất ở đây là nên chia các đối tượng này theo tính chất
nào, cũng có nghĩa là nên tô màu như thế nào?
Phương pháp sử dụng đại lượng bất biến, đơn biến
Đây là phương pháp ta cần tìm ra các đại lượng không thay đổi hoặc là
thay đổi theo chiều hướng đơn điệu trong suốt quá trình biến đổi mà bài toán
đề cập đến. Thông thường là xoay quanh tính đối xứng, tính chẵn lẻ, số dư khi
chia cho một số nào đó, tổng, tích của các phần tử
Phương pháp sử dụng đại lượng cực biên
Phương pháp này nghiên cứu tính chất của các đại lượng lớn nhất hoặc
bé nhất theo một nghĩa nào đấy để giải bài toán. Phương pháp này có ý nghĩa
trong cả các bài toán Đại số Tổ hợp cũng như Hình học Tổ hợp.
Phương pháp sử dụng nguyên lý Dirichlet
Phương pháp này xoay quanh nội dung rất đơn giản về chuồng và thỏ,
tuy nhiên ứng dụng của nó rất đa dạng trong việc xây dựng đâu là chuồng và
đâu là thỏ.
Mạng lưới nguyên
Bài toán trên mạng lưới nguyên có liên quan đến bài toán về bảng ô
vuông hay bài toán trên bàn cờ. Một kết quả hay sử dụng của phần này là định
lý Pic về diện tích đa giác nguyên.

9

Bài toán trên bàn cờ
Cũng có nét giống bài toán trên mạng lưới nguyên, tuy nhiên các bài
toán ở phần này còn đa dạng hơn do còn có cách di chuyển đặc trưng rất khác
nhau của các quân cờ.
Các bài toán về hình lồi
Mảng bài tập phần này bao gồm nhiều bài toán khó về hình lồi, bao lồi.
Một kết quả hay sử dụng của phần này là định lý Helly về giao của các hình
lồi.
Các bài toán về trò chơi
Phần này chỉ ra các đặc tính chung về tình huống thắng, tình huống
thua, cách suy nghĩ đi tìm chiến thuật trong trò chơi, chẳng hạn: chiến thuật
đối xứng, chiến thuật bất biến, chiến thuật tính ngược từ cuối
Các bài toán về phủ hình
Các bài toán về phần này khá tổng hợp và liên quan nhiều đến các bài
toán mạng lưới nguyên, bất biến, Dirichlet, và đặc biệt là bài toán tô màu
khi có rất nhiều bài toán phủ hình giải được bằng phương pháp này.
Các bài toán khác
Với đặc thù của hai từ "rời rạc" thì cũng còn có rất nhiều bài toán có
những lời giải đặc biệt khác mà khó có thể tổng hợp hay hệ thống chúng một
cách tối ưu nhất. Đây cũng là điều làm nên sự thú vị và khó của các bài toán
Tổ hợp, rời rạc.
1.2. Phƣơng pháp dạy học phát triển tƣ duy sáng tạo trong Tổ hợp
1.2.1. Phương pháp dạy học phát triển tư duy sáng tạo
Dạy học phát triển tư duy sáng tạo là phương pháp nhằm tìm ra các
phương án, biện pháp thích hợp để kích hoạt khả năng sáng tạo và đào sâu
khả năng tư duy của một cá nhân hay một tập thể về một đề tài hay lĩnh vực
nào đó. Phương pháp này giúp cá nhân hay tập thể thực hành tìm ra các
phương án, các lời giải từ một phần cho đến toàn bộ cho các vấn đề nan giải.

10

Một số phương pháp giảng dạy mới nhằm phát triển tư duy sáng tạo
cho học sinh:
Phương pháp học theo dự án (Project Based Learning)
Đây là mô hình học tập có nhiều khác biệt so với mô hình học tập
truyền thống. Phương pháp học theo dự án yêu cầu các hoạt động học tập phải
được thiết kế một cách cẩn thận, mang tính lâu dài và liên quan đến nhiều lĩnh
vực học thuật. Đây là mô hình lấy người học làm trung tâm và hòa nhập với
những vấn đề thực tiễn của thế giới thực tại. Mục tiêu của phương pháp học
theo dự án là để học sinh học nhiều hơn về một chủ đề chứ không phải là tìm
ra những câu trả lời đúng cho những câu hỏi được giáo viên đưa ra. Phương
pháp này yêu cầu học sinh cộng tác với các bạn trong lớp trong một khoảng
thời gian nhất định để giải quyết những vấn đề và cuối cùng trình bày công
việc mình đã làm trước giáo viên và các học sinh khác. Phương pháp này
cũng đòi hỏi các học sinh phải đặt câu hỏi, đồng thời tìm kiếm những mối liên
hệ và tìm ra giải pháp để giải quyết vấn đề. Việc áp dụng phương pháp giảng
dạy này sẽ làm thay đổi môi trường học của học sinh từ chỗ nghe giáo viên
nói sang môi trường làm việc, tư duy.
Phương pháp học theo dự án mang đến cho học sinh rất nhiều lợi ích,
nó tạo cho học sinh khả năng kết hợp kiến thức từ nhiều lĩnh vực, tạo nên
công cụ hỗ trợ liên ngành để giải quyết vấn đề. Đối với những vấn đề khó,
phức tạp, phương pháp này tạo cho học sinh khả năng khám phá, đánh giá,
giải thích và tổng hợp thông tin một cách khoa học. Thông qua các hoạt động
thực tế trên lớp, phương pháp này tạo cho học sinh sự thích thú, hứng thú với
việc học.
Vai trò của giáo viên trong phương pháp học theo dự án có rất nhiều
thay đổi so với phương pháp truyền thống. Giáo viên không đóng vai trò là
người điều khiển tư duy học sinh mà là người hướng dẫn, người huấn luyện,
người tư vấn và bạn cùng học. Giáo viên phải tập trung vào việc hướng dẫn

11

cho học sinh, tạo cơ hội để học sinh phát huy hết khả năng học tập và sáng
tạo, đẩy mạnh tinh thần đồng đội làm việc theo nhóm của các học sinh.
Quá trình thực hiện phương pháp học theo dự án:
-) Xác định một vấn đề, dự án phù hợp với học sinh.
-) Liên kết vấn đề với thế giới, môi trường xung quanh của học sinh.
-) Xây dựng các chủ đề xung quanh vấn đề, dự án.
-) Tạo cho học sinh cơ hội để xác định phương pháp và kế hoạch học tập để
giải quyết vấn đề.
-) Khuyến khích sự cộng tác bằng cách tạo ra các nhóm học tập.
-) Yêu cầu tất cả học sinh trình bày kết quả học tập dưới hình thức một dự án
hoặc chương trình.
Phương pháp người học là trung tâm (Learner - Centered)
Đây là phương pháp đặt học sinh vào vị trí trung tâm của giáo dục.
Phương pháp này bắt đầu với việc tìm hiểu các môi trường giáo dục liên quan
mà học sinh xuất phát. Sau đó giáo viên hướng dẫn tiếp tục đánh giá tiến độ
học của học sinh so với mục tiêu học, bằng cách giúp cho người học có được
các kỹ năng cơ bản để học tập. Phương pháp này tạo cho học sinh nền tảng
cho việc học suốt đời, vì vậy học sinh phải có trách nhiệm với việc học của
bản thân. Với phương pháp này giáo viên đóng vai trò là người hướng dẫn
học sinh trong quá trình học.\\
Phương pháp người học là trung tâm mang đến nhiều lợi ích, trước hết
nó loại bỏ cách dạy và học: "Giáo viên nói, học sinh nghe", khuyến khích sự
sáng tạo từ giáo viên và học sinh một cách tối đa, đồng thời tạo nên sự thân
thiện giữa giáo viên và người học thông qua việc tăng cường trao đổi, học
hỏi qua lại. Phương pháp người học là trung tâm tập trung sự tham gia nhiệt
tình, chủ động của người học trong suốt quá trình khám phá tìm tòi, đồng
thời tạo điều kiện để người học có cơ hội trình bày, bảo vệ những ý kiến
sáng tạo của mình.

12

Các yếu tố liên quan đến phương pháp người học là trung tâm:
-) Bối cảnh học: Việc học chịu sự tác động của các yếu tố môi trường bao
gồm văn hoá, kỹ thuật và các phương pháp giảng dạy. Giáo viên đóng vai trò
tương tác chính giữa học sinh và môi trường học. Những ảnh hưởng văn hoá
có thể tạo ra nhiều tác động liên quan mang tính giáo dục như động cơ học,
định hướng đối với việc học và cách tư duy. Kỹ thuật và phương pháp dạy
phải phù hợp với trình độ kiến thức sẵn có, khả năng nhận biết và các chiến
lược tư duy của học sinh.
-) Các ảnh hưởng đối với việc học: Việc học chịu ảnh hưởng bởi các mối
quan hệ giao tiếp với mọi người xung quanh. Việc học có thể nâng cao khi
người học có cơ hội tiếp xúc và cộng tác với người khác. Các môi trường học
cho phép tạo ra các mối tương tác xã hội, tôn trọng tính đa dạng, khuyến
khích lối tư duy linh hoạt. Qua việc tiếp xúc và hợp tác với giáo viên hướng
dẫn, cá nhân người học sẽ có cơ hội tiếp thu nhận thức và tư duy phản ánh, từ
đó phát triển trình độ hiểu biết và hoàn thiện bản thân.
-) Mục đích của quá trình học: Bản chất chiến lược của việc học là đòi hỏi
học sinh phải biết định hướng mục tiêu. Để nắm vững các tri thức, kỹ năng và
đạt được các chiến lược tư duy cần thiết cho việc học, học sinh phải tạo ra các
mục tiêu cho bản thân và theo đuổi các mục tiêu đó. Khởi đầu, các mục tiêu
ngắn và việc học có thể sơ sài trong một phạm vi nào đó nhưng qua thời gian,
mức độ hiểu biết của học sinh có thể được xác định thông qua trình tự tìm
hiểu, trao đổi và tích luỹ các tri thức cần thiết.
Phương pháp Kỹ thuật tạo ra ý tưởng (Brainstorming)
Tác giả của phương pháp Brainstorming (tạm dịch là kỹ thuật tạo ra ý
tưởng) là Alex Osborn (Hoa Kỳ). Mục đích chính của phương pháp này là
giúp người học thoát ra khỏi tư duy theo lối mòn và tạo ra một loạt các ý
tưởng mà sau đó có thể lựa chọn. Phương pháp này áp dụng phù hợp với
nhóm học sinh.

13

Một số nguyên tắc cơ bản của phương pháp kỹ thuật tạo ra ý tưởng:
-) Tôn trọng mọi ý tưởng đưa ra: Khi các ý tưởng được đưa ra, không được
phép chỉ trích, phê bình ngay. Tất cả các ý tưởng đều được ghi chép lại và
phân tích đánh giá ở các bước sau.
-) Tự do suy nghĩ: Không giới hạn việc đưa ra các ý tưởng bay bổng kể cả
những ý tưởng khác thường bởi trên thực tế có những ý tưởng kỳ quặc đã trở
thành hiện thực.
-) Kết nối các ý tưởng: Cải thiện, sửa đổi, góp ý xây dựng cho các ý tưởng.
Các câu hỏi thường đặt ra: Ý tưởng được đề nghị chất lượng thế nào? Làm thế
nào để ý tưởng đó đem lại hiệu quả? Cần thay đổi gì để ý tưởng trở nên tốt
hơn?
-) Cần quan tâm đến số lượng các ý tưởng: Tập trung suy nghĩ khai thác tạo ra
khối lượng lớn các ý tưởng để sau đó có cơ sở sàng lọc. Có hai lý do chính để
cần số lượng lớn các ý tưởng. Thứ nhất những ý tưởng lúc đầu học sinh đưa
ra thông thường là các ý tưởng hiển nhiên, cũ, ít có tính sáng tạo, vì vậy cần
có phương pháp để học sinh tạo ra nhiều ý tưởng mới. Thứ hai các ý tưởng
giải pháp càng nhiều, càng có nhiều ý tưởng để lựa chọn.
Ngoài các phương pháp đã đề cập trên đây còn khá nhiều các phương
pháp khác đã được phát minh, nghiên cứu và áp dụng vào giảng dạy như
phương pháp Học thực tiễn của David A. Kolb, phương pháp Quản lý ý tưởng
(Ideas Management), phương pháp 6 chiếc nón tư duy ( Six Thinking
Hats)….
Qua việc phân tích một số phương pháp giảng dạy có thể nhận định các
phương pháp này có rất nhiều sự khác biệt so với phương pháp truyền thống.
Trong đó sự khác biệt cơ bản nhất là vai trò của người học và người dạy đã
thay đổi, sự thay đổi này đã biến quá trình học của học sinh từ thụ động sang
chủ động, từ việc nghe giảng sang hoạt động tư duy, làm việc độc lập, làm
việc theo nhóm và kích thích khả năng sáng tạo của họ.

14

1.2.2. Sử dụng phương pháp dạy học phát triển tư duy sáng tạo trong Tổ hợp
Trong Tổ hợp, vấn đề ý tưởng giải toán là rất quan trọng. Các bài toán
Tổ hợp hầu như không đòi hỏi nhiều về các kiến thức nền tảng mà chủ yếu
dựa trên khả năng phân tích lôgíc tự nhiên của người học. Điều khó khăn nhất
đối với học sinh khi giải toán Tổ hợp là tính chất "rời rạc" của các bài toán.
Nắm bắt được điều này, khi dạy học Tổ hợp, người thầy cần xây dựng được
tính "hệ thống", tạo được mối liên quan giữa các bài tập với nhau, phân tích
được mối liên hệ lôgíc, tự nhiên giữa các bài tập.
Trong thực tế về tiến trình dạy học, người dạy có thể bắt đầu từ một bài
toán gốc, một ý tưởng gốc. Dựa trên yếu tố người học là trung tâm, vận dụng
các kỹ thuật tạo ra ý tưởng để phân tích, hướng dẫn học sinh tìm tòi, suy nghĩ
tự nhiên để giải quyết bài toán. Người thầy có thể gợi ý cho học sinh theo
hướng tìm cách quy lạ về quen, tìm mối quan hệ với các bài toán đã biết cách
giải, cũng có thể tìm các đảo ngược vấn đề, suy luận ngược từ cuối
Sau khi giải quyết xong bài toán gốc, người thầy có thể gợi ý học sinh
thử tìm cách thay đổi một hoặc một vài yếu tố của bài toán để có thể dẫn đến
bài toán mới. Có thể chỉ đơn giản là thay đổi hình thức của bài toán: phát biểu
bài toán theo một cách khác có thể là mang tính toán học hơn, cũng có thể là
mang tính "cuộc sống" hơn, phát biểu bài toán theo kiểu chuyển từ mệnh đề
thuận sang mệnh đề phản đảo, đặc biệt hóa bài toán thành một trường hợp
riêng, cũng có thể tìm cách thay đổi số liệu bài toán (vì chẳng hạn có nhiều
bài toán Tổ hợp hay có xu hướng ra số liệu theo năm thi cho "đẹp")
Người thầy cũng có thể hướng dẫn học sinh tạo ra một bài toán mới
theo hướng đòi hỏi tư duy suy nghĩ cao hơn. Có thể hướng dẫn học sinh tìm
cách tương tự hóa, tổng quát hóa, khái quát hóa bài toán, hoặc cũng có thể
hướng dẫn học sinh chuyển sang xét các trường hợp khác, khía cạnh khác của
bài toán Chẳng hạn chuyển từ việc xét trên đường thẳng - không gian một

15
chiều sang việc xét trên mặt phẳng - không gian hai chiều, chuyển từ tam giác

nhọn sang tam giác tù, chuyển từ đường thẳng, đoạn thẳng sang đường tròn,
cung tròn, chuyển từ các số chẵn sang xét các số lẻ Tất nhiên việc xét bài
toán trong nhiều trường hợp này có thể không dẫn đến những sáng tạo mong
muốn, có thể dẫn đến những bài toán rất dễ, rất khó, rất xấu hoặc thậm chí là
sai, là không giải được. Vì vậy người giáo viên cần dự kiến trước được những
khả năng nào phù hợp với trình độ học sinh, mức độ yêu cầu, thời lượng học
tập trên lớp để có những điều chỉnh phù hợp nhất.
Trong trường hợp học sinh không thể tạo ra các bài toán mới ít nhất là về
hình thức, giáo viên có thể đưa ra những bài toán tiếp theo có thể khác xa bài
toán gốc về hình thức và yêu cầu, hướng dẫn, gợi ý học sinh tìm mối liên quan,
từ đó học sinh càng có thể thấy rõ hơn bản chất của bài toán gốc ban đầu.
1.2.3. Sử dụng phương pháp dạy học phát triển tư duy sáng tạo trong
hướng dẫn học sinh học Tổ hợp
Để việc tự học Tổ hợp ở nhà của học sinh có hiệu quả, người thầy trước
hết cần phải đánh giá được chính xác khả năng học Tổ hợp của học sinh. Cần
hiểu được học sinh có mặt mạnh ở mảng nào, còn yếu ở mảng nào, cần phải
bổ sung thêm kiến thức nào, có đủ khả năng tạo ra bài toán mới ít nhất là về
mặt hình thức hay không hay có thể tìm ra mối liên quan giữa bài toán mới
với các bài toán đã biết hay không
Dựa trên đánh giá chính xác về khả năng của học sinh, người giáo viên
có thể yêu cầu người học tự học ở nhà theo các mức độ khác nhau. Có thể yêu
cầu học sinh bổ sung thêm kiến thức về một mảng nào đó. Có thể gợi ý học
sinh tìm tòi các bài toán tương tự. Có thể yêu cầu học sinh tìm cách phát triển
từ một bài toán gốc. Cũng có thể yêu cầu học sinh tìm mối liên hệ giữa một
loạt các bài toán với nhau

16
Trên hết, điều quan trọng nhất trong việc hướng dẫn học sinh học Tổ
hợp ở nhà là việc hướng dẫn học sinh đọc các tài liệu liên quan. Điều này đối
với học sinh chuyên là rất quan trọng. Thời lượng một buổi học trên lớp là rất

hạn chế trong khi các bài toán Tổ hợp thường mất rất nhiều thời gian để suy
nghĩ giải quyết, ví dụ như nhiều kỳ thi có thể dành thời gian trung bình
khoảng 1 tiếng 1 bài, thậm chí nhiều hơn nhiều trong các kỳ thi ở mức độ cao
hơn. Ngoài ra mảng Tổ hợp rất đa dạng do tính chất "rời rạc" của nó, có thể
nói ở trên lớp người thầy trong nhiều mảng gần như chỉ xây dựng được những
kiến thức mang tính "nền tảng" để học sinh tiếp tục tìm tòi, khai thác thêm ở
nhà. Do đó người thầy có thể đưa tài liệu theo một mảng chủ đề, chuyên đề
cho những học sinh có khả năng tự đọc, tất nhiên người giáo viên phải hướng
dẫn học sinh cách đọc, phần nên đọc, mức độ đào sâu và tất nhiên phải kiểm
soát được quá trình đọc đó của học sinh. Có như vậy mới có thể tạo ra hiệu
quả cao nhất trong việc hướng dẫn học sinh học Tổ hợp.
1.3. Thực trạng việc sử dụng phƣơng pháp dạy học phát triển tƣ duy
sáng tạo trong Tổ hợp
Hiện nay trên thực tế việc sử dụng phương pháp dạy học phát triển tư
duy sáng tạo trong Tổ hợp, rời rạc vẫn còn rất hạn chế. Các thầy cô giáo vẫn
chủ yếu chỉ dừng lại ở phương pháp giảng dạy theo hướng tổng hợp các bài
toán. Các vấn đề, bài toán được đưa ra còn khá riêng lẻ, ít có tính hệ thống, ít
có khả năng toát lên được đường lối chung, phương pháp chung để giải. Các
bài toán còn mang tính độc lâp, chưa được xâu chuỗi với nhau và chưa được
tiếp tục nghiên cứu đào sâu thêm sau khi giải hoàn chỉnh bài toán. Học sinh
sau khi giải xong hoặc được thầy cô giáo chữa xong một bài toán có thể cảm
nhận được cái hay, cái đẹp của bài toán nhưng hoàn toàn chỉ dừng lại ở mức
độ đó, không hề có tư tưởng hoặc dành thời gian xác đáng để nghiên cứu sâu
thêm bài toán như: thay đổi cách phát biểu, tương tự hóa, tổng quát hóa, đặc

17
biệt hóa, sáng tạo các bài toán có ý tưởng tương tự Do đó khi học sinh gặp
một bài toán về bản chất giống như bài toán cũ nhưng được phát biểu khác đi,
có hình thức thay đổi thì không nhận ra hoặc rất lúng túng trong việc định
hướng để giải. Điều này đương nhiên làm cho học sinh vốn đã có tư tưởng sợ

Tổ hợp lại càng không dám dành thời gian hợp lý để nghiên cứu, tìm tòi và tất
nhiên sẽ dẫn đến hiệu quả học tập phân môn Tổ hợp không cao.























18
CHƢƠNG 2
XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP

2.1. Yêu cầu về kiến thức và kỹ năng

2.1.1. Yêu cầu về kiến thức
Học sinh cần nắm được các phương pháp cơ bản để giải các dạng toán
điển hình của Tổ hợp.
2.1.2. Yêu cầu về kỹ năng
-) Học sinh biết cách nhận dạng một bài toán.
-) Học sinh có thể dự đoán được phương pháp để giải một bài toán Tổ hợp,
rời rạc tương đối điển hình.
-) Học sinh có thể quy một bài toán có hình thức tương đối khác biệt về một
bài toán quen thuộc hơn, đơn giản hơn có cùng bản chất.
-) Học sinh có thể tìm cách thay đổi hình thức phát biểu, thay đổi cách nhìn,
tương tự hóa, tổng quát hóa, đặc biệt hóa một bài toán đã được giải để có
một bài toán mới theo nghĩa có thể chỉ đơn giản là mới về mặt hình thức.
-) Học sinh có thể phần nào xóa bỏ được tư tưởng sợ Tổ hợp để có thể dành
thời gian phù hợp, thích đáng để học tập, nghiên cứu Tổ hợp.
2.2. Những nội dung kiến thức và các dạng bài tập
2.2.1. Nội dung kiến thức
Tổ hợp, rời rạc là một mảng toán rất rộng, đa dạng và có rất nhiều dạng
toán và phương pháp giải khác nhau. Trong phạm vi khuôn khổ luận văn này
tác giả chỉ xin đề cập và minh họa chi tiết cho 3 nhóm bài tập xoay quanh các
bài toán giải bằng phương pháp tô màu (trong đó phần quan trọng là các bài
toán phủ hình), các bài toán trên mạng lưới nguyên (đặc biệt quan trọng trong
đó là định lý Pick) và định lý Helly về giao các hình lồi.


19
2.2.2. Các dạng bài tập và phương pháp giải
Phương pháp tô màu
Các bài toán ở phần này khá đa dạng và có thể liên quan đến nhiều
mảng toán Tổ hợp, rời rạc khác: bài toán phủ hình, nguyên lý Dirichlet, mạng
lưới nguyên, bàn cờ, nguyên lý bất biến, nguyên lý cực biên Thông thường

ta có thể nghĩ đến phương pháp giải bằng tô màu khi gặp các bài toán chứng
minh không tồn tại đối tượng thỏa mãn hoặc chỉ ra tính chất của đối tượng
thỏa mãn điều kiện cho trước.
Mạng lưới nguyên
Các bài toán ở phần này được phát biểu trên mạng lưới nguyên, hệ tọa
độ nguyên, bảng ô vuông, bàn cờ Một nội dung kiến thức quan trọng hay sử
dụng ở phần này là định lý Pick về diện tích đa giác trên mạng lưới nguyên.
Có thể nhận dạng một bài toán sử dụng định lý Pick khi chúng được phát biểu
liên quan đến diện tích đa giác nguyên, số điểm nguyên trên các cạnh đa giác
nguyên, số điểm nguyên nằm trong đa giác nguyên
Định lý Helly
Định lý Helly trong mặt phẳng phát biểu: "Nếu có ít nhất 4 hình lồi
mà 3 hình bất kỳ có điểm chung thì tất cả các hình lồi đó cũng có điểm
chung". Với ý nghĩa như vậy định lý Helly được sử dụng trong các bài toán
Hình học tổ hợp chứng minh sự tồn tại của một điểm (hoặc một tập hợp
điểm) thỏa mãn một điều kiện cho trước liên quan đến tính lồi của các hình.
Ngoài ra dấu hiệu nhận biết một bài toán giải bằng Helly còn là ở chỗ "3
hình lồi bất kỳ có điểm chung".
2.3. Xây dựng hệ thống bài tập
2.3.1. Phương pháp tô màu
Bài tập 1.1. Bắt đầu từ một ô ở góc bàn cờ
88
, quân mã có thể đi qua tất cả
các ô của bàn cờ, mỗi ô đúng một lần và kết thúc ở ô ở góc đối diện không?


20
Phân tích:
Bài toán này là một dạng toán "quân mã đi tuần" ("knight's tour")
nhưng thuộc loại khá đơn giản. Với ngôn ngữ phát biểu là "bàn cờ" có lẽ cũng

sẽ dễ dàng hơn cho người giải so với cách phát biểu là "bảng ô vuông" mặc
dù về bản chất hai cách dùng từ này hoàn toàn không khác gì nhau. Tại sao lại
như vậy? Điều này là bởi vì trên bàn cờ đã tô sẵn màu cho chúng ta rồi!
Và ta có thể để ý cách đi của quân mã: đi theo hình chữ L kích thước
32
ô vuông, và như vậy chắc chắn sau một lần đi, quân mã sẽ di chuyển
sang ô vuông khác màu. Ta chỉ còn cần đếm số bước di chuyển và tính chất
của ô xuất phát và ô kết thúc là xong.
Giải:
Tô màu bàn cờ bằng hai màu đen trắng như thông thường. Khi đó sau mỗi
nước đi quân mã sẽ di chuyển sang một ô khác màu. Muốn đi qua tất cả các ô
của bàn cờ quân mã cần 63 nước đi. Như vậy chắc chắn cuối cùng quân mã sẽ ở
ô khác màu với ô ban đầu. Tuy nhiên hai ô ở góc đối diện là hai ô cùng màu.
Vậy quân mã không thể đi qua tất cả các ô như yêu cầu của bài toán.
Phát triển:
Cách tô màu có sẵn của bàn cờ thực ra dựa trên tính chẵn lẻ của tổng
(hoặc hiệu tùy theo cách quay bảng ô vuông theo chiều nào) của hai tọa độ
của một điểm nguyên. Đây là một cách tô màu có thể nói là đơn giản nhất. Ta
có thể tiếp tục dùng phương pháp tô màu này trong bài toán tiếp theo sau đây,
cũng về dạng toán "quân mã đi tuần".
Bài tập 1.2. Trong bàn cờ
mn
với
,mn
lẻ, quân mã có thể bắt đầu từ một ô
tùy ý, đi qua tất cả các ô, mỗi ô đúng một lần và quay lại ô ban đầu được
không?
Giải:
Tô màu bàn cờ bằng hai màu đen trắng như thông thường. Khi đó sau
mỗi nước đi quân mã sẽ di chuyển sang một ô khác màu. Muốn đi qua tất cả