Bài giảng cơ học chất chương 4 pgs ts lê song giang

Chương 4. ĐỘNG LỰC HỌC LƯU CHẤT

1. Phương trình vi phân chuyển động của lưu chất
2. Phương trình năng lượng
3. Tích phân phương trình Euler
4. Phương trình Bernoulli cho dịng chảy của lưu chất thực
5. Phương trình biến thiên động lượng

62

. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN C.ĐỘNG CỦA LƯU CHẤT (1/3) Pgs.Ts
.1 Phương trình Euler cho chuyển động của lưu chất lý tưởng (1757).

Lưu chất lý tưởng: =0  =0  sử dụng khái niệm áp suất thủy động tương tự áp suất thủy tĩnh:

p   ii z

Ngoại lực tác dụng lên phần tử trên p dx p,  p
phương x: p y p
• Lực khối: .dxdydz.Fx
x 2 x

dz dy
x
• Lực mặt: p
 dxdydz 63
dx
x

Viết phương trình Định luật II Newton trên phương x cho phần tử => F

dux  Fx  1 p
dt  x

du y 1 p  1
du  F  grad p

Tương tự:  Fy  => dt 

dt  y

duz  Fz  1 p
dt  z

. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN C.ĐỘNG CỦA LƯU CHẤT (2/3) Pgs.Ts
.2 Phương trình Navier-Stokes cho lưu chất thực (1821-1845).
zx  zx dz
Lưu chất thực: 0  0 z
z  yx
 yx 
Ngoại lực tác dụng lên phần tử trên phương x:  xx y

- Lực khối: dz 
.dxdydz.Fx
yx  xx 

- Lực mặt:   xx     yx  zx dxdydz

 x y z  zx dy
dx
x

Pt định luật II Newton trên phương x => Pt Navier trên phương x

F

dux  Fx   1   xx     yx  zx 
dt   x y z 

Giả thiết Stokes (1845):  ui u j  2  ul
Trong đó p: áp suất thủy động, với:  ij   pij       ij
 x j xi  3 l xl

p  1  xx   yy   zz  64

3

. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN C.ĐỘNG CỦA LƯU CHẤT (3/3) Pgs.Ts

Thay c.thức Stokes vào pt Navier => pt Navier-Stokes.

Trên phương x:

dux 1 p   2 2 2  1    ux u y uz 

 ux  ux  ux
 Fx    2  2  2      
dt  x   x y z  3  x  x y z 

Pt Navier-Stokes Dưới dạng vector:

 1 2 1 

du  F  grad  p u  u 

dt  3

Pt Navier-Stokes cho lưu chất không nén được:

 1 2
du  F  grad  p u

dt 


Ẩn số: u , p (và cả ρ nếu lưu chất nén được)

Lưu ý gia tốc được tính:    

du u u u u u  
  ux  uy  uz   uu
dt t x y z t
65

. PHƯƠNG TRÌNH NĂNG LƯỢNG (1/3) Pgs.Ts
.1 Phương trình vận tải năng lượng:

Định luật bảo tồn năng lượng (ĐL thứ nhất của nhiệt động lực học): Tốc độ biến thiên của năng lượn
phần của một hệ bằng tổng công suất cơ học và công suất của các dòng năng lượng khác mà hệ nhận đ

d u2    e
   edV   F.udV   n.udS   qn dS
dt V  2 

V S S

e: nội năng (chất khí: e  cVT ; chất lỏng: e  cT )
 e 
q : dòng nhiệt riêng đi vào qua bề mặt bao bọc



Định luật truyền nhiệt Fourier: q  λ.grad T   λ.T

  
Biến đổi theo Gauss:  n.udS     jnju dS     ijui dV

S Sj V j x j i

e     T dV

 qn dS  .qdV

S V V

Thay vào pt bảo toàn năng lượng, thu được pt vận tải năng lượng toàn phần:

d u2  1 1
  e   Fiui     ijui  T 
dt  2  i  j x j i  66

. PHƯƠNG TRÌNH NĂNG LƯỢNG (2/3) Pgs.Ts

.2 Phương trình vận tải động năng:

Nhân ptrình Navier trên phương i với ui:

 dui 1  ij  d  u2i  1 1 ui
  Fi   ui     Fiui    ijui   ij
 dt  j x j  dt  2   j x j  j x j

Làm phép tổng:

d  u2  1 1 ui
    Fiui     ijui    ij
dt  2  i  j x j i  j i x j

2.3 Phương trình vận tải nội năng:
Trừ ptrình vận tải năng lượng cho ptrình vận tải nội năng:

de  1 T  1   ij ui
dt   j i x j

67

. PHƯƠNG TRÌNH NĂNG LƯỢNG (3/3) Pgs.Ts
.4 Dịch chuyển năng lượng:
68
Phương trình vận tải động năng:

d u2  1 1 ui
    Fiui     ijui    ij
dt  2  i  j x j i  j i x j

G

Phương trình vận tải nội năng:

de  1 T  1   ij ui
dt   j i x j

G

Số hạng công suất của lực mặt: sau khi sử dụng giả thiết Stokes:

2 2

ui   ui u j  2  ul  ul
G   ij          p
j i x j 2 j i  x j xi  3  l xl  l xl

A B C

Số hạng A: cơng suất của lực ma sát.
Vì A > 0 => Ma sát luôn luôn lấy mất động năng của dòng chảy và cung cấp cho nhiệt độ.

Khơng có chiều ngược lại

VÍ DỤ LỜI GIẢI SỐ CỦA PT NAVIER-STOKES Pgs.Ts
Ví dụ: Dịng lưu chất nén được chuyển động bao quanh cách NACA
ρ/ ρ0
0012 (M=0,5, Re=5000)

e

69

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

VÍ DỤ LỜI GIẢI SỐ CỦA PT NAVIER-STOKES Pgs.Ts
Ví dụ tính tốn dịng lưu chất nén được bao quanh trụ trịn (Re=100)

70

VÍ DỤ LỜI GIẢI SỐ CỦA PT NAVIER-STOKES Pgs.Ts
Ví dụ tính tốn dịng tia lưu chất khơng nén được phun lên thành cứng (Re=6000)

71

. TÍCH PHÂN PHƯƠNG TRÌNH EULER (1/7) Pgs.Ts

Giả thiết:

• Lưu chất khơng nén được:  = const

F  grad U 
• Lực khối có thế:

Phương trình Euler trong hệ tọa độ tự nhiên

 u2 2  u2   p 
u    n  grad  U   bu

t s R    s

n 


R
O

Phương trình Euler dạng Lambo-Gromeko:

  2
u p u  
 grad U     2  u  0
t   2

72

. TÍCH PHÂN PHƯƠNG TRÌNH EULER (2/7)   Pgs.Ts
b u 
.1 Trường hợp lưu chất chuyển động ổn định, tphân dọc đường dòng.  s
 R

Lấy vi phân chiều dài đường dòng: ds ds 73


n


dn



Nhân vô hướng ds với pt. Euler:

 u2 2  u2    p 
 u   nds  grad  U  ds

 t s R  

 p u2 
 d U     0
  2 
Rút ra:
p u2
U    C

2

Trong trường trọng lực: U = - gz (Ptrình Bernoulli)
p u2

z    C

 2g

. TÍCH PHÂN PHƯƠNG TRÌNH EULER (3/7) Pgs.Ts

.2 Trường hợp lưu chất chuyển động ổn định, tphân theo phương vuông góc với đường dịng.

Lấy vi phân chiều dài đường pháp tuyến với đường dòng: dn 
u
b

  s

n
ds

 dn R
Nhân vô hướng dn với pt. Euler:

 u2 2  u2    p 
 u   ndn  grad  U  dn

 t s R   2

u  p
 dn  d U  
R   n

Khi R  ∞: p
U   Cn



Trong trường trọng lực: U = - gz

p (Tphân Euler)
z   Cn



Ghi chú: Tp Euler cũng đúng cả trên mặt cắt ướt dòng nơi dòng chảy biến đổi chậm 74

. TÍCH PHÂN PHƯƠNG TRÌNH EULER (4/7) Pgs.Ts

.3 Trường hợp chuyển động có thế. 75

 
Chuyển động có thế: u  grad   và   0

Phương trình Euler dạng Lambo-Gromeko:

  2 p u2 
u p u    
 grad U     2  u  0  grad U     0
t  2  t  2


Rút ra:  U  p  u2  Ct

t 2

Trong trường trọng lực: U = - gz

1   z  p  u2  Ct
 2g
g t

Đối với chuyển động ổn định: (Tphân Lagrange)

p u2
z  C

 2g

. TÍCH PHÂN PHƯƠNG TRÌNH EULER (5/7) Pgs.Ts

Ýnghĩa năng lượng của các số hạng tích phân từ pt Euler. → (Ngoại lực trên 1 đv k.lượng l.chất) x (Quãng đườ

Xét pt Bernoulli. Các bước thiết lập :

 u2 2  u2    p 
 u   nds  grad  U  ds
1.  
 t s R  

 p u2 
2. d U     0
  2  → Công sinh ra từ 1 đv k.lượng l.chất (=0)

p u2 → Năng lượng của 1 đv k.lượng l.chất
3. U    C (và nó khơng đổi trong chuyển động)

2 → Năng lượng của 1 đv trọng lượng l.chất

p u2
4. z    C

 2g

Các số hạng:

z p  → Thế năng của 1 đv trọng lượng l.chất (cột áp tĩnh)
→ Động năng của 1 đv trọng lượng l.chất (cột áp vận tốc)
u2 2g → Năng lượng toàn phần của 1 đv trọng lượng l.chất (cột áp toàn phần)
p u2

z 

 2g

 Phương trình Bernoulli là pt bảo tồn năng lượng 76

. TÍCH PHÂN PHƯƠNG TRÌNH EULER (6/7) Pgs.Ts

Ví dụ: Xác định vận tốc V của dịng chảy. Biết nước dâng trong ống Pitơt một khoảng bằng h.

Giải

Vẽ một đường dòng từ xa đi tới miệng ống Pitơt. Đường dịng này kết thúc tại miệng ống (tại điểm dừn

Trên đường dòng lấy thêm điểm ∞ ở khoảng cách đủ xa so với miệng ống để vận tốc tại đây không
hưởng bởi ống (khoảng 5-10 lần đường kính ống).

Viết pt Bernoulli cho đường dòng từ điểm ∞ tới điểm A:

2 2 B
h
p u pA uA
z    zA  
 2g  2g

Phân tích: p p ∞’

z    z'  '  0 0

 

zA  pA  zB  pB  h
 

u  V ; uA  0

Thay vào pt Bernoulli và được:

V2 ∞ A
h
 V  2gh V 77
2g

. TÍCH PHÂN PHƯƠNG TRÌNH EULER (7/7) V Pgs.Ts
Ví dụ: Có một viên đạn đại bác hình cầu bay trong khơng khí A
∞
tĩnh với vận tốc V=100 m/s. Hỏi áp suất tại đầu viên đạn V
(điểm dừng A)?

Giải
Đổi hệ quy chiếu: xem viên đạn là đứng n => khơng khí
chuyển động ngược lại với vận tốc là V.

Vẽ đường dòng từ xa đi tới điểm A. Đường dòng kết thúc
tại đây.

Trên đường dòng lấy thêm điểm ∞ ở khoảng cách đủ xa so với điểm A (khoảng 5-10 lần đường kính
tốc tại đây khơng bị ảnh hưởng bởi viên đạn).

Pt Bernoulli cho đường dòng từ điểm ∞ tới điểm A:

2 2

p u pA uA
z    zA  
 2g  2g

Phân tích: p  0
u  V
uA  0 pA V 2

  z  zA 
 2g

Do:

V 2 pA V 2

z  zA     ...  509,7m 78

2g  2g

. PTRÌNH BERNOULLI CHO DỊNG CHẢY L.CHẤT THỰC (1/7) Pgs.Ts
Xét dòng chảy ổn định của l.chất khơng nén được. Trên dịng chảy
lấy 2 mcắt ướt 1-1 và 2-2. 2

Q
Lấy 1 đường dòng trong dòng chảy. Nếu giả thiết lưu chất là lý
tưởng, ptrình Bernoulli cho đường dòng: dQ

p1 u1 2 2
p2 u2
z1    z2  
 2g  2g 1

Phương trình trên chưa xét tới ma sát và các yếu tố khác. Nếu lưu dQ 1

chất là “thực” thì:

2 2

p1 u1 p2 u2
z1    z2    hf (hf’ – tổn thất n.lượng của một đơn vị trọng lượng lưu chất))
 2g  2g

Xét 1 dòng chảy nguyên tố. Năng lượng của nó biến đổi theo ptrình:

 2  2

p1 u1  p2 u2 
 z1   dQ   z2   dQ  hf dQ
  2g    2g 

Cho tồn bộ dịng chảy, năng lượng sẽ biến đổi theo ptrình:

 p1  u12  p2  2

u2
  z1  dQ   dQ    z2  dQ   dQ   hf dQ
A1    A1 2g  A2 2g 79

A2  Q

. PTRÌNH BERNOULLI CHO DỊNG CHẢY L.CHẤT THỰC (2/7) Pgs.Ts

Thực hiện các tích phân:

 p  p
   z  dQ   z  Q
A     (Điều kiện: Mặt cắt ướt A lấy tại nơi dòng chảy biến đổi chậm

u2 V 2 3
  dQ  Q
A 2g 2g α – hệ số hiệu chỉnh động năng; 1 u

     dA  1,05 1

A AV 

  hf dQ  hf Q hf – tổn thất năng lượng của 1 đv t.lượng lưu chất (tổn thất c

Q

Thay vào và cho kết quả:

2 2

p1  V1 p2 V2
z1    z2    hf
 2g  2g

Ghi chú:

. Điều kiện áp dụng pt Bernoulli cho dòng chảy:


- Pt Bernoulli áp dụng cho dịng chảy có  t  0; ρ=const; F  g

- Tại hai mcắt áp dụng pt, dòng chảy phải là biến đổi chậm;

- Trong đoạn dịng chảy giữa 2 mcắt, khơng có nhập lưu hoặc tách lưu.

. Nếu trong đoạn dòng chảy giữa 2 mcắt viết pt có turbine, máy bơm:

hf  hf  HT  HB 80

. PTRÌNH BERNOULLI CHO DỊNG CHẢY L.CHẤT THỰC (3/7) Pgs.Ts

Ví dụ: Nước chảy từ trong thùng ra ngoài theo đường ống gồm 2 đoạn như hình vẽ. Cho biết d1=3cm, d2
H=2m, h=1m. Hỏi lưu lượng của dòng chảy trong ống và áp suất tại điểm A. Bỏ qua tổn thất cột áp.

Giải 3

A

Viết ptrình Bernoulli cho dịng chảy từ mặt 3
h

cắt 1-1 tới 2-2: Q

2 2

p1 V1 p2 V2
z1    z2    hf
 2g  2g
1 V1 1

H ≈0 0 0

Rút ra:

V2  2gH  2.9,81m s2 .2m  6,26 m s H

2 3 3 2
0
d 2
Q  V2 A2  V2.  1,97.10 m s
4

Viết ptrình Bernoulli cho dịng chảy từ mặt cắt 1-1 tới 3-3:

2 2

p1 V1 p3 V3
z1    z3    h f13
 2g  2g

p  V 2   V 2 4  d  

A 3 2 2
   h    h      1,395m
  2g   2g  d1   81