Bài giảng cơ học chất chương 7 pgs ts lê song giang

Chương 7. CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG CÓ THẾ

1. Các khái niệm
2. Các chuyển động có thế phẳng cơ bản
3. Một số chuyển động được tạo bởi phép chồng chất

130

. CÁC KHÁI NIỆM (1/5) Pgs.Ts
.1 Chuyển động có thế.
ψ1
Đn: Cđộng của lưu chất được gọi là có thế khi tồn tại một hàm  sao cho: q12

131
u  grad

 - hàm thế vận tốc; Đường cong (x,y) = const – Đường đẳng thế

Tính chất: 1 
Phương trình:
  rotu  0

2
  0

1.2 Hàm dòng. được gọi là hàm dòng.
Đn: Hàm (x,y) sao cho ux   y ; uy    x

Đường cong (x,y) = const là đường dịng
• Tính chất:

q12  1  2

• Phương trình:

  0

1. CÁC KHÁI NIỆM (2/5) Pgs.Ts
1.3 Hàm thế phức.
132
Hàm dòng và hàm thế có tính trực giao do:

grad   grad          0

x x y y

=> mơ tả chuyển động có thế bằng hàm thế phức:

f z    i

Các Đại lượng:

V z  ux x, y iuy x, y  vận tốc phức

V z  df z  ux x, y iuy x, y → vận tốc liên hợp với vận tốc phức

dz
.4 Tính chồng chất.

f z  f1z f2z
x, y  1x, y 2 x, y

 x, y 1x, y 2x, y
ux, y  u1x, y u2 x, y

1. CÁC KHÁI NIỆM (3/5) Pgs.Ts
(1)
1.5 Phương trình Navier-Stokes dạng hàm xốy – hàm dịng. (2)
(3)
Phương trình Navier-Stokes 2 chiều:
(4)
u x ux ux 1 p  2ux 2 
133
 ux
 ux  uy     2  2   Fx
t x y  x  x y 

u y u y u y 1 p  2uy 2 
    Fy
 ux  uy   2  uy 

2
t x y  y  x y 

Dạng hàm xốy – hàm dịng:

• Pt cho hàm xoáy:  uy ux 
    2 2      2z 
 ux  uy   2  2   x y 
t x y  x y 

( 3   2  1 cùng đk: lực khối có thế).

x y

• Pt cho hàm dịng:

  

Khi chuyển động là có thế:   0  (3) thỏa mãn tự động;
(4) thành pt Laplace cho hàm dòng

1. CÁC KHÁI NIỆM (4/5) Pgs.Ts
Ví dụ: Cho hai thành phần vận tốc của một chuyển động 2 chiều có thế như sau:
134
ux  3xy
uy  1,5 y2 1,5x2

Hãy xác định hàm thế của chuyển động.
Giải

     uxdx  Cy   3xydx  Cy

   dx  Cy

x

  1,5x2 y  Cy

Tìm hàm C(y):

 2 dC dC 2 2

  uy 1,5x  1,5y
uy   1,5x  dy
y dy

Cy   dC dy  C0  1,5y2dy  C0  0,5y3  C0

dy

Vậy:   1,5x2 y  0,5 y3  C0

1. CÁC KHÁI NIỆM (5/5) Pgs.Ts
Ví dụ: Tính tốn dịng thấm qua đập đất bằng pp Phần tử hữu hạn (TĐ Hàm thuận)









135

. CÁC CHUYỂN ĐỘNG CÓ THẾ PHẲNG CƠ BẢN (1/3) Pgs.Ts
2.1 Chuyển động thẳng đều.
136
f z  U0z

 U0x
 U0y

U0 – vận tốc dòng chảy

2.2 Điểm nguồn và giếng Q

f z  q lnz t h hs H
q
2
r0 r
  q lnr
R
2

q

 
2

q - lưu lượng đơn vị

2. CÁC CHUYỂN ĐỘNG CÓ THẾ PHẲNG CƠ BẢN (2/3) Pgs.Ts
.3 Xoáy tự do.
f z   lnz
u
2i
=> ψ5 ψ4 ψ3 ψ2 ψ1

ω
Cánh khuấy  
2

    lnr

2

 - lưu số vận tố

 
   u.dC  2 
 
.4 Lưỡng cực. C
S

f z  q lnz  a  q lnz  a  2aq . lnz  a lnz  a => f z  m
2 2 2
2a z
x
q q =>
m 2 2

x y

y

  m 2 2

x y

(m - moment lưỡng cự

a a

137

2. CÁC CHUYỂN ĐỘNG CÓ THẾ PHẲNG CƠ BẢN (3/3) Pgs.Ts

Ví dụ: Có một xốy tự do có lưu số vận tốc  = 4π m2/s. Xác định vận tốc và áp suất tại vị trí cách tâm xố

Biết áp suất ở xa tâm xoáy bằng 0.

Giải:

Hàm thế của chuyển động:  ψ5 ψ4 ψ3 ψ2 ψ1

 
2

Vận tốc của chuyển động:

 2 2 1
 u  ur  u  .
ur   0
r 2 r

u  1   1
.

r  2 r

Tại r=2m:

u 4 m2 s 1
.  1,0 m s

2 2m

Áp dụng tích phân Lagrange cho điểm ở bán kính r=2m và điểm ở xa vơ cực:

p u2 2 p u2 1,0 m s2

p u
z    z      2  0,051m
 2g  2g
 2g 2.9,81m s

138

. MỘT SỐ C.ĐỘNG ĐƯỢC TẠO BỞI PHÉP CHỒNG CHẤT (1/4) Pgs.Ts

.1 Dòng bao bán vật. ψ2=6 ψ2=5 ψ2=4 ψ2=3 ψ2=2 ψ2=1
ψ2=-2
ψ= ψ1+ ψ2=5 ψ1=6
ψ1=5
ψ2=-6 ψ1=4
ψ1=3
ψ1=2
ψ1=1
ψ2=0
ψ1=0
ψ1=-

ψ1=-
ψ1=-
ψ1=-
ψ1=
ψ1=
ψ2=-1

ψ2=-5 ψ2=-4 ψ2=-3

Dòng bao bán vật = dòng thẳng đều + điểm nguồn)

q

f z  U0z  lnz

2

q

  U0x  lnr

2

q 139
 U0y  
2

. MỘT SỐ C.ĐỘNG ĐƯỢC TẠO BỞI PHÉP CHỒNG CHẤT (2/4) Pgs.Ts
.2 Dòng bao vật Rankine.
140

(=dòng thẳng đều + điểm nguồn + điểm giếng)

f z  U0z  q ln z  a

2 z  a

3.3 Dòng bao trụ tròn.
(=dòng thẳng đều + lưỡng cực)

 R2 

f z  U0 z  

 z
 R2 

  U0r cos 1 2 
 r
 R2 

  U0r sin  1 2 
 r

 Px  0  nghòch lyù d' Alembert

3. MỘT SỐ C.ĐỘNG ĐƯỢC TẠO BỞI PHÉP CHỒNG CHẤT (3/4) Pgs.Ts
.4 Dịng bao trụ trịn có lưu số vận tốc
141
(dịng bao trụ trịn + xốy tự do)

  
>4RU0
Py =4RU0
<4RU0

 R2  

f z  U0 z    ln z

 z  2i
 Py  U0  lực nâng

3. MỘT SỐ C.ĐỘNG ĐƯỢC TẠO BỞI PHÉP CHỒNG CHẤT (4/4) Pgs.Ts
Ví dụ: Có một trụ trịn chiều cao H, bán kính R quay trịn quanh trục của nó với
ω
vận tốc ω. Gió thổi ngang qua trụ với vận tốc là V. Biết H=10m, R=1m,
ω=0,5v/s và V=6m/s. Hỏi lực của gió tác dụng lên mặt trụ?
Giải:

Xem chuyển động của khơng khí là có thế. Lực
tác dụng lên mặt trụ là lực nâng:

P  .V ..H

V
R

Xét chu vi khép kín là chu vi của mặt trụ, vận tốc của các phần tử khơng khí trên chu vi này:

u   .R

Lưu số vận tốc của chuyển động của khơng khí bị cuốn theo chuyển động quay của trụ:

 2
   u .d C  u .2  R  2  R

C

Lực tác dụng lên mặt trụ:

P  2.V .R2.H

 2 .1,228 kg m3 0,5.2 rad s6 m s1m2 10m  1454,4N 142