Tải bản đầy đủ (.pdf) (29 trang)

Bài giảng cơ học chất chương 2 pgs ts lê song giang

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (611.75 KB, 29 trang )

Chương 2. TĨNH HỌC LƯU CHẤT
1. Áp suất thủy tĩnh
2. Phương trình vi phân của lưu chất tĩnh
3. Lưu chất tĩnh trong trường trọng lực
4. Ổn định của vật trong chất lỏng

16

. ÁP SUẤT THỦY TĨNH (1/2) Pgs.Ts
.1 Định nghĩa

Ở trạng thái tĩnh, τ=0
Tensor ứng suất của lưu chất ở trạng thái tĩnh:

 xx 0 0 

    0  yy 0  và  xx   yy   zz   n

 0 0  zz 

> Chỉ cần 1 giá trị p   ii + quy tắc dùng p là đủ thay cho tensor ứng suất. p được gọi là áp suất thủy

Định nghĩa: Áp suất thủy tĩnh tại một điểm là module của ứng suất pháp trên bề mặt bất kỳ đi qua điểm đó

.2 Tính chất

Áp suất thủy tĩnh tác dụng thẳng góc và hướng vào bên trong bề mặt chịu lực.

Giá trị của áp suất thủy tĩnh không phụ thuộc vào hướng của bề mặt chịu lực.

17



. ÁP SUẤT THỦY TĨNH (2/2) Pgs.Ts
.3 Các loại áp suất
pt pa
Áp suất tuyệt đối (pt) pt.S pa.S
Áp suất dư (pd, p): (pt-p

pd = pt - pa
Áp suất chân không (pck):

pck = pa - pt

.4 Đơn vị
Trong hệ SI: N/m2
Trong các hệ khác:
1at = 1kgf/cm2 = 10mH2O = 735mmHg = 9,81.104N/m2
1Pa = 1N/m2
1Bar = 100.000N/m2
1psi = 6,895.106N/m2

18

. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA LƯU CHẤT TĨNH (1/2) Pgs.Ts

.1 Phương trình Euler

z

Xét phần tử lưu chất:


Ngoại lực trên phương x:

– Lực khối: dxdydzFx p dx p dx
p p
p, 
x 2 y x 2

– Lực mặt:  p dxdydz dz dx dy
x
x 
F

Áp dụng Phương trình của Định luật II Newton cho phần tử lưu chất =>

 1 p
Fx  0

  x F  grad  1  p  0

Fy  1 p  0 => 

  y

 1 p
Fz  0

  z

19


. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA LƯU CHẤT TĨNH (2/2) Pgs.Ts

.2 Tích phân phương trình Euler 20


Nhân phương trình Euler cho vector vi phân chiều dài dr :

 1  
F  grad  p.dr  0
  dp  F.dr



Tồn tại hàm thế U của lực khối F: (C - hằng số tích phân)


dU  F .dr
Rút ra phương trình:

dp  dU

Trong trường hợp =const:
p  U  C

. LƯU CHẤT TĨNH TRONG TRƯỜNG TRỌNG LỰC (1/21) Pgs.Ts

.1 Trường trọng lực: z

Lực khối:  
Fg g


Hệ trục tọa độ với trục z hướng thẳng đứng lên trời y
Ba thanh phần của vector cường độ lực khối:

Fx  Fy  0; Fz  g

3.2 Phương trình cơ bản của thủy tĩnh (=const )
Hàm thế của lực khối:

dU  gdz  U  gz

Phương trình cơ bản của thủy tĩnh:
p

z C



Ghi chú:
. P.trình cơ bản của thủy tĩnh đúng cho cả áp suất tuyệt đối lẫn áp suất dư;
. Đối với chất khí, trong một khơng gian khơng q lớn ta có thể xem áp suất là không đổi.

21

. LƯU CHẤT TĨNH TRONG TRƯỜNG TRỌNG LỰC (2/21) Pgs.Ts

Ví dụ: Biết áp suất tại điểm A là p0. Hỏi áp suất tại điểm B?
Giải:

A Áp dụng pt cơ bản của thủy tĩnh:

p0
z  p  z0  p0  p  p0  z0  z
z0  
B 
p=?
Hay

z p  p0   z0  z

0 0

Ví dụ: Biết áp suất trên mặt thoáng là p0. Hỏi áp suất tại độ sâu h?

Giải:

A p0

h Lấy điểm A trên mặt thoáng. Áp suất tại điểm A sẽ là p0 và
A này hoàn toàn tương tự điểm A ở ví dụ trên và ta có thể
B kết quả của ví dụ này. Vì z0-z=h nên:

z0 p=?

z p  p0  h

0 0 22

. LƯU CHẤT TĨNH TRONG TRƯỜNG TRỌNG LỰC (3/21) Pgs.Ts
Ví dụ: Để xác định áp suất khí trong bình, người ta gắn 1 áp kế thủy
D

ngân như hình vẽ. Biết h1 = 150cm, h2 = 200cm, h3 = 10cm. Hỏi áp
suất khí trong bình?

Giải:

Viết các pt cơ bản của thủy tĩnh từ A → B, từ B → C và từ C → D: C

pA pB
zA   zB  γHg
 Hg  Hg
A

zB  pB  zC  pC zC zD

 H2O  H2O γH2O B zA

zB

pC pD 0 Hg

zC   zD  γdau
 dau  dau

Nhân các pt với các γ tương ứng và cộng chúng lại:

 Hg z A  pA   H2O zB   dau zC   Hg zB   H2O zC   dau zD  pD

 pD   Hg zA  zB   H2O zB  zC   dau zC  zD 

hay: pD   Hgh3  h2  h3  h1  dauh1  0,365m 23


 H2O

. LƯU CHẤT TĨNH TRONG TRƯỜNG TRỌNG LỰC (4/21) Pgs.Ts

.3 Phương trình khí tĩnh.

Phương trình Euler trên phương thẳng đứng:

1 dp
g 

 dz

Sử dụng phương trình khí lý tưởng p=RT

dp g
   dz

p RT

Nhiệt độ trong bầu khí quyển

T,oC

z  11km (tầng đối lưu): T=T0 – L.z g RL1 z, m p/p0 ro/r
0 1.000
g RL   L 0.954 1
400 0.855
p  L  1 z  1300 0.609 0

  1  z 4000 0.224
0  T0  11000 0.119 0
p0  T0  15000 0.040
22000 0
z = 11-22 km (tầng bình lưu): T=T1=-56.50C
0
g g
  zz1  0
 zz1   e RT1 24

 p  e RT1 1 0
p1

. LƯU CHẤT TĨNH TRONG TRƯỜNG TRỌNG LỰC (5/21) Pgs.Ts

.4 Áp dụng phương trình cơ bản của thủy tĩnh pv
B
. Áp kế zA  pA  zB  pB  pa  zB  zA  pv
Áp kế đo áp tuyệt đối      pa
A
h 

0

 pa  h



pa


Áp kế đo áp dư

A h zA   zB    B pA pB pA zB  zA   pa
    
h 

0

 pA  h



. Mặt đẳng áp

Định nghĩa: Bề mặt mà áp suất tại mọi điểm trên đó bằng hằng số.

Phương trình:

z = C -> Họ các mặt phẳng nằm ngang 25

. LƯU CHẤT TĨNH TRONG TRƯỜNG TRỌNG LỰC (6/21) Pgs.Ts
. Áp lực thủy tĩnh trên diện tích phẳng

Xem bài tốn tổng qt như hình vẽ. u cầu tính áp lực thủy tĩnh trên S. p  O
0
Độ lớn:

Xét diện tích dS. Tại trọng tâm: P h dP dS
p  p0  h  dP  pdS () hc


Áp lực trên tồn bộ diện tích S: C
D
P   dP  P  pC S z
DC zC
S z e zD

Điểm đặt zD  zC  JC
zC S
Xét trường hợp p0=0
Xét vi phân diện tích dS. Moment của áp lực trên dS đối với trục quay Ox:

dM Ox  dP.z

Moment của áp lực phân bố trên diện tích S đối với trục quay Ox:

MOx   dMOx  M Ox   sin JC  2 S  *

zC

S  e  JC
 zC
=>
26
Moment tính theo áp lực P:

M Ox  P.zD **

. LƯU CHẤT TĨNH TRONG TRƯỜNG TRỌNG LỰC (7/21) Pgs.Ts
Trường hợp p00: đổi qua bài toán tương đương
O

pa
27
p0 O h0
() hc

C


() hc

=>
C

z C x

z C

Trong đó

h0  p0



. LƯU CHẤT TĨNH TRONG TRƯỜNG TRỌNG LỰC (8/21) Pgs.Ts
Ví dụ: Cho một diện tích phẳng chữ nhật như hình vẽ.
α
Biết b=2m, h=3m, H=2m, α=60o. Hỏi áp lực nước tác
dụng lên diện tích chữ nhật?

Giải:


H

zC  H  2m 0  2,31m

sin sin 60 P C zC

zD

P  pC.S   .H b.h D C

 9810 N m3 .2m.2m.3m  117,72.103 N D h

JC 3 2 z
bh 12 h
zD  zC   zC   zC 
zC S zC .bh 12zC
b

 2,31m  3m2  2,63m

12.2,31m

28

. LƯU CHẤT TĨNH TRONG TRƯỜNG TRỌNG LỰC (9/21) Pgs.Ts

Ví dụ: Cho một diện tích phẳng hình trịn như hình vẽ. Biết p0 α R
R=1m, H=1,2m, α=60o, p0=0,049at, δ=0,98. Hỏi áp lực P H
thủy tĩnh trên diện tích hình trịn? (δ)

C
Giải:

Thay p0 bằng lớp chất lỏng tương đương với:

p0 0,049.9,81.104 N m2
h0   3  0,5m
 0,98.9810 N m

Xét bài toán tương đương: pa
hc  H  h0  1,2m  0,5m  1,7m
zC  hC  0 1,7m  1,96m h0 x

sin sin 60 α
hC

H zC

P  pC .S   .hC R2  P C

 0,98.9810 N m3 .1,7m. .1m2  51,34.103 N (δ) De R

JC R 4 R 1m42 2

e  2   0,127m z
29
zC S zC .R 4zC 4.1,96m

. LƯU CHẤT TĨNH TRONG TRƯỜNG TRỌNG LỰC (10/21) dP Pgs.Ts
Tính áp lực thủy tĩnh bằng pp biểu đồ: p0 p


Biểu đồ áp lực: là đồ thị biểu diễn phân h 
bố áp suất p/ trên diện tích phẳng. () dV
dS
Xét diện tích dS, tại trọng tâm:
p  p0  h  dP  pdS p0

Độ lớn của áp lực trên tồn bộ diện tích S: S
30
p z
P   dP    dS    dV  P  V
S S S

P đi qua trong tâm CV của thể tích V (không phân biệt p0 bằng hay khác 0)

Trường hợp S là hình chữ nhật có cạnh song song với mặt  P
thoáng: C
()
P  b z

và P đi qua trọng tâm C ( - diện tích biểu đồ áp lực)

. LƯU CHẤT TĨNH TRONG TRƯỜNG TRỌNG LỰC (11/21) Pgs.Ts

Ví dụ: Có một diện tích phẳng chữ nhật như hình

vẽ. Biết b=2m, h=3m, H=2m, α=60o. Hỏi áp lực α

nước tác dụng lên diện tích chữ nhật? Ω b1


P A
H
Giải:

h0

h 3m 0
h0  sin  sin 60  1,299m
2 2 CΩ

C zD

p b2 D

b1  A  H  h0  2m 1,3m  0,7m

B yD
b2  pB  H  h0  2m 1,3m  3,3m z b



 b1  b2 
P   ..b    h b
2 

3  0,7m  3,3m  3
 9810 N m  .3m2m  117,72.10 N
2



y  h . b2  2b1  3m . 3,3m  2.0,7m  1,175m 31
3 b2  b1 3 3,3m  0,7m

. LƯU CHẤT TĨNH TRONG TRƯỜNG TRỌNG LỰC (12/21) Pgs.Ts

Ví dụ: Cho một diện tích phẳng hình chữ nhật đặt như hình vẽ. b2
Biết bề rộng của diện tích b=4m, h1=1,2m, h2=2,4m, h3=2,8m,
δ1=0,98, δ2=1,04 và p0=0,05at. Hỏi áp lực thủy tĩnh trên diện p0 b1
tích phẳng?
A
Giải:
Ω1

b1  p A  p 0   1h1  1,676 m δ1 CΩ1 y
n n P B
Ω2 CΩ
b2  p B  p A   1h2  3,832 m y y
n n δ2 CΩ2 C

b3  pC  p B   2 h3  6,744 m y1  h2 b2  2b1  1,043 m b3
n n 3 b2  b1

 1  h2 b1  b2  6,610 m 2 y 2  h3 b3  2b2  1,272 m
2 3 b3  b2

 2  h3 b2  b3  14 ,806 m 2
2

P  b   n 1  2 b  840,36.103 N


y  y1  h3 1  y22  2,065m 32

1  2

. LƯU CHẤT TĨNH TRONG TRƯỜNG TRỌNG LỰC (13/21) Pgs.Ts
b1
Ví dụ: Cho một diện tích phẳng hình chữ nhật đặt như hình vẽ. A
Ω
Biết b=4m, h=2,7m, H=3,0m và p0=-0,1at. Hỏi áp lực thủy p0

tĩnh tác dụng lên diện tích phẳng? B

Giải: b2

b1  p A  p0   H  h    0,7 m 33
 

H

b2  pB  p0  H  2,0m
 

y

 b2  b1 
P  b    h b
 2

3  2,0m   0,7m 3
 9810 N m 2,7m 4m  68,87.10 N

 2 

y  h b2  2b1  2,7m 2,0m  2. 0,7m  0,415m
3 b2  b1 3 2,0m   0,7m

. LƯU CHẤT TĨNH TRONG TRƯỜNG TRỌNG LỰC (14/21) Pgs.Ts
. Áp lực thủy tĩnh trên diện tích cong
pa
Có một diện tích cong nằm nên dưới chất lỏng. Hỏi áp lực thủy tĩnh tdung?
Xem xét trường hợp áp suất trên mặt thống bằng áp suất khí trời. dW
()
Thiết lập hệ trục tọa độ => Ba hình chiếu của S: Sx, Sy, Sz
dS
Xét vi phân diện tích dS. Tại trọng tâm:

  dP 
Sn
p  h  dP  pdS.n Sz
34
Áp lực trên toàn bộ diện tích S:

  Px   dPx y
 Sx
P   dP 
Py   dPy z



Pz   dPz


Phân tích:

dPx  pdS.nx  pdSx

dPy  pdS.ny  pdS y


dPz  pdS.nz  pdSz

. LƯU CHẤT TĨNH TRONG TRƯỜNG TRỌNG LỰC (15/21) Pgs.Ts
Thành phần áp lực trên trục toạ độ x
pa

Px   dP x   pdS .n x   pdS x

S Sx Sx

Đkiện dSx h
dPx
= áp lực thủy tĩnh trên diện tích 
phẳng Sx (cả độ lớn và điểm đặt) p dP
z p
Tương tự cho thành phần áp lực Py

Thành phần áp lực trên trục toạ độ z:

Pz   dPz   pdS.nz  hdSz    dW  Pz  W (Pz đi qua CW) Sz

S Sz Sz


y

Ghi chú: Sx ()
. Tính tốn áp lực thủy tĩnh trên diện tích cong là xác định 3 thành phần Px, Py và
dS
Pz của nó.
. Vật áp lực W là thể tích hình lăng trụ thẳng đứng có đường sinh trượt trên chu vi 

của diện tích cong, một đầu giới hạn bởi diện tích cong, đầu kia bởi mặt thoáng dP
hoặc mặt thoáng kéo dài. S
. Trong trường hợp diện tích cong phức tạp (có hình chiếu bị chồng chập) ta chia z n
diện tích cong thành các phần đơn giản, tính áp lực trên các phần rồi cộng lực.
35


×