Chuong 3 xstk pro 23 24 25

Xác suất thống kê kinh tế Chương 3. Các phân phối xác suất thông dụng

Chương 3. Các phân phối xác suất thông dụng

(Commonly Used Distributions)

3.1. Phân phối xác suất rời rạc (Discrete Distributions)
3.1.1. Phân phối Bernoulli
3.1.1.1. Ví dụ

3.1.1.2. Định nghĩa

Biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là có phân phối Bernoulli với 1 tham số p

0  p  1 , ký hiệu X  B p hoặc X  B p , nếu X chỉ có hai giá trị nguyên 0 và

1, với các xác suất tương ứng được tính theo cơng thức

P X  1  p và P X  0  1  p  q

Bảng phân phối xác suất:

X  xi 0 1

P X  xi  1  p p

q

3.1.1.3. Các đặc số

Định lý : Nếu X  B p thì:

1. E X   p
2. V X   pq với q  1  p

3.  X   pq

 Hãy chứng minh định lý trên.

3.1.2. Phân phối Nhị thức (Binomial Distribution)
3.1.2.1. Ví dụ

3.1.2.2. Định nghĩa

Biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là có phân phối nhị thức với 2 tham số n, p,

ký hiệu X  B n; p hoặc X  B n; p, trong đó n là số nguyên dương, 0  p  1 ,

nếu X nhận n+1 giá trị nguyên 0,1,..., n với các xác suất tương ứng được tính theo cơng

thức Bernoulli p x   Cnxpxqn  x x  0,n; 0  p  1; q  1  p

Ths. Dương Phú Điền Bộ môn Kinh tế tổng hợp, Khoa Kinh tế - QTKD, Trường ĐHAG
95

Xác suất thống kê kinh tế Chương 3. Các phân phối xác suất thông dụng

3.1.2.3. Các đặc số

Định lý : Nếu X  B n, p thì:
1. E X   np
2. V X   np 1  p

3.  X   np 1 p
4. Mod X  np  p  1;np  p

 Hãy chứng minh định lý trên.

Ví dụ 3.1.2.3.1. Tung 5 lần một đồng xu và theo dõi xem mặt sấp có xuất hiện hay
khơng. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện mặt sấp trong 5 lần tung đồng

xu. Hãy tính E X ,V X ,  X , ModX.

Giải. 1 ; p  q  .1

2  2
Ta có: X  B 5,


Áp dụng cơng thức trên, ta có:

1 1  1
E X   5.  2, 5;V X   5. 1    1, 25;  X   1,118 và ModX  2; 3
2 2  2

(do np  p  2;np  p  1  3 )

Nếu lập được bảng phân phối xác suất của X thì bằng các cơng thức ở chương II ta
cũng có thể tìm được các đặc số này.

X  xi 0 1 2 3 4 5

P X  xi  1 5 10 10 5 1

32 32 32 32 32 32

3.1.3. Phân phối Siêu bội (Siêu hình học) (Hypergeometric Distribution)
3.1.3.1. Ví dụ
3.1.3.2. Định nghĩa

Biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là có phân phối siêu bội với 3 tham số

N, NA,n , ký hiệu X  H N, NA,n hoặc X  H N, NA,n, trong đó N, NA,n là các

số nguyên dương, 0  n, NA  N , nếu X nhận một trong các giá trị x nguyên từ

max 0;n  NA  N  đến min n;NA với các xác suất tương ứng được tính theo cơng

thức tính xác suất lựa chọn

Ths. Dương Phú Điền Bộ môn Kinh tế tổng hợp, Khoa Kinh tế - QTKD, Trường ĐHAG
96

Xác suất thống kê kinh tế Chương 3. Các phân phối xác suất thông dụng

C x C nx

NA N NA

p x   n

CN

3.1.3.3. Các đặc số

Định lý : Nếu X  H N, NA,n thì:

1. E X   np với p  NA N
2. V X   npq N  n N  1 (với q  1  p )

trong đó N  n được gọi là thừa số điều chỉnh hữu hạn.
N 1

3.  X   npq N  n N 1

 Hãy chứng minh định lý trên.
Ví dụ 3.1.3.3.1. Một hộp chứa 12 bi gồm 8 bi đỏ và 4 bi xanh. Gọi X là số bi đỏ có
trong 4 bi chọn ra. Hãy tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X.
Giải.

Ta có: X  H 12, 8, 4 với N  12, NA  8,n  4; p  ?

Áp dụng cơng thức ở trên ta có:

E X   2, 667;V X   0, 646; X   0, 804

Nếu lập được bảng phân phối xác suất của X thì dựa vào các cơng thức của chương
II ta cũng tìm được kết quả trên.

X  xi 0 1 2 34

P X  xi  1 32 168 224 70

495 495 495 495 495

3.1.4. Phân phối Poisson (Poisson Distribution)
3.1.4.1. Ví dụ
3.1.4.2. Định nghĩa

Biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là có phân phối Poisson với 1 tham số , ký

hiệu X  P  hoặc X  P  , trong đó hằng số  > 0, nếu X nhận vơ hạn đếm được

các giá trị nguyên 0,1, 2,... với các xác suất tương ứng được tính theo cơng thức

Ths. Dương Phú Điền p x   e.x x !

Bộ môn Kinh tế tổng hợp, Khoa Kinh tế - QTKD, Trường ĐHAG
97

Xác suất thống kê kinh tế Chương 3. Các phân phối xác suất thơng dụng

3.1.4.3. Tính chất
3.1.4.4. Các đặc số

Định lý: Nếu X  P  với tham số  thì:
1. E X   
2. V X   

3.  X   
4. ModX    1;

 Hãy chứng minh định lý trên.

3.1.4.5. Xấp xỉ phân phối Nhị thức bằng phân phối Poisson

Định lý giới hạn Poisson:

Trong phân phối Nhị thức, nếu số phép thử n   còn xác suất thắng lợi
p  0 và np   (hằng số) thì quy luật phân phối Nhị thức tiến tới quy luật phân phối
Poisson với tham số   np .

x x n x  x
lim Cn p q  e
n   x!

Nghĩa là, trong phân phối Nhị thức X  B n; p, nếu n rất lớn (thông thường >100),

p q bé gần 0 (thơng thường p < 0,01) thì ta có thể xấp xỉ phân phối Nhị thức bằng phân

phối Poisson X  P  với   np để việc tính được dễ dàng hơn.

 Hãy chứng minh định lý trên.

Ví dụ 3.1.4.5.1. Một nữ công nhân đứng máy se sợi gồm 800 ống sợi. Xác suất đứt
sợi của mỗi ống trong vịng một giờ là 0,005. Tìm xác suất của biến cố trong vịng 1 giờ
có 5 ống sợi trên bị đứt.

Giải.

Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số ống sợi bị đứt trong vòng 1 giờ thì X  B(800;
0,005).

Áp dụng phân phối Nhị thức ta tính được:

8005
P X  5  C 800 0, 005 1  0, 005  0,1567
55

Ở đây n = 800 khá lớn cịn p = 0,005 rất bé nên ta có thể dùng xấp xỉ Poisson với
tham số   np  800 0, 005  4 để tính, ta được:

P(X = 5)  e 4  45  0,1563
5!

Ví dụ 3.1.4.5.2. Bộ môn Kinh tế tổng hợp, Khoa Kinh tế - QTKD, Trường ĐHAG
98
Ths. Dương Phú Điền

Xác suất thống kê kinh tế Chương 3. Các phân phối xác suất thông dụng

1. Trong một lô thuốc A, tỷ lệ thuốc hỏng p = 0,003. Nếu kiểm nghiệm 1 000 ống thì
xác suất để gặp 3 ống bị hỏng là bao nhiêu?

2. Giả sử xác suất tử vong của bệnh sốt xuất huyết là 7 0 00 . Tính xác suất để có
đúng 5 người chết do sốt xuất huyết trong một nhóm 400 người.

Giải

1. p = 0,003 bé, n = 1 000 lớn. Nếu X là số ống thuốc hỏng trong 1 000 thì X  P()
với  = np = 3.

Vậy: P X  3  e3 33!  0, 224 3

2. p = 0,007 bé, n = 400 lớn. Nếu X là số người chết do sốt xuất huyết trong một
nhóm 400 thì X  P() với = np =4000,007 = 2,8.

2, 85
Vậy: P X  5  e 2,8 5 !  0, 087

3.1.4.6.Ý nghĩa
Phân phối Poisson chính là phân phối của các biến cố hiếm, tức là các biến cố có

xác suất nhỏ.

 Hãy hồn thành bảng sau.
Bảng tổng kết các phân phối rời rạc

Phân phối Nhị thức Siêu bội Poisson
Ký hiệu

Số tham số Bộ môn Kinh tế tổng hợp, Khoa Kinh tế - QTKD, Trường ĐHAG
Công thức 99
tính xác
suất

E X

V X 

 X 

Ths. Dương Phú Điền

Xác suất thống kê kinh tế Chương 3. Các phân phối xác suất thông dụng

ModX

3.2. Phân phối xác suất liên tục (Continuous Distribution)

3.2.1. Phân phối chuẩn (Normal Distribution) (Phân phối Gauss)
3.2.1.1. Ví dụ
3.2.1.2. Định nghĩa

Biến ngẫu nhiên liên tục X nhận các giá trị trên  được gọi là có phân phối chuẩn

với 2 tham số  và  , ký hiệu X  N ; 2 hay X  N ; 2, nếu X có hàm mật

độ xác suất:

1  1  x  2 x  
 



f (x)  e 2  

 2

trong đó  và  (  0) là các hằng số.

Khi đó, X có hàm phân phối xác suất là:

1  x 1  t  2




F(x)  e 2   dt

 2 

f x 

1
 2

O 

Xét đồ thị hàm mật độ xác suất f x  ta có:

Ths. Dương Phú Điền Bộ môn Kinh tế tổng hợp, Khoa Kinh tế - QTKD, Trường ĐHAG
100

Xác suất thống kê kinh tế Chương 3. Các phân phối xác suất thông dụng

+ Đồ thị của hàm mật độ được gọi là đường cong phân phối chuẩn, đạt cực đại tại

; 1 , có hai điểm uốn tại   ; 1  vaø   ; 1   .
  
  2    2e    2e 



 f (x)dx  1 nên diện tích bên

+ Đường cong này có dạng hình quả chng. Do



dưới đường cong phân phối chuẩn bằng 1.

+ Khi  thay đổi, đường cong dịch chuyển song song với trục Ox còn dạng thì giữ nguyên.

+ Nếu  thay đổi thì đường cong thay đổi: dẹp xuống (khi  tăng) hoặc lồi lên (khi 

giảm). Điều này cho ta ý nghĩa của tham số  là thước đo độ tản mát các giá trị của biến ngẫu

nhiên.
3.2.1.3.Các đặc số

Định lý: Nếu X  N ; 2 với các tham số ; 2 thì :

1. E X   
2. V X   2
3.  X   

4. Mod X  

 Hãy chứng minh định lý trên.

3.2.1.4. Phân phối chuẩn tắc (Phân phối chuẩn hoá) (Standard Normal

Distribution)

Cho X  N , 2 . Xét phép đổi biến Z  X     X   , ta có:

X  1 
E Z   E     E X    0
     

X   1 2 2

 1  2
V Z   V       V X       1
       

Khi đó, ta nói biến ngẫu nhiên Z tuân theo luật phân phối chuẩn tắc, ký hiệu

Z  N 0;1 hoặc Z  N 0,1, có hàm mật độ (xác suất) và hàm phân phối (xác

suất) lần lượt được ký hiệu và xác định như sau:

(z)  1 e 2z2  f z  (còn gọi là hàm Gauss)

2

Ths. Dương Phú Điền Bộ môn Kinh tế tổng hợp, Khoa Kinh tế - QTKD, Trường ĐHAG
101

Xác suất thống kê kinh tế Chương 3. Các phân phối xác suất thông dụng

(z)  1 z  t22

 e dt  F z  (còn gọi là hàm Laplace)

2 

Phép đổi biến Z  X   được gọi là phép quy chuẩn.


 Nhận xét đồ thị hàm mật độ xác suất (z).

Diện tích của “đi trái” bằng với diện tích của “đi phải” tương ứng, nghĩa là

z  1 z 

3.2.1.5. Cơng thức tính xác suất của biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn
Định lý:
Nếu X  N (, 2) thì:
x  

1. P X  x   F(x)   ;

  

1 x 1  t  2




 e dt
trong đó F(x)  2  

 2 

x  

2. P X  x   1 P X  x   1   

  

Ths. Dương Phú Điền Bộ môn Kinh tế tổng hợp, Khoa Kinh tế - QTKD, Trường ĐHAG
102

Xác suất thống kê kinh tế Chương 3. Các phân phối xác suất thông dụng

       
3. P   X    F()  F()       
     

        
4. P  X            2   1
      

 Suy ra cơng thức tính xác suất đối với phân phối chuẩn tắc. Nếu Z  N 0;1

thì:

1. P Z  z 

2. P Z  z  

3. P Z    0 (: hằng số)

4. P   Z   

5. P   Z   

Cách tra bảng

1. Bảng hàm Gauss (x)  1 e 2x2 (Bảng 1)
2

Ta có (x)  1 e x22 là một hàm chẵn  x    x , các giá trị của nó được cho

2

trên bảng hàm Gauss. Nếu muốn tính  1, 25 , dóng hàng chứa “1,2” và cột “5” ta thấy

0,1826. Với các giá trị khơng có trong bảng x  3, 99 ta xem  x   0, 0001.

2. Bảng hàm Laplace (x)  1 x e 2t2dt (Bảng 2)

2 

Bảng hàm Laplace cho các giá trị của z  0 . Với z  0 , ta phải sử dụng tính đối

xứng của phân phối chuẩn, nghĩa là P Z  z   P Z  z  hay z   1  z  .

Cách tra bảng hàm Laplace giống như bảng hàm Gauss. Chẳng hạn nếu muốn tính

1, 25, dóng hàng chứa “1,2” và cột “5” ta gặp 0,8944. Với z  5 ta xem z   1.

Nếu đã biết giá trị  z0 , muốn tìm lại z0 , quá trình tra bảng ngược lại. Để quá trình tra
bảng ngược thuận tiện hơn ta nên tra bảng 3. Chẳng hạn nếu biết z0  0, 950 thì để

tìm z0 tra bảng 3 ta được z0  1, 6449 . (NA201)

Ví dụ 3.2.1.5.1. Cho Z là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc, hãy tính:

Ths. Dương Phú Điền Bộ môn Kinh tế tổng hợp, Khoa Kinh tế - QTKD, Trường ĐHAG
103

Xác suất thống kê kinh tế Chương 3. Các phân phối xác suất thông dụng

1. P Z  2
2. P Z  2
3. P Z  2
4. P Z  2
5. P 2  Z  2

6. P  Z  2

7. P 2  Z  1
8. z sao cho P Z  z   0, 05
9. z sao cho P z  Z  z   0, 9
10. z sao cho P z  Z  z   0, 8

Giải.

1. P Z  2  0, 9772
2. P Z  2  0, 0228
3. P Z  2  0

4. P Z  2  0, 0228
5. P 2  Z  2  0, 9544

6. P  Z  2  0, 0456

7. P 2  Z  1  0, 8185

8. z  1, 6449
9. z  1, 6449
10. z  1, 2816

Ví dụ 3.2.1.5.2. Giả sử chiều cao X, đơn vị tính inches, của một người đàn ông
được chọn ngẫu nhiên từ một tổng thể nào đó có phân phối chuẩn với   69 và
  2, 6 . Hãy tính:

1. P X  72

2. P X  72

Ths. Dương Phú Điền Bộ môn Kinh tế tổng hợp, Khoa Kinh tế - QTKD, Trường ĐHAG
104

Xác suất thống kê kinh tế Chương 3. Các phân phối xác suất thông dụng

3. P X  66

4. P  X    3

Giải. P X  72  P  X   72  69  P Z  1,15  1,15  0, 8749
1.  2, 6 

2.
P X  72  1  P X  72  1  1,15  1  0, 8749  0,1251

3. P X  66  P  X   66  69
 2, 6 

 P Z  1,15  1,15  1  1,15  0,1251

 X   3 
4. P      P  Z  1,15
  2, 6

 P 1,15  Z  1,15  21,15 1  0, 7498

Ví dụ 3.2.1.5.3.
1. Giả sử X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn có phương sai bằng 4. Cho biết
P(X > 16) = 0,95. Tìm kỳ vọng  của X. ĐS: =19,290.
2. Giả sử X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kỳ vọng 10 và xác suất để X
có giá trị lớn hơn 12 là 0,1056. Tính độ lệch chuẩn của X. ĐS:  =1,6.

Ví dụ 3.2.1.5.4.
Thời gian để đội thợ A xây xong một căn phòng là một biến ngẫu nhiên có phân
phối chuẩn có kỳ vọng là 500 giờ và độ lệch chuẩn là 100 giờ.
1. Tìm xác suất để đội A xây xong trong khoảng [400 giờ, 700 giờ].
2. Tìm xác suất để đội A hoàn thành sớm hơn 580 giờ.
3. Tìm xác suất để đội A hoàn thành trễ hơn 580 giờ.
Giải.
Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ thời gian đội A xây xong căn phịng thì
X  N (  500, 2  1002) .

1. Ta có:

Ths. Dương Phú Điền Bộ môn Kinh tế tổng hợp, Khoa Kinh tế - QTKD, Trường ĐHAG
105

Xác suất thống kê kinh tế Chương 3. Các phân phối xác suất thông dụng

P 400  X  700
700  500 400  500
        
 100   100  

 (2)  (1)  (2)  1  (1) 

 (2)  (1)  1  0, 9772  0, 8413  1

 0, 8185

2. Ta có :

P(X  580)   580  500  (0, 8)  0, 7881
 100 

3. Ta có :
P(X  580)  1  P(X  580)  1  0, 7881  0, 2119

3.2.1.6. Xấp xỉ phân phối nhị thức bởi phân phối chuẩn

Trong phân phối nhị thức X  B n; p, nếu n đủ lớn và p không quá bé gần 0 và 1

(thường xét n >30, np > 5) thì ta có thể tính xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối chuẩn

X  N ; 2 với   np , 2  npq .

Việc tính gần đúng thể hiện ở hai dạng: 1  k  np 
+ Công thức Moivre – Laplace 
npq  npq 
P X  k   Cnk pkqnk 

trong đó  x  là hàm Gauss.

+ Cơng thức tích phân Laplace

P   X    F()  F()      np       n p 
   

 npq   npq 

trong đó x  là hàm Laplace.

Ví dụ 3.2.1.6.1.

Một bệnh có xác suất chữa khỏi là 0,2. Có 100 người bệnh, tính xác suất để 21 người khỏi
bệnh.

Giải.

Gọi X là số người khỏi bệnh, X có phân phối nhị thức B(100;0,2).

 Tính theo phân phối nhị thức:

21 21 79

P X  21  C100 0,2 0, 8  0, 0946

Ths. Dương Phú Điền Bộ môn Kinh tế tổng hợp, Khoa Kinh tế - QTKD, Trường ĐHAG
106

Xác suất thống kê kinh tế Chương 3. Các phân phối xác suất thông dụng

 Tính theo xấp xỉ phân phối chuẩn

  np  100.0, 2  20;

2  npq  100.0, 2.0, 8  16;

k  np  21  20  0, 25
npq 4

P X  21  14  0, 25  0, 0967

Ví dụ 3.2.1.6.2. Có 80 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu có 4 cách trả lời, trong đó có một
cách đúng. Một học sinh trả lời kiểu hú hoạ.

1. Tính xác suất để trả lời đúng 24 câu.

2. Tính xác suất để số câu trả lời đúng nhiều hơn 30 câu.

Giải:

Mỗi lần trả lời là một phép thử có xác suất thành công (trả lời đúng) p = 0,25. Trả lời 80

câu coi như lặp lại 80 lần phép thử, số câu trả lời đúng X có phân phối nhị thức B 80; 0, 25 .

1.

 Tính theo phân phối nhị thức:

24 24 56

P X  24  C80 0, 25 0, 75  0, 058

 Tính theo xấp xỉ phân phối chuẩn

np  80.0, 25  20;npq  80.0, 25.0, 75  15;

k  np  24  20  1, 0328
npq 15

P X  24  1  1, 0328  0, 062

15

2. P X  30  1 P X  30

 1   30  20
 15 

 1  2, 58  1  0, 9951  0, 0049

3.2.1.7. Phân vị chuẩn

Giả sử Z  N 0;1. Phân vị chuẩn mức  của phân phối chuẩn tắc, ký hiệu z ,

là giá trị thoả mãn điều kiện z   

P Z  z    tức là

Ths. Dương Phú Điền Bộ môn Kinh tế tổng hợp, Khoa Kinh tế - QTKD, Trường ĐHAG
107

Xác suất thống kê kinh tế Chương 3. Các phân phối xác suất thơng dụng

Với  cho trước có thể tính được giá trị của z  bằng cách tra bảng tích phân

Laplace (Bảng 2). Nếu tính ngược, ta tra bảng Giá trị bách phân vị (Bảng 3).

y

4

3.5

3

2.5

2

1.5

1

 0.5 

x

 z -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 z 0.2 0.4 0.6 0.81
1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4

 O 1

-0.5

Từ đồ thị ta thấy: z1    z

Ví dụ 3.2.1.7.

Biết z  0, 5 , ta có 0, 5  0, 6915 .

Ngược lại, nếu biết   0, 7224 thì trên cột z  tìm số 0,7224, giá trị tương ứng

trên cột z ở bên trái ta có z  0, 59 .

3.2.1.8. Quy tắc “k – xích ma”

  
Cho X  N (,  ), theo công thức P  X      2   1 nếu lấy   k2

 

thì P  X      2k  1 .

Trong thực tế ta thường dùng quy tắc k  1;2; 3

1. P(    X    )  P  X      2(1) 1  0, 6826
2. P(  2  X    2)  P  X    2  2(2) 1  0, 9544
3. P(  3  X    3)  P  X    3  2(3)  1  0, 9974

Ths. Dương Phú Điền Bộ môn Kinh tế tổng hợp, Khoa Kinh tế - QTKD, Trường ĐHAG
108

Xác suất thống kê kinh tế Chương 3. Các phân phối xác suất thông dụng

Ý nghĩa: “Nếu X  N (, 2) thì xác suất (diện tích) để X nhận giá trị sai lệch so
với kỳ vọng  không quá 1; 2; 3 lần lượt là 68,26%; 95,44%; 99,74%”.

Nhận xét:

Do xác suất P  X    3  0, 9974 rất gần 1 nên ta có thể phát biểu như sau:

Hầu chắc chắn rằng biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn N (; 2) nhận giá trị sai
lệch với kỳ vọng  không quá 3 .

Quy tắc trên được minh họa như sau:

68% 16% 16%

10 10

 

2,25% 95,5% 2,25%

20 20
  

0,15% 99,7% 0,15%

 30  30

 

Phân phối chuẩn với vùng 1, 2, 3 .

3.2.1.9. Ứng dụng
Các đại lượng ngẫu nhiên sau có phân phối chuẩn:
+ Kích thước chi tiết máy do một máy sản xuất ra.
+ Trọng lượng của nhiều sản phẩm cùng loại.
+ Năng suất của một loại cây trồng trên những thửa ruộng khác nhau.
Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn là biến phổ biến và đóng một vai trị quan

trọng trong nghiên cứu lý thuyết xác suất thống kê.

Ths. Dương Phú Điền Bộ môn Kinh tế tổng hợp, Khoa Kinh tế - QTKD, Trường ĐHAG
109

Xác suất thống kê kinh tế Chương 3. Các phân phối xác suất thơng dụng

3.2.2. Phân phối “Chi bình phương”

3.2.2.1. Định nghĩa

Biến ngẫu nhiên liên tục X gọi là có phân phối “Chi bình phương” với n bậc tự
do (n  *), ký hiệu X  2(n), nếu X có hàm mật độ :

 1 n 1  x
x2 e 2,x  0
n n 
 2 
f x  2   
  2 
 0,
x 0


x 1 t

trong đó : (x)   t e dt (x  0) được gọi là hàm Gamma.
0

Với mọi x > 0 và n =1, 2, …, ta có:

(x  1)  x(x) và (n)  n 1!

Đặc biệt: (1)  ; (1)  1
2

Đồ thị có dạng :

0,2

0,1

2 4 6 8 10

3.2.2.2. Các đặc số
Nếu X  2(n) thì:

1. E X   n
2. V X   2n .

3.2.2.3. Tính chất

Nếu các biến ngẫu nhiên X1, X2, ... , Xn độc lập và cùng có phân phối chuẩn tắc
N(0,1) thì:

1. Các biến ngẫu nhiên bình phương Xi2 (i = 1,…, n) tuân theo luật phân phối
2(1).

2. Biến ngẫu nhiên tổng các bình phương X12  X22 . . .  Xn2 tuân theo luật 2(n).

Ths. Dương Phú Điền Bộ môn Kinh tế tổng hợp, Khoa Kinh tế - QTKD, Trường ĐHAG
110

Xác suất thống kê kinh tế Chương 3. Các phân phối xác suất thơng dụng

3.2.2.4. Cách tra bảng “Chi bình phương” (Bảng 5)

Giả sử X  2 n. Phân vị mức  của phân phối 2(n) , ký hiệu 2 , là giá trị

n ;

thoả mãn điều kiện

P X   2  
n;

Trong Bảng phân phối 2 , cột một chỉ bậc tự do n, hàng một chỉ mức ý nghĩa ,

còn phân vị 2n, là giá trị nằm trên hàng “n” cột “”. Như vậy nếu biết giá trị của đại


lượng ngẫu nhiên 2n, và bậc tự do n ta tìm được mức ý nghĩa , ngược lại nếu biết


  được bậc tự do n và mức ý nghĩa , ta tìm được giá trị 2n, .
 mà P X   2

n;

Ví dụ 3.2.2.4.

a. Tìm  thoả mãn P X  2 ;    biết n=12, 2  23, 337 .

n n;

b. Tìm  2 thoả mãn P X   2  0, 05 , biết n=20.
n;
n ;

Giải.

a. Ta lấy hàng n =12, giá trị  2  23, 337 nằm trên cột ứng với   0, 025 hay

n;

P X   2  0, 025 .
n;

b. Với n =20,   0, 95 , lấy hàng n =20 và cột   0, 95 ta được 2  10, 851.

(n ; )

3.2.3. Phân phối Student (phân phối t) (t Distribution)
3.2.3.1. Định nghĩa

Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối Student với (n–1) (hoặc còn

ký hiệu df) bậc tự do, ký hiệu X  t n  1 hoặc X  t n 1, nếu có hàm mật độ:

n 
    2 n/2
f x  2  x 1 ,x  
 1
n  1.    n  1 n 

 2 

 (x  0) được gọi là hàm Gamma.
x 1 t

trong đó : (x)   t e dt
0

3.2.3.2. Các đặc số

Nếu X  t n  1 thì

Ths. Dương Phú Điền Bộ môn Kinh tế tổng hợp, Khoa Kinh tế - QTKD, Trường ĐHAG
111

Xác suất thống kê kinh tế Chương 3. Các phân phối xác suất thông dụng

1. E X   0 với n 3. (E X  không tồn tại khi n=2).

2. V X   n  1 n  3 với n 4.

3.2.3.3. Tính chất

Giả sử : U  N(0,1) và V  2 n ; U,V độc lập. Khi đó đại lượng ngẫu nhiên

X  U hay X  U n
V V

n

được gọi là có phân phối Student n bậc tự do.
Với n  30 , phân phối t(n  1) gần trùng với phân phối chuẩn tắc N (0,1).

3.2.3.4. Cách tra bảng Student (Bảng 4)

Để tìm giá trị tdf sao cho P X  tdf    , biết rằng X  t df  ta dóng hàng “df”

và cột “” tương ứng.

Ví dụ 3.2.3.4.
Cho T là biến ngẫu nhiên có phân phối Student với 19 bậc tự do. Biết   5% , hãy
tìm t .
df

Giải
Tra bảng giá trị t ở dịng df =19, cột =0,05, ta có t 0,05 19  1, 7291.

df
Điều đó có nghĩa là : P(T  1, 7291)  0, 05

3.2.4. Phân phối Fisher (F Distribution)
3.2.4.1. Định nghĩa

Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối Fisher với n1 và n2 bậc tự

do, ký hiệu là X  F n1;n2  , nếu X có hàm mật độ được xác định bởi:

    n1  n2   n1 n  n1  n2 2
  2  n1 1 1
 n2 1 , với x  0
 n1   n2  1 x2 x
f (x)  n2 n2
  
  2   2 


0, với x 0

Ths. Dương Phú Điền Bộ môn Kinh tế tổng hợp, Khoa Kinh tế - QTKD, Trường ĐHAG
112

Xác suất thống kê kinh tế Chương 3. Các phân phối xác suất thông dụng

  
 n1  n2  2 2
  n1 n2 x2n1 1

2 n1 n2

 n1   n2  n n , với x  0
hay f (x)       12
  2 2  nx n 2

 1 2
0, với x  0


3.2.4.2. Tính chất

Giả sử Y và Z là các biến ngẫu nhiên độc lập. Nếu Y ~ 2(n1) và Z ~ 2(n2) thì
biến ngẫu nhiên

X  Y / n1
Z / n2

tuân theo luật phân phối Fisher với n1 và n2 bậc tự do.

3.2.4.3. Cách tra bảng Fisher (Bảng 6)

Ví dụ 3.2.4.3.1.

Với   0, 05 , giá trị của F 3; 28  2, 947 .

0,05

Với   0, 01 , giá trị của F 3; 28  4, 568 .

0,01

 Hãy hoàn thành bảng sau.
Bảng tổng kết các phân phối liên tục

Phân phối Ký hiệu Số tham Hàm mật độ E X V X  ModX
số
f x 

Chuẩn

Chuẩn tắc

Chi bình Bộ môn Kinh tế tổng hợp, Khoa Kinh tế - QTKD, Trường ĐHAG
phương 113

Student

Ths. Dương Phú Điền

Xác suất thống kê kinh tế Chương 3. Các phân phối xác suất thông dụng

Fisher

BÀI TẬP CHƯƠNG III

3.1. Có 2 kiện hàng. Kiện thứ nhất có 10 sản phẩm, trong đó có 8 sản phẩm loại
A; kiện thứ hai có 8 sản phẩm, trong đó có 5 sản phẩm loại A. Lần đầu, lấy ngẫu nhiên 2
sản phẩm ở kiện thứ nhất bỏ vào kiện thứ hai, sau đó lấy ngẫu nhiên từ kiện thứ hai ra 2
sản phẩm. Đặt X và Y lần lượt là biến ngẫu nhiên chỉ số sản phẩm loại A có trong các
sản phẩm lấy ra ở lần thứ nhất và lần thứ hai. Tìm luật phân phối xác suất của X và của
Y; tính E(X), D(X), E(Y) và D(Y).

3.2. Một kiện hàng chứa 8 sản phẩm, trong đó có 3 sản phẩm xấu và 5 sản phẩm
tốt. Lấy ngẫu nhiên từ kiện hàng ra 4 sản phẩm (khơng hồn lại).
(a) Hãy lập bảng phân phối xác suất cho số sản phẩm xấu có trong 4 sản phẩm lấy ra, và
tính xác suất để trong đó có ít nhất 2 sản phẩm tốt.
(b) Đem 4 sản phẩm vừa lấy ra đi bán. Biết rằng bán một sản phẩm tốt được lời 50 ngàn
đồng, và bán một sản phẩm xấu bị lỗ 15 ngàn đồng. Tính lợi nhuận thu được trung bình
và độ lệch chuẩn của lợi nhuận khi bán 4 sản phẩm trên.

3.3. Một lơ hàng có rất nhiều sản phẩm, với tỉ lệ hàng giả là 30%.
(a) Lấy ngẫu nhiên từ lơ hàng ra 10 sản phẩm, tính xác suất để có nhiều nhất 2 sản phẩm
giả.
(b) Người ta lấy ngẫu nhiên ra từng sản phẩm một để kiểm tra cho đến khi nào gặp sản
phẩm giả thì dừng. Tìm luật phân phối xác suất và tính kỳ vọng của số sản phẩm thật đã
kiểm tra; tìm luật phân phối xác suất và tính kỳ vọng của số sản phẩm đã kiểm tra.

3.4. Các khách hàng mua xe gắn máy tại một đại lý, nếu xe có sự cố kỹ thuật thì

được quyền trả lại xe trong vòng ba ngày sau khi mua và được lấy lại nguyên số tiền mua
xe. Mỗi chiếc xe bị trả lại như thế làm thiệt hại cho đại lý 250 (ngàn)VNĐ. Có 50 xe vừa
được bán ra. Xác suất để một xe bị trả lại là 0,1.
(a) Tìm kỳ vọng và phương sai của số xe bị trả lại. Tính xác suất để có nhiều nhất 2 xe
bị trả lại.
(b) Tìm kỳ vọng và độ lệch chuẩn của tổng thiệt hại mà đại lý phải chịu do việc trả lại
xe.

3.5. Một thí sinh tên M tham dự một kỳ thi môn XSTK. M phải làm một đề thi trắc

nghiệm khách quan gồm 10 câu; mỗi câu có 4 lời giải khác nhau, trong đó chỉ có một lời

giải đúng. M sẽ được chấm đậu nếu trả lời đúng ít nhất 6 câu.

(a) Giả sử M khơng học bài, mà chỉ chọn ngẫu nhiên lời giải trong cả 10 câu. Tính xác

suất để M thi đậu. Hỏi M phải dự thi ít nhất mấy lần để xác suất có ít nhất một lần thi đậu

khơng nhỏ hơn 97%?

(b) Giả sử M chắc chắn trả lời đúng được 2 câu; còn các câu khác, M chọn ngẫu nhiên

một trong 4 lời giải của mỗi câu. Tính xác suất để M thi rớt.

Ths. Dương Phú Điền Bộ môn Kinh tế tổng hợp, Khoa Kinh tế - QTKD, Trường ĐHAG

114