Nguyên lý dirichlet và ứng dụng trong lý thuyết ramsey

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

PHAN THỊ DIỄM MY

NGUYÊN LÝ DIRICHLET VÀ ỨNG DỤNG
TRONG LÝ THUYẾT RAMSEY

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Bình Định − Năm 2023

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

PHAN THỊ DIỄM MY

NGUYÊN LÝ DIRICHLET VÀ ỨNG DỤNG
TRONG LÝ THUYẾT RAMSEY

Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp
8460113
Mã số :

Người hướng dẫn: PGS.TSKH. HUỲNH VĂN NGÃI
Bình Định − Năm 2023

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan nội dung trong luận văn "Nguyên lý Dirichlet và
ứng dụng trong lý thuyết Ramsey" là do bản thân thực hiện theo

logic riêng dưới sự hướng dẫn của PGS.TSKH. Huỳnh Văn Ngãi. Các nội
dung và kết quả sử dụng trong luận văn đều có trích dẫn và chú thích
nguồn gốc rõ ràng.

Bình Định, tháng 11 năm 2023
Tác giả

Phan Thị Diễm My

i

Mục lục

Một số ký hiệu iii

Lời mở đầu 1

1 Kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Các kỹ thuật đếm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Nguyên lý quy nạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Xác suất của biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Cơ sở lý thuyết đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Nguyên lý Dirichlet 12

2.1 Nguyên lý Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Một số ứng dụng và dạng bài tập liên quan đến nguyên lý

Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.1 Ứng dụng trong số học . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.2 Ứng dụng trong dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.3 Ứng dụng trong hình học . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Lý thuyết Ramsey và một số ứng dụng 27

3.1 Định lý Ramsey trong lý thuyết đồ thị . . . . . . . . . . . . 27

3.1.1 Định lý Ramsey cho đồ thị hai màu . . . . . . . . . 29

3.1.2 Định lý Ramsey cho trường hợp tổng quát . . . . . . 32

3.2 Định lý kiểu Ramsey trên tập số tự nhiên . . . . . . . . . . 34

3.2.1 Định lý Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2.2 Định lý Van der Waerden . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2.3 Định lý Rado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.3 Một số bài toán ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

ii

Kết luận 66

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

iii

Một số ký hiệu

• R: Tập số thực.
• N: Tập số tự nhiên.
• Z: Tập hợp các số nguyên.
• Rn: Khơng gian vectơ n chiều.
• Pn: Hốn vị của n phần tử.
• Akn: Chỉnh hợp chập k của n.
• Cnk: Tổ hợp chập k của n.
• Ω: Khơng gian mẫu.
• χ: Tập hợp các số ngun dương.
• E: Phương trình tuyến tính.
• r(E, s): Số nguyên nhỏ nhất.

1

Lời mở đầu

Trong lịch sử phát triển của nhân loại có rất nhiều bài tốn cổ và những
hình vẽ từ thời xa xưa để lại. Từ những bài toán cổ ấy hình thành nên
một tư duy mới, đó là tư duy tổ hợp. Và lý thuyết tổ hợp được hình thành
từ giai đoạn đó (thế kỷ XVII). Một số cơng trình nghiên cứu nổi tiếng của
các nhà tốn học như Pascal, Euler, Fermat, Leibnitz,... được phát triển

mạnh, nhất là khi máy tính điện tử ra đời.

Ngày nay, lý thuyết tổ hợp được ứng dụng nhiều trong các lĩnh vực khác
nhau như lý thuyết số, lý thuyết xác suất, lý thuyết mật mã, hình học hữu
hạn,... Do sự phong phú của các luật phân bố được áp dụng trên nhiều đối
tượng nên các bài tốn có nội dung phong phú và ứng dụng nhiều trong
đời sống như: bố trí lịch làm việc, một cách xếp hình, một mạch điện, một
cơng thức hóa học,...

Tổ hợp đã được đưa vào giảng dạy ở chương trình phổ thơng, đại học
và sau đại học. Chính vì các khái niệm trừu tượng và đa dạng các bài tốn
khó nên nó lại là một bộ mơn tương đối khó với học sinh, sinh viên và cả
học viên. Các bài toán liên quan đến tổ hợp thường xuyên góp mặt trong
các đề thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic quốc tế, Olympic sinh viên của
các trường và thường thuộc dạng bài tập khó và rất khó.

Như đã biết, nguyên lý Dirichlet và nguyên lý Ramsey là hai nguyên lý
cơ bản của tổ hợp, có rất nhiều ứng dụng khác nhau; không những trong
những vấn đề tổ hợp sơ cấp; mà còn trong nhiều lĩnh vực tổ hợp hiện đại.
Nói một cách khơng hình thức; hai ngun lý trên cho ta biết rằng, với
những cấu trúc tổ hợp có số lượng phần tử đủ lớn thì tồn tại cấu trúc con
có tính chất đủ "tốt" (tồn tại đồ thị đầy đủ đơn sắc, hay cấp số cộng đơn
sắc). Luận văn nhằm mục đích tìm hiểu hai ngun lý này; và một số ứng
dụng để giải những bài toán tổ hợp sơ cấp, thường xuất hiện trong các bài
thi học sinh giỏi ở phổ thơng.

Ngồi mục lục, danh mục các ký hiệu, phần mở đầu và phần kết luận,
nội dung của luận văn được chúng tơi trình bày trong ba chương.

2

Chương 1. Trong chương này, chúng tơi trình bày một số kiến thức cơ
sở để chuẩn bị cho các chương sau của luận văn.

Chương 2. Nội dung chính của chương này là tìm hiểu về các phiên bản
của nguyên lý Dirichlet và những áp dụng trong giải toán tổ hợp.

Chương 3. Nội dung chính của chương này là tìm hiểu một số tính chất,
định lý về lý thuyết Ramsey và những vấn đề tổ hợp sơ cấp liên quan.

Dưới sự hướng dẫn của thầy Huỳnh Văn Ngãi, tôi chọn đề tài luận
văn:"Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng trong lý thuyết Ramsey". Luận
văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học và tận tình của
PGS.TSKH. Huỳnh Văn Ngãi. Tơi xin chân thành cảm ơn thầy đã nhận
lời hướng dẫn tôi làm luận văn này.

Mặc dù bản thân đã rất cố gắng, nhưng chắc chắn luận văn khó tránh
khỏi những thiếu sót. Tơi rất mong nhận được những góp ý thẳng thắn
của q thầy cơ giáo và các bạn học viên để luận văn được hoàn thiện
hơn.

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám Hiệu Trường Đại học
Quy Nhơn, Phòng Sau đại học, Khoa Toán và Thống kê cùng quý thầy cơ
giáo giảng dạy lớp cao học Phương pháp Tốn sơ cấp khóa 23 đã tận tình
giúp đỡ và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi trong thời gian học tập và
nghiên cứu thực hiện đề tài.

Bình Định, tháng 11 năm 2023
Học viên thực hiện

Phan Thị Diễm My

3

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị như:
các kỹ thuật đếm cơ bản, nguyên lý quy nạp, xác suất của biến cố, cơ sở
của lý thuyết đồ thị,... làm cơ sở tiền đề để người đọc có thể dễ dàng nắm
bắt được nội dung của các chương sau. Tuy nhiên, chúng tơi chỉ trình bày
chứng minh của các kết quả thường được sử dụng trong các chương sau,
còn các kết quả chưa được chứng minh độc giả có thể dễ dàng tìm thấy
trong mục tài liệu tham khảo [2], [3], [4].

1.1 Các kỹ thuật đếm cơ bản

Định nghĩa 1.1.1 (Quy tắc cộng). Giả sử có k cơng việc T1, T2, . . . , Tk.
Các cơng việc này có thể làm tương ứng bằng n1, n2, . . . , nk cách và giả sử
khơng có hai cơng việc nào có thể làm đồng thời. Khi đó số cách để làm
một trong k công việc trên là

n1 + n2 + . . . + nk.
Định nghĩa 1.1.2 (Quy tắc nhân). Giả sử một công việc nào đó được
tách thành k phân đoạn để thực hiện T1, T2, . . . , Tk. Giả sử ở phân đoạn
T1 có n1 cách để thực hiện, với mỗi cách thực hiện phân đoạn Ti−1 có ni
cách thực hiện phân đoạn Ti, i = 2, . . . , k. Khi đó tổng số cách thực hiện
cơng việc ban đầu là

n1.n2 . . . nk.
Định nghĩa 1.1.3 (Hoán vị). Một hoán vị của n là một cách sắp xếp n
phần tử theo một thứ tự nào đó.

4

Áp dụng Quy tắc nhân, ta nhận được số tất cả các hoán vị của n là

Pn = n(n − 1)(n − 2) . . . 1 = n!.

Định nghĩa 1.1.4 (Chỉnh hợp). Một chỉnh hợp chập k của n phần tử
(0 ≤ k ≤ n) là một nhóm có phân biệt thứ tự gồm k phần tử khác nhau
lấy ra từ n phần tử đã cho.

Áp dụng Quy tắc nhân, ta nhận được số tất cả các chỉnh hợp chập k
của n phần tử là

Ank = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1) = n! .
(n − k)!

Nhận xét 1.1.1. Một chỉnh hợp chập n của n là một hoán vị của n phần
tử.

Định nghĩa 1.1.5 (Tổ hợp). Một tổ hợp chập k của n phần tử (0 ≤ k ≤ n)
là một nhóm khơng phân biệt thứ tự gồm k phần tử khác nhau lấy ra từ
n phần tử đã cho.

Áp dụng Quy tắc nhân và khái niệm chỉnh hợp, ta nhận được số tất cả
các tổ hợp chập k của n phần tử là

Cnk = n!
.
k!(n − k)!

Nhận xét 1.1.2. Ta có thể định nghĩa một tập con k phần tử của tập n

phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n. Từ đó suy ra số tất cả các
tập con k phần tử của một tập có n phần tử là Cnk.

Định nghĩa 1.1.6 (Chỉnh hợp lặp). Một chỉnh hợp lặp chập k của n phần

tử (k ≥ 0) là một nhóm có phân biệt thứ tự gồm k phần tử không nhất

thiết khác nhau lấy ra từ n phần tử đã cho.

Áp dụng Quy tắc nhân, ta nhận được số tất cả các chỉnh hợp lặp chập

k của n là

A¯kn = nk.

Định nghĩa 1.1.7 (Tổ hợp lặp). Một tổ hợp chập k của n phần tử (0 ≤
k ≤ n) là một nhóm khơng phân biệt thứ tự gồm k phần tử không nhất
thiết khác nhau lấy ra từ n phần tử đã cho.

Số tất cả các tổ hợp lặp chập k của n là

C¯kn = Cn+k−1 k .

5

1.2 Nguyên lý quy nạp

Mệnh đề 1.2.1 (Nguyên lý thứ tự tốt). Giả sử A là tập con khác rỗng
của tập các số nguyên dương. Lúc đó, A chứa một phần tử bé nhất.

Nguyên lý này còn được gọi là Tiên đề thứ tự.
Nguyên lý quy nạp sau đây được phát biểu dưới dạng tập hợp, được
chứng minh bằng phương pháp phản chứng và sử dụng nguyên lý thứ tự
tốt.

Mệnh đề 1.2.2 (Nguyên lý quy nạp). Giả sử Q là tập hợp con của tập
các số nguyên sao cho

1. k ∈ Q,

2. n ∈ Q suy ra n + 1 ∈ Q với mọi n ≥ k,
khi đó

3. Mọi số nguyên lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc Q.

Chứng minh. Giả sử trái lại rằng (i) không đúng.
Đặt S = {x ∈ N, x ≥ k, x̸ ∈ Q}. Như vậy, S là tập con khác rỗng của

tập các số nguyên dương, theo giả thiết phản chứng vừa nêu. Từ nguyên
lý thứ tự tốt, có thể gọi m là phần tử bé nhất của S.

Theo (i), phải có m > k, suy ra m − 1 ≥ k. Vì m − 1 < m nên ta
có m − 1̸ ∈ S, hay m − 1 ∈ Q. Do đó, theo (ii), m ∈ Q, điều này mâu
thuẫn.

1.3 Xác suất của biến cố

Định nghĩa 1.3.1 (Phép thử ngẫu nhiên). Một phép thử ngẫu nhiên là
một phép thử mà ta khơng biết trước được kết quả của nó. Tuy nhiên, với
hầu hết các phép thử ngẫu nhiên, chúng ta có thể liệt kê ra các kết quả có
thể xảy ra của nó.

Định nghĩa 1.3.2 (Biến cố sơ cấp). Mỗi kết quả có thể có của một phép
thử ngẫu nhiên được gọi là một biến cố sơ cấp, được ký hiệu bởi ω, ω1, ω2, ...
Định nghĩa 1.3.3 (Biến cố). Mỗi tập con A của không gian mẫu Ω được
gọi là một biến cố.

6

• Nếu A = ∅ thì A được gọi là biến cố không thể.
• Nếu A = Ω thì A được gọi là biến cố chắc chắn.
• Nếu ∅ ⊊ A ⊊ Ω thì A được gọi là biến cố ngẫu nhiên.
Rõ ràng, nếu A và B là các biến cố thì Ac = Ω \ A, A ∪ B, A ∩ B cũng là
các biến cố.

Định nghĩa 1.3.4 (Không gian biến cố). Một họ F các tập con của không
gian mẫu Ω được gọi là một không gian biến cố nếu nó thoả mãn các điều
kiện sau:

(i) Ω ∈ F ;
(ii) Nếu A ∈ F thì Ac ∈ F ;

(iii) Nếu Aj ∈ F , j ≥ 1 thì j≥1 Aj ∈ F .

Khi đó, một tập con A của Ω được gọi là một biến cố nếu A ∈ F . Mỗi
phần tử ω của A được gọi là một kết quả thuận lợi của A. Biến cố A được
gọi là xảy ra nếu kết quả của phép thử là một kết quả thuận lợi của A.

Vì một biến cố là một tập con của khơng gian mẫu nên các quan hệ,
phép tốn, tính chất trên tập hợp đều được thực hiện tương ứng trên các
biến cố.

Định nghĩa 1.3.5 (Xác suất của biến cố). Giả sử A là biến cố liên quan

đến phép thử T và phép thử T có một số hữu hạn kết quả có thể có, đồng

khả năng. Khi đó ta gọi tỉ số n(A) là xác suất của biến cố A, kí hiệu là

n(Ω)

P (A) = n(A) ,

n(Ω)

trong đó: n(A) là số phần tử của tập hợp A; n(Ω) là số phần tử của không
gian mẫu Ω.

Định lý 1.3.1. Với A là một biến cố bất kỳ, ta có
P (Ac) = 1 − P (A).

Định lý 1.3.2. Với A, B là các biến cố bất kỳ, A ⊂ B. Khi đó

P (A) ≤ P (B).

7

Định lý 1.3.3. Với A là một biến cố bất kỳ, ta có
0 ≤ P (A) ≤ 1.

Mệnh đề 1.3.1. Nếu A1, A2, . . . , An là một nhóm biến cố đầy đủ trong
một khơng gian xác suất Ω thì

P (A1) + P (A2) + . . . + P (An) = 1.

1.4 Cơ sở lý thuyết đồ thị

Định nghĩa 1.4.1. Đồ thị (đồ thị đơn) là một cặp G = (V ; E), trong đó
V là một tập khác rỗng và E ⊂ P2(V ). Các phần tử của tập V được gọi
là các đỉnh của đồ thị G, các phần tử của họ E được gọi là các cạnh của
đồ thị G.

Ta có thể viết V (G) và E(G) để biểu thị tập hợp các đỉnh và các cạnh
của đồ thị G.

Nếu G = (V ; E) là một đồ thị và u và v là hai trong số các đỉnh của nó,
ta nói rằng u và v là lân cận với điều kiện u, v ∈ E; trong trường hợp này,
ta nói rằng cạnh u, v trùng với các đỉnh u và v. Ký hiệu cạnh u, v bằng
uv hoặc vu. Nếu u và v khơng kề nhau, ta nói rằng chúng không phải là
đỉnh liền kề của đồ thị G.

Có thể biểu diễn đồ thị G = (V ; E) bằng một sơ đồ trong đó các phần
tử của V được mô tả dưới dạng điểm hoặc vòng tròn nhỏ trong mặt phẳng
và các cạnh của G như các cung nối các đỉnh tương ứng. Sơ đồ thu được
khơng có ý nghĩa hình học và mục đích của nó khơng có gì khác ngồi việc

biểu diễn một cách sơ đồ các quan hệ kề giữa các cặp đỉnh của G. Ví dụ,
nếu

G = ({a, b, c, d}; {{a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}}),
thì G có thể được biểu diễn bằng bất kỳ một trong hai sơ đồ thể hiện trong
Hình 1.

Hình 1

8

Định nghĩa 1.4.2. Gọi G = (V ; E) là đồ thị. Với u ∈ V , bậc của u, ký
hiệu là dG(u) là số đỉnh của G kề với u

dG(u) = |NG(u)|.

Định lý 1.4.1 (Euler). Trong mọi đồ thị G = (V ; E), tổng tất cả các bậc
của các đỉnh bằng hai lần số cạnh của đồ thị đó. Ký hiệu

2 |E| = dG(u). (1.4.1)

u∈V

Chứng minh. Ta dùng phép đếm kép. Nếu ϵ = {u, v} là một cạnh của G,
đếm chính xác hai lần ở vế phải của (1.4.1): một lần trong số hạng dG(u)
và một lần trong số hạng dG(v). Do đó, vế phải (1.4.1) bằng 2|E|.

Hệ quả 1.4.1 (Euler). Trong bất kỳ đồ thị nào, số đỉnh bậc lẻ là số chẵn.

Chứng minh. Trong đồ thị G = (V ; E) với số nguyên k̸ = 0, gọi vk(G) là

số đỉnh của G có tung độ k. Vì tổng vế phải của (1.4.1) các đỉnh vk(G)
bằng k, ta có đẳng thức

dG(u) = kvk(G). (1.4.2)

u∈V k≥0

Do đó, theo định lý Euler, ta có

2 |E| = dG(u) = kvk(G)

u∈V k≥0

= (2j + 1) v2j+1(G) + 2jv2j(G)

j≥0 j≥1

= v2j+1(G) + 2j (v2j(G) + v2j+1(G)).

j≥0 j≥1

Vì vậy

v2j+1(G) = 2 |E| − 2j (v2j(G) + v2j+1(G))

j≥0 j≥1

là một số chẵn.

Ví dụ 1.4.1. Trong một cuộc họp ở một ủy ban, một số trong số mười

thành viên của ủy ban đã bắt tay nhau. Có thể là số lần bắt tay theo một
thứ tự nào đó bằng 1, 1, 1, 3, 3, 3, 4, 6, 7 và 8?

9

Chứng minh. Hãy xem các thành viên của ủy ban như các đỉnh của đồ
thị, với hai đỉnh là liền kề nếu những người tương ứng bắt tay. Khi đó, nếu
có thể xảy ra, bậc của các đỉnh của đồ thị sẽ có theo một số thứ tự bằng
1, 1, 1, 3, 3, 3, 4, 6, 7 và 8. Nhưng điều này sẽ mâu thuẫn với hệ quả trước
đó, vì ta có một số đỉnh lẻ bằng bậc. Vì vậy, khơng thể có trường hợp như
vậy xảy ra.

Định nghĩa sau đây mang đến khái niệm tương đương cho đồ thị.

Định nghĩa 1.4.3. Các đồ thị G = (V1; E1) và H = (V2; E2) là đẳng cấu
nếu tồn tại một song ánh f : V1 −→ V2 sao cho với hai đỉnh phân biệt u
và v của G, ta có

{u, v} ∈ E1 ⇔ {f (u), f (v)} ∈ E2.

Ký hiệu G1 ≃ G2.

Mệnh đề tiếp theo đưa ra các điều kiện cần thiết khác để hai đồ thị là
đẳng cấu.

Mệnh đề 1.4.1. Hai đồ thị đẳng cấu có số đỉnh bằng nhau và có số cạnh
bằng nhau.

Chứng minh. Gọi G = (V1; E1) và H = (V2; E2) là các đồ thị đẳng cấu và
f : V1 −→ V2 là một song ánh. Nếu u là một đỉnh của G có tung độ k > 0,

sao cho NG(u) = {u1, ..., uk}, ta thấy rằng NH(f (u)) = {f (u1), ..., f (uk)}.
Đặc biệt, f (u) là một đỉnh của H có tung độ k. Lập luận tương tự, nếu u
có bậc 0, thì f (u) cũng tương tự.

Áp dụng định lý Euler: vì dG(u) = dH(f (u)) với mọi u ∈ V1 và f là
một phép chiếu giữa các tập đỉnh của G và H, ta có

2 |E1| = dG (u) = dH (f (u)) = dH (f (u)) = 2 |E2|.

u∈V1 u∈V1 f (u)∈V2

Do đó, |E1| = |E2| .

Ví dụ 1.4.2. Nếu G = (V ; E) là một đồ thị gồm n đỉnh, ta có thể giả

sử rằng V = In. Thật vậy, khi |V | = n, ta có thể chọn một song ánh

f : V −→ In và cho H = (In; F ) được xác định bằng cách đặt trong In,

i̸ = j

{i, j} ∈ F ⇔ f −1(i), f −1(j) ∈ E.

10

Định nghĩa 1.4.4. Cho đồ thị G = (V ; E), với |V | = n, giả sử theo ví

dụ trên, V = In. Ma trận kề của G là ma trận n × n, Adj(G) = (aij) sao

cho 

 1, nếu i̸ = j và i, j ∈ E
aij =

 0, ngoài ra

Bổ đề 1.4.1. Ma trận kề của một đồ thị là đối xứng, với các số không ở
đường chéo chính.

Chứng minh. Trong các ký hiệu của định nghĩa trước, i̸ = j trong In, ta
có

aij = 1 ⇔ {i, j} ∈ E ⇔ {j, i} ∈ E ⇔ aji = 1;
do đó, Adj(G) là đối xứng.

Định nghĩa 1.4.5. Đồ thị H là đồ thị con của đồ thị G nếu V (H) ⊂ V (G)
và E(H) ⊂ E(G). Đồ thị H là đồ thị con bao trùm của G nếu H là đồ
thị con của G và V (H) = V (G).

Ví dụ 1.4.3. Cho đồ thị G = (V ; E) và ϵ ∈ E, đồ thị con của G thu được
bằng cách xóa cạnh của ϵ là đồ diễn H = (V ; E \ ϵ). Khi đó, ta biểu thị
đồ thị con của G đơn giản bằng G − ϵ. Nói cách khác, G − ϵ là đoạn con
thu được từ G bằng cách xóa cạnh ϵ. Lưu ý rằng G − ϵ là một đồ thị con
bao trùm của đồ thị G.

Ví dụ 1.4.4. Cho đồ thị G = (V ; E) và u ∈ V , đồ thị con của G thu
được bằng cách xóa đỉnh u là đồ thị H = (V \ {u}; E),

E′ = E \ {ϵ ∈ E; ϵ liên thuộc với u}.

Khi đó, ta sẽ biểu thị một đồ thị con của G bằng G − u. Nói cách khác,
G − u là đồ thị con của G thu được bằng cách xóa đỉnh u, cùng với tất cả
các cạnh của G liên thuộc với nó. Lưu ý rằng G − u có ít hơn một đỉnh
và dG(u) các cạnh nhỏ hơn G.

Định lý 1.4.2 (Havel-Hakimi). Nếu s là một số nguyên dương thì

s ≥ t1 ≥ t2 ≥ ... ≥ ts ≥ d1 ≥ ... ≥ dn

là bậc của các đỉnh của một số đồ thị đơn khi và chỉ khi

t1 − 1, t2 − 1, ..., ts − 1, d1, ..., dn.

11

Chứng minh. Gọi G là đồ thị có đỉnh có tung độ s ≥ t1 ≥ t2 ≥ ... ≥ ts ≥
d1 ≥ ... ≥ dn. Vì s là số dương và đỉnh u của bậc s có đúng s lân cận, nên
t1, t2, ..., ts ≥ 1. Với 1 ≤ i ≤ s, đặt vi là đỉnh có bậc ti và với 1 ≤ j ≤ n,
gọi wj là đỉnh có bậc dj. Ta có hai trường hợp:

1. NG(u) = {v1, ..., vs}: thì các đỉnh của H := G − u có bậc t1 − 1, t2 −
1, ..., ts − 1, d1, ..., dn.

2. NG(u)̸ = {v1, ..., vs}: với 1 ≤ i ≤ s và 1 ≤ j ≤ n, ta có u khơng liền
kề với vi và liền kề với wj. Đặc biệt, ti ≥ dj
• ti = dj: Gọi G′ là đồ thị thu được từ G bằng cách hoán đổi vi và
wj .
• ti > dj: thì vi liền kề x khơng liền kề wj. Gọi G′ là đồ thị thu
được từ G bằng cách xóa các cạnh {u, wj}, {vi, x} và thêm các
cạnh {u, vi}, {wj, x}.

Sau khi thực hiện một trong hai (i) hoặc (ii), ta có đồ thị G′ có các
bậc bằng của G sao cho NG′ (u) ∩ {v1, ..., vs} chứa NG(u) ∩ {v1, ..., vs}.
Nếu NG′ (u) = {v1, ..., vs}, ta trở lại với (i). Nếu không, ta lặp lại
(ii). Cuối cùng của quá trình này, ta nhận được một đồ thị H có bậc
t1 − 1, t2 − 1, ..., ts − 1, d1, ..., dn.

Ngược lại, giả sử rằng (t1 − 1, t2 − 1, .., ts − 1, d1, ..., dn) là dãy số bậc
của một số đồ thị đơn H, và gọi ui là một đỉnh trong H với tung độ ti − 1.
Lập một đồ thị G bằng cách thêm một đỉnh vào H và cho nó liền kề với
u1, ..., us. Khi đó, dãy bậc của các đỉnh của G là (s, t1, t2, ..., ts, d1, ..., dn).

Định nghĩa 1.4.6 (Đồ thị đầy đủ). Đồ thị đầy đủ n đỉnh, ký hiệu Kn, là
đồ thị đơn vô hướng mà giữa hai đỉnh bất kỳ của nó ln có cạnh nối.

Đồ thị Kn có tất cả Cn2 = n(n − 1) cạnh.
2

Hình 2. Một số đồ thị đầy đủ.

12

Chương 2

Nguyên lý Dirichlet

Trong chương này, chúng tơi trình bày hai phiên bản của nguyên lý
Dirichlet. Đồng thời, khai thác một số tính chất quan trọng và ứng dụng
của nguyên lý Dirichlet cũng như làm rõ một số ví dụ cơ bản của nó. Nội
dung chính trong chương này được tổng hợp từ các tài liệu [1], [4], [6].

2.1 Nguyên lý Dirichlet

Mệnh đề 2.1.1 (Nguyên lý I). Nếu có n con chim bồ câu được xếp vào
n − 1 chuồng chim bồ câu thì có ít nhất một chuồng chứa ít nhất hai con
chim bồ câu.
Chứng minh. Theo quy ước, nếu mỗi một trong số n−1 chuồng chứa nhiều
nhất một chim bồ câu, thì ta sẽ có nhiều nhất n − 1 con chim bồ câu.
Ví dụ 2.1.1. Có n khách trong một bữa tiệc. Chứng tỏ rằng ln có thể
tìm thấy hai trong số những người trong bữa tiệc quen biết với nhau.
Chứng minh. Đầu tiên, lưu ý rằng mỗi người trong số n khách quen với ít
nhất 0 và nhiều nhất n − 1 số người khác trong bữa tiệc. Do đó, có hai
trường hợp cần xem xét:

i. Mỗi khách biết ít nhất một người khác trong bữa tiệc: lấy n−1 phòng,
đánh số từ 1 đến n − 1 và xếp vào phòng i tất cả các khách (nếu có)
ai biết chính xác i vị khách khác. Vì ta có n − 1 phòng (chuồng chim
bồ câu) và n khách (chim bồ câu), nguyên lý Dirichlet đảm bảo rằng
có ít nhất một phịng sẽ chứa ít nhất hai người. Bằng cách này, ta
đã phân bổ các khách hàng trong các phòng, hai vị khách quen biết
trong bữa tiệc cùng một số người khác.

13

ii. Tồn tại ít nhất một "khách", người thực sự khơng có người quen nào
trong bữa tiệc: khi đó, khơng có khách nào biết tất cả n − 1 người
khác, vì vậy, trong trường hợp này, ta có thể đánh số các phòng từ 0
đến n − 2 và lập luận như trong (i). Một lần nữa, nguyên lý Dirichlet
đảm bảo rằng ít nhất một trong các phịng sẽ chứa ít nhất hai người.
Cũng như trong (i), hai vị khách quen biết trong bữa tiệc cùng một
số người khác.

Ví dụ 2.1.2 (IMO Shortlist). Mỗi tập hợp con của tập hợp {1, 2, ..., 10}
được sơn bằng một trong n màu. Tìm giá trị lớn nhất có thể có của n để
giá trị đó ln có thể tìm thấy hai tập hợp khác nhau và tập khác rỗng
A, B ⊂ {1, 2, ..., 10}, sao cho A, B và A ∪ B đều được sơn cùng màu.

Chứng minh. Cho X = {1, 2, ..., 10}. Cho mười màu C1, C2, ..., C10, sơn
tập hợp con k phần tử của X với màu Ck, với 1 ≤ k ≤ 10. Bằng cách
này, cho hai tập con khác rỗng A và B của X, có hai trường hợp: hoặc
A và B có số lượng phần tử khác nhau và do đó được sơn bằng các màu
khác nhau, hoặc A và B có cùng số phần tử; trong trường hợp thứ hai
này, A ∪ B có nhiều phần tử hơn A và B, do đó được sơn bằng màu khác
với màu của A và B. Do đó, n ≤ 9.

Cho Ai = {1, ..., i} với 1 ≤ i ≤ 10. Vì

A1 ⊂ A2 ⊂ ... ⊂ A10

là một chuỗi gồm mười tập con phân biệt và khác rỗng của X (chim bồ câu)
nhưng ta chỉ có chín màu (các chuồng chim bồ câu), ngun lý Dirichlet
đảm bảo sự tồn tại của các chỉ số 1 ≤ i < j ≤ 10 sao cho Ai và Aj được
sơn bằng một màu sắc. Từ Ai ⊂ Aj = Aj, chỉ cần Ai = A và Aj = B thỏa
mãn các điều kiện đã nêu là đủ. Do đó, giá trị lớn nhất có thể có của n là
9.

Có một số khái quát thú vị về nguyên lý Dirichlet rằng số nguyên một

phần của số thực x, ký hiệu là ⌊x⌋, là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc

bằng x. Do đó, nếu ⌊x⌋ = n ∈ Z, thì n ≤ x < n + 1. Ta có bất đẳng thức

sau

⌊x⌋ ≤ x < ⌊x⌋ + 1. (2.1.1)

Mệnh đề 2.1.2 (Nguyên lý II). Nếu có n con chim bồ câu được xếp vào

k chuồng chim bồ câu thì có ít nhất một chuồng chứa ít nhất n−1 +1

k

con chim bồ câu.

14

Chứng minh. Lập luận tương tự, bằng cách sắp xếp, giả sử một trong k

chuồng chim bồ câu chứa nhiều nhất n−1 con chim bồ câu. Khi đó,

k

ta có nhiều nhất k n−1 con chim bồ câu, theo bất đẳng thức bên trái

k

trong (2.1.1), ta có

k n−1 ≤k n−1 = n − 1 < n.

k k

Ví dụ 2.1.3. Chứng minh rằng trong bất kỳ nhóm nào có hai mươi người,
có ít nhất ba người trong số họ sinh cùng ngày trong tuần.

Chứng minh. Hãy để hai mươi người là chim bồ câu và 7 ngày trong tuần
là chuồng chim bồ câu. Sau đó, liên kết một người với một ngày trong
tuần nếu người đó sinh vào ngày đó. Phiên bản thứ hai của nguyên lý
Dirichlet đảm bảo rằng có ít nhất một chuồng chim bồ câu sẽ chứa ít nhất

20 − 1
+ 1 = 3 người. Vậy ba người này được sinh cùng ngày trong

7
tun.

Vớ d 2.1.4 (Erdăos-Szekeres). Trong bất kỳ dãy n2 + 1 số thực phân biệt
nào, người ta ln có thể tìm thấy một dãy con đơn điệu của ít nhất n+1
số hạng.

Chứng minh. Cho A = {x1, x2, ..., xn2+1} là tập hợp có các phần tử là
n2 + 1 số hạng của dãy đã cho và giả sử rằng dãy đã cho khơng có bất kỳ
dãy con tăng nào có ít nhất n + 1 số hạng. Khi đó, mọi dãy con tăng dần
bắt đầu tại một x ∈ A nào đó có nhiều nhất n số hạng. Định nghĩa

f : A −→ {1, 2, ..., n}

bằng cách cho f (x) = kích thước của dãy con tăng dần lớn nhất của dãy
đã cho, bắt đầu từ x. Vì A có n2 + 1 phần tử, nguyên lý Dirichlet đảm
bảo rằng phải có ít nhất

n2 + 1 − 1
+1=n+1

n

phần tử của A, như xi1, xi2, ..., xin+1, với i1 < i2 < ... < in+1. Nếu xij < xiℓ
với 1 ≤ j < ℓ ≤ n + 1, ta có f (xij ) > f (xiℓ). Vì ta có thể mở rộng