Phân tích nhân tử các biến thể của đa thức chebyshev
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (615.28 KB, 38 trang )
BË GIO DÖC V O TO
TR×ÍNG I HÅC QUY NHÌN
NGUYN TUN HUY
PH
N TCH NH
N TÛ CC BIN TH
CÕA A THÙC CHEBYSHEV
N THC S TON HÅC
B¼nh ành - N«m 2023
fË qsy hÖg 0y y
TR×ÍNG I HÅC QUY NHÌN
NGUYN TUN HUY
PH
N TCH NH
N TÛ CC BIN TH
CÕA A THÙC CHEBYSHEV
Chuyản ng nh: Phữỡng phĂp toĂn sỡ cĐp
MÂ số: 8.46.01.13
N THC S TON HC
xgữới hữợng dănX PGS.TS. THI THUN QUANG
B¼nh ành - 2023
Mưc lưc
Mð ¦u 1
Danh mửc cĂc kỵ hi»u 5
1 Mët số tẵnh chĐt cừa a thực Chebyshev v ựng dửng 6
IFI wët sè t½nh h§t õ 1 thù gheyshev F F F F F F F F F F F F F F F F T
IFIFI hữỡng trẳnh vi phƠn gheyshev v Ă 1 thự ừ nõ F F F T
IFIFP ẵnh hĐt ừ 1 thù gheyshev F F F F F F F F F F F F F F F V
IFP wët ùng döng F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F II
2 PhƠn tẵch nhƠn tỷ cĂc bián th cừa a thực Chebyshev loÔi mởt,
loÔi hai 14
PFI 0 thù gheyshev loÔi mởt v loÔi hi v f i toĂn m quÔrts F F IR
PFIFI 0 thự gheyshev loÔi mởt v loÔi hi F F F F F F F F F F F F IR
PFIFP f i to¡n mð quÔrts v lới giÊi F F F F F F F F F F F F F F F F F IT
PFP hƠn tẵh nhƠn tỷ 1 thự Tn(x) 1 F F F F F F F F F F F F F F F F F F IV
3 PhƠn tẵch nhƠn tỷ cĂc bián th cừa a thực Chebyshev loÔi ba,
loÔi bốn 23
QFI hƠn tẵh nhƠn tỷ Ă ián th ừ 1 thự gheyshev loÔi v
loÔi ốn F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PQ
QFIFI 0 thự gheyshev loÔi v loÔi ốn F F F F F F F F F F F F PQ
QFIFP hƠn tẵh nhƠn tỷ ¡ 1 thù Vn(x) ± 1 v Wn(x) ± 1 F F F F PR
i
QFP 0 thự gheyshev loÔi nôm v loÔi sĂu F F F F F F F F F F F F F F F F PW
Kát luên 32
T i li»u tham kh£o 33
1
Mé U
xhữ tản gồi ừ nõD nhỳng 1 thự gheyshev lƯn 1Ưu tiản 1ữủ nghiản ựu
i nh to¡n hå ng÷íi xg fnuty vvovih gheyshev @IVPIEIVWRAF xgo i h m
trỹ gioD gheyshev ỏn nghiản ựu và Đt 1ng thựD số nguyản tốD lỵ thuyát xĂ
suĐtD dÔng ê hiD lỵ thuyát tẵh phƠnD Ên 1ỗ 1 lỵD ổng thự hẳnh hồ th tẵhD
ỡ hồ ụng nhữ Ă i to¡n i¸n huyºn 1ëng trán th nh huyºn 1ëng thng 1Ãu
vợi khợp nối ỡ khẵD FFF
0 thự gheyshev õ tƯm qun trồng lợn trong nhiÃu lắnh vỹ toĂn hồD nhữ
qiÊi tẵh sốD hữỡng trẳnh vi phƠnD 1 iằt l vỵ thuyát xĐp xF xhiÃu ổng trẳnh
v sĂh 1 1ữủ viát và hừ 1à n yF ẵnh hĐt giÊi tẵh ừ 1 thự gheyshev
1ữủ iát 1án nhiÃuD những tẵnh hĐt 1Ôi số thẳ ẵt 1ữủ 1Ã êp hỡnF wởt số vẵ dử
vÃ Ă thuở tẵnh 1Ôi số ừ 1 thự gheyshev 1ữủ nghiản ựu õ th 1ữủ nhẳn
thĐy trong Ă ổng trẳnh ừ F fng @IWSRAD F eF nkin @IWSRAD vF grlitz
@IWSWAF g¡ v½ dư kh¡ v· tẵnh hĐt 1Ôi số ừ 1 thự gheyshev o gỗm ổng
ố ừ rsio @IWVRAD ngữới 1Â 1ữ r mởt php nhƠn tỷ hõ ho n hnh ừ 1
thự gheyshev loÔi mëtD m nâ x¡ 1ành ¡ nghi»m n o s³ 1ữủ nhõm lÔi vợi
nhu 1 tÔo r Ă thứ số Đt khÊ quy vợi Ă hằ số nguyảnF w rởng kát quÊ
n yD ivlin @IWWHA 1Â phọng theo hựng minh ừ rsio ho 1 thự gheyshev
loÔi hiF
0 thự gheyshev loÔi v ốn 1ữủ 1t tản i qutshi @IWWPA v án
1÷đ gåi l 1 thù ¡nh m¡y yF ghúng 1ữủ sỷ dửng trong Ă lắnh vỹ nhữ gi£i
2
phữỡng trẳnh vi phƠnD tẵh phƠn sốD xĐp xD nởi suy v tờ hủpF Ưm qun trång õ
¡ ùng dưng hóng trong to¡n håD kÿ thuªt v mổ hẳnh số ung Đp mởt 1ởng
ỡ nghiản ựu tẵnh hĐt ừ Ă 1 thự n yF
0 thù gheyshev l mët m£ng to¡n khâ trong h÷ìng trẳnh toĂn phờ thổngD
nõ thữớng h xuĐt hiằn trong Ă ký thi hå sinh giäi què gi v què t¸F qƯn
1Ơy Ă dÔng toĂn õ mt 1 thự gheyshev ẵt xuĐt hiằn hỡn trong Ă ký thi vẳ
hằ thống i têp mng tẵnh lỵ thuyát ừ nõD m dũ vêy viằ hiu iát v nghiản
ựu và 1 thự n y văn hát sự qun trồng trong quĂ trẳnh ỗi dữùng hồ sinh
giọiF xhiÃu kát quÊ lỵ thú xuĐt hiằn tø ¡ i to¡n v· 1 thù gheyshevF g¡
ph÷ìng ph¡p 1° s sû döng trong ¡ i to¡n n y â t¡ dưng ph¡t triºn t÷
duy logi v tẵnh sĂng tÔo khi nghiản ựu toĂnF 0ỗng thới sỹ phĂt hiằn nhỳng ựng
dửng 1 dÔng ừ 1 thự gheyshev trong 1Ôi số ụng lổi uốn 1ổng 1Êo sỹ qun
tƠm nghi¶n ùu õ gi¡o vi¶n v hå sinhF w° dị 1 õ nhiÃu t i liằu và 1 thự
gheyshev những hƯu hát 1Ãu khõ vợi hồ sinh khi ữợ 1Ưu tiáp ênF wởt trong
Ă nguyản nhƠn 1õ l mÊng kián thự n y khổng 1ữủ giÊng dÔy trữớng phờ
thổng v t i liằu thm khÊo viát dữợi dÔng sỡ Đp khổng nhiÃuF xhơm phƯn n o
khư phử tẳnh trÔng nõi trảnD 1ỗ Ăn n y 1à êp 1án vĐn 1à và phƠn tẵh nhƠn tỷ
Ă ián th ừ 1 thù gheyshev v mët v i ùng dưng õ hóngF
wử tiảu ừ 0ỗ Ăn l nghiản ựu giÊi quyát mởt số i toĂn và nhƠn tỷ hõ
Ă kiu 1 thự gheyshev loÔi mởtD loÔi hiD loÔi D loÔi ốn v m rởng r viằ
tẳm hiu và vĐn 1à nhƠn tỷ hõ ừ loÔi nômD loÔi sĂuF gử thD 0ỗ Ăn s têp trung
Ă vĐn 1Ã suX
IF gĂ tẵnh hĐt ừ 1 thự gheyshev v ựng dửngF
PF hƠn tẵh nhƠn tỷ Ă ián th ừ 1 thự gheyshev loÔi mởt v loÔi hiF
QF hƠn tẵh nhƠn tỷ Ă ián th ừ 1 thự gheyshev loÔi v loÔi ốn v
mởt số loÔi khĂF
3
xgo i ph¦n w 1ƯuD uát luênD i liằu thm khÊoD 1ỗ ¡n 1÷đ è ư th nh Q
h֓ngF
gh÷ìng I têp trung khÊo sĂt mởt v i tẵnh hĐt ỡ Ên ừ 1 thự gheyshevD
hng hÔn nhữ ổng thự sinhD qun h» 1» quy v 1¯ng thù rsevlD òng mởt
v i ựng dửngF
rẳnh y lÔi lới giÊi i toĂn m ừ F F quÔrts và phƠn tẵh nhƠn tỷ Ă
1 thự Un(x) 1, v i to¡n t÷ìng tü ho Tn(x) ± 1, trong 1õ Tn(x) v Un(x) lƯn
lữủt l Ă 1 thự gheyshev loÔi mởt v loÔi hi l nởi dung 1ữủ 1Ã êp trong
ghữỡng PF
xởi dung hẵnh ừ ghữỡng Q l giÊi quyát i toĂn và phƠn tẵh nhƠn tỷ Ă
1 thự Vn(x) 1, v Wn(x) 1, trong 1õ Vn(x) v Wn(x) lƯn lữủt l Ă 1 thự
gheyshev loÔi v loÔi ốnF
vuên vôn 1ữủ ho n th nh dữợi sỹ hữợng dăn kho hồ ừ thƯy qF F
hĂi huƯn ungD uho oĂn v hổng kảD rữớng 0Ôi hồ uy xhỡnF với Êm
ỡn hƠn th nh gỷi 1án hƯyD ngữới 1Â hữợng dăn v l nguỗn 1ởng viản quỵ Ău
trong suốt h nh tr¼nh õ tỉi trong vi» ho n th nh luên vônF ổi xin y tọ lỏng
iát ỡn v sỹ kẵnh trồng sƠu sư 1ối vợi hƯyF rong suốt thới gin dữợi sỹ hữợng
dăn ừ hƯyD tổi 1Â hồ 1ữủ khổng h kián thự huyản mổn m ỏn nhỳng giĂ
tr và kho hồD sỹ kiản nhăn v tữ duy sĂng tÔoF hƯy 1 luổn tÔo 1iÃu kiằn tốt
nhĐt ho tổi 1 phĂt trin khÊ nông nghiản ựu v thỹ hiằn luên vôn mởt Ăh
hiằu quÊ nhĐtF xhỳng lới khuyảnD gõp ỵ v hữợng dăn ừ hƯy 1Â giúp tổi 1Ôt
1ữủ nhỳng th nh tỹu m tổi khõ õ th 1Ôt 1ữủ náu khổng õ sỹ hộ trủ tứ hƯyF
ổi iát ỡn sỹ tên tƠm v lỏng nhiằt huyát ừ hƯy trong viằ truyÃn 1Ôt kián
thự v kinh nghiằm ho tổiF wởt lƯn nỳD tổi xin hƠn th nh Êm ỡn hƯy qF
F hĂi huƯn ung 1Â 1ỗng h nh ũng tổi trong quĂ trẳnh hồ têp v nghiản
ựu luên v«nF
ỉi ơng xin gûi líi £m ìn 1¸n ỉi ơng xin gûi líi £m ìn 1¸n fn gi¡m hi»u
4
rữớng 0Ôi hồ uy xhỡnD hỏng 0 o tÔo u 0Ôi hồD uho oĂn v hống kảD
ũng quỵ thƯy ổ giĂo giÊng dÔy lợp o hồ hữỡng phĂp oĂn sỡ Đp khõ PRf
1Â giÊng dÔy trong suốt khõ hồD tÔo 1iÃu kiằn thuên lủi ho tổi trong quĂ trẳnh
hồ têp v thỹ hiằn 1Ã t iF
xh¥n dàp n y tỉi ơng xin h¥n th nh Êm ỡn sỹ hộ trủ hát mẳnh ừ gi 1ẳnh
v Ôn ừ tổiD hồ l nguỗn 1ởng viản lợn giúp tổi ho n th nh tốt khõ hồ v
luên vôn n yF
w dũ luên vôn 1ữủ thỹ hiằn vợi sỹ nộ lỹ ố gưng hát sự ừ Ên thƠnD
những do 1iÃu kiằn thới gin õ hÔnD trẳnh 1ở kián thự v kinh nghiằm nghiản
ựu ỏn hÔn há nản luên vôn khõ trĂnh khọi nhỳng thiáu sõtF ổi rĐt mong nhên
1ữủ nhỳng gõp ỵ ừ quỵ thƯy ổ giĂo 1 luên vôn 1ữủ ho n thi»n hìnF
ỉi xin h¥n th nh £m ìnF
xguyạn uĐn ruy
5
hexr wÖg gg uị rs
N X êp hđp sè tü nhi¶n
Q
Z X ªp hđp sè húu t¿
b X êp hủp số nguyản
a
X ẵh phƠn tứ a 1án b vợi aD b l h¬ng sè
n=0
X êng t§t £ ¡ gi¡ trà khi n hÔy tứ 0 1án
x
Sd/2 X ẵh Ă giĂ tr
d(x)
Tn(x) X hƯn nguyản ừ số thỹ x
Un(x)
Vn(x) X ªp hđp ¡ sè k so ho (k, d) = 1 v 1 ≤ k < d/2
Wn(x)
Xn(x) X 0 thù tèi thiºu õ cos 2π
Yn(x) d
X 0 thự gheyshev loÔi mởt
X 0 thự gheyshev loÔi hi
X 0 thự gheyshev loÔi
X 0 thự gheyshev loÔi ốn
X 0 thù gheyshev loÔi nôm
X 0 thự gheyshev loÔi sĂu
6
Chữỡng 1
Mởt số tẵnh ch§t cõa a thùc
Chebyshev v ùng dưng
g¡ phữỡng trẳnh vi phƠn thữớng v Ă i toĂn giĂ tr iản phĂt sinh trong
nhiÃu khẵ Ônh ừ êt lỵ toĂnF hữỡng trẳnh vi phƠn gheyshev l mởt trữớng
hủp 1° i»t õ i to¡n gi¡ trà i¶n turmEviouvilleF xởi dung hẵnh ừ hữỡng
n y l khÊo sĂt mởt v i tẵnh hĐt ỡ Ên ừ 1 thự gheyshevD nhữ ổng thự
sinhD qun hằ 1ằ quyD tẵnh trỹ gio v 1ỗng nhĐt thự rsevlD ũng mởt v i
ựng dửngF 0ữủ so sĂnh vợi mởt huội pourierD ơng Ăh sỷ döng ¡ 1 thù
gheyshevD mët h m nëi suy s³ l m hẵnh xĂ hỡn trong viằ xĐp x Ă h m 1
thựF
IFI wởt số tẵnh hĐt ừ 1 thự gheyshev
IFIFI hữỡng trẳnh vi phƠn gheyshev v Ă 1 thự ừ nõ
nh nghắa 1.1 (f i toĂn giĂ tr iản turmEviouvilleAF wởt phữỡng trẳnh vi phƠn
thữớng @yhiA xĂ 1nh trản khoÊng a x b õ dÔng tờng quĂt
d dy @IFIA
p(x) + [q(x) + λr(x)]y = 0
dx dx
v 1i·u ki»n i¶n
a1y(a) + a2y′(a) = 0
@IFPA
b1y(b) + b2y′(b) = 0
7
1÷đ gåi l b i to¡n gi¡ trà bi¶n Sturm-Liouville ho° h» Sturm-Liouville vỵi p(x) >
0, q(x) v h m trång sè r(x) > 0 l ¡ h m 1¢ hoD a1, a2, b1, b2 l Ă hơng số 1Â
hoY v giĂ trà 1° tr÷ng λ l thm sè khỉng x¡ 1ànhF
f i toĂn giĂ tr iản @IFIA thứ nhên mởt số tr÷íng hđp 1° i»t phư th v o
kho£ng x¡ 1ànhD h m số 1Â ho v giĂ tr 1 trữngF wội trữớng hủp 1 iằt n y
dăn 1án mởt yhi ư thº vỵi ¡ h m trü gio l nghi»m õ nâF rong sè 1â â
¡ h m fesselD 1 thù vegendreD 1 thù rermiteD 1 thù vguerre v 1 thự
gheyshevF ghữỡng n y s thÊo luên và 1 thự gheyshevF
√
0èi vỵi ¡ gi¡ trà a = −1 v b = 1D ¡ h m 1¢ ho p(x) = 1 − x2D q(x) = 0D
√ gi¡ trà 1° tr÷ng λ = n2D yhi @IFIA trð th nh
r(x) = 1 1 − x2D v
d 1 − x2 dy + √ n2 y = 0. @IFQA
dx dx 1 x2
nh nghắa 1.2 (hữỡng trẳnh vi phƠn gheyshevAF wởt yhi @IFQAD hy 1ữủ
iu diạn dữợi dÔng khĂ l @IFRA
2 d2y dy 2
1−x 2 −x +n y=0
dx dx
vỵi n ∈ N0 ho |x| < 1D 1÷đ gåi l phữỡng trẳnh vi phƠn Chebyshev. xghiằm ho
yhi n y 1ữủ gåi l h m Chebyshev vỵi ¡ 1iºm ký dà tÔi x = 1, 1, .
Hẳnh 1.1: ỗ th cừa a thùc Chebyshev Tn(x) cho n = 0, 1, 2, . . . , 5.
ành ngh¾a 1.3 (0 thù gheyshevAF gæng thù têng qu¡t
Tn(x) = cos(n cos−1 x) ho° Tn(x)(cos θ) = cos(nθ) vỵi x = cos(θ) @IFSA
8
1÷đ gåi l a thực Chebyshev ho a thực Chebyshev loÔi mởt. 0Ơy l Ă nghiằm
ừ yhi @IFRA ho số nguyản khổng ¥m n, n ∈ N0 @em r¼nh IFIAF
∞
û döng khi triºn huéi y(x) = anxnD mët nghi»m têng qu¡t õ yhi @IFRA
n=0
1÷đ ho ði
y(x) = b1Tn(x) + b2 1 − x2Un−1(x), @IFTA
trong 1â Un(x) = sin (n + 1) cos−1 x / sin cos−1 x l Ă 1 thự gheyshev loÔi
hiF
IFIFP ẵnh hĐt ừ 1 thự gheyshev
Tẵnh chĐt 1 (gổng thự odrigues RAF CĂc a thực Chebyshev Tn(x)cõ th ữủc
biu diạn dữợi dÔng cổng thực Rodrigues theo Ôo h m
√ dn 2 n− 21
1 − x2 n 1−x
Tn(x) = @IFUA
n
(−1) (2n − 1)(2n − 3)...1 dx
vỵi n = 0, 1, 2, 3, . . . .
Tẵnh chĐt 2 (r m sinh RAF H m sinh bði c¡c a thùc Chebyshev Tn(x) l
1 − zx ∞
n @IFVA
1 − 2zx + z2 = Tn(x)z .
n=0
Chùng minh. 0°t x = cosθD t â
∞ ∞ ∞ 1∞
Tn(x)zn = Tn(cos θ)zn = cos (nθ) zn = 1 + |n| inθ
ze
2
n=0 n=0 n=0 n=−∞,n̸=0
∞ ∞ zeiθ ze−iθ
= 1 + 1 zneinθ + zne−inθ = 1 + 1
2 2 1 − zeiθ + 1 − ze−iθ
n=1 n=1
1 zeiθ − z2 + ze−iθ − z2 z cos θ − z2
=1+ 1 − zeiθ − ze−iθ + z2 = 1 + 1 − 2z cos θ + z2
2
xz 1 − xz
= 1 + 1 − 2xz + z2 = 1 − 2xz + z2 .
ø 1âD t 1¢ hùng minh 1÷đ ỉng thù h m sinh ho ¡ 1 thự gheyshevF
Tẵnh chĐt 3 (r m hđnD l RAF Dỹa trản bêc cừa chúng, cĂc a thực Chebyshev
Tn(x) thứa nhên hai khÊ nông l h m chđn hoc h m l´:
9
Vỵi n chđn thẳ Tn(x) l cĂc h m chđn;
Vợi n l thẳ Tn(x) l cĂc h m l.
Tẵnh chĐt 4 (wèi qun h» 1» quy RAF Mët a thùc Chebyshev Tn(x) tÔi mởt im
cử th cõ th ữủc biu diạn dữợi dÔng cĂc a thực Chebyshev lƠn cên cừa nõ tÔi
cũng mởt im:
Tn+1(x) = 2xTn(x) − Tn−1(x). @IFWA
Ta gåi (1.9) l mèi quan hằ ằ quy ba số hÔng vẳ cổng thực tÔo th nh mối quan hằ
giỳa ba số hÔng cừa a thực Chebyshev liản tiáp.
Chựng minh. ứ 1nh nghắ ừ 1 thù gheyshevD t â Tn (cosθ) = cos (nθ) .
ông â
Tn+1(x) = Tn+1 (cos θ) = cos (n + 1) θ = cos (nθ) cos θ − sin (nθ) sin θ
v
Tn−1(x) = Tn−1 (cos θ) = cos (n − 1) θ = cos (nθ) cos θ + sin (nθ) sin θ.
i¸p theoD ëng hi iu thự trản vá theo váD t 1ữủ
Tn+1(x) + Tn−1(x) = 2 cos (nθ) cos θ = 2Tn(x)x.
gi ịngD t 1÷đ ỉng thù 1» quy
Tn+1(x) = 2xTn(x) − Tn−1(x).
wèi qun h» 1» quy n y ông â th 1ữủ suy r tứ h m sinh 1ối vợi 1 thự
gheyshev @ẵnh hĐt PA ơng Ăh lĐy 1Ôo h m hi l¦n @IFVA theo z v l m ho
¡ hằ số ừ zn ơng nhu trản Ê hi vá ừ phữỡng trẳnhD t s thu 1ữủ kát
quÊ mong muốn tữỡng ựngF
Tẵnh chĐt 5 (ẵnh trỹ gio RAF CĂc a thực Chebyshev Tn(x) tÔo th nh mởt têp
trỹc giao Ưy ừ trản oÔn 1 x ≤ 1 vỵi h m trång sè 1/ 1 − x2. i·u n y câ
10
ngh¾a l
n¸u m̸ = n @IFIHA
n¸u m = n = 0
0, n¸u m = n = 1, 2, 3, . . .
1 1
−1 √1 − x2 Tm(x)Tn(x)dx = π,
π
2,
ỷ dửng tẵnh hĐt trỹ gio n yD mởt h m liản tử tứng phƯn trản 1oÔn 1 x 1
õ th 1ữủ iu diạn dữợi dÔng Ă 1 thự gheyshev
∞ f (x) vợi f (x) liản tử
tÔi Ă 1im khổng liản tö
CnTn(x) = @IFIIA
n=0 12 f (x−) + f (x+)
trong 1â 1 1 f (x)
vỵi n ∈ N. C0 = π √ dx
−1 1 − x2
2 @IFIPA
Cn = π 11
√ f (x)Tn(x)dx,
1 1 x2
Tẵnh chĐt 6 (0nh lỵ rsevl RAF ỗng nhĐt thực Parseval liản quan án khai
triºn f (x) = n=0 ∞ CnTn(x) vỵi c¡c a thùc Chebyshev Tn(x) ÷đc cho bði
∞1 π ∞
√
f (x) 2dx = C02π + Cn. 2 @IFIQA
−∞ 1 − x2 2
n=1
Chựng minh. rữợ tiảnD ơng Ăh lĐy ẳnh phữỡng ừ Ê hi vá ừ khi triºn
∞
f (x) = CnTn(x)D t 1÷đ
n=0
∞∞
f (x) 2 = CnCmTn(x)Tm(x). @IFIRA
n=0 m=0
u 1õD t nhƠn @IFIRA vợi h m â trång sè 1/ 1 − x2 v t½h phƠn nõ theo ián x
tứ th nh 1 1÷đ
∞1 ∞∞ ∞1 @IFISA
√ 2 √
f (x) dx = CnCm Tn(x)Tm(x)dx.
1 − x2 −∞ 1 − x2
−∞ n=0 m=0
ỷ dửng ẵnh hĐt SD húng t õ th viát @IFISA lÔi nhữ su
∞1 π ∞
√
f (x) 2dx = C02π + Cn, 2
−∞ 1 − x2 2
n=1
11
tứ 1õ t õ 0nh lỵ rsevl ho 1 thù gheyshevF
IFP wët ùng döng
0 thù gheyshev 1âng mët vi trá qun trång trong i to¡n xĐp x h mD xĐp
x tẵh phƠn v nởi suy 1 thựF 0ối vợi mởt h m tuƯn ho n f (x) trản mởt khoÊng
ử thD mởt huội pourier ữu viằt hỡn trong viằ xĐp x nõ vợi si số tữỡng 1ối nhọF
uy nhiản trong Ă ựng dửng t thữớng gp Ă h m khổng tuƯn ho n h 1ữủ
xĂ 1nh trong mởt khoÊng giợi hÔnF gĂ 1 thự gheyshev â 1âng gâp 1¡ng
kº ho nhúng tr÷íng hđp n yF fơng Ăh xĐp x h m f (x) vợi 1 thù gheyshev
Tn(x) hóng t thu 1÷đ h m nëi suy PN (x) su 1¥yX nhọ nhĐtF fơng ¡h
N
f (x) ≈ PN (x) = CnTn(x).
n=0
ph£i hån ¡ h» sè Cn so ho hu©n ∥f (x) − PN (x)∥2 l
tẳm kiám Ă giĂ tr ỹ tr @trong trữớng hủp n y l Ă giĂ tr ỹ tiuA ừ huân
ẳnh ph÷ìng iulide t thu 1÷đ ¡ h» sè Cn nh÷ ð @IFIPA
.
Hẳnh 1.2: ỗ th cừa a thực bêc bÊy y = f(x) = x7 − 14x5 + 49x3 − 36x ữủc xĐp x bơng cĂc h m nởi
suy tữỡng ùng vỵi c¡c a thùc Chebyshev vỵi N = 7 v mët chi Fourier vỵi N = 20.
qun sĂt thĐy rơng 1ối vợi 1 thự ê ND php tẵnh gƯn 1úng gheyshev
vợi N số hÔng ung Đp php nởi suy hẵnh xĂ trong khi õ th Ưn nhiÃu số hÔng
hỡn trong php tẵnh gƯn 1úng huội pourier 1 õ 1ở hẵnh xĂ 1nh tẵnh tữỡng
1ữỡngF r m nëi suy ª N sû dưng 1 thù gheyshev ung Đp php tẵnh gƯn
12
1óng ho §t ký 1 thù ê N n o vợi si số ơng khổngF Đp x mởt 1 thự
ơng Ăh sỷ dửng huội pourier yảu Ưu nhiÃu số hÔng hỡn 1 1Ôt 1ữủ 1ở hẵnh
xĂ õ th so sĂnh và mt hĐt lữủngF rẳnh IFP minh hồ vẵ dử ho 1 thự ê
Êy y = f (x) = x7 − 14x5 + 49x3 − 36x khi nõ 1ữủ xĐp x i 1 thự gheyshev
v huội pourierF 0ối vợi trữớng hủp thự nhĐtD lĐy N = 7 trong h m nởi suy PN (x)
s mng lÔi mởt php nởi suy hẵnh xĂF 0ối vợi trữớng hủp thự hiD 1 thự õ
th 1ữủ nởi suy vợi mởt lội tữỡng 1ối nhọ những õ th nhẳn thĐy ơng Ăh lĐy
ẵt nhĐt N = 10.
0ối vợi ¡ h m khæng ph£i 1 thùD t qun s¡t thĐy rơng h m nởi suy sỷ dửng
huội pourier hởi tư nhnh hìn h m nëi suy sû dưng 1 thự gheyshevF rẳnh IFP
minh hồ mởt vẵ dử khĂ và h m ê thng @revisideA 1ữủ xĐp x ơng 1 thự
gheyshev v huội pourier 1oÔn 1 x 1F Ưn tối 1 N = 20 tờng riảng ho
h m thự nhĐt trong khi nõ 1ừ 1 o gỗm lản 1án N = 10 1 Ăi su 1Ôt 1ữủ 1ở
hẵnh xĂ tữỡng 1ữỡng và hĐtF vữu ỵ rơng 1ối vợi trữớng hủp ử th n yD h m
ữợ 1Â hồn l số l v Ă tẵh phƠn trong @IFIPA ụng vêy vợi n l số hđnF ho
1õD Ă hằ số Cn = 0 vợi n l số hđnF
Hẳnh 1.3: Mởt h m bữợc ữủc xĐp x bơng cĂc h m nởi suy tữỡng ựng vợi cĂc a thực Chebyshev vỵi
N = 20 v mët chi Fourier vỵi N = 10. èi vỵi c¡c h m khỉng ph£i l a thực, cƯn cõ nhiÃu số hÔng
hỡn trong h m nởi suy cĂc a thực Chebyshev Ôt ữủc ở chẵnh xĂc nh tẵnh tữỡng tỹ vợi h m sỷ
dửng chuội Fourier.
0i·u n y â ngh¾ l m° dị hóng t l§y N = 20 ho h m nëi suyD nh÷ng h¿
13
õ 10 số hÔng khĂ 0 1õng gõp v o php tẵnh gƯn 1úngD tự l D h Ă số hÔng l
ừ 1 thự gheyshevF 0ối vợi Ê hi trữớng hủpD t qun sĂt thĐy sỹ xuĐt hiằn
ừ hiằn tữủng qisF
Hiằn tữủng Gibbs l mởt sỹ kiằn trong õ mởt bữợc nhÊy hoc mởt ở lằch xÊy
ra gƯn cĂc im khổng liản tửc cừa mởt oÔn h m liản tửc khi h m xĐp x bơng
chuội Fourier hoc chuội h m khĂc.
Kát luên Chữỡng 1: rong hữỡng n yD húng t 1Â qun sĂt thĐy rơng
phữỡng trẳnh vi phƠn gheyshev l mët tr÷íng hđp 1° i»t õ i to¡n gi¡ trà
i¶n turmEviouvilleF g¡ nghi»m õ nâD ¡ 1 thù gheyshevD õ Ă tẵnh hĐt
ụng 1ữủ tẳm thĐy trong Ă 1 thự khĂF wởt trong nhỳng tẵnh hĐt n y l
t½nh trü gioD 1âng vi trá qun trång trong vi» tẵnh gƯn 1úng Ă h mD tữỡng
tỹ nhữ huội pourier nời tiángF ữỡng tỹ nhữ trữớng hủp trong huội pourierD viằ
xĐp x Ă h m liản tử tứng phƯn ơng Ăh sỷ dửng 1 thự gheyshev ụng
tÔo r hiằn tữủng qisF uhi x§p x¿ 1 thùD 1 thù gheyshev thº hiằn tẵnh ữu
viằt hỡn so vợi huội pourier do tẵnh hẵnh xĂ ừ nõF uy nhiảnD huội pourier
dữớng nhữ hởi tư nhnh hìn trong nëi suy ¡ h m khỉng ph£i 1 thù so vỵi ¡
1 thù gheyshevF
14
Chữỡng 2
PhƠn tẵch nhƠn tỷ cĂc bián th cừa a
thực Chebyshev loÔi mởt, loÔi hai
ghữỡng n y 1à êp 1án i toĂn m ừ F F quÔrts và viằ phƠn tẵh nhƠn tỷ
ừ Un(x) + 1 v Un(x) − 1. gư thº l tªp trung khÊo sĂt i toĂn phƠn tẵh nhƠn
tỷ Ă ián th ừ 1 thự gheyshev loÔi mởtD loÔi hi vợi Ă 1 thự tối tiu
ừ cos(2/d).
PFI 0 thự gheyshev loÔi mởt v loÔi hi v f i toĂn m
quÔrts
PFIFI 0 thự gheyshev loÔi mởt v loÔi hi
FFquÔrts Q 1Â h r rơng
Un(x)2 1 = Ψd(x) Ψd(x), @PFIA
d|2n d|2n+4
d>2 d>2
trong 1â Un(x) l 1 thù gheyshev loÔi hi v n 1F gĂ 1 thự Ψd(x) l
Ψd(x) = k @PFPA
2 x − cos 2π ,
k∈Sd/2 d
trong 1â Sd/2 = {k : (k, d) = 1, 1 ≤ k < d/2} v d > 2F ghóng â ª ϕ(d)/2 trong 1â
ϕ l h m têng iulerF 0 thù tèi tiºu trong Q[x] õ cos d2π l 2− ϕ(2d) Ψd(x) trong
1â d > 2D suy r tø hùng minh 0nh lỵ I ừ hFrF vehmer SF
15
f i to¡n m ừ FFquÔrts l tẳm cĂc nhƠn tỷ cừa Un(x) + 1 v Un(x) 1 dữợi
dÔng cĂc nhƠn tỷ d(x) vá phÊi cừa phữỡng trẳnh (2.1).
Vẵ dử. @A 0 thù
U10(x) + 1 = 1024x10 − 2304x8 + 1792x6 560x4 + 60x2
õ th phƠn tẵh th nh nhƠn tû Ψ3(x)Ψ4(x)2Ψ6(x)Ψ12(x)Ψ20(x)D 1â l
(2x + 1)(2x)2(2x − 1)(4x2 − 3)(16x4 − 20x2 + 5).
xh¥n tû lp lÔi 4(x) = 2x l nhƠn tỷ ừ Ê hi tẵh trong phữỡng trẳnh @PFIA v
Ă nhƠn tỷ khĂ l nhƠn tỷ ừ tẵh thự hi ngoÔi trứ 20(x).
@A 0 thù
U8(x) − 1 = 256x8 − 448x6 + 240x4 40x2
õ th phƠn tẵh th nh nhƠn tû
Ψ4(x)2Ψ8(x)Ψ20(x) = (2x)2(4x2 − 2)(16x4 − 20x2 + 5).
r» số lp lÔi 4(x) xÊy r trong U8(x) 1.
rong mởt lới kát luênD quÔrts 1Â phĂt iu mởt Ăh tá nh rơng sỹ phƠn tẵh
th nh phƯn riảng ừ Un(x) + 1 v Un(x) − 1 khỉng d¹ d ng suy r tứ phữỡng trẳnh
@PFIA v vẳ vêy 1Ơy l mët ¥u häi mð kh¡ thó vàF
Cỉng thực sỡ bở. 0 thự gheyshev loÔi hi Un(x) thọ mÂn tẵnh hĐt su
vợi mồi n 0 @UAX
sin(n + 1)θ @PFQA
Un (cos θ) = sin θ .
víi gi£i ho i toĂn m sỷ dửng php truy hỗi su m Ă 1 thự Un(x) thọ
mÂnD vẵ dửD phữỡng tr¼nh @IFTA v @IFTA õ wson v rndsom @UAX
U1(x) = 1, @PFRA
U2(x) = 2x,
Un(x) = 2xUn−1(x) − Un−2(x).
16
PFIFP f i toĂn m quÔrts v lới giÊi
0nh lỵ su 1Ơy giÊi i toĂn phƠn tẵh th nh nhƠn tỷF
nh lỵ 2.1 (VAF Náu n 1 thẳ
Un(x) + 1 = Ψd(x) Ψd(x) @PFSA
d|2n d|2n+4
d>2 d>2
2n/d l´
(2n+4)/d ch®n
v
Un(x) − 1 = Ψd(x) Ψd(x). @PFTA
d|2n d|2n+4
d>2 d>2
2n/d ch®n
(2n+4)/d l´
Chùng minh. 0°t θ = 2πk trong 1â (k, d) = 1 v 1 ≤ k < d2 .
d
x¸u d|2n v d > 2D 1°t a = 2nd D a ∈ NF ø ph÷ìng tr¼nh @PFPA t â
πak
θ = n , d (cos ) = 0,
v tứ phữỡng trẳnh @PFQAD t â
sin πak n+1
Un (cos θ) = n.
sin θ
ho æng thù gâ sin(A + B), tû sè l sin(ak + ), ơng vợi cos (ak) sin . wău sè
sin θ̸ = 0 v¼ θ khỉng thº l mët ëi sè nguy¶n õ π khi d > 2. g¡ số ak v a õ
ũng tẵnh hđn lF 0iÃu n y l hin nhiản khi a l số hđnF xáu a l số l thẳ d l
số hđn v k l sè l´ v¼ (k, d) = 1F â cos πak = cos πaD v Un (cos θ) = cos a.
ho 1õD náu a hđn thẳ Un (cos θ) = 1 v Ψd(x) l mët nh¥n tỷ ừ Un(x) 1.
ữỡng tỹD náu a l số l´ th¼ Un (cos θ) = −1 v Ψd(x) l mởt nhƠn tỷ ừ Un(x) + 1.
xáu d|2n + 4 v d > 2, 1°t b = 2n+4 d , b ∈ N. â θ = πbk trong 1â (k, d) = 1 v
n+2
1 ≤ k < d2 F û sè ừ vá phÊi ừ phữỡng trẳnh @PFQA l
sin πbk n+2−1 = sin (πbk − θ) .
n+2
xâ ¬ng − cos (bk) sin . uát quÊ su 1ữủ suy r tữỡng tỹ nhữ trữớng hủp trữợ
vẳ mău số sin = 0, ¡ sè bk v b â ịng t½nh h®n l´ v Un (cos θ) = − cos (πb) .
