Tìm hiểu định lý dirichlet về số nguyên tố trong một cấp số cộng

BÀ GIÁO D÷C VÀ ÀO TĐO
TR◊ÕNG ÑI H≈C QUY NHÃN

NGUN VãN C◊ÕNG

TÌM HIưU ¿NH LÍ DIRICHLET
Vó S» NGUYÊN T»

TRONG MÀT CáP S» CÀNG

ó ÁN THĐC Sû PH◊ÃNG PHÁP TỐN Sà CáP

BÌNH ¿NH - 2023

BÀ GIÁO D÷C VÀ ÀO TĐO
TR◊ÕNG ÑI H≈C QUY NHÃN

NGUYôN VãN C◊ÕNG

TÌM HIưU ¿NH Lfi DIRICHLET
Vó S» NGUYÊN T»

TRONG MÀT CáP S» CÀNG

Ngành: Ph˜Ïng pháp Tốn sÏ cßp
Mã sË: 8460113

BÌNH ¿NH - 2023

LếI CAM OAN

Tụi xin cam oan răng tồn bỴ nỴi dung cıa ∑ án "Tìm hi∫u ‡nh l Dirichlet
v sậ nguyờn tậ trong mẻt còp sậ cẻng" chớnh tụi thác hiên mẻt cỏch ẻc lp v
hon thnh tĐi Trèng Đi hc Quy Nhẽn dểi sá hểng dđn cıa PGS. TSKH
Hu˝nh V´n Ngãi.

Các tài liªu tham kh£o phˆc vˆ mˆc ích nghiên c˘u cơng trình này ˜Ịc s˚
dˆng úng quy ‡nh, khơng vi ph§m quy ch∏ b£o m™t cıa Nhà n˜Ĩc. Tơi xin ch‡u
hồn tồn trỏch nhiêm cho bòt k sai lảm hoc vi phĐm nào liên quan ∏n ∑
cıa mình.

Quy NhÏn, tháng 10 n´m 2023
Tác gi£

Nguyπn V´n C˜Ìng

LÕI CÉM ÃN

¶u tiên tơi xin bày t‰ lịng bi∏t Ïn sâu s≠c ∏n PGS.TSKH Hu˝nh V´n Ngãi,
ng˜Ìi th¶y ã t™n tình h˜Ĩng d®n, dành nhi∑u thÌi gian giúp Ơ v∑ ki∏n th˘c và
ph˜Ïng pháp cÙng nh˜ là tinh th¶n ∫ tơi hồn thành ∑ án.

Ti∏p ∏n, tôi cÙng muËn g˚i lÌi c£m Ïn chân thành ∏n tồn th∫ gi£ng viên
t§i Khoa Tốn - ThËng kê nói riêng và Ban giỏm hiêu trèng Đi hc Quy Nhẽn
núi chung, ó tĐo i∑u kiªn thu™n lỊi cho tơi trong q trình nghiên c˘u và hÂc
t™p.

D¸ án này khơng th∫ thác hiên thnh cụng nu thiu sá hẩ trề, ẻng viờn,
khớch lê ca tòt cÊ nhng ngèi thõn v bĐn bè thân thi∏t cıa tơi trong st thÌi
gian qua.

Tụi ròt hĐnh phỳc v tá ho v kt quÊ m tụi ó Đt ềc. Tuy nhiờn vđn
cú th cú nhng mt hĐn ch, thiu sút. Ròt mong nhn ềc nhng kin, chứ
dđn ca qu thảy cụ. Mẻt lản na, xin chõn thnh cÊm ẽn tòt cÊ mi ng˜Ìi.

Nguyπn V´n C˜Ìng

Mˆc lˆc

I M– ÜU 1

II NÀI DUNG 4

1 MÀT S» KIịN THŸC S» H≈C VÀ GIÉI TÍCH CÃ BÉN 5
1.1 SË nguyên tË . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 MỴt sË k∏t qu£ cÍ i∫n cıa sË nguyên tË . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 ‡nh lí Euclid v∑ sË nguyên tË . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Hàm Zeta - Rieman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 TÍng t¯ng ph¶n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Công th˘c tÍng Euler-Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.7 Logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.8 Hm Moăbius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 S‹ VƠ HĐN S» NGUN T» TRONG MÀT S» CáP S»

CÀNG êC BIõT 16

2.1 Th∞ng d˜ b™c hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Kí hiªu Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 Sá vụ hĐn ca sậ nguyờn tậ trong mẻt còp sË cỴng tÍng qt . . . 18

3 ¿NH Lfi DIRICHLET VÀ CÁC B◊ŒC CHŸNG MINH 23

3.1 ∞c tr˜ng và tÍng các ∞c tr˜ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 L - Hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3 ‡nh lí Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.4 Các b˜Óc ch˘ng minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

III KòT LUäN VÀ KIòN NGH¿ 43

Danh mˆc k˛ hiªu

Danh mˆc k˛ hiªu

⇤(n) Hàm ⇤ Mangoldt .

(x) Hàm Mangoldt.

L(s, ) Hàm L .

µ(n) Hm moăbius.

(x) Hm m sậ nguyên tË.
P TÍng chĐy qua tòt cÊ cỏc sậ nguyờn tậ p.
Qp Tích cıa các sË nguyên tË p.
TÁn t§i M < 0 sao cho B MA .

p

A⌧B

AB TÁn t§i M > 0 sao cho B  MA.
⇥a⇤ K˛ hiªu Jacobi.
Hàm mÙ.
n

exp

Z T™p hÒp sË nguyên.
C⇤ T™p hÏp sË ph˘c khác 0
(Z/qZ)⇤ Nhóm nhân các ph¶n t˚ kh£ ngh‡ch cıa vành (Z/qZ)

Ph¶n I

M– ÜU

1

LÕI NÓI ÜU

SË nguyên tË (cÙng nh˜ SË hÂc) th™t x˜a cÙ. Xoay quanh câu chuyªn sË
nguyên tË, có bi∏t bao nh˙ng cơng trình tốn hÂc st chi∑u dài l‡ch s˚ phát
tri∫n cıa sË hÂc. Nh˙ng bài tốn và vßn ∑ liên quan ∏n sË ngun tË, thèng
l ròt d hiu; chứ cản vểi kin thc toỏn hc ph thụng, nhng trỏi lĐi thèng
l ròt khú, th™m chí vơ cùng khó ∫ gi£i quy∏t. Rßt nhi∑u nh˙ng tên ti lĨn
trong l‡ch s˚ tốn hÂc nh˜ Euler, Riemann, và Fermat, nh˙ng ng˜Ìi ã óng
góp quan trÂng vào lỉnh v¸c này và vén nh˙ng b˘c màn bí m™t xung quanh sË

nguyên tË. S¸ nghiên c˘u và hi∫u bi∏t v∑ sË nguyên tË ã giúp h ti∏n xa hÏn
trong s¸ hi∫u bi∏t v∑ tốn hÂc và óng góp vào s¸ phát tri∫n cıa nó.

M∞c dù ã cú nhiu tin bẻ trong lổnh vác ny, vđn cũn ròt nhiu nhng bớ ân
xung quanh sậ nguyờn tậ m nhân lo§i ch˜a khám phá. Bên c§nh ó sË ngun
tË v®n óng vai trị cÏ b£n trong SË hÂc; ˜Ịc ví nh˜ là nh˙ng “h§t cÏ b£n” ∫
t§o nên th∏ giểi cỏc con sậ. Trong hiên tĐi v cÊ tẽng lai di, sậ nguyờn tậ vđn
luụn l mẻt ch tẽi mểi, ảy sc hòp dđn cỏc nh nghiờn cu và hÂc gi£

am mê toán.
HÏn 2000 nm trểc, Euclide ó chng minh răng tp hềp cỏc sË ngun tË

là vơ h§n. Ch˘ng minh cıa Euclide có th∫ nói là h∏t s˘c Ïn gi£n, nh˜ng µp,
µp mẻt cỏch mđu mác ca lp lun phÊn chng toỏn hÂc. K∫ t¯ k∏t qu£ cıa

Euclide, vßn ∑ xét tính vụ hĐn ca sậ nguyờn tậ trong mẻt dóy sậ nguyờn dẽng
c biêt no ú l mẻt vòn lển-ròt lển ca sậ hc, v chc chn răng vòn ∑

này q lĨn, ∫ khơng th∫ bao giÌ ˜Ịc gi£i quyt trn vàn. õy ta quan tõm
n loĐi dóy sậ ẽn giÊn nhòt: Còp sậ cẻng.
Nm 1837, băng mẻt phẽng phỏp giÊi tớch vụ cựng sỏng tĐo, Dirichlet ó

chng minh răng cú vụ hĐn sậ nguyờn tậ trong mẻt còp sậ cẻng: a+q, a+2q,
. . . , a+nq, . . . , vÓi a, q là nguyên tË cùng nhau, và q nguyên tË. Hai n´m sau,
cÙng chính ơng ã gi£i quy∏t bài tốn tÍng qt cho q tùy ˛. Có th∫ nói, cơng
trình này cıa Dirichlet là hòn á t£ng cıa L˛ thuy∏t sË gi£i tích. Nh˙ng thành
t¸u cıa Dirichlet trong lỉnh v¸c này ó tĐo nn múng cho viêc phỏt trin cỏc
l thuyt sË gi£i tích và có £nh h˜ng lĨn Ëi vĨi các nhánh khác cıa tốn hÂc.

i∑u ∞c biªt là tr˜Ĩc Dirichlet rßt lâu, nh˙ng tr˜Ìng hỊp riêng cıa bài tốn

này ã ˜Ịc xem xét ∏n nh˜ng ch˜a §t thành t¸u.

Vì v™y, tơi chÂn ∑ tài "TÌM HIưU ¿NH LÍ DIRICHLET Vó S»
NGUN T» TRONG MÀT CỏP Sằ CNG nhăm tỡm hiu sõu hẽn
v mẻt chng minh mang tớnh cỏch mĐng thèi ú.

Nẻi dung cıa ∑ án gÁm 3 ch˜Ïng:
Ch˜Ïng 1. MỴt sË ki∏n th˘c sË hÂc và gi£i tích cÏ b£n.

2

Trình bày các ‡nh nghỉa, ‡nh l˛, tính chßt cÏ b£n cıa gi£i tích và sË hÂc.
Ch˜Ïng 2. Sá vụ hĐn sậ nguyờn tậ trong mẻt sậ còp sậ cẻng c biêt

Chẽng ny trỡnh by cỏc nh l xung quanh sá vụ hĐn sậ nguyên tË nh˜
‡nh l˛ th∞ng d˜ b™c hai, kí hiêu Legendre, v mẻt vi sá vụ hĐn sậ nguyờn tậ
trong cỏc còp sậ cẻng thèng gp.
Chểng 3. nh lớ Dirichlet và các b˜Óc ch˘ng minh

Ch˜Ïng này trình bày ‡nh l˛, các mªnh ∑, bÍ ∑ có liên quan ∏n ch˘ng
minh ‡nh l˛ Dirichlet và chø ra mẻt loĐt cỏc bểc chng minh phc tĐp ca

nh l˛.

3

Ph¶n II

NÀI DUNG

4

Ch˜Ïng 1

MÀT S» KIịN THŸC S» H≈C
VÀ GIÉI TÍCH CÃ BẫN

Nhăm chuân b kin thc thác hiên nhng chẽng sau, chẽng 1 trỡnh
by nẻi dung cıa mỴt sË ki∏n th˘c cÏ s v∑ sË hÂc và gi£i tích

1.1 SË ngun tË

‡nh nghỉa 1.1.1. (SË nguyên tË)
SË nguyên p ˜Òc gÂi là sË nguyên tË n∏u p > 1 và chø có ˜Ĩc là 1 và chính
nó. Nh˙ng sË ngun p > 1 khơng là sË ngun tË thì là hỊp sË.
T™p các sË ngun tË th˜Ìng ềc kớ hiêu l P
Tớnh chòt 1.1.2. Vểi mi sậ t¸ nhiên n, n > 1, ˜Ĩc t¸ nhiên khác 1 nh nhòt
ca n l mẻt sậ nguyờn tậ.
Chng minh:
Cho sË n 2 N, cho d là ˜Ĩc nh‰ nhßt cıa n, d 6= 1.
N∏u d khơng ngun tË thì d = d1d2, trong ó 1 < d1, d2 < d.
Suy ra d1 là ˜Ĩc th™t s¸ cıa d.
Vì v™y d1 là ˜Ĩc cıa n, d1 < d. iu ny mõu thuđn vểi sá nh nhòt ca d.
‡nh lí 1.1.3. VĨi mÂi sË t¸ nhiên n > 1, tn tĐi mẻt tp duy nhòt cỏc sậ
nguyờn tË p1 < p2 < · · · < pr và các sË nguyên d˜Ïng a1, . . . , ar sao cho:

Yr
n = pak k = pa1 1 ⇥ ... ⇥ parr

k=1

1.2 MỴt sË k∏t qu£ cÍ i∫n cıa sË ngun tË

‡nh lí 1.2.1. Cho n 2 N, n 2. GÂi q là ˜Ĩc sË ngun tË nh‰ nhßt cıa n.
Khi ó vĨi mÂi ˜Óc d cıa n, n∏u d 6= 1 và d khơng là sË ngun tË thì d q2.

5

Ch˘ng minh: Gi£ s˚ d  q2. Vì d 6= 1 và d không là sË nguyên tË nên ta có

d = a · b, 1  a, b  d.

Ta suy ra (
a · b  q2 ) a < q (Vô l˛)

b
‡nh lí 1.2.2. VĨi mÂi sË t¸ nhiên n 2 N, n > 1, ểc sậ tá nhiờn khỏc 1 nh
nhòt ca n là mỴt sË ngun tË p.

Ch˘ng minh:
Gi£ s p l ểc tá nhiờn khỏc 1 nh nhòt cıa n và p khơng là sË ngun tË.

Khi ó: p = p1 · p2, (p > p1; p2 > 1). Suy ra p1|n vÓi p1 < p.
i∑u ny mõu thuđn vểi p l nh nhòt.
V™y p là sË nguyên tË.

‡nh lí 1.2.3. MỴt hỊp sË n có ˜Ĩc sË ngun tË nh‰ nhßt khơng v˜Ịt q pn.

Ch˘ng minh:

Gi£ s˚ n là hỊp sË nên ta có th∫ vi∏t n = ab, trong ó a, b là các sË ngun

vĨi 1  a  b < n. Rõ ràng ta ph£i có a ho∞c b khơng v˜Ịt q pn.
Gi£ s˚ ó là a, khi ó ˜Ĩc ngun tË cıa a cÙng là ˜Óc nguyên tË cıa n.

‡nh lí 1.2.4. N∏u sË t¸ nhiên n > 1 th‰a mãn:" n không chia h∏t cho p, 8p 2 P,
p2  n", thì n là mỴt sË ngun tậ.
Chng minh:

GiÊ s răng n khụng phÊi là sË ngun tË. i∑u này có nghỉa là n có mỴt ˜Ĩc
sË ngun tË q sao cho 1 < q < n.

Vì q là sË nguyên tË, ta có q 2 P.
Theo gi£ thi∏t, n không chia h∏t cho q, v™y n không chia h∏t cho bßt k˝ sË
nguyên tË nào nh‰ hÏn hoc băng q.

ng thèi, do 1 < q < n, ta có q2  n. iu ny ậi lp vểi iu kiên răng n
khụng chia h∏t cho bßt k˝ sË nguyên tË mÙ hai nào nh hẽn hoc băng n.

Suy ra, giÊ nh ban ảu l sai v n phÊi l mẻt sË nguyên tË.

1.3 ‡nh lí Euclid v∑ sË nguyên tË

‡nh lí 1.3.1. ( ‡nh lí th˘ nhßt cıa Euclid) N∏u p là sË nguyên tË và p|ab
thì p|a ho∞c p|b.

6

Ch˘ng minh:
Gi£ s˚ p là sË nguyên tË và p|ab. N∏u p không chia h∏t cho a, t˘c là (a, p) = 1, vì

p là sË nguyên tË.

Do ó, 9x, y : ax + py = 1 hay xab + ypb = b.
Vì p|ab và p|pb nên suy ra p|b.

Hª qu£ 1.3.2. . N∏u p|a1a2....an thì p|ai tÁn t§i 1  i  n

‡nh lí 1.3.3. ( ‡nh lí th˘ hai cıa Euclid) SË các sË ngun tË là vơ h§n.

Ch˘ng minh:
Gi£ s˚ 2, 3, 5, ...., p là dãy các sË ngun tË khơng v˜Ịt q p.
∞t q = 2.3.5.....p + 1, khi ó q không chia h∏t cho sË nào trong dãy 2, 3, 5, ..., p.
T¯ ó, ta cú th suy ra răng q l sậ nguyờn tậ ho∞c q phân tích ˜Ịc thành

tích các th¯a sË ngun tË, trong ó khơng có th¯a sË nào là 2, 3, 5, ..., p. Do ó,
ph£i có mỴt sË ngun tậ năm trong khoÊng (p, q), nghổa l q chia ht cho mẻt
sậ nguyờn tậ năm trong oĐn (p, q). T¯ ó suy ra ln tÁn t§i sË ngun tË lĨn
hÏn p. Nh˜ v™y, i∑u c¶n ch˘ng minh ã ˜Ịc ch˘ng minh.

‡nh lí 1.3.4. (Wilson). N∏u p là sË nguyên tË thì

(p 1)! ⌘ 1 (mod p).

Ch˘ng minh:
Dπ thßy tr˜Ìng hỊp p = 2 và p = 3 hi∫n nhiên úng vĨi ‡nh lí. Ta s≥ ch˘ng

minh ‡nh lí úng vĨi p > 3.
∞t a là mỴt trong các sË nguyên d˜Ïng 1; 2; 3; ....; p 1 sao cho

na ⌘ 1 (mod p). (I)

Vì (n, p) = 1 nờn (I) cú nghiêm duy nhòt (mod p). Do ó, tÁn t§i duy nhßt
sË n0 2 1, 2, 3, ...., p 1 tho£ mãn nn0 ⌘ 1 (mod p).

N∏u n = n0 thì

nn0 ⌘ 1 (mod p) , n2 ⌘ 1 (mod p)

, (n 1)(n + 1) ⌘ 0 (mod p)
"

n 1⌘0 (mod p)
, (mod p)

n+1⌘0
"

n=1
,

n=p 1

Nên ta chø xét n 6= n0 , n, n0 2 {2, 3, ...., p 2}

7

Khi ó ta có th∫ t§o ra p3 c∞p sË (n, n0) phân biªt nh˜ v™y.
2

Nhân tßt c£ p3 Áng d˜ vĨi nhau và s≠p x∏p l§i thì ta ˜Òc:

2

2.3....(p 20) ⌘ 1 (mod p)
, (p
, (p 2)! ⌘ 1 (mod p)
, (p 1)! ⌘ p 1 (mod p)
1)! ⌘ 1 (mod p)

V™y ta xét a 6= a0, t˘c a, a0 2 {2, 3, :::, p 2}.
Lúc này ta có th∫ t§o ra p 3 c∞p sË (a, a0) phõn biêt nhau vy. Nhõn tòt cÊ

2
chúng l§i, ta có

2 · 3 · · · (p 2) ⌘ (a0 a)(a0 + a)(a1 a)(a1 + a) · · · (a p 3 a)(a p 3 + a) (mod p).
TÍng quát hÏn ta ˜Òc:
2 2

(p 2)! ⌘ (a0 a)(a0 + a)(a1 a)(a1 + a) · · · (a p 3 a)(a p 3 + a) (mod p).
2 2

Nhân c£ hai v∏ vÓi a0, ta ˜Òc aa0 ⌘ 1 (mod p).V™y

(a0 a)(a0 + a) ⌘ a2 (mod p),
(a1 a)(a1 + a) ⌘ a2 (mod p),

··· a)(a p 3 + a) ⌘ a2 (mod p).
(a p 3
2
2

Khi ó, t¯ (⇤) suy ra

(p 2)! ⌘ ( a2) 2 p 3 (mod p).
Mà a2 ⌘ 1 (mod p).

1.4 Hàm Zeta - Rieman

‡nh nghỉa 1.4.1. Hàm Zeta - Riemann là mỴt hàm sË quan trng trong l
thuyt sậ, ềc kớ hiêu băng (s) và ˜Ịc ‡nh nghỉa nh˜ sau:

X 1 1
⇣(s) = ns

n=1

8

Trong ó s là mỴt sË ph˘c cú phản thác lển hẽn 1. Hm sậ ny liờn quan
ch∞t ch≥ ∏n tính ngun tË cıa các sË t¸ nhiên thông qua công th˘c Euler:

Y1 + it. Khi ó chuÈi
⇣(s) = 1 p s

p2P

Trong c£ hai ‡nh nghỉa trên thì s là bi∏n sË ph˘c s =
Dirichlet 1.4.1 là hỴi tˆ vĨi > 1, hẻi t u trong min.

1.5 Tng tng phản

nh lớ 1.5.1. ( ‡nh lí Abel) Gi£ s˚ {an} là các hàm liên tˆc trong tr˜Ìng sË

ph˘c, và f (t) là mỴt hàm kh£ vi liên tˆc trên kho£ng [1, x], vÓi x là sË nguyên

d˜Ïng. ∞t

Xt
A(t) = an

. n=1

Thì: X Zx
anf (n) = A(x)f (x) A(t)f 0(t)dt.

n6x 1

Ch˘ng minh:

¶u tiên, giÊ s x l mẻt sậ tá nhiờn. Chỳng ta vi∏t l§i v∏ trái nh˜ sau:

X X

anf (n) = {A(n) A(n 1)f (n)}

n6x n6x
X X

= A(n)f (n) A(n)f (n + 1)

n6x n6x 1 Z n+1

= A(x)f (x) X f 0(t)dt

= A(x)f (x) A(n)

n6x 1 n

X Z n+1 A(t)f 0(t)dt

n6x 1 n

vĨi A(t) là mỴt hàm b˜Óc nh£y

X Z n+1 Zx

A(t)f 0(t)dt = A(t)f 0(t)dt

n6x 1 n 1

N∏u x không ph£i là sË nguyên thì ta s≥ vi∏t bxc ∫ bi∫u th‡ cho phản nguyờn

lển nhòt nhng khụng vềt qua x. T ó ta suy ra:
Zx

A(x){f (x) f (bxc)} A(t)f 0(t)dt = 0

bxc

9

Mªnh ∑ 1.5.2. X
log n = x log x
x + O(log x)
nx

Mênh 1.5.3. (Hăng sậ Euler)
Vểi mi x là sË nguyên d˜Ïng, tÁn t§i

= lim X1 !
n log x
x!1
nx

Mªnh ∑ 1.5.4. GÂi d(n) là ˜Ĩc sậ tá nhiờn ca mẻt sậ tá nhiờn n, khi ó
X
d(n) = x log x + O(x).

nx

Mªnh ∑ 1.5.5. Gi£ s˚ A(x) = O(x ). VÓi mÂi s > thì chi Dirichlet hỴi tˆ,
X 1 an Z 1 A(t)
ns 1 = s ts+1 dt.

n=1

1.6 Cơng th˘c tÍng Euler-Maclaurin

‡nh nghỉa 1.6.1. (SË Bernoulli )

SË Bernoulli Bk vĨi k là sË nguyên d˜Ïng là nh˙ng hª sË tho£ mãn chuÈi khai

tri∫n sau: e X 1 = Bk xk

ex 1 k=0 k!

‡nh nghỉa 1.6.2. ( a th˘c Bernoulli )

VĨi Bn là các sË Bernoulli, a th˘c Bn(x) ˜Òc gÂi là a th˘c Bernoulli n∏u

tho£ mãn: 8 vÓi (n 1)
>>> B0(x) = 1 vÓi (n 1)
<

d Bn(x) = nBn 1(x)
dx
>>> R 1
: 0 Bn(x) dx = 0

Tính chßt 1.6.3. Các tính chßt sau ây ˜Ịc suy ra t¯ ‡nh nghæa:

1. Bn(x) = n 0 R 1 Bn 1(t)dt + Bn (n 1)
! !

2. Bn(x) = k=0 Pn n Bn kxk = k=0 Pn n Bkxn k
k k

10

3. Bn(0) = Bn

4. Bn(1) = Bn(0) (n 2)

5. Bn(x + 1) Bn(x) = nxn 1 (n 1)

6. Bn(x 1) = ( 1)nBn(x) (n 1)

‡nh lí 1.6.4. (Cơng th˘c tÍng Euler - Maclaurin) VĨi f(x) là mỴt hàm kh£ vi

∏n bc m trờn oĐn [a, b], bxc l hm phản nguyên, Br là sË Bernoulli và Bn(x)

là a th˘c Bernoulli thì

X b 1 Zb X m Br ⇣ (r 1) ⌘
f (r 1)(a) + Rm
f (k) = f (x)dx + r! f (b)
k=a a r=1

trong ó, 1)(m+1) Z b
m! a Bm(x
Rm = ( bxc)f (m)(x)dx.

1.7 Logarithms

Mẻt vi tớnh chòt ca hm logarithms ềc xỏc nh cho sậ thác dẽng
Tớnh chòt 1.7.1. (i) elog x = x

(ii) log(1 + x) = x + E(x) vÓi |E(x)|  x2 n∏u |x| < 1/2

(iii) N∏u log(1 + x) = y vÓi |x| < 1/2, thì |y|  2|x|

Ngồi ra, tính chòt (ii) cũn ềc vit lĐi dểi dĐng log(1 + x) = x + O(x2).

Ch˘ng minh:
Bßt Øng th˘c (i) là hi∫n nhiên và khơng c¶n ch˘ng minh.
∫ ch˘ng minh bßt Øng th˘c (ii), chúng ta s˚ dˆng phân tích dãy sË mÙ cıa

log(1 + x) khi |x| < 1, t˘c là:

X 1 ( 1) x n+1 n (1.1)
log(1 + x) = n

n=1

Khi ó, ta có

E(x) = log(1 + x) x = x2 x3 x4
và áp dˆng bßt Øng th˘c tam giác 2+3 4 +...,

|E(x)|  x2 1 + |x| + |x|2 + . . .
2

11

Do ó, n∏u |x|  12, ta có th∫ cỴng dóy sậ hỡnh hc bờn phÊi tỡm ra răng

x2 ✓ 1 ◆

|E(x)|  2 1 + 1 21  x . 2

Ch˘ng minh cho tính chßt (iii) bây giÌ tr nên rßt dπ dàng; n∏u x 6= 0 và

|x|  12 , thì

log(1 + x)  1 + E(x)  1 + |x|  2,
x x

và n∏u x = 0, (iii) cÙng rõ ràng úng.

Bây giÌ ta xác ‡nh hai logarithms, mỴt cho sË ph˘c có d§ng 1 vÓi |z| < 1,
1z

˜Ịc kí hiªu bĨi log1, và mẻt cho hm L(s, ), ềc kớ hiêu bi log2.

Vểi logarithms ¶u tiên, ta ‡nh nghỉa

⇣ 1 ⌘ X 1 zk
log1 1 z = k vÓi|z| < 1.

k=1

Chú ˛ răng, log1 ! ềc xỏc nh nu Re(!) > 12.

Mênh ∑ 1.7.2. Hàm logarithms log1 tho£ mãn các tính chßt sau:

i. N∏u |z| < 1 thì

elog1( 1 1 z ) = 1 .
1z

ii. N∏u |z| < 1 thì ⇣1⌘

log1 1 z = z + E1(z).

Trong ó sai sË E1 tho£ mãn|E1(z)|  |z|2 n∏u |z| < 1/2.

iii. N∏u |z| < 1/2 thì ⇣1⌘
log1 1 z  2|z|

Ch˘ng minh:
¶u tiên, ta s≥ ch˘ng minh i.).
∞t z = rei✓ vĨi 0  r < 1, khi ó

P1 (rei✓)k (1.2)
(1 rei✓)e k=1 k = 1.

Lßy vi phân v∏ trái theo r ta ˜Ịc

" X 1 (rei✓)k P1 (rei✓)k !0#
ei✓ + 1 rei✓ k e k=1 k .

k=1

12

M∞t khác rei✓ ei✓ X 1 ! ei✓ + 1 rei✓ e 1 rei✓ i✓ 1 = 0.
ei✓ + 1 rei✓ k 1 =

k=1

Nh™n thßy v∏ trái cıa ph˜Ïng trình (1.2) khơng Íi, ta ∞t r = 0 và ˜Òc k∏t
qu£ mong muËn.

Viêc chng minh hai tớnh chòt cũn lĐi thác hiên giậng tớnh chòt thác ềc
a ra trong tớnh chòt (1.7.1).

S˚ dˆng k∏t qu£ này, ta có th phỏt biu mẻt iu kiên Êm bÊo sá
hẻi t ca tớch vụ hĐn sậ phc. Chng minh cng giậng nh trèng hềp thác,
ngoĐi tr viêc chỳng ta s˚ dˆng logarithm log1.

P
Mênh 1.7.3. Nu |an| hẻi t v an 6= 1 vĨi mÂi n, thì ta có:

Y1 ✓ 1 ◆
n=1 1 an

hỴi tˆ. HÏn n˙a, k∏t qu£ này khác khơng.

Ch˘ng minh:

VĨi n ı lĨn, ta có |an| < 12. Do ó, ta gi£ s˚:

YN ✓ ◆N
1 1 Y PN
elog1( 1 an ) = e n=1 log1( 1 an ).11
n=1 =
an n=1

T¯ mªnh ∑ tr˜Ĩc ta có  2|z|,
⇣1⌘

log1 1 z

P
m chuẩi |an| hẻi t, nghổa l tn tĐi

X N ✓ 1 ◆
lim log1 1 an = A.
n=1
N !1

Vì hàm sË mÙ liên tˆc nên tích sË hỴi tˆ v∑ eA, hi∫n nhiên giá tr‡ này khác

không.

Ti∏p theo ta s≥ ch˘ng minh

X (n) Y 1.
ns = (1 (p)p s)
n p

13

GÂi L là v∏ trái cıa ph˜Ïng trình. ‡nh nghỉa

X (n)n s

SN =

nN

và Y ✓ ◆
⇧N = 1 1

(p)p s .
pN
⌘
Q⇣
Tích vơ h§n ⇧ = limN!1 ⇧N = p 1 1 hỴi tˆ theo mªnh ∑ trên. Th™t
(p)p s

v™y, ∞t an = (pn)pn s, trong ó pn là sË nguyên tË th˘ n.

Ta nh™n thßy n∏u s > 1, thì P (|an|) < 1. Thêm vào ó, ta ‡nh nghæa:

Y (p) !
⇧N,M = 1+ s +...+ pM
pMs .
pN p

Bây giÌ, chÂn ✏ > 0 và chÂn N ı lÓn ∫

|SN L| < ✏ và |⇧N ⇧| < ✏.

Ti∏p theo, ta chÂn M ı lÓn sao cho

|SN ⇧N,M | < ✏ và |⇧N,M ⇧N | < ✏.

∫ ch˘ng minh bßt Øng th˘c ¶u tiên, ta s˚ dˆng ‡nh l˛ cÏ b£n v∑ sË hÂc

và tính chßt nhân cıa các hàm Dirichlet. P1 (pn)

Bßt Øng th˘c th˘ hai ˜Ịc suy ra chø vì mÈi dãy sË n=1 pns ) hỴi tˆ. Do

ó,

|L ⇧|  |L SN | + SN ⇧N,M + ⇧N,M ⇧N + |⇧N ⇧| < 4✏;

nh˜ ã ˜Òc ch˘ng minh.

1.8 Hàm Moăbius

nh nghổa 1.8.1. Hm Măobius ềc nh nghổa nh sau:

8 n∏u d = p1p2....pn vĨi pi phân biªt
>>> 1
<

µ(d) = >>> 0 vĨi các tr˜Ìng hỊp cịn l§i
:1 n∏u d = 1

14