Ứng dụng đạo hàm giải bài toán cực trị trong hình học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

——————————–

NGUYỄN GIA TÌNH

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI BÀI TOÁN CỰC
TRỊ TRONG HÌNH HỌC

ĐỀ ÁN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Bình Định- 2023

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

——————————–

NGUYỄN GIA TÌNH

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI BÀI TOÁN CỰC
TRỊ TRONG HÌNH HỌC

ĐỀ ÁN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 8.46.01.13

Người hướng dẫn thứ nhất : TS. Nguyễn Viết Dũng
Người hướng dẫn thứ hai : TS. Lê Quang Thuận

Bình Định - 2023

LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan đề án là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn trực tiếp của thầy giáo TS. Nguyễn Viết Dũng và thầy giáo TS.
Lê Quang Thuận.

Trong q trình nghiên cứu, tơi đã kế thừa thành quả khoa học của các
nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Tác giả
Nguyễn Gia Tình

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành đề án này, em xin gửi lời cảm ơn đến các Q Thầy cơ
Khoa Tốn-Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn đã tạo cơ hội cho em
được học tập, rèn luyện và tích lũy kiến thức, kỹ năng để thực hiện đề án.

Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn đến Giảng viên hướng dẫn, thầy giáo
TS.Nguyễn Viết Dũng và thầy giáo TS. Lê Quang Thuận đã tận tình chỉ
dẫn, theo dõi và đưa ra những lời khuyên bổ ích giúp em giải quyết được
các vấn đề gặp phải trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành đề tài một
cách tốt nhất.

Do kiến thức của bản thân còn hạn chế và thiếu kinh nghiệm thực tiễn
nên nội dung khóa luận khó tránh những thiếu sót. Em rất mong nhận sự
góp ý, chỉ dạy thêm từ Q Thầy cơ.

Cuối cùng, em xin chúc Quý Thầy Cô luôn thật nhiều sức khỏe và đạt
được nhiều thành công trong công việc.

Tác giả
Nguyễn Gia Tình

MỤC LỤC

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU . . . . . . . . 1

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

CHƯƠNG 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1. Các kiến thức cơ bản về đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1. Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1. Khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

trên đoạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3. Quy tắc tìm cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4. Bài tốn cực trị hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5. Một số dạng toán cực trị hình học thường gặp . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6. Một số phương pháp giải tốn cực trị hình học . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7. Một số khó khăn và sai lầm khi giải tốn cực trị hình học . . . 11

CHƯƠNG 2. Ứng dụng đạo hàm để giải bài tốn cực trị

trong hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1. Dạng toán xác định khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất . . . . . . . . 13
2.1.1. Phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.2. Một số ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.3. Một số bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2. Dạng tốn xác định diện tích, chu vi của đa giác, hình trịn lớn
nhất nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.1. Phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.2. Một số ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.3. Một số bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3. Dạng toán xác định và tính góc lớn nhất, nhỏ nhất . . . . . . . . . 40
2.3.1. Phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.2. Một số ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.3. Một số bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4. Dạng tốn tìm thể tích lớn nhất, nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.4.1. Phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.4.2. Một số ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.4.3. Một số bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

CHƯƠNG 3. Bài tốn mang tính thực tiễn . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.1. Phương pháp chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2. Bài toán thực tiễn trong áp dụng hình học phẳng . . . . . . . . . . . 66
3.3. Bài toán thực tiễn trong áp dụng hình học khơng gian . . . . . . 72

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

1

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU

1) GV: Giáo viên
2) HS: Học sinh
3) THPT: Trung học phổ thông
4) VTCP: Vectơ chỉ phương
5) VTPT: Vectơ pháp tuyến
6) GTLN: Giá trị lớn nhất
7) GTNN: Giá trị nhỏ nhất

2

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Chương trình mơn Tốn bậc Trung học phổ thơng đóng vai trị quan
trọng trong việc cung cấp kiến thức, kỹ năng cũng như rèn luyện tư duy
cho học sinh để bước vào đời hoặc tiếp tục học lên. Tốn học góp phần
hình thành và phát triển các phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng
lực toán học cho học sinh, phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt và tạo
cơ hội để học sinh được trải nghiệm, vận dụng toán học vào thực tiễn, tạo
lập sự kết nối giữa các ý tưởng toán học, giữa Toán học với thực tiễn, giữa
Toán học với các môn học và hoạt động giáo dục khác, đặc biệt với các
mơn Khoa học tự nhiên, Vật lí, Hố học, Sinh học và Cơng nghệ.

Trong chương trình Giải tích THPT, đạo hàm và ứng dụng của đạo
hàm giữ vai trò chủ đạo. Thực trạng dạy và học toán ở trường THPT cho
thấy rằng, với vai trò chủ đạo, đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong
chương trình tốn nên phần lớn giáo viên và học sinh rất chú trọng. Bên
cạnh đó có nhiều sách tham khảo viết về ứng dụng của đạo hàm để giải
tốn nói chung. Trong đó, về bài tốn cực trị hình học và việc ứng dụng
của đạo hàm giải loại tốn này thì đa số HS cịn chưa được rèn luyện,
thậm chí ít được tiếp cận. Trên thực tế có rất ít tài liệu tham khảo viết
có hệ thống về loại tốn này. Vấn đề cực trị hình học khó đối với HS vì nó
địi hỏi kiến thức tổng hợp về hình học, đại số, giải tích và nó địi hỏi học
sinh phải có thói quen ứng dụng tổng hợp kiến thức. Nếu rèn luyện được
kỹ năng giải loại toán này thì khơng chỉ HS nắm được hệ thống tri thức
tốn mà cịn góp phần rèn luyện năng lực giải toán, kỹ năng vận dụng tri
thức toán vào thực tiễn mà cịn phát triển tư duy tốn học cho HS.

Nhằm góp phần vào việc nghiên cứu ứng dụng đạo hàm để giải toán

3

cực trị hình học là một nhu cầu thiết yếu đối với HS, đặc biệt là HS khá,
giỏi cấp THPT. Vì vậy, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS. Nguyễn Viết
Dũng, tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu: "Ứng dụng đạo hàm giải bài
toán cực trị trong hình học " cho đề tài đề án thạc sĩ của mình.

2. Tổng quan tình hình nghiên cứu

Đối với đề tài “Ứng dụng đạo hàm giải bài toán cực trị trong hình học”
hiện nay trên thế giới và Việt Nam có một số tác giả quan tâm nghiên cứu
nhưng chưa đi sâu vào đề tài này.

Có khá nhiều tài liệu trình bày về lịch sử về ứng dụng của đạo hàm,
trong phần này chủ yếu chúng tôi tham khảo từ David B. Johnson, Thomas
A. Mowry (2004), Judith V. Grabiner (1983), Carl Boyer (1959), Ngơ Minh
Đức (2013). Bài tốn xác định tiếp tuyến đường cong có thể nói là động
lực thúc đẩy chủ yếu mà việc giải quyết nó giúp nảy sinh ra các ý tưởng
về đạo hàm.

Ở Việt Nam, Nguyễn Trung Kiên (2008) Rèn luyện kỹ năng ứng dụng
đạo hàm để giải toán cực trị hình học cho học sinh khá, giỏi lớp 12 THPT.
Nghiên cứu lý luận về kỹ năng, kỹ năng giải toán và một số biện pháp rèn
luyện kỹ năng giải toán cho học sinh THPT, rèn luyện kỹ năng ứng dụng
đạo hàm để giải tốn cực trị của hàm số. Tìm hiểu thực trạng của việc
rèn luyện kỹ năng ứng dụng của đạo hàm trong giải tốn cực trị hình học.
Tìm hiểu bài tốn cực trị hình học và nêu quy tắc giải bài tốn cực trị
hình học có ứng dụng của đạo hàm. Xây dựng hệ thống các bài tập điển
hình nhằm rèn luyện kỹ năng ứng dụng của đạo hàm để giải bài tốn cực
trị hình học cho học sinh khá giỏi lớp 12 thực nghiệm sư phạm.

Nhìn chung, các cơng trình nghiên cứu trên đã cho thấy việc ứng dụng
của đạo hàm. Tuy nhiên, các cơng trình nghiên cứu chưa đi sâu vào cơng
dụng cũng như vai trò của việc ứng dụng đạo hàm trong giải bài tốn cực
trị trong hình học một cách hệ thống đối với chủ đề “Ứng dụng đạo hàm
trong giải bài tốn cực trị trong hình học”.

4

3. Mục tiêu nghiên cứu
• Nghiên cứu lí luận về kỹ năng, kỹ năng giải toán và một số biện pháp
rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh THPT.
• Rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm để giải toán cực trị của hàm số.

• Tìm hiểu thực trạng của việc rèn luyện kỹ năng ứng dụng của đạo
hàm trong giải toán cực trị hình học.
• Tìm hiểu bài tốn cực trị hình học và nêu quy tắc giải bài tốn cực
trị hình học có ứng dụng của đạo hàm.
• Xây dựng hệ thống các bài tập điển hình nhằm rèn luyện kỹ năng
ứng dụng của đạo hàm để giải tốn cực trị hình học cho học sinh khá, giỏi
lớp 12.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu đề tài là học sinh lớp 12.
• Phạm vi nghiên cứu: giới hạn trong những bài tốn cực trị trong
chương trình hình học cấp THPT.
5. Nội dung nghiên cứu
• Các dạng bài tốn cực trị hình học và nêu phương pháp giải bài tốn
cực trị hình học.
• Xây dựng hệ thống các bài tập điển hình nhằm rèn luyện kỹ năng
ứng dụng của đạo hàm để giải bài tốn cực trị hình học.
• Các dạng bài tốn cực trị hình học mang tính thực tiễn.
6. Phương pháp nghiên cứu
• Phương pháp nghiên cứu lý luận
Nghiên cứu một số giáo trình phương pháp dạy học mơn toán, SGK

5

phổ thông, Sách bồi dưỡng giáo viên THPT, các sách tham khảo, các tạp
chí về giáo dục.

• Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

Tổng kết kinh nghiệm giảng dạy, qua trao đổi kinh nghiệm với một số
giáo viên giỏi bộ môn Tốn ở trường THPT. Từ đó xây dựng được hệ

thống các bài tập điển hình và những gợi ý dạy học nhằm rèn luyện kỹ
năng ứng dụng của đạo hàm trong giải tốn cực trị hình học.

• Phương pháp quan sát, điều tra

Quan sát và điều tra thực trạng dạy học giải toán cực trị hình học đối
với học sinh lớp 12, qua đó nắm bắt được nhu cầu của việc rèn luyện kỹ
năng ứng dụng của đạo hàm cho học sinh khá, giỏi lớp 12.

• Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Thử nghiệm việc rèn luyện kỹ năng ứng dụng của đạo hàm để giải tốn
cực trị hình học thơng qua chun đề tự chọn mơn tốn lớp 12. Bước đầu
kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của nội dung đã được xây dựng
trong đề tài.

7. Bố cục của đề án

Nội dung của đề án được xây dựng và trình bày bao gồm:

• Phần mở đầu.

• Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.

• Chương 2: Ứng dụng của đạo hàm để để giải bài tốn cực trị trong
hình học.

• Chương 3: Bài tốn mang tính thực tiễn.

• Kết luận.

• Tài liệu tham khảo.

6

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

Trong chương này, chúng tơi trình một số kiến thức cơ bản về đạo hàm
có liên quan để giải bài tốn cực trị hình học và tổng quan về bài tốn cực
trị hình học nhằm phục vụ cho các chương sau.
1.1. Các kiến thức cơ bản về đạo hàm
1.1.1. Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.1.1. Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; b) và
x0 ∈ (a; b). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

lim f (x) − f (x0)
x→x0 x − x0
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f (x) tại x0 và kí hiệu
là f ′ (x0) (hoặc y′ (x0)), tức là
f ′ (x0) = lim f (x) − f (x0).

x→x0 x − x0
Chú ý 1.1.2. Ta có một số chú ý sau:

1) Đại lượng ∆x = x − x0 gọi là số gia của đối số x tại x0.
2) Đại lượng ∆y = f (x) − f (x0) = f (x0 + ∆x) − f (x0) được gọi là số

gia tương ứng của hàm số. Như vậy

y′ (x0) = lim ∆y .
∆x→0 ∆x

Định lí 1.1.3. Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x0 thì hàm số liên
tục tại x0. Tuy nhiên chiều ngược lại nói chung khơng đúng.
Nhận xét 1.1.4. Ta có một số nhận xét sau:

7

1) Nếu y = f (x) gián đoạn tại x0 thì nó khơng có đạo hàm tại x0.

2) Nếu y = f (x) liên tục tại x0 thì có thể khơng có đạo hàm tại x0.

Định nghĩa 1.1.5. Hàm số y = f (x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng

(a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó. Khi đó, ta gọi

hàm số f ′ : (a, b) −→ R
x −→ f ′(x)

là đạo hàm của hàm số y = f (x) trên khoảng (a; b), kí hiệu là y′ hay f ′ (x) .

1.2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

1.2.1. Khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.2.1. Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập D.

• Số M được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số y = f (x)
trên tập D nếu f (x) ≤ M với mọi x thuộc D và tồn tại x0 ∈ D sao cho

f (x0) = M.

Kí hiệu: M = max f (x) .

D

• Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y = f (x)
trên tập D nếu f (x) ≥ m với mọi x thuộc D và tồn tại x0 ∈ D sao cho
f (x0) = m.

Kí hiệu: m = min f (x) .

D

Định lí 1.2.2. Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.

1.2.2. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn

Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên đoạn
[a, b] ta làm như sau:

1) Tìm các điểm x1, x2, ..., xn trên (a; b) mà tại đó f ′ (x) = 0 hoặc f ′ (x)

8

khơng xác định.

2) Tính f (a) , f (x1) , f (x2) , ..., f (xn) , f (b) .

3) Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có

M = max f (x) và m = min f (x) .

[a;b] [a;b]

Ví dụ 1.2.3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
f (x) = x3 − 2x2 − 4x + 1

trên đoạn [1; 3] .

Bài giải. Ta có f ′ (x) = 3x2 − 4x − 4. Khi đó,
f ′(x) = 0 ⇔ x = 2 ∈ [1; 3], x = −2 ∈/ [1; 3].
3

Như vậy, ta có

f (1) = −4, f (2) = −7, f (3) = −2.

Như vậy,

max f (x) = −2 và min f (x) = −7.

[1;3] [1;3]

1.3. Quy tắc tìm cực trị
Ta có hai quy tắc tìm cực trị như sau
Quy tắc 1
B1: Tìm tập xác định D.

B2: Tính f ′ (x) . Tìm các điểm tại đó f ′ (x) bằng 0 hoặc f ′ (x) không

xác định.
B3: Lập bảng biến thiên.
B4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị

9

Ví dụ 1.3.1. Tìm cực trị của hàm số sau

f (x) = 1x3 − x2 − 3x + 4.
3 3

Bài giải. Hàm số đã cho xác định trên R. Ta có f ′ (x) = x2 − 2x − 3;
f ′ (x) = 0 ⇔ x = −1 hoặc x = 3. Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm x = −1, giá trị cực đại của hàm số là
f (−1) = 3; hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 3, giá trị cực tiểu của hàm

23
số là f (3) = − .

3

Quy tắc 2

B1: Tìm tập xác định D.

B2: Tính f ′ (x) . Giải phương trình f ′(x) = 0 và kí hiệu xi (i = 1, 2, 3...)
là các nghiệm của nó.

B3: Tính f ′′ (x) và tính f ′′ (xi), với xi ∈ D.

B4: Dựa vào dấu của f ′′(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm xi.

Nếu f ′′ (xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi.

Nếu f ′′ (xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi.

Ví dụ 1.3.2. Tìm cực trị của hàm số sau

f (x) = 1x3 − x2 − 3x + 4.
3 3

10

Bài giải. Hàm số đã cho xác định trên R.
Ta có f ′ (x) = x2 − 2x − 3;
f ′ (x) = 0 ⇔ x = −1 hoặc x = 3; f ′′ (x) = 2x − 2.
Vì f ′′ (−1) = −4 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại điểm x = −1,

f (−1) = 3.
Vì f ′′ (3) = 4 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 3, f (3) = −23.
3

1.4. Bài toán cực trị hình học
Trong mục này, chúng tơi đưa ra khái niệm tổng quát về bài toán cực

trị hình học như sau:

"Trong tất cả các hình có chung một tính chất, tìm những hình mà một
đại lượng nào đó (độ dài đoạn thẳng, số đo góc, số đo diện tích, thể tích
...) có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất.”

Để giải các bài tốn cực trị hình học, ta có hướng làm như sau:
Khi tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trị
lớn nhất, ta phải chứng tỏ được
• Với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f ≤ m (m là hằng số).
• Xác định vị trí của hình H trên miền D sao cho f = m.
Khi tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trị
nhỏ nhất, ta phải chứng tỏ được
• Với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f ≥ m (m là hằng số).
• Xác định vị trí của hình H trên miền D sao cho f = m.
1.5. Một số dạng toán cực trị hình học thường gặp
Dạng 1: Xác định khoảng cách lớn nhất hoặc nhỏ nhất.

11

Dạng 2: Xác định chu vi, diện tích đa giác, hình trịn lớn nhất hoặc nhỏ
nhất.

Dạng 3: Xác định và tính góc lớn nhất, nhỏ nhất.

Dạng 4: Xác định thể tích đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
1.6. Một số phương pháp giải toán cực trị hình học

Trọng tâm của đề án là phương pháp ứng dụng đạo hàm để giải bài
toán cực trị hình học. Tuy nhiên, ta vẫn cịn một số phương pháp khác
như sau:

• Sử dụng phương pháp hàm số.

• Sử dụng quan hệ giữa đường vng góc, đường xiên, hình chiếu.

• Sử dụng quan hệ giữa đoạn thẳng và đường gấp khúc, các bất đẳng
thức trong tam giác.

• Sử dụng bất đẳng thức trong đường tròn.

• Sử dụng tỉ số lượng giác.

• Sử dụng một số phép dời hình.

• Sử dụng một số bất đẳng thức cơ bản.
1.7. Một số khó khăn và sai lầm khi giải tốn cực trị hình học

Khi giải tốn hình học nói chung, giải tốn cực trị hình học đặc biệt là
hình học khơng gian, học sinh lớp 12 kể cả học sinh khá, giỏi mơn Tốn
đã và có thể mắc những khó khăn và sai lầm sau:

• Trong vẽ hình khơng gian: khó khăn do hình vẽ phức tạp, phương
tiện hỗ trợ cịn thơ sơ (thước kẻ và compa), quy tắc vẽ hình khơng gian
đơn giản song để vẽ đúng hình trong các trường hợp cụ thể cịn gặp khó
khăn như xác định hình chiếu, đường vng góc, thiết diện,. . . . dẫn đến
vẽ hình sai.

12

• Khó khăn trong việc áp dụng các định lý, đặc biệt là cách xác định
góc, khoảng, cách dẫn đến xác định sai góc, và khoảng cách.

• Sai lầm khi khơng xét bài tốn ở trường hợp đặc biệt, trường hợp
khơng tồn tại theo giả thiết.

• Khó khăn và sai lầm trong việc vận dụng các phương pháp giải tốn
cực trị hình học: so sánh các đại lượng, áp dụng bất đẳng thức, sử dụng
phương pháp hàm số.

13

CHƯƠNG 2
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN

CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC

Trong chương này, chúng tơi trình bày các dạng tốn về cực trị hình
học bao gồm các dạng:

- Xác định khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất.
- Xác định diện tích, chu vi của đa giác, hình trịn lớn nhất nhỏ nhất.
- Xác định và tính góc lớn nhất, nhỏ nhất.
- Tìm thể tích lớn nhất nhỏ nhất.
Để trình bày cụ thể, chúng tôi tiến hành các mục như sau:
- Phương pháp để xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của đại
lượng cần tìm.
- Một số ví dụ minh họa.
- Một số bài tập áp dụng.
2.1. Dạng toán xác định khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất
2.1.1. Phương pháp
Đối với dạng toán này, ta cần xác định được các đại lượng cần tìm. Viết

biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất chỉ phụ thuộc vào
một biến. Áp dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất
của hàm đó.
Định nghĩa 2.1.1. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ là khoảng

14

cách giữa hai điểm M và H trong đó H là hình chiếu của điểm M trên
đường thẳng ∆.

Định nghĩa 2.1.2. Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P ) là khoảng
cách giữa hai điểm M và H trong đó H là hình chiếu của điểm M trên
mặt phẳng (P ).

Định nghĩa 2.1.3. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P )
song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng
(P ) .

Định nghĩa 2.1.4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng
cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.