Ứng dụng đạo hàm giải bài toán tiếp tuyến

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn của Lê Hồng Đức
Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1. Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực hiện điều này
2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”

ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG
TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ
VÊn ®Ị 1:
VÊn ®Ị 2:
VÊn ®Ị 3:
VÊn ®Ò 4:
VÊn ®Ò 5:
VÊn ®Ò 6:
VÊn ®Ò 7:
VÊn ®Ò 8:

LËp phơng trình tiếp tuyến biết tiếp điểm
Lập phơng trình tiếp tuyến biết hệ số góc
Lập phơng trình tiếp tuyến đi qua một điểm
Tìm điểm thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến tại điểm đó
thoả mÃn điều kiện cho trớc
Tìm điểm kẻ đợc k tiếp tuyến tới đồ thị
Tính chất đặc trng của tiếp tuyến của đồ thị
hàm đa thức bậc ba
Tính chất đặc trng của tiếp tuyến của đồ thị
hàm ®a thøc bËc bèn
TÝnh chÊt ®Ỉc trng cđa tiÕp tun của đồ thị
hàm phân thức hữu tỉ

Hc Toỏn theo nhúm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội
Email:
Phụ huynh đăng kí học cho con liên h 0936546689

tiếp tuyến của đồ thị

A. Tóm tắt lí thuyết
1


Ta sử dụng hai kết quả:
Định lí: Phơng trình của tiếp tuyến tại điểm M 0(x0, y0) của đờng cong
yf(x) có dạng:
yy0 f'(x0)(x x0).
Định lí: Hai đồ thị hàm số y = f(x) vµ y = g(x) tiÕp xóc nhau khi và chỉ khi hệ
phơng trình sau có nghiệm :
f ( x )  g( x )

f ' ( x )  g' ( x )

.

Khi ®ã, nghiƯm cđa hƯ phơng trình chính là hoành độ tiếp điểm.
Lu ý: Không ®ỵc sư dơng ®iỊu kiƯn nghiƯm kÐp khi thiÕt lËp điều kiện tiếp xúc
của đờng thẳng với đồ thị hàm số.

B. phơng pháp giải toán
Vấn đề 1: lập phơng trình tiếp tuyến biết tiếp điểm
Cho hàm số :
y = f(x).

Nếu biết tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số là M(x 0, y0) thì phơng
trình tiếp tuyến có d¹ng :
(d) : y = y’(x0)(xx0) + y0.
Lu ý : Thuật ngữ thờng dùng trong trờng hợp này là :
Tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M(x0, y0)
Tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ x0.
Ví dơ 1: Cho hµm sè :
(C) : y = x3x2x + 1.
Lập phơng trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại các giao điểm của nó
với trục hoành.
Giải
Hoành ®é giao ®iĨm cđa (C) víi Ox lµ nghiƯm cđa phơng trình :
x3x2x + 1 = 0 (x1)(x21) = 0 x1,2 = 1.
Tại điểm có hoành độ x1 = 1, ta đợc tiếp tuyến (d1) có phơng tr×nh :
(d1) : y = y’(1)(x1) + y(1)  (d1) : y = 0.
Tại điểm có hoành độ x2 = 1, ta đợc tiếp tuyến (d2) có phơng trình :
(d2) : y = y’(1)(x + 1) + y(1)  (d2) : y = 4(x + 1).
Chó ý : NÕu đờng thẳng (d) : y = ax + b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
f(x) tại điểm có hoành độ x0 thì phơng trình :
f(x) = ax + b
cã nghiƯm kÐp x = x0, do ®ã nó luôn đợc biến đổi về dạng :
(xx0)2(Ax + B) = 0.
NhËn xÐt trªn cho phÐp chóng ta thùc hiƯn đợc yêu cầu trong ví dụ sau :
Ví dụ 2: Cho hµm sè :

2


y = 1 x43x2 + 5 .
2

2
Gäi (d) lµ tiÕp tuyến của đồ thị tại điểm M có hoành độ x M = a. Chứng
minh rằng hoành độ các giao điểm của tiếp tuyến (d) với đồ thị là các nghiệm
của phơng trình :
(xa)2(x2 + 2ax + 3a26) = 0.) = 0.
Giải
Xét hàm số, ta có :
y' = 2x36) = 0.x.
Phơng trình tiếp tuyến của đồ thị tại M có hoành độ xM = a có dạng :
(d) : y = y’(a)(xa)y(a)
 (d) : y = (2a36) = 0.a)(xa) + 1 a43a2 + 5 .
2
2
Hoành độ giao điểm của tiếp tuyến với đồ thị là nghiệm phơng trình :
1 4
x 3x2 + 5 = (2a36) = 0.a)(xa) + 1 a43a2 + 5
2
2
2
2
 (xa)2(x2 + 2ax + 3a26) = 0.) = 0.
VÝ dơ 3: Cho hµm sè :
(Cm) : y = x3 + 3x2 + mx + 1.
a. Xác định m để (Cm) cắt đờng thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt
C(0,
1), D, E.
b. Tìm m để các tiếp tuyến tại D và E vuông góc với nhau.
Giải
a. Phơng trình hoành độ giao điểm của đờng thẳng y = 1 và đồ thị là :
x3 + 3x2 + mx + 1 = 1  x(x2 + 3x + m) = 0



 x 0
.

2
 g( x )  x  3x m 0 (*)

Đồ thị (Cm) cắt đờng thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0, 1), D, E
phơng trình (*) có hai nghiệm phân biƯt kh¸c 0
 0
9  4m  0
 '


 
 
0m< 9 .

m  0
g( 0 )  0
4
(**)
b. Víi điều kiện (**), phơng trình (*) có nghiệm thoả mÃn :
 x
 3
x

.
x

m
x
Ta cã :
 TiÕp tuyÕn t¹i D cã hÖ sè gãc
kD = y'(xD) = 3 x 2D + 6) = 0.xD + m = 3( x 2D + 3xD + m)
3xD2m
= 3xD2m.
 TiÕp tun t¹i E cã hƯ sè gãc
kE = y'(xE) = 3 x 2E + 6) = 0.xE + m = 3( x 2E + 3xE + m)
3xE2m
= 3xE2m.
Các tiếp tuyến tại D và E vuông gãc víi nhau khi
kD. kE = 1  (3xD2m)( 3xE2m) = 1
g

D
D

E

E

 4m29m + 1 = 0  m = 9  6) = 0.5 , tho¶ m·n (**).
VÝ dơ 4: Cho hµm sè :
y = x3 + 3x2 + 3x + 5.

8

3

a. Chứng minh rằng trên đồ thị không tồn tại hai điểm sao cho hai tiếp
tuyến tại hai điểm đó của đồ thị là vuông góc với nhau.
b. Xác định k để trên đồ thị có ít nhất một điểm mà tiếp tuyến tại đó
vuông góc với đờng thẳng y = kx
Gi¶i :
a. Ta cã :
y' = 3x2 + 6) = 0.x + 3.
Giả sử hai điểm A, B có hoành độ theo thứ tự là x A, xB, thuộc ®å thÞ, ta cã :
 HƯ sè gãc cđa tiÕp tuyến tại A, B có giá trị là y'(x A) và y'(xB).
Hai tiếp tuyến tại A và B vuông gãc víi nhau
 y'(xA) y'(xB) = 1  (3 x 2A + 6) = 0.xA + 3)(3 x 2B + 6) = 0.xb + 3) =
1
 9( x 2A + 2xA + 1)( x 2B + 2xB + 1) = 1
 9(xA + 1)2(xB + 1)2 = 1 m©u thuÉn.
VËy, trên đồ thị không tồn tại hai điểm sao cho hai tiếp tuyến tại hai điểm
đó của đồ thị là vuông góc với nhau.
b. Điểm M(x0, y0) thuộc đồ thị, ta cã :
 HƯ sè gãc cđa tiÕp tun t¹i M có giá trị là y'(x 0).
Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng y = kx
ky'(x0) = 1  k(3 x 20 + 6) = 0.x0 + 3) = 1
3k(x0 + 1)2 = 1.
(1)
Để tồn tại ít nhất một điểm M thoả mÃn điều kiện đầu bài
phơng trình (1) có nghiệm 3k < 0 k < 0.
Vậy, với k 0 thoả mÃn điều kiện đầu bài.
Ví dụ 5: Cho hàm số :
2
y = x ax 1 .

x 1

Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của nó với trục
tung.
Giải
Toạ độ giao điểm của đồ thị hàm sè víi Oy lµ nghiƯm cđa hƯ :

x 2  ax  1
y 

x  1
x  0




x

y

0
1

 M(0, 1).

TuyÕn của đồ thị tại điểm M(0, 1) có dạng :
(d) : y = y’(0)x + 1  (d) : y = (1a)x + 1.
VÝ dơ 6: Cho hµm sè :
2
y = 4  mx  3x .

4x  m

Víi gi¸ trị nào của m thì tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ x = 0
vuông góc với tiệm cận ?
Giải
Hàm số có :
lim y
Tiệm cận ®øng 4x + m = 0 v× x   m
.
4

4


TiƯm cËn xiªn y =  3 x + 7 m v× xlim
(y + 3 x 7 m) = 0.


4
16) = 0.
4
16) = 0.
Đạo hàm :


y' =

12 x 2  6) = 0. mx  m 2  16) = 0.
( 4 x  m )2

.

Suy ra hÖ sè góc của tiếp tuyến của đồ thị tại x0 = 0 lµ
2
k = y'(0) = m  16) = 0. .

m2

Ta xÐt hai trêng hỵp :
Trêng hỵp 1 : Tun vuông góc với tiệm cận đứng
2
k = 0 m  16) = 0. = 0  m = 4.

m2

Trờng hợp 2 : Tiếp tuyến vuông góc với tiƯm cËn xiªn
2
  3 .k = 1   3 . m  16) = 0. = 1  m2 = 48 vô
4
4
m2

nghiệm.
Vậy, tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ x 0 = 0 chỉ vuông gãc víi
tiƯm cËn ®øng khi m =  4.
VÝ dơ 7: Cho hµm sè :
2
y = x  2x  2 .

x 1

a. M là điểm trên đồ thị có hoành độ x M = a. Viết phơng trình tiếp tuyến
(ta) của đồ thị tại M.
b. Xác định a để (ta) ®i qua ®iĨm (1, 0). Chøng tá r»ng cã hai giá trị của a
thoả mÃn điều kiện của bài toán, và hai tiếp tuyến tơng ứng là vuông
góc với nhau.
Giải
a. Ta có :
y' =

x2 2x
( x 1)2

.

Phơng trình tiếp tuyến của đồ thị tại M có hoành ®é xM = a cã d¹ng :
(ta) : y = y’(a)(xa) + y(a)
 (ta) : y =
 (ta) : y =

a 2  2a

2
(xa) + a  2a  2
(a  1)
a 1
2

a 2  2a

x+

a 2  4a  2

(a  1) 2
(a  1) 2
b. TiÕp tuyÕn ta ®i qua ®iÓm (1, 0) khi :

.

5


a 2  2a
(a  1) 2

+

a 2  4a  2
(a  1) 2

=0

 a2 + 3a + 1 = 0  a1, 2 =  3  5
2

vµ theo định lí Vi - ét ta có :
a 1  a 2   3


a 1 .a 2 1

.

VËy, có hai giá trị của a thoả mÃn điều kiện của bài toán.
Các tiếp tuyến có hệ số góc tơng øng :
k1 =

a 12  2a 1
(a 1  1) 2

, k2 =

a 22  2a 2
(a 2  1) 2

.

Suy ra :
k1.k2 =

a 12  2a 1 a 22  2a 2
(a 1  1) 2 (a 2  1) 2

=

a 12 a 22  2a 1 a 2 (a 1  a 2 )  4a 1 a 2
(a 1 a 2  a 1  a 2 1) 2

=

1
chứng tỏ rằng hai tiếp tuyến đó vuông gãc víi nhau.
VÝ dơ 8: Cho hµm sè :
3
y = x 1 .

x

HÃy tìm phơng trình tất cả các tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết rằng mỗi
một trong các tiếp tuyến đó cùng với các trục toạ độ giới hạn một tam giác có
diện tích bằng 1 .
2
Giải
Ta có :
3
y' = 2 x 1 .

x2

M là điểm tuỳ ý thuộc đồ thị có hoành độ bằng a0, khi đó M(a, y(a)) và
phơng trình tiếp tuyến tại M cã d¹ng :
3
3
(d) : yy(a) = y'(a)(xa)  (d) : y = 2a  1 (xa) + a  1

a2

3
3

 (d) : y = 2a  1 x + 2 a .

a2

a

(1)
Toạ độ giao điểm A của tiếp tuyến tại M và Oy là nghiệm của hệ :
x 0


2a 3  1
2  a3
x 
y 
a
a2


3
 A(0, 2 a ).

a

Toạ độ giao điểm B của tiếp tuyến tại M và Ox là nghiệm của hệ :

6) = 0.

a

y  0


2a 3  1
2  a3
x 
y 
a
a2


3
 B( a(a  2) , 0).

2a 3  1

DiÖn tÝch OAB đợc cho bởi :
(a 3 2 )2
S = 1 yA.xB = 1
.
3
2
2 2a  1
Suy ra :

1 (a 3  2 )2 = 1  (a 3  2 )2 = 1 
3
2a 3  1
2 2a  1

2

-

 a 1

 a 3 5

.

Víi a = 1, thay vào (1) đợc tiếp tuyến :
(d1) : y = x + 1.
3
Với a = 5 , thay vào (1) đợc tiÕp tuyÕn :

3
x 3 .
25
5
VËy, tån t¹i hai tiÕp tuyÕn thoả mÃn điều kiện đầu bài.
Vấn đề 2: lập phơng tr×nh tiÕp tun biÕt hƯ sè gãc
NhËn xÐt r»ng :
 Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm x0 bằng f(x0).
Nếu chiều dơng của Ox lập với đờng thẳng một góc thì hệ số góc của
đờng thẳng chính là tg.
Với yêu cầu " Lập phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C) : y = f(x)
biết hƯ sè gãc cđa tiÕp tun b»ng k ", ta cã thĨ lùa chän mét trong hai c¸ch :
C¸ch 1 : Thực hiện theo các bớc :
Bớc 1:
Xét hàm số, ta tính đạo hàm y' = f'(x).

Bớc 2:
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm phơng trình
f(x) = k x0.
Bớc 3:
Khi đó phơng trình tiếp tuyến có dạng :
(d) : y = y’(x0)(xx0) + y(x0).
C¸ch 2 : Thùc hiƯn theo c¸c bớc :
Bớc 1:
Phơng trình với hệ số góc k có d¹ng
(d) : y = kx + b.
Bíc 2:
(d) tiÕp xóc với đồ thị hàm số khi hệ sau có nghiệm :
f ( x )  kx  b

 b  phơng trình tiếp tuyến.
f ' ( x ) k
Chú ý : Khi sử dụng cách 1 ngoài việc có đợc phơng trình tiếp tuyến chúng ta
còn nhận đợc toạ ®é tiÕp ®iĨm.

(d2) : y =

9

3

VÝ dơ 1: Cho hµm số :
(C) : y = x33x2 + 2.
Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị, biết rằng tiếp tuyến vuông góc với
đờng thẳng () : 3x5y4 = 0.
Giải

Cách 1 : Ta cã :
y’ = 3x26) = 0.x

7


và hệ số góc của đờng thẳng () bằng 3 .
5
Do đó, hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số là nghiệm của
phơng trình :
1

x 3
3
5
y’.
= 1  3x26) = 0.x = 
 9x218x + 5 = 0  
5
3
 x 5

3

.
Víi x = 1 , ta đợc tiếp tuyến (d1) có dạng :
3
(d1) : y =  5 (x 1 ) + y( 1 )  (d1) : y =  5 x +
3
3

3
3
6) = 0.1
.
27
Với x = 5 , ta đợc tiếp tuyÕn (d1) cã d¹ng :
3
(d2) : y =  5 (x 5 ) + y( 5 )  (d2) : y =  5 x
3
3
3
3
31
.
27
VËy, tån t¹i hai tiÕp tuyÕn (d1), (d2) của đồ thị thoả mÃn điều kiện đầu bài.
Cách 2 : Gọi (d) là đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng (), khi đó :
(d) : y = 5 x + b.
(1)
3
Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số, khi hệ sau có nghiệm :


5
 3
x
 3x 2  2  
x  b



3

3x 2  6) = 0. x   5

3


6) = 0.1

 b  27
 
.
 b   31

27

6) = 0.1
6) = 0.1
, ta đợc tiếp tuyến (d1) : y =  5 x +
.
27
3
27
31
31
 Víi b = 
, ta ®ỵc tiÕp tun (d2) : y =  5 x
.
27
3

27
VËy, tồn tại hai tiếp tuyến (d1), (d2) của đồ thị thoả mÃn điều kiện đầu bài.



Với b =

Ví dụ 2: Cho hµm sè :
(C) : y = x4 + x22.
ViÕt phơng trình tiếp tuyến của đồ thị, biết rằng tiếp tuyến song song với đờng thẳng () : 6) = 0.x + y1 = 0.
Giải
Cách 1 : Ta có :

8


y = 4x3 + 2x
và hệ số góc của đờng thẳng () bằng 6) = 0..
Do đó, hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số là nghiệm của
phơng trình :
y = 6) = 0. 4x3 + 2x = 6) = 0.  2x3 + x + 3 = 0
 (x + 1)(2x22x + 3) = 0 

 x  1 0
 2
 x  2 x  3  0

 x = 1.



Víi x = 1, ta đợc tiếp tuyến (d) có dạng :
(d) : y = 6) = 0.(x + 1) + y(1)  (d) : y = 6) = 0.x6) = 0..
VËy, tån tại tiếp tuyến (d) của đồ thị thoả mÃn điều kiện đầu bài.
Cách 2 : Gọi (d) là đờng thẳng song song với đờng thẳng (), khi đó :
(d) : y = 6) = 0.x + b.
Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số, khi hệ sau cã nghiÖm :
4

 x 2  2   6) = 0. x  b
x

3

 2 x   6) = 0.
4 x

 b = 6) = 0..

 Víi b = 6) = 0., ta đợc tiếp tuyến (d) : y = 6) = 0.x6) = 0..
VËy, tån t¹i tiÕp tuyến (d) của đồ thị thoả mÃn điều kiện đầu bài.
Chú ý: Với hàm phân thức hữu tỉ, chúng ta cần biết tới bài toán sau:
Bài toán : Cho hàm sè :
2
(C) : y = ax  bx  c , víi bd  0, tư, mÉu kh«ng cã nghiƯm chung

dx e

HÃy tìm điều kiện để đờng thẳng (d): y = kx + m là tiếp tuyến của đồ thị
hàm số (C).

phơng pháp

Viết lại hàm số dới dạng :

y = x + +
.
dx e
Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi hệ sau có nghiÖm :
γ

αx  β 
kx  m

dx  e


γ
.
d
α 

k

( dx  e) 2


(1)
(2)

ViÕt l¹i (1) díi d¹ng :

x +  +


ke
= k (dx + e)
+ m.
dx  e
d
d

(3)

Thay (2) vµo (3) víi lu ý chØ thay vµo biĨu thøc k (dx + e), đợc :
d
x + +



.d

= 1 (dx + e)   
 ke + m
2
(dx  e) 
dx  e
d
d


 x +  +




= x + e.    ke + m
dx  e
d
dx  e
d

1
1
=
( ke + e. + m).
2
dx  e
d
d

(4)

9


Thay (4) vào (2), đợc :
f(k) = Ak2 + Bk + C = 0
(5)
Khi đó yêu cầu cụ thể của bài toán đợc đa về việc giải hoặc biện luận điều
kiện cho phơng trình (5).
Ví dụ 3: Cho hàm số :
2

y = 2 x  7x  5 .

x 2

ViÕt phơng trình tiếp tuyến của đồ thị song song với đờng thẳng y =x+ 4.
Giải
Viết lại hàm số dới dạng :
1
y = 2x3
.
x 2
Đạo hàm :
1

y = 2 +

( x 2) 2

.

Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với đờng
thẳng y = x + 4 là nghiệm của phơng trình :
2+

1
( x  2) 2

= 1  x24x + 5 = 0 vô nghiệm.

Vậy không tồn tại tiếp tuyến của đồ thị thoả mÃn điều kiện đầu bài.

Ví dụ 4: Cho hàm sè :
2
y = x  3x  3 .

x2

ViÕt ph¬ng trình tiếp tuyến của đồ thị, biết rằng tiếp tuyến này vuông góc
với đờng thẳng () : x3y6) = 0. = 0.
Giải
Viết lại hàm số dới dạng :
y=x+1+ 1 .
x 2
Đạo hàm :
y = 1

1
( x 2) 2

.

Tới đây ta cã thĨ lùa chän mét trong hai c¸ch :
C¸ch 1 : Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị hàm số vuông góc với
đờng thẳng () là nghiệm của phơng trình :
y.

1
1
= 1 1
= 3 4x2 + 16) = 0.x + 15 = 0 
( x  2) 2

3

5

 x  2
.

 x  3

2



10

Víi x = 5 , ta đợc tiếp tuyến (d1) cã d¹ng :
2


(d1) : y = 3(x + 5 ) + y( 5 )  (d1) : y = 3x3.
2
2
 Víi x = 3 , ta đợc tiếp tuyến (d2) có d¹ng :
2
(d2) : y = 3(x + 3 ) + y( 3 )  (d2) : y = 3x11.
2
2
VËy, tån tại hai tiếp tuyến (d1), (d2) của đồ thị hàm số thoả mÃn điều kiện.
Cách 2 : Gọi (d) là đờng thẳng vuông góc với(), khi đó :
(d) : y = 3x + b.

(1)
Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số, khi hệ sau có nghiệm :
x 2  3x  3
  3x  b

x  2


2
 4x  3
x
 3

( x  2 )2


 b  3

 
.
 b   11
 Víi b = 3, ta đợc tiếp tuyến (d1) : y = 3x3.
Với b = 11, ta đợc tiếp tuyến (d2) : y = 3x11.
VËy, tån t¹i hai tiÕp tuyÕn (d1), (d2) của đồ thị hàm số thoả mÃn điều kiện.
Ví dơ 5: Cho hµm sè :
2
(C) : y = x 2x 1 .

x 1

Viết phơng trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số sao cho các tiếp tuyến
đó vuông góc với đờng tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. Chứng tỏ rằng tiếp
điểm là trung điểm của đoạn tiếp tuyến bị chắn bởi hai đờng tiệm cận của đồ
thị hàm số.
Giải
Viết lại hàm số dới dạng :
y=x+3+ 2 .
x 1
Đạo hàm :
y' = 1

2
( x 1)2

.



y .
Tiệm cận đứng x = 1 vì xlim
1



Tiệm cận xiên y = x + 3 vì xlim
(yx3) = 0.


Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị hàm số vuông góc với tiệm
cận xiên là nghiệm của phơng trình :

2

x 0

= 1 x22x = 0  
.
( x  1)
 x 2
Víi x = 0 phơng trình tiếp tuyến của đồ thị có dạng :
(d1) : yy(0) = (x0)  (d1) : y = x + 1.
Khi đó, (d1) cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên theo thứ tự tại :
A1(1, 0), B1(1, 2).
Trung điểm I1 của đoạn A1B1 có hoành độ x=0 chính là hoành độ tiếp điểm.
1

2

11




Với x = 2 phơng trình tiếp tuyến của đồ thị có dạng
(d2) : yy(0) = (x0) (d2) : y = x + 9.
Khi đó, (d2) cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên theo thứ tự tại :
A2(1, 8), B2(3, 6) = 0.).
Trung điểm I2 của đoạn A2B2 có hoành độ x=2 chính là hoành độ tiếp điểm.

Ví dơ 6: Cho hµm sè :
y = f(x) = x + 3 3 x 2 .
2
Viết phơng trình tiếp tuyến của đờng cong y = f(x) song song với đờng
thẳng y = kx.
Gi¶i
Ta cã :
1
y’ = 1 + 3 , với x 0.
x
Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với đờng
thẳng y = kx là nghiệm của phơng trình :
1
1
1+ 3
=k 3
= k1.
(1)
x
x
- Nếu k = 1, phơng trình (1) vô nghiệm, suy ra đồ thị không có tiếp
tuyến song song với đờng thẳng y = x.
-

Nếu k 1, phơng trình (1) nhận đợc :
x0 =

1

,

( k 1)3

suy ra đồ thị có một tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = kx lµ :
(d) : yy(x0) = k(x x0)
 (d) : y = k[x
 (d) : y = kx +

1
3

( k  1)
1

2( k  1)2

]+

1
3

( k  1)

+

3
1
3
2 ( k 1)6) = 0.

.

Vấn đề 3: lập phơng trình tiếp tuyến biết đi qua một
điểm
Giả sử biết điểm A(x A, yA) thuộc tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x).
Trong trờng hợp này thuật ngữ thờng dùng là " Tiếp tuyến đi qua điểm A hoặc
tiếp tuyến kẻ từ A đến đồ thị . . Khi A thuộc đồ thị cần phân biệt với thuật ngữ
tiếp tuyến tại A.
Với yêu cầu " Lập phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C) : y = f(x)
®i qua ®iĨm A(xA, yA) ", ta cã thĨ lùa chän mét trong hai c¸ch :
C¸ch 1 : Thùc hiƯn theo các bớc :
Bớc 1:
Giả sử hoành độ tiếp điểm là x = x 0, khi đó phơng trình tiếp
tuyến có dạng :
(d) : y = y(x0)(xx0) + y(x0).
(1)
Bớc 2:
Điểm A(xA, yA)(d)
 yA = y’(x0)(xAx0) + y(x0)  x0  tiÕp tuyÕn.
12


Cách 2 : Thực hiện theo các bớc :
Bớc 1:
Phơng trình (d) đi qua A(xA, yA) có dạng :
(d) : y = k(xxA) + yA.
Bíc 2:
(d) tiÕp xóc víi ®å thị hàm số khi hệ sau có nghiệm :
f ( x )  k ( x 


f ' ( x )  k

x

A

) y

A

 k  tiÕp tuyÕn.

VÝ dô 1: Cho hàm số :
y = x33x2 + 2.
Viết phơng trình các tiếp tuyến kẻ đến đồ thị, từ điểm A(

23
, 2).
9

Giải
Cách 1. Giả sử hoành độ tiếp điểm là x = x0, khi đó phơng trình tiếp tuyến có dạng
(d) : y = y’(x0)(xx0) + y(x0)
 (d) : y = (3 x 20 6) = 0.x0)(xx0) + x30 3 x 20 + 2.
§iĨm A(

23
, 2)(d)
9

 2 = (3 x 20 6) = 0.x0)(





(1)

(x02)(2 x 20

23
x0) + x 30 3 x 20 + 2
9

+ 20 x02) = 0 
3

 x 0 2

.
 x 0 3
 x 0 1 / 3

Víi x0 = 2, thay vào (1) ta đợc tiếp tuyến (d1) : y = 2.
Víi x0 = 3, thay vµo (1) ta đợc tiếp tuyến (d2) : y = 9x25.

Với x0 = 1 , thay vào (1) ta đợc tiếp tuyến (d3) : y =  5 x + 6) = 0.1 .
3
3

27
VËy, tån t¹i ba tiÕp tuyÕn (d1), (d2), (d3) của đồ thị thoả mÃn điều kiện.


Cách 2: Phơng trình ®êng th¼ng (d) qua A(
y = k(x

23
,2) víi hƯ sè góc k, có dạng :
9

23
)2.
9

(1)

Đờng thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị hàm số khi hệ hệ sau có nghiệm :
 3
2
x  3x  2  k ( x 

3x 2  6) = 0. x  k


23
) 2
9

 3

2
2
x  3x  2 (3x  6) = 0. x )( x 

3x 2  6) = 0. x  k




  x 2

  x 3
  x 1 / 3

 k 3x 2  6) = 0. x




23
) 2
9

 k 0

  k 9
 k  5 / 3

13

Với k = 0, thay vào (1) ta đợc tiếp tuyÕn (d1) : y = 2.
Víi k = 9, thay vào (1) ta đợc tiếp tuyến (d2) : y = 9x25.

Víi k =  5 , thay vµo (1) ta ®ỵc tiÕp tun (d3) : y =  5 x +
3
3
6) = 0.1
.
27
VËy, tån t¹i ba tiÕp tuyÕn (d1), (d2), (d3) của đồ thị thoả mÃn điều kiện.


Ví dụ 2: Cho hàm số :
y = 1 x4 1 x2.
2
2
Viết phơng trình các tiếp tuyến kẻ từ gốc toạ độ tới đồ thị hàm số.
Giải
Đờng thẳng (d) đi qua O với hệ số góc k có phơng trình :
(d) : y = kx.
(1)
Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) khi hệ phơng trình sau có nghiệm :
1
1
x4
x 2 kx


2
2
2 x 3  x  k




 x 0


1 /
 x 


 k 2 x 3 


4

 x 2 2 x( 2 x 3 
x

3

 x k
2 x



 k 0
3
x




k

1

Với k = 0, ta đợc tiếp tuyến (d1) : y = 0.



Víi k = 



Víi k =

1

1
3 3

.

3 3

3 3

x)

, ta đợc tiếp tuyến (d2) : y =

, ta đợc tiếp tuyến (d3) : y =

1
3 3

1
3 3

x.

x.

Vậy, qua O kẻ đợc ba tiếp tuyến (d1), (d2) , (d3) tới đồ thị hàm số.
Ví dụ 3: Cho hµm sè :
(C) : y = x33x2 + 2.
a. Qua điểm A(1, 0) có thể kẻ đợc mấy tiếp tuyến tới đồ thị (C). HÃy viết
phơng trình các tiếp tuyến ấy.
b. Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào khác của đồ thị song song
với tiếp tuyến đi qua A(1, 0) của đồ thị.
Giải
a. Phơng trình tiếp tuyến đi qua A(1, 0) có dạng :
(d) : y = k(x1).

(1)
Đờng thẳng (d) tiếp xúc với (C) khi hệ phơng trình sau cã nghiÖm :
3

 3x 2  2  k ( x  1)
x

2

 6) = 0. x  k
3x
3

 3x 2  2 (3x 2 
x

2

 6) = 0. x  k
3x

6) = 0. x )( x  1)

x 1

 
.
 k  3
 Víi k = 3, thay vµo (1) ta đợc tiếp tuyến (d) : y = 3x + 3.
VËy qua A(1, 0) tån t¹i duy nhÊt mét tiÕp tuyÕn (d).

14




b. Ta có :
y = 3x26) = 0.x.
Hoành độ tiếp ®iĨm cđa tiÕp tun cđa ®å thÞ song song víi tiếp tuyến qua
A(1, 0) là nghiệm khác 1 của phơng tr×nh :
3x26) = 0.x = 3  x = 1 loại.
Vậy, không có tiếp tuyến nào khác của đồ thị song song víi tiÕp tun ®i
qua A(1, 0) cđa ®å thị.
Ví dụ 4: Cho hàm số :
y = x 2 .
x 2
Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm A(6) = 0., 5).
Giải
Ta có :
y =

4
( x 2) 2

.

Tới đây ta có thể lựa chọn một trong hai cách :
Cách 1 : Giả sử hoành độ tiếp điểm là x = x0, khi đó phơng trình tiếp tuyến có
dạng
(d) : y = y(x0)(xx0) + y(x0)

x 2
4
 (d) : y = 
.(xx0) + 0
.
(1)
2
x0 2
( x 0 2)
Điểm A (d) nên:
x 2
4
5 = 
.(6) = 0.x0) + 0
 4 x 20 24x0 = 0 
2
x0  2
( x 0  2)
 x 0 0
.

 x 0 6) = 0.




Víi x0 = 0, thay vào (1) ta đợc tiếp tuyến :
(d1) : y = x1.
Víi x0 = 6) = 0., thay vµo (1) ta đợc tiếp tuyến :

(d2) : y = 1 x + 7 .
4
2
Vậy, qua A kẻ đợc hai tiếp tuyến (d1), (d2) tiếp xúc với đồ thị.
Cách 2 : Phơng trình tiếp tuyến đi qua A(6) = 0., 5) cã d¹ng
(d) : y = k(x + 6) = 0.) + 5.
Đờng thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị hµm sè khi hƯ sau cã nghiƯm :
4

1  x  2  k ( x  6) = 0. )  5


4

k

( x  2 )2


(2)


4

1  x  2  k ( x  2 )  8 k  5


4

k


( x  2 )2


15




4
4

1  x  2  x  2  8 k  5


4

k

( x  2) 2




2

2 k  1

x  2
  2 k  1 2  k





 k  1

 k  1
4




Víi k1 = 1, thay vào (2) đợc tiếp tuyến :
(d1) : y = x1.
Với k2 = 1 thay vào (2) đợc tiÕp tuyÕn :
4
(d2) : y =  1 x + 7 .
4
2
Vậy, qua A kẻ đợc hai tiếp tuyến (d1), (d2) tiếp xúc với đồ thị.
Ví dụ 5: Cho hàm sè :
2
y = x  2x  2 .

x 1

Chøng minh rằng có hai tiếp tuyến của đồ thị đi qua điểm A(1, 0) và hai
tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
Giải
Viết lại hàm số dới dạng :

y=x+1+ 1 .
x 1
Phơng trình tiếp tuyến đi qua A(1, 0) có dạng :
(d) : y = k(x1).
(1)
Đờng thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị hàm số khi hệ sau có nghiệm :
1

x  1  x  1  k ( x  1)


1
1 
k

( x  1) 2

1

x  1  x  1  k ( x  1) 


1
1 
k

( x  1) 2






2k

1

x  1  x  1 ( x  1) 


1
1 
k

( x  1) 2


1
 2k
x 1



k1,2 =  1  5 .
2



Víi k1 = 1 5 , thay vào (1) đợc tiÕp tuyÕn :
2

(d1) : y =  1  5 (x1).
2



Víi k2 =  1 

5 , thay vµo (1) ®ỵc tiÕp tun :

2

(d2) : y =  1 

2

16) = 0.

5 (x1).

1

 k

x 1
1  k 2  k




Vậy qua A kẻ đợc hai tiếp tuyến (d1), (d2) tới đồ thị và vì k 1.k2 = 1 nên
hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau.
Ví dụ 6: Cho hàm số :
x
.
x 1
Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của đồ thị của hàm số đi qua
giao điểm I của hai đờng tiệm cận của đồ thị hàm số.
Giải
Đồ thị hàm số có :

y=

-

y .
Tiệm cận đứng x = 1 v× xlim
1

-

TiƯm cËn ngang y = 1 vì xlim
y = 1.

- Toạ độ giao điểm I của hai tiệm cận là I(1, 1).
Phơng trình tiếp tuyến đi qua I(1, 1) có dạng
(d) : y = k(x + 1) + 1.
Đờng thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị hàm số khi hệ sau có nghiệm :
1

1  x  1  k ( x  1)  1


1

k
 ( x  1) 2


2

0

x 1
 k  0 ( loai )




(1)

1
1

1  x  1  x  1  1


1


k
 ( x  1) 2




v« nghiƯm

VËy, qua I không kẻ đợc tiếp tuyến tới đồ thị.
Ví dơ 7: Cho hµm sè :
2
y = 2x  mx m .

x 1

Xác định m sao cho qua điểm A(0, 1) không có đờng thẳng nào tiếp xúc
với đồ thị hàm số.
Giải
Viết lại hàm số dới dạng :
2
y = 2x + m2 +
.
x 1
Phơng trình đờng thẳng đi qua A(0, 1) cã d¹ng :
(d) : y = kx + 1.
Đờng thẳng (d) không tiếp xúc với đồ thị hàm sè khi hƯ sau v« nghiƯm :
2

2 x  m  2  x  1  kx  1



2
2 
k

( x  1) 2


2

2 x  m  2  x  1  k ( x  1) 


2
2 
k

( x  1)2






k 1



2
2 x  m  2 

 2 
x 1




2

k
2 
2
( x  1)



2
 ( x  1)  k  1
( x  1) 2 


17




1
1 m  k




4
x 1

2
2 
k
2

( x  1)


2
 22.  1  m  k  = k

4





 16) = 0.(k + m1)2 = 8k
 k2 + 2(m + 3)k + (m1)216) = 0. = 0.
(1)
Để qua A không có đờng thẳng nào tiếp xúc với đồ thị hàm số
phơng trình (1) vô nghiệm
< 0 (m + 3)2(m1)2 + 16) = 0. < 0  8m + 24 < 0  m <
3.
VËy, víi m < 3 thì qua A không có đờng thẳng nào tiếp xúc với đồ thị.
Ví dụ 8: Cho hàm số :
2

(C) : y = x  x  1 .

x 1

T×m số tiếp tuyến có thể có với đồ thị hàm số (C) đi qua mỗi điểm của đồ
thị hàm số (C).
Giải
2
Xét điểm A(a, a a 1 ) thuộc đồ thị hàm số.

a 1

Tiếp tuyến qua A tiếp xúc với đồ thị hàm số tại M(x0, y0) có dạng :
x 20  2 x 0

2
(xx0) + x 0  x 0  1 .
x0  1
(x 0  1)2
§iĨm A  (d) khi :

(d) : y =

2

2
a 2  a  1 = x 0  2 x 0 (ax0) + x 0  x 0  1  2 2ax0 + a2 =
x0
x0  1
a 1

(x 0  1)2

0

x0 = a M A.
Vậy, qua mỗi điểm A thuộc đồ thị hàm số kẻ đợc đúng một tiếp tuyến tới
đồ thị hàm số .
Ví dụ 9: Cho hµm sè :
2
y = x  2 | x | 2 .

|x|1

Viết phơng trình các tiếp tuyến kẻ đến đồ thị từ điểm A(3, 0).
Giải
Phơng trình tiếp tuyến đi qua A(3, 0) cã d¹ng :
(d) : y = k(x3).
(d) tiếp xúc với đồ thị hàm số khi hệ hệ sau cã nghiÖm :
 x 2  2 | x | 2
 k(x 

| x |  1

,

2
 2 | x | 2 

 x


k


| x |  1



3)

.

(I)
Trêng hỵp 1 : NÕu x  0, hƯ (I) cã d¹ng :
 x 2  2x  2
k (x 

x  1

'

x 2  2x  1 



k


x  1





18

Víi k1 =  1 

3)

 k1 =  1 

5 .

2

5 , ta đợc tiếp tuyến (d ) : y =  1  5 (x3).
1
2
2


Trêng hỵp 2 : NÕu x < 0, hƯ (I) cã d¹ng :
 x 2  2x  2
 k ( x  3)

 x  1

'

 x 2  2x  1 




k


 x  1




1  17
 k2
8

.

1 17
k3
8


17 , ta đợc tiếp tuyÕn (d ) : y = 1 
2



Víi k2 = 1

8
8
1

17
Với k3 =
, ta đợc tiếp tuyến (d3) : y = 1  17 (x3).
8
8

17 (x3).

VËy, tån t¹i ba tiếp tuyến (d1), (d2), (d3) của đồ thị hàm số thoả mÃn điều
kiện đầu bài.
Ví dụ 10: Cho hàm số :
(C) : y = xlnx.
Cã bao nhiªu tiÕp tun cđa đồ thị của hàm số đi qua điểm A(2, 1) ?
Giải
Phơng trình đờng thẳng (d) đi qua A(2, 1) có dạng :
(d) : y = k(x2) + 1.
(1)
Đờng thẳng (d) tiếp xúc với (C) khi hệ phơng trình sau có nghiÖm :
x ln x  k ( x 

ln x  1  k

2)  1

(2)

(3)

Thay (3) vµo (2) ta ®ỵc :
xlnx = (lnx + 1)(x2) + 1  x2lnx1 = 0.
(4)
Số nghiệm phân biệt của phơng trình (4) bằng số tiếp tuyến của đồ thị hàm
số đi qua điểm A.
Ta có, số nghiệm của phơng trình (4) là số giao điểm của đồ thị hàm số y
= x2lnx1 với trục hoành.
Xét hàm số y = x2lnx1.
Miền xác định D = (0, + ).
Đạo hàm :
y' = 1 2 ,
x
x 2
y' = 0  1 2 = 0 
= 0  x = 2.
x
x
 Giíi h¹n :
lim y = lim y = + .
x  

x 0



B¶ng biÕn thiªn :
x
0

2

+
y'
0
+

+
+
CT
y
NhËn xÐt r»ng
yCT = y(2) = 22ln21 < 0
 Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.
Vậy, qua A có thể kẻ đợc hai tiếp tuyến tới đồ thị hàm số.

19


Chó ý. RÊt nhiỊu häc sinh cho r»ng x = 1 là nghiệm duy nhất của phơng trình
(4) và kết luận rằng qua A có thể kẻ đợc duy nhất một tiếp tuyến tới đồ thị
hàm số.
Vấn đề 4: Tìm điểm thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến tại
điểm đó thoả mÃn điều kiện cho trớc
Với yêu cầu " Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số (C) : y = f(x) sao cho tiếp
tuyến tại M thoả mÃn tính chÊt K ", ta thùc hiƯn theo c¸c bíc sau :
Bớc 1:
Xét hàm số, suy ra đạo hàm y' = f'(x).
Bớc 2:
Điểm M (C) M(a, f(a)).

Bớc 3:
Phơng trình tiÕp tuyÕn t¹i M cã d¹ng :
(d) : y = f'(a)(xa) + f(a).
Bớc 4:
Sử dụng điều kiện K, ta xác định đợc a.
Bớc 5:
Kết luận về tiếp tuyến.
Ví dụ 1: Cho hµm sè :
2
(C) : y = x  2x 2 .

x 1

Tìm trên đồ thị (C) các điểm sao cho tiếp tuyến tại đó của đồ thị vuông góc
với tiệm cận xiên của nó.
Giải
Viết lại hàm số dới d¹ng :
y=x+1+

1
.
x 1

Ta cã :
y' = 1

1

( x  1) 2
và tiệm cận xiên của đồ thị là

y = x + 1 vì xlim
(yx1) = 0.

M là điểm tuỳ ý thuộc đồ thị có hoành độ bằng a 1, khi đó hệ số góc
của tiếp tuyến tại M là
k = y'(a) =

a 2  2a
(a  1)2

.

TiÕp tuyÕn (d) vu«ng gãc víi tiƯm cËn xiªn


a 2  2a
(a  1) 2

= 1  a = 1 

2 .
2

VËy, tån t¹i hai điểm có hoành độ tơng ứng là 1
mÃn điều kiện.
Ví dụ 2: Cho hàm số :

20

2 trên đồ thị thoả
2