Phổ của toán tử tuyến tính

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP NĂM HỌC 2022-2023

PHỔ CỦA TỐN TỬ TUYẾN TÍNH

Thuộc lĩnh vực khoa học: Khoa học tự nhiên

Thanh Hóa, 4/2023

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP NĂM HỌC 2022 - 2023

PHỔ CỦA TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH

Sinh viên: Lê Thị Ngọc Anh

Lớp, khoa: K22 ĐHSP Tốn, Khoa KHTN Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Mạnh Cường

Thanh Hóa, 4/2023

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

Mục lục

Mở đầu . . . . 4

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 6 1.1 Không gian định chuẩn và không gian Banach . . . . 6

1.1.1 Định nghĩa và tính chất của chuẩn . . . . 6

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

2.1 Toán tử Hilbert - Schmidt . . . . 14

2.2 Toán tử compact . . . . 15

2.3 Định lý phổ của toán tử compact tự liên hợp . . . . 20

2.4 Phổ của một toán tử compact tổng quát . . . . 24

2.5 Giới thiệu về định lý phổ tổng quát . . . . 28

2.5.1 Phổ và giải thức trong một đại số Banach . . . . 29

2.5.2 Định lý về phổ của toán tử tự liên hợp bị chặn trong không gian Hilbert . . . . 33

Chương 3 MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ PHỔ CỦA TOÁN TỬ 37 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo . . . . 46

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận tốt nghiệp chun ngành Tốn học với đề tài “Phổ của tốn tử tuyến tính” là kết quả của q trình cố gắng khơng ngừng nghỉ của bản thân và được sự giúp đỡ tận tình, động viên khích lệ của thầy cơ, bạn bè và người thân. Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến mọi người đã giúp đỡ em trong thời gian học tập và làm khoá luận vừa qua.

Em xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám Hiệu trường Đại học Hồng Đức đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi để các sinh viên học tập, nghiên cứu để hồn thành q trình học tập.

Em xin trân trọng gửi đến thầy cơ giảng viên giảng dạy bộ mơn Tốn đã giúp đỡ và chỉ bảo em trong quá trình làm khóa luận cũng như cung cấp tài liệu bổ ích.

Cảm ơn Thầy Nguyễn Mạnh Cường – giảng viên giảng dạy bộ mơn Tốn người đã trực tiếp tận tình hướng dẫn cũng như cung cấp tài liệu, thông tin khoa học cần thiết cho bài luận này lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất. Cuối cùng, em xin cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè đã luôn bên cạnh, ủng hộ, động viên.

Em xin chân thành cảm ơn!

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

∥x∥_X chuẩn của véc tơ x trong khơng gian X

A × B tích Descartes của hai tập A và B

span(A) khơng gian tuyến tính sinh bởi tập A

L_p(D), 0 < p < ∞ không gian các hàm p−khả tích trên tập D L_∞(D) khơng gian các hàm f với chuẩn sup

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

∀x với mọi x |x|₁ := P<small>d</small>

<small>i=1</small>x<small>i</small> chuẩn l<small>1</small> của véc tơ x = (x<small>1</small>, x<small>2</small>, ..., x<small>d</small>) ⟨x, y⟩ tích vô hướng của hai véc tơ x và y

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

Mở đầu

1. Lý do chọn đề tài

Giải tích hàm là một trong những mơn học đặt nền móng cho quá trình học tập, nghiên cứu về các vấn đề của giải tích hiện đại. Trong đó, ngay từ ban đầu của thời kỳ giải tích hiện đại thì những tốn tử tuyến tính, phiếm hàm và tốn tử compact được nhiều nhà tốn học trong và ngồi nước quan tâm nghiên cứu, đặc biệt là những ứng dụng của nó trong các lĩnh vực của tốn giải tích. Ở trong nước, GS. Hoàng Tụy là một trong những nhà toán học tiên phong đầu tiên nghiên cứu và trình bày hệ thống các kiến thức về cơ sở lý thuyết hàm.

Một trong những khái niệm không thể không nhắc đến đó là phổ của tốn tử tuyến tính. Lý thuyết phổ tốn tử có ý nghĩa và khả năng ứng dụng to lớn, chính vì vậy đề tài sẽ tập trung nghiên cứu và hệ thống các khái niệm, tính chất phổ của tốn tử compact và hệ thống một số bài tập về phổ của toán tử tuyến tính.

Khóa luận của em tuy khơng phải là kết quả mới về mặt khoa học nhưng đó là sự nỗ lực của bản thân và chỉ bảo tận tình của các thầy cô giáo, em đã hệ thống và trình bày theo sự hiểu biết của mình. Qua đây cho phép em được gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cơ trong bộ mơn: Giải tích và PPDH Toán, Khoa KHTN, Trường Đại học Hồng Đức đã giao đề tài và ân cần chỉ bảo để em hồn thành khóa luận này.

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

2. Mục tiêu nghiên cứu

Hệ thống một số dạng toán cụ thể về phương trình hàm. Giải các bài tốn, ví dụ về phương trình hàm sử dụng các tính chất của hàm số.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là các ánh xạ, hàm số, phương trình hàm. 4. Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng các phương pháp giải tích, đặt vấn đề và giải quyết vấn đề. - Thảo luận nhóm, liên hệ trao đổi nghiên cứu với các Thầy cô giáo.

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1.1 Định nghĩa và tính chất của chuẩn

Cho E là một K - không gian vectơ. Một chuẩn trênE là một hàm x 7→ ∥x∥ từ E vào R thoả mãn các điều kiện sau với mọi x, y ∈ E, mọi λ ∈K

(n₁) ∥x∥ ≥ 0, ∥x∥ = 0 nếu và chỉ nếu x = 0; (n₂) ∥λx∥ = |λ| ∥x∥;

(n<small>3</small>) ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥. Điều sau đây là hiển nhiên.

Định lý 1.1.1 Nếu x 7→ ∥x∥ là một chuẩn trên E thì d(x, y) = ∥x − y∥ là một mêtric trên E. Mêtric này thoả mãn d(x + z, y + z) = d(x, y) và d(λx, λy) = |λ| d(x, y) với mọi x, y, z ∈ E, λ ∈K.

Một không gian định chuẩn là một không gian vectơ cùng với một chuẩn trên nó. Khơng gian định chuẩn là không gian mêtric với mêtric sinh bởi chuẩn. Định lý 1.1.2 Chuẩn x 7→ ∥x∥ là một hàm liên tục đều từ E vào R.

Định lý 1.1.3 Giả sử E là một khơng gian định chuẩn. Khi đó ánh xạ (x, y) 7→ x + y từ E × E vào E và (λ, x) 7→ λx từ K× E vào E là liên tục.

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

Định lý 1.1.4 Giả sử E là không gian định chuẩn. Khi đó với mọi a ∈ E ánh xạ x 7→ a + x là phép đồng phôi đẳng cự (tức là bảo tồn khoảng cách) từ E lên E và với mọi λ ∈ K, λ ̸= 0 ánh xạ x 7→ λx là phép đồng phôi đều E lên E.

Hệ quả 1.1.1 Giả sửE là không gian định chuẩn. Khi đó các điều kiện sau đây là tương đương:

a) U là lân cận của điểm 0 ∈ E.

b) αU là lân cận của 0 với mọi α ̸= 0. c) a + U là lân cận của a với mọi a ∈ E.

Không gian Banach là không gian định chuẩn đầy đủ (với mêtric sinh bởi chuẩn).

1.2.1 Bổ đề Zorn. Sơ chuẩn, nửa chuẩn

Giả sử X là một tập hợp và ⩽ là một thứ tự (bộ phận) trên X, tức là với mọi x, y, z ∈ X ta có x ⩽ x (phản xạ); nếu x ⩽ y, y ⩽ x thì x = y (phản đối xứng) và x ⩽ y, y ⩽ z thì x ⩽ z (bắc cầu).

Một tập con A ⊂ X được gọi là sắp tuyến tính nếu mọi x, y ∈ A thì hoặc x ⩽ y hoặc y ⩽ x. Phần tử a ∈ X gọi là biên trên của A nếu x ⩽ a với mọi X ∈ a. Phần tử a ∈ X được gọi là phần tử cực đại nếu mọi x ∈ X mà a ⩽ x thì a = x.

Bổ đề 1.2.1 Giả sử X ̸= ∅ và ⩽ là một thứ tự trên X. Nếu mọi tập con được sắp tuyến tính của X đều có biên trên thì trong X có phần tử cực đại. Cho E là một không gian vectơ và p : E → R là một hàm thực. Khi đó p được gọi là một sơ chuẩn nếu:

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

1) p(λx) = λp(x) với mọi λ ≥ 0, x ∈ E; 2) p(x + y) ⩽ p(x) + p(y) với mọi x, y ∈ E. p được gọi là một nửa chuẩn nếu:

1) p ≥ 0 với mọi x ∈ E;

2) p(λx) = |λ| p(x) với mọi λ ∈ K, x ∈ E; 3) p(x + y) ⩽ p(x) + p(y) với mọi x, y ∈ E.

Rõ ràng một chuẩn là một nửa chuẩn và một nửa chuẩn là một sơ chuẩn. Dễ dàng kiểm tra điều sau:

Bổ đề 1.2.2 Nếuplà một nửa chuẩn trên không gian vectơEthì|p(x) − p(y)| ≤ p(x − y) với mọi x, y ∈ E.

Bổ đề 1.2.3 Nếu p và q là các nửa chuẩn trên không gian vectơ E và nếu p(x)⩽ 1 kéo theo q(x) ⩽ 1 thì q(x) ⩽ p(x) với mọi x ∈ E.

1.2.2 Định lý Hahn - Banach

Định lý 1.2.1 (Định lý Hahn - Banach cho không gian vectơ thực). Giả sử E là một không gian vectơ thực, p là một sơ chuẩn xác định trên E. Nếu f là một phiếm hàm tuyến tính xác định trên không gian con F của E thoả mãn f (x) ⩽ p(x) với mọi x ∈ F thì tồn tại phiếm hàm tuyến tính ef xác định trên

Giả sử X là không gian mêtric và A là tập con của X. Tập A gọi là không đâu trù mật trong X nếu phần trong của A trong X bằng rỗng.

Không gian X được gọi là thuộc phạm trù thứ nhất nếu X viết đươc dưới

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

gian X không thuộc phạm trù thứ nhất được gọi là thuộc phạm trù thứ hai. Định lý 1.3.1 (Định lý Baire về phạm trù). Mọi không gian mêtric đầy đủ đều thuộc phạm trù thứ hai.

1.3.2 Định lý ánh xạ mở

Bổ đề 1.3.1 Giả sử f : E → F là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian Banach E lên không gian Banach F. Khi đó tồn tại số dương δ sao cho ảnh f (B) của hình cầu đơn vị mở B = {x ∈ E : ∥x∥ < 1} chứa mọi y ∈ F

Hệ quả 1.3.1 (Định lý Banach). Nếu f là song ánh tuyến tính từ khơng gian Banach E lên khơng gian Banach F và f liên tục thì f là phép đồng phôi.

Hệ quả 1.3.2 Nếu E là không gian Banach thì mọi chuẩn trên E làm cho E trở thành không gian Banach mà so sánh đươc với chuẩn xuất phát đều tương đương với nhau.

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

Dễ dàng thấy rằng (h₂) và (h₄) là hệ quả của các điều kiện còn lại. Nếu K = R thì (h<small>5</small>) trở thành φ(x, y) = φ(y, x) do đó dạng Hermite trên khơng gian vectơ thực chính là dạng song tuyến tính đối xứng đã quen biết.

Bổ đề 1.4.1 Giả sử φ là một dạng Hermite trên E và x =

Bổ đề 1.4.2 Giả sửE là một không gian vectơ hữu hạn chiều và{a₁, a₂, ..., a_n} là một cơ sở của E. Khi đó mỗi dạng Hermite φ trên E hoàn toàn được xác định bởi các giá trị α<small>ij</small> = φ(a<small>i</small>, a<small>j</small>), trong đó α<small>ij</small> = α<small>ji</small>, i, j = 1, ..., n.

1.4.2 Dạng Hermite dương

Dạng Hermite φ trên E được gọi là dương nếu φ(x, x) ≥ 0 với mọi x ∈ E. Bổ đề 1.4.3 (Bất đẳng thức Cauchy- Schwartz). Nếuφlà một dạng Hermite dương trên E thì |φ(x, y)|² ≤ φ(x, x)φ(y, y) với mọi x, y ∈ E.

Bổ đề 1.4.4 (Bất đẳng thức Minkowski). Nếuφlà một dạng Hermite dương trên E thì ^pφ(x + y, x + y) ≤ ^pφ(x, x) +^pφ(y, y) với mọi x, y ∈ E. 1.4.3 Tích vơ hướng và không gian Hilbert

Một dạng Hermite φ được gọi là xác định dương nếu φ(x, x) > 0 với mọi x ∈ E, x ̸= 0. Một dạng Hermite xác định dương cịn được gọi là một tích vơ hướng.

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

Bổ đề 1.4.5 Một dạng Hermite dương φ trên E là một tích vơ hướng nếu và chỉ nếu φ(x, y) = 0 với mọi y ∈ E thì x = 0.

Một khơng gian tiền Hilbert là một K - không gian vectơ cùng với một tích vơ hướng trên nó. Nếu E là một khơng gian tiền Hilbert thì thay cho φ(x, y) ta cịn viết ⟨x| y⟩ và gọi số này là tích vơ hướng của x và y. Theo định nghĩa của tích vô hướng và bất đẳng thức Minkowski dễ dàng kiểm tra rằng x 7→ ∥x∥ = ⟨x| x⟩¹<small>2</small> là một chuẩn trên E. Chuẩn này gọi là chuẩn được sinh bởi tích vơ hướng. Một khơng gian tiền Hilbert là một khơng gian định chuẩn (với chuẩn sinh bởi tích vô hướng).

Với các ký hiệu mới bất đẳng thức Cauchy- Schwartz trở thành |⟨x| y⟩| ≤ ∥x∥ ∥y∥ với mọi x, y ∈ E. Dựa vào bất đẳng thức này dễ dàn chứng minh được điều sau:

Định lý 1.4.1 Tích vô hướng (x, y) → ⟨x| y⟩ là một hàm liên tục từ E × E vào K.

Hai vectơ x và y trong không gian tiền Hilbert E được gọi là trực giao với nhau (ký hiệu x⊥y) nếu ⟨x| y⟩ = 0. Theo (h₅) dễ dàng thấy rằng x⊥y thì y⊥x.

Định lý 1.4.2 (Pythagore). Nếu x và y là hai vectơ trực giao trong khơng gian tiền Hilbert thì ∥x + y∥² = ∥x∥² + ∥y∥².

Một đẳng cấu của không gian tiền Hilbert E lên không gian tiền Hilbert F là song ánh tuyến tính f : E → F thoả mãn ⟨f (x)| f (y)⟩ = ⟨x| y⟩ với mọi x, y ∈ E. Rõ ràng rằng một phép đẳng cấu giữa các không gian tiền Hilbert là một đẳng cấu, đẳng cự giữa các không gian định chuẩn.

NếuF là một không gian vectơ con của không gian tiền HilbertE thì tích vơ hướng trên E xác định một tích vơ hướng trên F. Với tích vơ hướng này

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

ta gọi F là không gian tiền Hilbert con của E. Một không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là một không gian tiền Hilbert.

1.4.4 Đẳng thức bình hành

Bổ đề 1.4.6 Với mọi vectơxvày thuộc khơng gian tiền Hilbert đều có đẳng thức ∥x + y∥² + ∥x − y∥² = 2(∥x∥² + ∥y∥²).

Nhận xét 1.1 Đẳng thức trong bổ đề khái quát một tính chất quen biết trong hình học sơ cấp: tổng các bình phương của các đường chéo của một hình bình hành bằng tổng các bình phương của các cạnh của nó. Vì lí do đó, nó có tên gọi là đẳng thức bình hành.

Đẳng thức bình hành cũng là điều kiện đủ để đưa được tích vơ hướng vào khơng gian định chuẩn. Cụ thể, nếu một không gian định chuẩn E có chuẩn

1.4.5 Phổ của tốn tử tuyến tính liên tục

B(X, Y ) là ký hiệu tập hợp các tốn tử tuyến tính liên tục giữa hai khơng gian tuyến tính định chuẩn.

Định lý 1.4.3 Nếu X là một khơng gian tuyến tính định chuẩn và Y là một khơng gian Banach thì B(X, Y ) là một khơng gian Banach với chuẩn

∥T ∥_{B(X,Y )} = sup

∥T x∥_Y ∥x∥_X ^.

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

Chú ý rằng B(X) := B(X, X) là một đại số Banach. Không gian đối ngẫu X^∗ := B(X,_R)là một khơng gian Banach dù choX có là không gian Banach

Đặt T^∗y = z ta xác định một ánh xạ từ H vào H. Toán tử T^∗ thuộc B(X) được gọi là toán tử liên hợp của T.

Định nghĩa 1.4.2 (xem [3]) Giả sử X là không gian Banach trên trường K thực hoặc phức, A ∈ B(X), I là toán tử đồng nhất trên X. Số λ gọi là giá trị chính quy của tốn tử A nếu A − λI là một song ánh, tập hợp các giá trị chính quy của A ký hiệu là ρ(A). Tập hợp các số không phải là giá trị chính quy của A được gọi là phổ của A và ký hiệu là σ(A). Như vậy σ(A) = K \ ρ(A).

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

Chương 2

MỘT SỐ DẠNG ĐỊNH LÝ PHỔ CHO MỘT SỐ LỚP TOÁN TỬ

Bổ đề 2.1.1 Giả sử rằnge_i, e^′_i là hai cơ sở trực chuẩn của khơng gian Hilbert

trong đó {e_i} là một cơ sở trực chuẩn của X. T được gọi là một toán tử Hilbert - Schmidt nếu ∥T ∥₂ < ∞, và ∥T ∥₂ được gọi là chuẩn Hilbert -Schmidt của T. Chúng ta thấy rằng nếu T là toán tử Hilbert - Schmidt thì T^∗ cũng vậy và chuẩn Hilbert - Schmidt của chúng là trùng nhau.

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

Lấy tổng theo i ta có điều phải chứng minh. □ Mệnh đề 2.2 Giả sử Ω là một tập con mở của Rⁿ và K ∈ L²(Ω × Ω) xác

Định nghĩa 2.2.1 Một tốn tử tuyến tính bị chặn giữa các không gian Banach được gọi là compact nếu nó ánh xạ hình cầu đơn vị (và bởi vậy mọi

</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">

tập bị chặn) lên một tập tiền compact.

Chẳng hạn nếu T có hạng hữu hạn thì T là compact.

Mệnh đề 2.3 Giả sử M là một khơng gian metric. Khi đó các khẳng định sau đây là tương đương:

1) M là tiền compact.

2) Với tất cả ε > 0 tồn tại hữu hạn các tập có bán kính lớn nhất bằng ε phủ M.

3) Mọi dãy đều chứa một dãy con Cauchy.

Chứng minh: (1)⇒ (2) và (3)⇒ (1) là đơn giản. Với (2) ⇒ (3) sử dụng một chéo hố Cantor để trích ra một dãy con Cauchy. □ Định lý 2.2.1 Giả sử X và Y là các không gian Banach và B_c(X, Y ) là khơng gian các tốn tử compact từ X vào Y. Khi đó B_c(X, Y ) là một khơng gian con đóng của B(X, Y ).

Chứng minh: Giả sử rằng T_n ∈ B_c(X, Y ), T ∈ B(X, Y ), ∥T_n− T ∥ → 0. Chúng ta phải chỉ ra rằng T là compact. Do vậy chúng ta phải chỉ ra T (E) là tiền compact trong Y, trong đó E là hình cầu đơn vị trong X. Để có điều này chúng ta chỉ cần chỉ ra rằng với ε > 0 bât kỳ, có hữu hạn các hình cầu U<small>i</small> bán kính ε trong Y sao cho T (E) ⊂ ∩<small>i</small>U<small>i</small>.

Chọnn đủ lớn sao cho ∥T − T_n∥ ≤ ε/2 và giả sửV₁, V₂, ...., V_n là các hình cầu bán kính ε/2 phủ T_nE. Với mỗi i, giả sử U_i là hình cầu bán kính ε có

Từ đó suy ra rằng bao đóng của các tốn tử hạng hữu hạn trong B(X, Y ) được chứa trong B_c(X, Y ). Tổng quát, điều này có thể là một bao hàm chặt, nhưng nếuY là một không gian Hilbert, thì nó là đẳng thức. Để chứng minh điều này, ta chọn một cơ sở trực chuẩn của Y, và xét các toán tử hạng hữu

</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">

hạn dạng P T trong đó P là phép chiếu trực giao của Y lên không gian căng bởi các phần tử cơ sở. Do T E là compact (E là hình cầu đơn vị của X) và ∥P ∥ = 1, với mỗi ε > 0 chúng ta có thể tìm được một tốn tử P có dạng này với sup_x∈E∥(P T − T )x∥ ≤ ε.

Kết quả sau đây là hiển nhiên nhưng hữu ích.

Định lý 2.2.2 Giả sử X và Y là các không gian Banach và T ∈ B_c(X, Y ). Nếu Z là một khơng gian Banach khác và S ∈ B(Y, Z) thì ST là compact. Nếu S ∈ B(Z, X) thì T S là compact. Nếu X = Y, thì B<small>c</small>(X) := B<small>c</small>(X, X) là một ideal hai phía trong B(X).

Định lý 2.2.3 Giả sử X và Y là các không gian Banach và T ∈ B(X, Y ). Khi đó T là compact nếu và chỉ nếu T^∗ là compact.

Chứng minh: Giả sử E là hình cầu đơn vị trong X và F là hình cầu đơn vị trong Y^∗. Giả sử T là compct. Cho trước ε > 0, chúng ta phải chỉ ra hữu hạn các tập có đường kính lớn nhất là ε phủ T^∗F. Đầu tiên chọn m tập có bán kính lớn nhất bằng ε/3 phủ T E và giả sử T x_i thuộc tập thứ i. Giả sử I₁, I₂, ...., I_n là n khoảng độ dài ε/3 phủ khoảng [− ∥T ∥ , ∥T ∥]. Với bộ m số nguyên bất kỳ (j₁, ...., j_m), với 1 ≤ j_i ≤ n, chúng ta xác định tập

{f ∈ F |f (T x_i) ∈ I_j, i = 1, 2, ..., m} .

Các tập này rõ ràng là phủ F, vì vậy ảnh của chúng dưới ánh xạ T^∗ phủ T^∗F, vì vậy ta chỉ cần chứng minh các ảnh có đường kính lớn nhất bằng ε. Thực vậy, nếu f và g thuộc vào tập bên trên và x là phần tử bất kỳ của ε, lấy i sao cho ∥T x − T x_i∥ ≤ <small>ε</small>

Chúng ta biết rằng ∥f (T x_i) − g(T x_i)∥ ≤ ^ε₃. Do vậy |(T^∗f − T^∗g)(x)| = |(f − g)(T x)|

</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22">

≤ |f (T x) − f (T x_i)| + |g(T x) − g(T x<small>i</small>)| + |(f − g)(T x<small>i</small>)| ≤ ε.

Điều này chỉ ra rằng T compact ⇒ T^∗ compact. Ngược lại, giả sử rằng T^∗ : Y^∗ → X<small>∗</small> là compact. Khi đó T^∗∗ ánh xạ hình cầu đơn vị của X^∗∗ vào một tập con tiền compact của Y^∗∗. Nhưng hình cầu đơn vị của X có thể được xem như là một tập con của hình cầu đơn vị trong song đối ngẫu của nó, và hạn chế của T^∗∗ xuống hình cầu đơn vị của X trùng với T tại đây. Do vậy ánh xạ hình cầu đơn vị của X tới một tập tiền compact. □ Định lý 2.2.4 Nếu T là một tốn tử compact từ một khơng gian Banach vào chính nó, thì N (1 − T ) là hữu hạn chiều và R(1 − T ) là đóng.

Chứng minh: T là một tốn tử compact hạn chế tới đồng nhất thức trong N (1 − T ). Vì vậy hình cầu đơn vị đóng trong N (1 − T ) là compact, do chiều của N (1 − T ) là hữu hạn.

Do các không gian hữu hạn chiều bất kỳ được bổ sung đủ, nên tồn tại một khơng gian con đóngM củaX sao cho N (1 − T ) + M = X và N (1 − T ) ∩M = 0. Giả sử S = (1 − T ) |_M, vì vậy S là đơn ánh và R(S) = R(1 − T ). Chúng ta sẽ chỉ ra rằng với c > 0 nào đó, ∥Sx∥ ≥ c ∥x∥ với tất cả x ∈ M, điều này sẽ kéo theo R(S) đóng. Nếu bất đẳng thức trên không đúng với c > 0 tuỳ ý, chúng ta có thể chọn x_n ∈ M có chuẩn 1 với Sx_n → 0. Sau khi chuyển qua một dãy con, chúng ta có thể sắp xếp để T x_n hội tụ tới x₀ ∈ X nào đó. Nó cho phép rằng x_n → x₀, vì vậy x₀ ∈ M và Sx₀ = 0. Từ đó, x₀ = 0, điều này là không thể do ∥x_n∥ = 1. □ Trong chứng minh trên, chúng ta đã sử dụng phần đầu tiên của bổ đề dưới đây. Chúng ta nói rằng một khơng gian con đóng N được bổ sung đủ trong một khơng gian Banach X nếu có một khơng gian con đóng khác sao cho M ⊕ N = X.

</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">

Bổ đề 2.2.1 Một khơng gian con đóng hữu hạn chiều hay hữu hạn đối chiều của một khơng gian Banach thì được bổ sung đủ.

Chứng minh: Nếu M là một không gian con hữu hạn chiều, chọn một cơ sở x₁, ..., x_n và xác định một hàm tuyến tính ϕ_i : M → R bởi ϕ_i(x_j) = δ_ij. Mở rộng Φ_i thành một hàm tuyến tính bị chặn trên X. Khi đó, chúng ta có thể lấy N = N (ϕ₁) ∩ ... ∩ N (ϕ_n).

Nếu M là hữu hạn đối chiều, chúng ta có thể lấy N là mở rộng của một

Một tổng quát hoá đơn giản của định lý trên sẽ hữu ích khi chúng ta nghiên cứu phổ của các toán tử compact.

Định lý 2.2.5 Nếu T là một tốn tử compact từ một khơng gian Banach vào chính nó, λ là một số phức khác 0, và n là một số nguyên dương, thì N [(λ1 − T )ⁿ] là hữu hạn chiều và R [(λ1 − T )ⁿ] là đóng.

Chứng minh: Khai triển, chúng ta thấy rằng(λ1 − T )ⁿ = λⁿ(1 − S) với toán tử compact S nào đó, vì vậy kết quả suy ra từ định lý trước. □ Định lý 2.2.6 Một toán tử Hilbert - Schmidt trên một không gian Hilbert tách được là một toán tử compact.

Chứng minh. Giả sử {e_i} là một cơ sở trực chuẩn. T là một toán tử Hilbert - Schmidt cho trước ( vì vậy P

</div><span class="text_page_counter">Trang 24</span><div class="page_container" data-page="24">

2.3Định lý phổ của toán tử compact tự liên hợp

Trong mục này này, chúng ta giả sử rằng X là một không gian Hilbert phức. Nếu T : X → X là một tốn tử tuyến tính bị chặn, chúng ta xem T^∗ như là một ánh xạ từ X → X thông qua đẳng cự Riesz giữa X và X^∗. Tức là, T^∗ được xác định bởi ⟨T<small>∗</small>x, y⟩ = ⟨x, T y⟩.

Trong trường hợp không gian Hilbert phức hữu hạn chiều, T có thể được biểu diễn với một ma trận vuông phức, và T^∗ được biểu diễn bởi chuyển vị Hermitian của ma trận đó.

Nhắc lại rằng, một ma trận Hermitian đối xứng có các giá trị riêng thực và một cơ sở trực chuẩn gồm các vectơ riêng. Với một toán tử tự liên hợp trong một không gian Hilbert, dễ dàng thấy rằng các giá trị riêng là các số thực„ và các vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng khác nhau là trực giao. Tuy nhiên có thể khơng tồn tại một cơ sở trực chuẩn gồm các vectơ riêng, hay ngay cả với các vectơ riêng khác 0 bất kỳ. Ví dụ, X = L²([0, 1]), và xác định T u(x) = xu(x) với u ∈ L². Khi đó T rõ ràng là bị chặn và tự liên hợp. Nhưng dễ dàng thấy rằng T khơng có giá trị riêng nào.

Định lý 2.3.1 (Định lý về phổ của các tốn tử compact tự liên hợp trong khơng gian Hilbert). Giả sử T là một toán tử compact tự liên hợp trong khơng gian Hilbert X. Khi đó có một cơ sở trực chuẩn gồm các vectơ riêng của T .

Trước khi đi vào chứng minh, chúng ta chứng minh một bổ đề.

Bổ đề 2.3.1 Nếu T là một tốn tử tự liên hợp trên một khơng gian Hilbert

</div><span class="text_page_counter">Trang 25</span><div class="page_container" data-page="25">

chúng ta có thể giả sử rằng x và y là khác 0. Hơn nữa, chúng ta có thể nhận y bởi một số phức mơđun 1, vì vậy chúng ta có thể giả sử rằng ⟨T x, y⟩ ≥ 0. Khi đó⟨T (x + y), x + y⟩−⟨T (x − y), x − y⟩ = 4Re ⟨T x, y⟩ = 4 |⟨T x, y⟩|. Vì vậy |⟨T x, y⟩| ≤ ^α₄.(∥x + y∥²+ ∥x − y∥²) = ^α₂.(∥x∥²+ ∥y∥²). Bây giờ áp dụng kết quả này với x thay bởi ^p∥y∥ / ∥x∥x và y thay thế bởi ^p∥x∥ / ∥y∥y. □ Chứng minh định lý về phổ của toán tử compact tự liên hợp. Đầu tiên chúng ta chỉ ra rằng T có một vectơ riêng khác 0. Nếu T = 0, điều này là hiển nhiên, vì vậy chúng ta giả sử rằng T ̸= 0. Chọn một dãy x<small>n</small> ∈ X với ∥x_n∥ = 1 sao cho |⟨T x_n, x_n⟩| → ∥T ∥. Do T là tự liên hợp, |⟨T x_n, x_n⟩| ∈ R, vì vậy chúng ta có thể chuyển quan một dãy con (vẫn ký hiệu là x_n) mà với dãy đó ⟨T x_n, x<small>n</small>⟩ → λ = ± ∥T ∥. Do T là compact nên chúng ta có thể chuyển qua một dãy con nữa và giả sử rằng T x_n → y ∈ X. Chú ý rằng ∥y∥ ≥ λ > 0.

Sử dụng giả thiết T tự liên hợp và λ là thực, chúng ta có

∥T x_n− λx_n∥² = ∥T x_n∥² − 2λ ⟨T x_n, x_n⟩ + λ²∥x_n∥² ≤ 2∥T ∥² − 2λ ⟨T x_n, x_n⟩ → 2∥T ∥² − 2λ² = 0

Do T x_n → y, chúng ta suy ra λx_n → y, hay x_n → y/λ ̸= 0. Tác động T vào ta có T y/λ = y, vì vậy λ là một giá trị riêng khác 0.

Để hoàn tất chứng minh, xét tập tất cả các tập con trực chuẩn của X chứa các vectơ riêng của T. Theo bổ đề Zorn, có một phần tử lớn nhất S. Giả sử W là bao đóng của tập căng bởi S. Rõ ràng T W ⊂ W, và do T là tự liên hợp nên T W^⊥ ⊂ W^⊥. Do vậy T hạn chế xuống một toán tử tự liên hợp trên W^⊥ và do vậy, trừ khi W^⊥ = 0, T có một vectơ riêng trong W^⊥. Nhưng điều này mâu thuẫn với tính cực đại của S (do chúng ta có thể thêm phần tử này vào S để thu được một tập trực chuẩn lớn hơn gồm các vectơ riêng). Do vậy W^⊥ = 0, và S là một cơ sở trực chuẩn. Ta có điều phải chứng minh.

</div>