30 de phat trien de tham khao thi tot nghiep thpt nam 2024 mon toan

<span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

<b>Câu 6. Trong không gian với hệ toạ độ </b> , cho mặt cầu ( ): ( − 2) + ( + 2) + ( − 3) = 34.

<b>Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu ( ). </b>

<b>Câu 7. Cho hàm số </b> = ( ) liên tục trên [−3; 3] và có bảng xét dấu đạo hàm hình bên. Mệnh đề nào sau

<b>đây sai về hàm số đó? </b>

<b>Câu 8. Cho hình trụ có chiều cao bằng </b>2 và diện tích xung quanh bằng 16 . Bán kính đáy của hình trụ đã

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

<b>A. </b>∫ d = <b>+ . B. ∫ e d = e + . C. ∫ 0 d = . D. </b>∫ d = ln +

<b>. </b>

<b>Câu 16. Nghiệm của phương trình </b>log (2 + 1) = 2 là

<b>Câu 17. Bảng biến thiên trong hình dưới là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn </b>

phương án , , , dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

<b>Câu 18. Số phức = (2 + 3 )(1 − ) có phần ảo bằng </b>

<b>Câu 19. Cho hàm số </b> = ( ) có đồ thị như hình vẽ sau

<b>Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? </b>

<b>Câu 20. Cho hàm số ( ) có đạo hàm ′( ) = ( − 2)( − 4) , ∀ ∈ ℝ. Khẳng định nào dưới đây đúng? </b>

<b>A. Hàm số đạt cực đại tại = 4. B. Hàm số đạt cực đại tại </b> = 2.

<b>C. Hàm số đạt cực tiểu tại = 2. D. Hàm số khơng có cực trị. Câu 21. Cho hàm số </b> = . Tìm phát biểu đúng về đường tiệm cận của đồ thị hàm số

<b>A. = là đường tiệm cận đứng. B. </b> = 1 là đường tiệm cận đứng.

<b>C. = là đường tiệm cận đứng. D. </b> = 1 là đường tiệm cận ngang.

<b>Câu 22. Một khối lăng trụ có chiều cao bằng </b>2 và diện tích đáy bằng 2 . Tính thể tích khối lăng trụ.

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

<b>A. </b>ℎ = √ − <b>. B. </b>ℎ = √ + <b>. C. ℎ = + . D. </b>ℎ = − .

<b>Câu 27. Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Giả sử súc sắc xuất hiện mặt chấm. Xác suất để </b>

<b>phương trình </b> + <b>+ 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt là </b>

<b>Câu 31. Trong không gian với hệ toạ độ </b> , cho tam giác có (2; 2; 0), (1; 0; 2), (0; 4; 4). Viết phương trình mặt cầu ( ) có tâm là điểm (2; 2; 0) và đi qua trọng tâm của tam giác <b>. </b>

<b>A. </b>log − log . log <b>= log 1. B. </b>log − . log . log = 0.

<b>Câu 35. Cho hình chóp tam giác đều </b> . có cạnh bên bằng 2 , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 30°.

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

<b>Câu 39. Cho ( ) là hình phẳng giới hạn bởi parabol ( )</b>: = , tiếp tuyến với ( ) tại điểm (2; 4) và

<b>trục hồnh. Tính diện tích của hình phẳng ( )? </b>

<b>Câu 40. Có bao nhiêu giá trị </b> nguyên thuộc đoạn [−2018 ; 2019]để hàm số = − 2 − (2 − 5) + 5đồng biến trên khoảng (0 ; +∞).

<b>Câu 41. Trên bàn có một cốc nước hình trụ chứa đầy nước bán kính , chiều cao bằng </b>5 lần đường kính của đáy và hai viên bi (là hai khối cầu, đặc), một khối nón làm bằng thủy tinh đều có bán kính . Người ta từ từ thả vào cốc nước hai viên bi và khối nón (như hình vẽ) thì thấy nước trong cốc tràn ra ngồi. Thể tích lượng nước còn lại trong cốc (bỏ qua bề dày của lớp vỏ thủy tinh) là

Biết hàm số = ( ) − ( ) có ba điểm cực trị là −1; 2 và 3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

<b>Câu 46. Xét các số thực dương , , , thỏa mãn </b> > 1, > 1 và = = √ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức = + 4 thuộc tập hợp nào dưới đây?

<b>Câu 47. Trong không gian </b>Ox , cho hai mặt cầu ( ), ( ) có phương trình lần lượt là ( ): + +

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

<b>Câu 48. Cho hàm số </b> = ( ) có đạo hàm ′( ) = ( − 1) ( − 2 ) với ∀ ∈ ℝ. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để hàm số ( ) = ( − 8 + <b>) có 5 điểm cực trị? </b>

<b>Câu 49. Trong đợt hội trại “ Khi tôi </b>18 ” được tổ chức tại trường THPT X, Đoàn trường có thực hiện một dự án ảnh trưng bầy trên một pano có dạng Parabol như hình vẽ. Biết rằng Đoàn trường sẽ yêu cầu các lớp gửi hình dự thi và dán lên khu vực hình chữ nhật . Phần cịn lại sẽ trang trí hoa văn cho phù hợp. Chi phí dán hoa văn là 200.000 đồng cho một bảng. Hỏi chi phí thấp nhất cho việc hồn tất hoa văn trên pano sẽ là bao nhiêu (làm trịn đến hàng phần nghìn)?

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

Số phức = 1 − 2 có điểm biểu diễn là (1 ; −2).

<b>Câu 3. Trong không gian </b> , cho mặt phẳng ( ): − 2 − 1 = 0. Véc tơ nào sau đây là một véc tơ pháp tuyến của ( )?

<b>A. ⃗ = (1; 0; −1). B. ⃗ = (1; 0; −2). C. ⃗ = (1; −2; −1). D. ⃗ = (1; −2; 0). </b>

<b>Lời giải Chọn B </b>

Véc tơ pháp tuyến của ( ) là ⃗ = (1; 0; −2)

<b>Câu 4. Cho </b> = ∫ ( ) = 3. Khi đó = ∫ [4 ( ) − 3] <b> bằng </b>

<b>Câu 6. Trong không gian với hệ toạ độ </b> , cho mặt cầu ( ): ( − 2) + ( + 2) + ( − 3) = 34.

<b>Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu ( ). </b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

Phương trình mặt cầu ( ): ( − ) + ( − ) + ( − ) = sẽ có tâm là ( ; ; ) và bán kính .

Ta có mặt cầu ( ) có tâm (2; −2; 3) và bán kính √2 + 2 + 3 + 17 = √34.

<b>Câu 7. Cho hàm số </b> = ( ) liên tục trên [−3; 3] và có bảng xét dấu đạo hàm hình bên. Mệnh đề nào sau

<b>đây sai về hàm số đó? </b>

Gọi là cơng sai, ta có = + 5 ⇒ 18 = 3 + 5 ⇒ <b>= 3. </b>

<b>Câu 10. Cho hàm số ( ) liên tục trên đoạn [</b>0; 2]. Khi đó ∫ ( )d + ∫ <b>( )d bằng </b>

Trục tọa độ ′ có một véc tơ chỉ phương ⃗ = (0 ; 0 ; 1).

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

<b>Lời giải Chọn A </b>

Mỗi cách xếp 5 học sinh vào một bàn hình chữ U có 5 chỗ ngồi là một hốn vị của 5 phần tử. Vậy có 5! = 120 cách xếp 5 học sinh vào một bàn hình chữ U có 5 chỗ ngồi.

<b>Câu 14. Trong không gian </b> , cho hai điểm (1; 0; 1) và (2; −1; 3). Véc tơ ⃗ có tọa độ là

<b>A. (−1; −1; 2). B. (1; −1; 2). C. (−1; 1; −2). D. (3; −1; 4). </b>

<b>Lời giải Chọn B </b>

Giả sử ( ; ; ), ( ; ; ) thì ta có ⃗ = ( − ; − ; − ). Vậy theo bài ra ta có ⃗ = (1; −1; 2).

<b>Câu 15. Trong các khẳng định sau, khẳng đinh nào sai? </b>

<b>Câu 17. Bảng biến thiên trong hình dưới là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn </b>

phương án , , , dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

<b>Lời giải Chọn D </b>

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy ngay tiệm cận đứng = 1, tiệm cận ngang = −1. Và hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞). Suy ra phần ảo của số phức bằng 1

<b>Câu 19. Cho hàm số </b> = ( ) có đồ thị như hình vẽ sau

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

<b>Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? </b>

<b>Lời giải Chọn B </b>

Dựa vào đồ thị, ta thấy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (1; +∞).

<b>Câu 20. Cho hàm số ( ) có đạo hàm ′( ) = ( − 2)( − 4) , ∀ ∈ ℝ. Khẳng định nào dưới đây đúng? </b>

<b>A. Hàm số đạt cực đại tại = 4. B. Hàm số đạt cực đại tại </b> = 2.

<b>C. Hàm số đạt cực tiểu tại = 2. D. Hàm số khơng có cực trị. Lời giải </b>

<b>Chọn B </b>

Cho ′( ) = ( − 2)( − 4) = 0 ⇔ ^{= 2} = 4^.

Từ bảng biến thiên ta suy ra hàm số đạt cực đại tại = 2.

<b>Câu 21. Cho hàm số </b> = . Tìm phát biểu đúng về đường tiệm cận của đồ thị hàm số

<b>A. = là đường tiệm cận đứng. B. </b> = 1 là đường tiệm cận đứng.

<b>C. = là đường tiệm cận đứng. D. = 1 là đường tiệm cận ngang. </b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

<b>Lời giải Chọn C </b>

3 > 27 ⇔ 3 > 3 ⇔ − 1 > 3 ⇔ > 4. Vậy: Tập nghiệm của bất phương trình là = (4; +∞).

<b>Câu 24. Với là số thực tùy ý, 2log 3 bằng: </b>

<b>Lời giải Chọn D </b>

Ta có với ; > 0; ≠ 1 thì log = . log . Nên 2log 3 = 2. . log 3 = 2. . 1 = 2 .

<b>Câu 25. Trong các hàm số sau hàm số nào đồng biến trên </b>ℝ?

<b>Lời giải Chọn A </b>

Ta có nhận xét, khi > 1 thì hàm số = đồng biến trên ℝ.

Với hàm số = có = > 1 nên hàm số = đồng biến trên ℝ.

<b>Câu 26. Chiều cao </b>ℎ của hình nón có độ dài đường sinh và bán kính bằng:

<b>Lời giải Chọn A </b>

<i>Áp dụng cơng thức trong tam giác vng, ta có: </i>ℎ = √ −

<i><b>Phương án nhiễu B: Nhầm công thức trong tam giác vuông Phương án nhiễu C: Hiểu sai về độ dài </b></i>

<i><b>Phương án nhiễu D: Hiểu sai về độ dài </b></i>

<b>Câu 27. Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Giả sử súc sắc xuất hiện mặt chấm. Xác suất để </b>

<b>phương trình </b> + <b>+ 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt là </b>

<b>Lời giải Chọn B </b>

<b>Không gian mẫu Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} ⇒ (Ω) = 6. </b>

<b>Gọi là biến cố được mặt chấm để phương trình </b> + + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt.

<b>Phương trình </b> + + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ − 8 > 0 ⇔ < −2√2 > 2√2 ^.

<b>Mà </b> ∈ nên ∈ {3 ; 4 ; 5 ; 6} ⇒ ( ) = 4. Vậy ( )= ^{( )}

<small>( )</small>= = .

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

Lập bảng biến thiên của hàm số trên (0; +∞), ta được:

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên (0; +∞) bằng − ^√ .

<b>Câu 29. Cho </b> = 2 − ; = −3 + . Phần thực của số phức 3 ?

Có ′( ) = ( + 1) . Ta thấy đạo hàm của hàm số đổi dấu từ âm sang dương khi qua nghiệm = 0 và không đổi dấu khi qua nghiệm = −1 nên hàm số ( ) đồng biến trên (0; +∞).

<b>Câu 31. Trong không gian với hệ toạ độ </b> , cho tam giác có (2; 2; 0), (1; 0; 2), (0; 4; 4). Viết phương trình mặt cầu ( ) có tâm là điểm (2; 2; 0) và đi qua trọng tâm của tam giác <b>. </b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

Ta có tứ diện là tứ diện đều. Gọi là trung điểm của , khi đó.

<b>A. </b>log − log . log <b>= log 1. B. </b>log − . log . log = 0.

<b>Lời giải Chọn D </b>

log − log = log = log (đúng). log − log = log = log , suy ra B sai.

log − log . log = log − log = 0 = log 1 (đúng). log − . log . log = log − log = 0 (đúng).

<b>Câu 35. Cho hình chóp tam giác đều </b> . có cạnh bên bằng 2 , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 30°. Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng ( <b>). </b>

<b>Lời giải Chọn A </b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

Gọi là tâm tam giác đều thì ⊥ ( ), = 30°.

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

<b>Câu 39. Cho ( ) là hình phẳng giới hạn bởi parabol ( )</b>: = , tiếp tuyến với ( ) tại điểm (2; 4) và

<b>trục hồnh. Tính diện tích của hình phẳng ( )? </b> Giao điểm của và là (1; 0)

Trên đoạn [0; 1] hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số = và trục hồnh. Trên đoạn [1; 2] hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số = và tiếp tuyến .

Vậy diện tích của hình phẳng ( ) được xác định là: = ∫ + ∫ ( <b>− 4 + 4) d = . </b>

<b>Câu 40. Có bao nhiêu giá trị </b> nguyên thuộc đoạn [−2018 ; 2019]để hàm số = − 2 − (2 − 5) + 5đồng biến trên khoảng (0 ; +∞).

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

Từ bảng trên suy ra 3 − 4 ≥ 2 − 5 ,∀ ∈ (0;+∞) ⇔ 2 − 5 ≤ − ⇔ ≤ . Do nguyên và ∈ [−2018 ; 2019] ⇒ ∈ {−2018; −2017; −2016, . . . . ,0,1}. Vậy có 2020giá trị thỏa mãn đề bài.

<b>Câu 41. Trên bàn có một cốc nước hình trụ chứa đầy nước bán kính , chiều cao bằng </b>5 lần đường kính của đáy và hai viên bi (là hai khối cầu, đặc), một khối nón làm bằng thủy tinh đều có bán kính . Người ta từ từ thả vào cốc nước hai viên bi và khối nón (như hình vẽ) thì thấy nước trong cốc tràn ra ngồi. Thể tích lượng nước cịn lại trong cốc (bỏ qua bề dày của lớp vỏ thủy tinh) là

<b>Lời giải Chọn A </b>

Thể tích hai viên bi khối cầu là: = 2. = ( ). Chiều cao khối nón thủy tinh là: ℎ = 10 − 2.2 = 6 .

Thể tích khối nón làm bằng thủy là: = . . 6 = 2 ( ). Thể tích cốc nước hình trụ là: = . 10 = 10 ( ).

Thể tích lượng nước tràn ra chính là tổng thể tích của hai viên bi hình cầu và khối nón. Vậy thể tích

<b>Câu 42. Cho hai số phức , thỏa mãn |</b> + 2 | = 3, |2 + 3 | = 6 và | + 4 | = 7. Tính giá trị của

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

<b>Câu 43. Cho các số thực dương , thỏa mãn </b>log = log = log (4 − 5 ) − 1. Tính .

Biết hàm số = ( ) − ( ) có ba điểm cực trị là −1; 2 và 3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

<b>Câu 46. Xét các số thực dương , , , thỏa mãn </b> > 1, > 1 và = = √ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức = + 4 thuộc tập hợp nào dưới đây? Do đó: = + 4 = + log + 1 + log = + log + log

Đặt = log ⇒ > 0. Vì , > 1 nên log > log 1 = 0. Khi đó = + + ≥ + 2 . = . (Áp dụng BĐT Cô Si) Vậy đạt giá trị nhỏ nhất là khi = 2 hay = .

<i>Phương án A: học sinh áp dụng BĐT Cô si thiếu số 2. </i> = + + ≥ + . = .

<i>Phương án C: học sinh áp lấy logarit sai </i> = log , = log ⇒ = + ≥ 2 . = 1.

<i>Phương án D: học sinh áp dụng BĐT Cô Si cho 3 số. </i> = + + ≥ 3 . . = 3 .

<b>Câu 47. Trong không gian </b>Ox , cho hai mặt cầu ( ), ( ) có phương trình lần lượt là ( ): + + = 25; ( ): + + ( − 1) = 4. Một đường thẳng vng góc với véc tơ ⃗ = (1; −1; 0) tiếp xúc với mặt cầu ( ) và cắt mặt cầu ( ) theo một đoạn thẳng có độ dài bằng 8. Hỏi véc tơ nào sau đây là véc tơ chỉ phương của <b>? </b>

Gọi A là tiếp điểm của d và (S<small>2</small>), ta có IA = R2 = 2. Vì d cắt ( ) theo một đoạn thẳng có độ dài bằng 8 nên

2 ^{= √25 − 16 = 3.}

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

<b>Câu 48. Cho hàm số </b> = ( ) có đạo hàm ′( ) = ( − 1) ( − 2 ) với ∀ ∈ ℝ. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để hàm số ( ) = ( − 8 + <b>) có 5 điểm cực trị? </b>

Vì ngun dương và <b>< 16 nên có 15 giá trị thỏa mãn. </b>

<b>Câu 49. Trong đợt hội trại “ Khi tôi </b>18 ” được tổ chức tại trường THPT X, Đồn trường có thực hiện một dự án ảnh trưng bầy trên một pano có dạng Parabol như hình vẽ. Biết rằng Đồn trường sẽ yêu cầu các lớp gửi hình dự thi và dán lên khu vực hình chữ nhật . Phần cịn lại sẽ trang trí hoa văn cho phù hợp. Chi phí dán hoa văn là 200.000 đồng cho một bảng. Hỏi chi phí thấp nhất cho việc hoàn tất hoa văn trên pano sẽ là bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần nghìn)?

</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">

<b>A. 1.230.000 đồng. B. </b>900.000 đồng.

<b>Lời giải Chọn D </b>

Xét hệ trục tọa độ như hình vẽ. Parabol của pano có dạng = + ( < 0). Vì ( ) cắt tại điểm có tung độ 4 nên = 4. Mà ( ) đi qua điểm (2; 0) nên = −1. Như vậy Parabol của pano có phương trình = 4 − trên đoạn [−2; 2].

Giả sử = 2 với 0 ≤ ≤ 2. Khi đó diện tích của hình chữ nhật là = 2 (4 − ). Diện tích phần trang trí của hoa văn là

( ) = ∫ (4 − )d − 2 (4 − ) = 2 − 8 +

Hàm số ( ) có ′( ) = 6 − 8 và ′( ) = 0 ⇔ = ± ^√

Trên đoạn [−2; 2] ta có (±2) = ; ^√ = ^√ ; − ^√ = ^√ Do đó giá trị nhỏ nhất của ( ) trên đoạn [−2; 2] là ^√

Chi phí cho họa tiết văn hoa lúc đó là ^√ × 200.000 ≈ 902.000 đồng.

<b>Câu 50. Cho hai số phức z, w thỏa mãn </b> + 3 = 2 + 2√3 và | − | = 2. Giá trị lớn nhất của biểu thức

</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">

<b>Câu 1. Cho hàm số ( ) có bảng biến thiên như sau: </b>

Giá trị cực đại của hàm số là

<b>Câu 2. Cho hàm số </b> = ( ) có đồ thị như hình vẽ bên.

<b>Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng </b>

<b>Câu 3. Trong không gian </b> , cho mặt cầu

( ): + + <b>− 2 − 2 − 6 = 0. Tâm của mặt cầu đã cho có tọa độ là: </b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22">

<b>Câu 14. Với và là hai số thực dương tùy ý, </b>log( <b>) bằng </b>

<b>A. log + log . B. 2log + log . C. 2log + 3log . D. 2log . 3log . </b>

<b>Câu 15. Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua hai điểm (</b>1; 0; 1) và (−1; 2; 2) có một vec tơ chỉ

</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">

<b>Câu 28. Cho hàm số </b> = ( ) có đạo hàm ′( ) = + 1 với mọi ∈ ℝ. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

<b>Câu 29. Một bình đựng 8 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Xác suất để lấy được ít </b>

nhất hai viên bi xanh là bao nhiêu?

<b>Câu 30. Cho hình hộp </b> . ′ ′ ′ ′. Giả sử tam giác ′ và ′ ′ đều có 3 góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng và ′ là góc nào sau đây?

<b>Câu 31. Xét tất cả các số thực dương và thỏa mãn </b>log = log √ <b>. Mệnh đề nào dưới đây đúng? </b>

<b>Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ </b> , cho mặt phẳng ( ): 3 + 4 − 5 + 2 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm (3; 2; 1) đồng thời vng góc với mặt phẳng ( ).

</div><span class="text_page_counter">Trang 24</span><div class="page_container" data-page="24">

<b>A. </b> 1, <b>. B. , 1 . C. </b> , <b>. D. </b> ; .

<b>Câu 42. Cho hai số phức </b> , thỏa mãn + = 8 + 6 và | − | = 2. Tính giá trị lớn nhấtcủa biểu thức <b>= | | + | |? </b>

<b>Câu 43. Một nhà máy cần sản xuất các hộp hình trụ kín cả hai đầu có thể tích cho trước Mối quan hệ giữa </b>

bán kính đáy và chiều cao ℎ của hình trụ để diện tích tồn phần của hình trụ nhỏ nhất là

<b>Câu 44. </b>

Hình trên là đồ thị ( ) của hàm số = ( − 2) ( + 3) với , lần lượt là hai điểm cực trị của ( ). Diện tích hình phẳng được tơ đậm trong hình bằng

<b>Câu 45. Cho lăng trụ </b> . ′ ′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh . Hình chiếu vng góc của ′ trên mặt phẳng ( ) trùng với trọng tâm tam giác . Biết khoảng cách giữa ′ và bằng ^√ . Tính thể tích của khối lăng trụ . ′ ′ ′?

<b>Câu 46. Một quán cafe muốn làm cái bảng hiệu là một phần của elip có kích thước, hình dạng giống như </b>

hình vẽ và có chất liệu bằng gỗ. Diện tích gỗ bề mặt của bảng hiệu là bao nhiêu? (làm tròn đến phần hàng chục).

<b>Câu 47. Cho hàm số ( ) có bảng xét dấu đạo hàm như sau: </b>

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để hàm số ( )= (| − 2 − 3| + )

<b>có ít nhất 7 điểm cực trị? </b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 25</span><div class="page_container" data-page="25">

<b>Câu 48. Cho </b> ; là các số thực dương thỏa mãn log = + 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức = +

<small>√</small> .

<b>Câu 49. Trong không gian với hệ tọa độ </b> cho ba điểm (2; −1; 1), (5; 3; 1), (4; 1; 2) và mặt phẳng ( ): + = 27. Biết rằng tồn tại điểm trên tia , điểm trên ( ) và điểm trên tia

sao cho tứ giác là hình thoi. Tọa độ điểm là

</div><span class="text_page_counter">Trang 26</span><div class="page_container" data-page="26">

<b>Câu 1. Cho hàm số ( ) có bảng biến thiên như sau: </b>

Giá trị cực đại của hàm số là

<b>Lời giải Chọn D </b>

Dựa vào BBT ta có giá trị cực đại của hàm số là 54.

<b>Câu 2. Cho hàm số </b> = ( ) có đồ thị như hình vẽ bên.

<b>Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng </b>

<b>Lời giải Chọn A </b>

<b>Từ đồ thị hàm số ta có hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞ ; −2) và (0 ; 1). </b>

<b>Câu 3. Trong không gian </b> , cho mặt cầu

( ): + + <b>− 2 − 2 − 6 = 0. Tâm của mặt cầu đã cho có tọa độ là: </b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 27</span><div class="page_container" data-page="27">

Vậy số giao điểm của hàm số với trục hoành là 3.

<b>Câu 6. Trong không gian </b> , vectơ đơn vị trên trục là

<b>A. ⃗ = (1 ; 1 ; 1). B. ⃗ = (0 ; 1 ; 0). C. ⃗ = (1 ; 0 ; 0). D. ⃗= (0 ; 0 ; 1). </b>

<b>Lời giải Chọn B </b>

Trong không gian , vectơ đơn vị trên trục là ⃗ = (0 ; 1 ; 0).

<b>Câu 7. Cho hình trụ có diện tích xung quang bằng </b>8 và bán kính đáy bằng . Độ dài đường sinh của

Điểm biểu diễn hình học của số phức = + ( , ∈ ℝ) là ( ; ).

Với = 2 − 3 ta có = 2 và = −3. Do đó điểm biểu diễn tương ứng là (2 ; −3).

<b>Câu 9. Môđun của số phức </b>− bằng

</div><span class="text_page_counter">Trang 28</span><div class="page_container" data-page="28">

<b>Lời giải Chọn C </b>

Thể tích của khối chóp có chiều cao bằng ℎ và diện tích đáy bằng là = <b>ℎ. </b>

<b>Câu 13. Hàm số nào sau đây có bảng biến thiên như hình dưới </b>

<b>Lời giải Chọn D </b>

Từ bảng biến thiên suy ra hệ số > 0 nên loại A và B.

Do hàm số có hai điểm cực trị là = 1 và = −1 nên chỉ có phương án C thỏa mãn.

<b>Câu 14. Với và là hai số thực dương tùy ý, </b>log( <b>) bằng </b>

<b>A. log + log . B. 2log + log . C. 2log + 3log . D. 2log . 3log . </b>

<i><b>Lời giải </b></i>

<b>Chọn C </b>

Với và dương, ta có:

log( ) = log + log = 2log + 3log .

<b>Câu 15. Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua hai điểm (</b>1; 0; 1) và (−1; 2; 2) có một vec tơ chỉ

Do: = √ có mũ nguyên dương nên xác định khi √ xác định, mà √ xác định ∀ ∈ ℝ.

<b>Câu 18. Cho </b>∫ ( ) = 1; ∫ ( ) = 2. Khi đó ∫ ( ) <b> bằng </b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 29</span><div class="page_container" data-page="29">

Suy ra tiệm cận ngang của đồ thị hàm số = là = 3

<b>Câu 20. Tìm số phức liên hợp của số phức </b> = 1 − 3 + (1 − ) .

Mặt khác, ′( ) đổi dấu khi qua = 1; = 3 và ′( ) không đổi dấu khi qua = −2. Vậy hàm số = ( ) có hai điểm cực trị.

<b>Câu 22. Cho cấp số cộng (</b> ) có số hạng đầu = 2 và cơng sai = 5. Giá trị của <b> bằng </b> ⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là = (−∞; 1).

<b>Câu 24. Nếu </b> (1) = 12, ′( ) liên tục và <small>∫</small>₁⁴ ′( ) <b>= 17, giá trị của (4) bằng: </b>

Hàm số = log có TXĐ = (0; +∞) nên không thỏa mãn. Do > 1 nên hàm số = đồng biến trên ℝ.

</div><span class="text_page_counter">Trang 30</span><div class="page_container" data-page="30">

<b>Câu 26. Phương trình log (3 − 1) = 2 có nghiệm là </b>

<b>Câu 28. Cho hàm số </b> = ( ) có đạo hàm ′( ) = + 1 với mọi ∈ ℝ. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

<b>Lời giải Chọn A </b>

Ta có: ′( ) < 0 ⇔ + 1 < 0 ⇔ < −1.

Vậy hàm số <b>= ( ) nghịch biến trên khoảng (−∞; −1). </b>

<b>Câu 29. Một bình đựng 8 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Xác suất để lấy được ít </b>

nhất hai viên bi xanh là bao nhiêu?

<b>Câu 30. Cho hình hộp </b> . ′ ′ ′ ′. Giả sử tam giác ′ và ′ ′ đều có 3 góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng và ′ là góc nào sau đây?

<b>Lời giải Chọn B </b>

Ta có: // ′ ′ (tính chất của hình hộp)

⇒ ( , ′ ) = ( ′ ′, ′ ) = ′ ′ (do giả thiết cho ′ ′ có ba góc nhọn).

<b>Câu 31. Xét tất cả các số thực dương và thỏa mãn </b>log = log √ <b>. Mệnh đề nào dưới đây đúng? </b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 31</span><div class="page_container" data-page="31">

⇔ log = log √ ⇔ = √ ⇔ = √ ⇔ = .

<b>Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ </b> , cho mặt phẳng ( ): 3 + 4 − 5 + 2 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm (3; 2; 1) đồng thời vng góc với mặt phẳng ( ).

Vì ⊥ ( ) nên đường thẳng nhận ⃗ = (3; 4; −5) làm véc-tơ chỉ phương.

Đường thẳng đi qua điểm (3; 2; 1) và nhận ⃗ = (3; 4; −5) làm véc-tơ chỉ phương nên có

Ta có = 2 − (−1) + (0 − 2) + 0 − (−3) = √22. Mặt cầu tâm (−1; 2; −3) và đi qua điểm (2; 0; 0) có bán kính = = √22. Phương trình mặt cầu là: ( + 1) + ( − 2) + ( + 3) = 22.

</div><span class="text_page_counter">Trang 32</span><div class="page_container" data-page="32">

<b>Lời giải Chọn C </b>

Ta có: là trung điểm của ′ ⇒ , ( ′ ′) = , ( ′ ′) = = ^√ <b>. </b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 33</span><div class="page_container" data-page="33">

Từ bảng biến thiên suy ra ( ) ⇔ ≤ .

<b>Câu 40. Cho </b> , là các số thực dương thỏa mãn log = log <b>= log ( + ). Giá trị của bằng: </b>

<b>Câu 41. Biết diện tích hình phẳng giới bởi các đường </b> = sin , = cos , = 0, = (với ∈ ; là −3 + 4√2 − √3 . Hỏi số thuộc khoảng nào sau đây?

<b>Lời giải Chọn C </b>

Ta có: sin < cos với ∈ 0; , sin > cos với ∈ ,

Diện tích hình phẳng giới bởi các đường = sin , = cos , = 0, = với ∈ ; là = ∫ |sin − cos | d = ∫ |sin − cos | d + ∫ |sin − cos | d = ∫ (cos − sin )d + ∫ (sin − cos )d

4 ^{d +} ^√2sin ⁻4 ^{d = √2 sin} ⁺4 ^{− √2cos} ⁻4

⇒ = −3 + 4√2 − √3 2

</div><span class="text_page_counter">Trang 34</span><div class="page_container" data-page="34">

Dấu đẳng thức xảy ra khi | | = | |.

<b>Câu 43. Một nhà máy cần sản xuất các hộp hình trụ kín cả hai đầu có thể tích cho trước Mối quan hệ giữa </b>

bán kính đáy và chiều cao ℎ của hình trụ để diện tích tồn phần của hình trụ nhỏ nhất là

Hình trên là đồ thị ( ) của hàm số = ( − 2) ( + 3) với , lần lượt là hai điểm cực trị của ( ). Diện tích hình phẳng được tơ đậm trong hình bằng Vậy diện tích phần tơ đậm là .

<b>Câu 45. Cho lăng trụ </b> . ′ ′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh . Hình chiếu vng góc của ′ trên mặt phẳng ( ) trùng với trọng tâm tam giác . Biết khoảng cách giữa ′ và bằng ^√ . Tính thể tích của khối lăng trụ . ′ ′ ′?

<b>Lời giải </b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 35</span><div class="page_container" data-page="35">

Suy ra là đoạn vng góc chung giữa ′ và ⇒ ( ′; ) = = ^√ . vuông tại ⇒ sin = =

′ vuông tại ⇒ ′ = . tan = ^√ . tan30° = .

Thể tích của khối lăng trụ . ′ ′ ′: = ′ . = . ^√ = ^√ .

<b>Câu 46. Một quán cafe muốn làm cái bảng hiệu là một phần của elip có kích thước, hình dạng giống như </b>

hình vẽ và có chất liệu bằng gỗ. Diện tích gỗ bề mặt của bảng hiệu là bao nhiêu? (làm tròn đến phần hàng chục).

<b>Lời giải Chọn D </b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 36</span><div class="page_container" data-page="36">

Đầu tiên ta cần lập phương trình đường elip biểu thị bảng gỗ.

Chọn hệ trục tọa độ và các điểm như hình vẽ sao cho bảng gỗ này đối xứng qua hai trục và

Diện tích gỗ bề mặt của bảng hiệu là: = 2 ∫ ^,_, 1 − dx=∫ ^,_, 1 − dx ≈ 1,4 m .

<b>Câu 47. Cho hàm số ( ) có bảng xét dấu đạo hàm như sau: </b>

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để hàm số ( )= (| − 2 − 3| + )

</div><span class="text_page_counter">Trang 37</span><div class="page_container" data-page="37">

Ta có ′(| − 2 − 3| + ) = 0 ⇔ ^| ^{− 2} ^{− 3| +} ^{= 4}

| − 2 − 3| = 4 −

| − 2 − 3| = 5 − ⁽¹⁾

Hàm số ( )= (| − 2 − 3| + ) có ít nhất 7 điểm cực trị khi và chỉ khi (1) có ít nhất 2 nghiệm phân biệt khác điểm cực trị của ( )⇔ 5 − > 0 ⇔ < 5 ⇒ ∈ {1,2,3,4}.

<b>Câu 48. Cho </b> ; là các số thực dương thỏa mãn log = + 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

<b>Câu 49. Trong không gian với hệ tọa độ </b> cho ba điểm (2; −1; 1), (5; 3; 1), (4; 1; 2) và mặt phẳng ( ): + = 27. Biết rằng tồn tại điểm trên tia , điểm trên ( ) và điểm trên tia

sao cho tứ giác là hình thoi. Tọa độ điểm là

</div><span class="text_page_counter">Trang 38</span><div class="page_container" data-page="38">

Do là hình thoi nên suy ra ⃗ = ⃗ + ⃗ = ; ; = (19; 22; 5) cùng hướng với ⃗, hay ⃗ = (19; 22; 5) là một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng . Phương trình đường thẳng

Chọn điểm ⃗ = 3 ⃗, = 15 và ⃗ = 3 ⃗, = 15. Khi đó tam giác cân tại . Do tứ giác là hình thoi nên tam giác cân tại . Suy ra và song song.

Ta có + √2 − = 1 ⇔ − 1 + √2 = 1. Gọi = 1 + √2 có điểm biểu diễn là 1; √2 . Gọi , lần lượt là các điểm biểu diễn của , .

Vì | − | = 2 nên là trung điểm của .

= = 2 ⇔ | | = | | = 2.

Vậy giá trị lớn nhất của | |+ | | bằng 4.

</div><span class="text_page_counter">Trang 39</span><div class="page_container" data-page="39">

<b>Câu 3. </b> Với là số thực dương tùy ý, ta có log <b> bằng </b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 40</span><div class="page_container" data-page="40">

Khẳng định nào sau đây là đúng?

<b>A. Hàm số đạt cực đại tại = −2. B. Hàm số đạt cực đại tại </b> = 3.

<b>C. Hàm số đạt cực đại tại = 4. D. Hàm số đạt cực đại tại </b> = 2.

<b>Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ </b> , cho ⃗ = 2⃗ + 3⃗ − 5 ⃗; ⃗ = −2⃗ − 4 ⃗. Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng <b>. </b>

</div>