Về tính ổn định trong thời gian hữu hạn của mạng nơ ron hopfeil phân thứ có trễ

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

<b>TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC </b>

<b><small>---</small></b><b><small>--- </small></b>

<b>VŨ THỊ HỒI HƯƠNG </b>

<b>VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN CỦA MẠNG NƠ RON HOPFIELD PHÂN THỨ CĨ TRỄ</b>

<b>Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 8 46 01 12 </b>

<b>TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. MAI VIẾT THUẬN </b>

<b>TS. BÙI VIỆT HƯƠNG</b>

<b>THÁI NGUYÊN - 2021</b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

Chương 2 Tính ổn định trong thời gian hữu hạn của mạng nơ-ron Hopfield phân thứ có trễ 17 2.1. Phát biểu bài tốn và một số định nghĩa . . . 18

2.2. Bất đẳng thức tích phân Gronwall phân thứ mở rộng . . . 19

2.3. Tính ổn định trong thời gian hữu hạn của mạng nơ-ron Hopfield phân thứ có trễ . . . 25

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

LỜI NĨI ĐẦU

Giải tích phân thứ là một chủ đề tốn học có lịch sử lâu đời. Nó được phát triển bởi các nhà tốn học nổi tiếng như Leibniz, Liouville, Riemann, Caputo. Vì khó tính tốn và sự khơng chắc chắn về ý nghĩa hình học của giải tích phân thứ nên nó khơng nhận được sự quan tâm nghiên cứu lớn của các nhà khoa học trong thế kỷ trước. Tuy nhiên, trong những năm gần đây, các nhà khoa học chỉ ra rằng giải tích phân thứ có thể mơ tả chính xác một số hiện tượng vật lý, hóa học và tài chính. Ngồi ra, giải tích phân thứ có thể được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực điều khiển và kỹ thuật.

Các độ trễ về thời gian, chẳng hạn như độ trễ rời rạc, độ trễ dạng tích phân, độ trễ do rò rỉ và độ trễ trung tính, là phổ biến và khơng thể tránh khỏi trong mạng nơ ron [10]. Nó là nguồn gốc của sự phân kỳ, dao động, hỗn loạn, không ổn định và hiệu suất kém của hệ thống. Vì vậy, việc nghiên cứu mạng nơ ron có trễ khơng chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà cịn có ý nghĩa thực tiễn.

Như chúng ta đã biết, tính ổn định là một trong những tính chất định tính quan trọng của hệ phương trình vi phân phân thứ. Trong những năm gần đây, tính ổn định của mạng nơ ron phân thứ đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học, nhiều kết quả lý thú và sâu sắc về tính ổn định tiệm cận, tính ổn định mạnh, tính ổn định Mittag – Leffler, tính ổn định mũ, tính ổn định đều, tính ổn định tồn cục của một số lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ đã được công bố [3, 10, 19, 20, 25]. Tuy nhiên, trong một số ứng dụng kỹ thuật thực tế, chẳng hạn như hệ

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

thống tên lửa và hệ thống thao tác bằng robot, người ta quan tâm tới quỹ đạo của véc tơ trạng thái trong một khoảng thời gian cố định cho trước. Vì vậy, bài tốn nghiên cứu tính ổn định trong thời gian hữu hạn, bị chặn trong thời gian hữu hạn của lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học [18, 21, 22].

Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo dưới đây

Có hai định nghĩa về tính ổn định trong thời gian hữu hạn cho hệ (0.1). Một là, hệ (0.1) ổn định trong thời gian hữu hạn ứng với bộ (δ, , T ) nếu kψk = sup_s∈[−h,0]kψ(s)k ≤ δ suy ra kx(t)k < , ∀t ∈ [0, T ], trong đó 0 < δ < . Hai là, hệ (0.1) ổn định trong thời gian hữu hạn nếu tồn tại một số T > 0 sao cho lim_t→T kx(t)k = 0 và kx(t)k ≡ 0, ∀t ≥ T . Gần đây, F. Du và J.G. Lu [10] đưa ra bất đẳng thức tích phân Gronwall cho hệ phân thứ. Sau đó, các tác giả áp dụng kết quả này để nghiên cứu tính ổn định trong thời gian hữu hạn của mạng nơ-ron Hopfield phân thứ có trễ.

Luận văn tập trung trình bày tính ổn định trong thời gian hữu hạn của mạng nơ-ron Hopfield phân thứ có trễ dựa trên cơ sở đọc hiểu và tổng hợp bài báo đã được công bố trong những năm gần đây (xem [9, 10]). Luận văn gồm có 2 chương gồm những nội dung sau:

Trong chương 1, chúng tơi trình bày một số khái niệm về giải tích phân thứ như tích phân và đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân và đạo hàm phân thứ Caputo, mối liên hệ giữa đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville và đạo hàm phân thứ Caputo. Chúng tơi cũng trình bày một tiêu chuẩn cho tính ổn định trong thời gian hữu hạn cho lớp hệ tuyến tính phân thứ Caputo với trễ hằng số. Nội dung chính của chương này được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [9, 11, 12, 13, 16].

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

Trong chương 2 của luận văn, chúng tơi trình bày một số tiêu chuẩn cho tính ổn định trong thời gian hữu hạn của mạng nơ-ron Hopfield phân thứ có trễ. Nội dung chính của chương này được tham khảo chủ yếu từ tài liệu [10].

Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Mai Viết Thuận và TS. Bùi Việt Hương. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới tập thể hướng dẫn khoa học của mình. Những người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn, tận tình dìu dắt và chỉ bảo tơi trong suốt q trình thực hiện đề tài luận văn này.

Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học -Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin cùng các giảng viên đã tham gia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiên cứu.

Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu, cảm ơn những người bạn thân thiết đã chăm sóc động viên khích lệ tơi trong suốt q trình nghiên cứu. Sau cùng tơi xin kính chúc tồn thể q thầy cô trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên thật dồi dào sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực hiện sứ mệnh cao đẹp của mình là truyền đạt tri thức cho thế hệ mai sau. Xin chân thành cảm ơn.

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

Danh mục ký hiệu

Rⁿ không gian vec tơ thực Euclide n chiều kxk₁ chuẩn 1 của véc tơ x, xác định bởi kxk₁ :=

C([a, b], Rⁿ) không gian các hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị trong Rⁿ AC^m[a, b] không gian các hàm liên tục tuyệt đối cấp m trên[a, b]

<small>t</small>₀I_t^α tốn tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α

E<small>α,β</small> hàm Mittag-Leffler hai tham số

dαe số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả về tính ổn định và ổn định hóa của các hệ phương trình vi phân thường và hệ phương trình vi phân có trễ. Chúng tơi cũng trình bày một số kết quả bổ trợ sẽ được sử dụng trong chứng minh các kết quả chính của luận văn cho các chương sau. Ngồi ra, chúng tơi trình bày một tiêu chuẩn cho tính ổn định trong thời gian hữu hạn của lớp hệ tuyến tính phân thứ có trễ. Đây chính là một trường hợp riêng của lớp hệ được trình bày trong Chương 2 của luận văn. Nội dung sử dụng ở chương này được tham khảo ở [9, 11, 12, 13].

1.1.1. Tích phân phân thứ

Trong mục này, chúng tơi trình bày sơ lược về khái niệm tích phân phân thứ. Khái niệm tích phân phân thứ là một mở rộng tự nhiên của khái niệm tích phân lặp thông thường.

Định nghĩa 1.1. ([13]) Cho α > 0 và [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ Riemann-Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

Trong Định nghĩa 1.1 khi α = 0, chúng ta quy ước _t₀I_t^α := I với I là toán tử đồng nhất. Sự tồn tại của tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với 0 < α < 1 được cho bởi định lý sau.

Định lý 1.1. ([13]) Giả sử x : [a, b] −→ R là một hàm khả tích trên [a, b]. Khi đó, tích phân _t₀I_t^αx(t) tồn tại với hầu hết t ∈ [a, b]. Hơn nữa,

Mục này trình bày một cách ngắn gọn về đạo hàm Riemann–Liouville và đạo hàm Caputo. Đây là hai loại đạo hàm được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực.

Định nghĩa 1.2. ([13]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂ R. Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi

trong đó n := dαe là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và _dt^dⁿ<small>n</small> là đạo hàm thông thường cấp n.

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

Ví dụ 1.2. Cho hàm bước đơn vị (unit-step function)

Trước khi trình bày điều kiện cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, chúng tôi nhắc lại một số kết quả sau.

Cho [a, b] là một khoảng hữu hạn trong R. AC[a, b] là không gian các hàm tuyệt đối liên tục trên [a, b]. Kolmogorov và Fomin đã chỉ ra mối liên hệ giữa các hàm tuyệt đối liên tục và các hàm khả tích Lebesgue như

do đó một hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f⁰(t) = ϕ(t) hầu khắp nơi trên [a, b].

Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm ACⁿ[a, b] như sau:

Mệnh đề sau đây cho ta một số đặc tính của lớp hàm ACⁿ[a, b].

Mệnh đề 1.1. ([13]) Không gian ACⁿ[a, b] chứa tất cả các hàm f (t) có

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

Ngồi ra, từ các điều kiện trên ta có

<small>0</small> D_t^αf (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] và có thể được biểu diễn dưới dạng sau

Kết quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lý 1.2

Hệ quả 1.1. ([13]) Nếu 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì

Mệnh đề 1.2. ([12]) Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

Định nghĩa 1.3. ([12]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂ R. Đạo hàm phân thứ Caputo cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi

<small>t0</small>D^α_t x(t) := <small>t0</small>I_t^n−αDⁿx(t),

trong đó n := dαe là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và Dⁿ = _dx^dⁿ<small>n</small>

là đạo hàm thông thường cấp n.

Đối với một hàm véc tơ x(t) = (x₁(t), x₂(t), . . . , x_d(t))^T đạo hàm phân thứ Caputo của x(t) được định nghĩa theo từng thành phần như sau:

<small>t</small>₀D_t^αx(t) := ^C_t₀D_t^αx<small>1</small>(t), ^C_t₀D_t^αx<small>2</small>(t), . . . , ^C_t₀D_t^αx<small>d</small>(t)^T .

Định lý sau đây cho ta một điều kiện đủ cho sự tồn tại đào hàm Caputo phân thứ cấp α.

Định lý 1.3. ([13]) Cho α ≥ 0, n = dαe. Nếu f (t) ∈ ACⁿ[a, b], khi đó đạo hàm phân thứ Caputo ^C_t

<small>0</small>D^α_tf (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b]. Hơn

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

Mệnh đề 1.3. ([12]) Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân thứ Caputo cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là

<small>t0</small>D_t^α[λf (t) + µg(t)] = λ^C_t₀D^α_tf (t) + µ^C_t₀D^α_t g(t), trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ ACⁿ[a, b].

Chứng minh. Tương tự như chứng minh Mệnh đề 1.2.

Ta dễ dàng chứng minh được tính chất sau của đạo hàm phân thứ Caputo.

Mệnh đề 1.4. ([12]) Cho trước một số thực dương α. Nếu ξ là hằng số thì ^C_t

<small>0</small>D_t^αξ = 0.

Giống với phép tính vi–tích phân cổ điển, đạo hàm phân thứ Caputo là nghịch đảo trái của tốn tử tích phân phân thứ.

Định lý 1.4. ([13]) Cho α > 0 và f (t) ∈ C[a, b]. Khi đó ta có

<small>t</small>₀D_t^α(<small>t0</small>I_t^αf (t)) = f (t).

Tuy nhiên, đạo hàm phân thứ Caputo nói chung khơng là tốn tử nghịch đảo phải của tích phân phân thứ. Điều này được chỉ rõ trong định

Định lý sau đây cho ta mối quan hệ giữa đạo hàm phân thứ Caputo và đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville.

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

Định lý 1.6. [13] Cho α > 0 và đặt n = dαe . Với bất kì x ∈ ACⁿ[a, b],

với hầu hết t ∈ [a, b].

Tiếp theo chúng tôi nhắc lại định nghĩa về hàm Mittag-Leffler.

Định nghĩa 1.4. [12] Cho α ∈ C, một hàm E<small>α</small> : C −→ C xác định bởi được gọi là hàm Mittag-Leffler một tham số.

Nhận xét 1.1. Trong Định nghĩa 1.4, nếu cho α = 1, ta có

được gọi là hàm Mittag-Leffler hai tham số. Các hàm Mittag-Leffler nhận giá trị ma trận được định nghĩa hoàn toàn tương tự, tức là

Các tính chất của hàm Mittag-Leffler một tham số, hai tham số đã được trình bày chi tiết trong cuốn sách chuyên khảo của A.A. Kilbas [13].

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số bổ đề được sử dụng để chứng minh các kết quả chính trong các nội dung tiếp theo của luận văn.

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

Bổ đề 1.4. ([9]) Cho u(.), ặ), b(.) và k(.) là các hàm liên tục và không âm trên [t₀, T ], ϕ(.) là hàm liên tục và không âm trên đoạn [t₀− τ, t₀] và

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

Hơn nữa, nếu a(t), b(t), ϕ(t) là các hàm không giảm và ϕ(t₀) = a(t<small>0</small>) thì

Trong mục này, chúng tơi trình bày một tiêu chuẩn cho tính ổn định trong thời gian hữu hạn của hệ tuyến tính phân thứ có trễ. Nội dung của mục này được viết dựa trên bài báo của F. Du và J.G. Lu [9] đăng trên tập san Applied Mathematics Letters năm 2020.

Xét hệ tuyến tính phân thứ có trễ sau đây

trong đó x(t) ∈ Rⁿ là véc tơ trạng thái, 0 < λ < 1, A ∈ R^n×n là ma trận hằng số cho trước, τ là độ trễ, điều kiện ban đầu φ : [−τ, 0] −→ Rⁿ là hàm véc tơ liên tục.

Định nghĩa 1.6. Cho trước các số dương T, δ, . Hệ (1.1) ổn định trong thời gian hữu hạn tương ứng với bộ (T ; δ; ) với 0 < δ <  nếu từ kφk ≤ δ suy ra kx(t)k ≤ , ∀t ∈ [0, T ], trong đó kφk = sup

<small>−τ ≤r≤0</small>

Định lý 1.7. ([9]) Giả sử a(t), b(t) và k(t) là các hàm liên tục, không âm trên đoạn [t₀, T ] và u(t) là một hàm liên tục, không âm trên [t<small>0</small>, T ]

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

Chứng minh. Cho p, q > 0 sao cho λ > ¹_p và ¹_p + ¹_q = 1. Với t [t₀, T ], ỏp dng bt ng thc Hăolder, ta thu được

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

Áp dụng Bổ đề 1.4, ta thu được các ước lượng (1.3)-(1.5).

Định lý dưới đây cho ta một điều kiện đủ cho tính ổn định trong thời gian hữu hạn của hệ tuyến tính phân thứ có trễ (1.1).

Định lý 1.8. ([9]) Hệ (1.1) ổn định trong thời gian hữu hạn tương ứng

Đặt t₀ = 0, u(t) = kx(t)k, a(t) = ϕ(t) = kφk, b(t) = 1, k(t) = kAk. Khi đó a(t), b(t), ϕ(t) là các hàm không giảm và a(0) = ϕ(0). Áp dụng Định lý 1.7 ta thu được đánh giá (1.6).

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

Chương 2

Tính ổn định trong thời gian hữu hạn của mạng nơ-ron Hopfield

phân thứ có trễ

Chương này trình bày một số tiêu chuẩn cho tính ổn định trong thời gian hữu hạn của mạng nơ-ron Hopfield phân thứ có trễ. Mục 3.1 chúng tơi phát biểu bài tốn và trình bày một vài định nghĩa. Mục 3.2, chúng tôi bất đẳng thức Gronwall cho hệ phân thứ có trễ. Mục 3.3, chúng tơi trình bày một số điều kiện đủ cho tính ổn định trong thời gian hữu hạn của mạng nơ-ron Hopfield phân thứ có trễ bằng cách sử dụng bất đẳng thức Gronwall được trình bày trong Mục 3.2. Nội dung của chương này được viết dựa trên bài báo của F. Du và J.G. Lu [10] công bố trên tập san IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems năm 2021.

Để thuận tiện cho việc trình bày, trong cả chương này, chuẩn được xét đến là chuẩn 1 và để đơn giản ta ký hiệu kAk = kAk₁ := max

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

2.1.Phát biểu bài toán và một số định nghĩa

Xét hệ nơ-ron Hopfield phân thứ có trễ

trong đó 0 < λ < 1, n là số nơ ron trong mạng, x(t) = (x₁(t), . . . , x_n(t))^T ∈ Rⁿ là véc tơ trạng thái tại thời điểm t, φ(t) = (φ₁(t), φ<small>2</small>(t), . . . , φ<small>n</small>(t))^T ∈ Rⁿlà điều kiện ban đầu, g(x(t−τ )) = (g₁(x₁(t − τ )), . . . , g_n(x_n(t − τ ))) ∈ trận biểu thị sự kết nối nơ ron thứ i với nơ ron thứ j tại thời điểm t và t − τ tương ứng, trong đó τ > 0 là độ trễ của mạng nơ ron. D = diag{d₁, . . . , d<small>n</small>} là ma trận đường chéo chính xác định dương. I(t) = (I₁(t), . . . , I_n(t))^T ∈ R<small>n</small> là véc tơ nhiễu.

Tiếp theo, chúng tôi trình bày hai định nghĩ về tính ổn định trong thời gian hữu hạn của hệ nơ-ron Hopfield phân thứ có trễ (2.1).

Định nghĩa 2.1. ([15]) Hệ nơ-ron Hopfield phân thứ có trễ (2.1) ổn định trong thời gian hữu hạn tương ứng với bộ (δ, , T ) với 0 < δ <  nếu kφk ≤ δ và I(t) ≤ M suy ra kx(t)k ≤ , ∀t ∈ [0, T ].

Định nghĩa 2.2. ([23]) Hệ nơ-ron Hopfield phân thứ có trễ (2.2) ổn định trong thời gian hữu hạn tương ứng với bộ (δ, , T ) với 0 < δ <  nếu

</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">

kφ−ψk ≤ δ suy ra kx(t)−y(t)k ≤  với bất kỳ nghiệm x(t), y(t) của hệ và t ∈ [0, T ], trong đó kφ−ψk = sup

kφ(t)−ψ(t)k và φ(t), ψ(t), t ∈ [−τ, 0]

là những điều kiện ban đầu.

Nhận xét 2.1. Khi cho D = A = I(t) = 0 và g(x) = x. Khi đó hệ (2.1) trở thành hệ phân thứ được nghiên cứu trong cơng trình của M. Li và J. Wang [17]. Vì vậy có thể nói hệ (2.1) tổng quát hơn lớp hệ được nghiên cứu bởi M. Li và J. Wang [17].

Trong các mục tiếp theo của luận văn, chúng tơi sẽ trình bày tiêu chuẩn cho tính ổn định trong thời gian hữu hạn cho hệ (2.1) theo cả hai định nghĩa trên.

Trong mục này, chúng tơi trình bày bất đẳng thức tích phân Gronwall phân thứ mở rộng. Bất đẳng thức này sẽ được áp dụng để trình bày tính ổn định trong thời gian hữu hạn của hệ nơ-ron Hopfield phân thứ có trễ (2.1). Trước hêt, ta có bổ đề sau đây

Bổ đề 2.1. ([10]) Giả sử rằng f (t), g(t), k(t) và h(t) là các hàm liên tục, không âm trên [t₀, T ](t₀ < T < +∞), ϕ(t) là hàm liên tục, không âm trên [t₀− τ, t<small>0</small>], u(t) là hàm liên tục, không âm trên [t<small>0</small>, T ] thỏa mãn điều kiện dưới đây

</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">

Nhận xét 2.2. Khi g(t) = 1, các ước lượng (2.5) và (2.6) trong Bổ đề 2.1 trở thành các ước lượng (2.8) và (2.9) trong cơng trình của H. Ye và J. Gao [24].

Tiếp theo chúng tơi trình bày bất đẳng thức Gronwall phân thứ dạng tích phân. Bất đẳng thức này đóng vai trị quan trọng trong việc nghiên cứu tính ổn định trong thời gian hữu hạn của hệ nơ ron Hopfield phân thứ (2.1).

Định lý 2.1. ([10]) Giả sử rằng a(t), b(t), k(t) và h(t) là các hàm liên tục, không âm trên đoạn [t₀, T ], ϕ(t) là hàm liên tục không âm trên đoạn

</div>