Các mô hình xác suất và úng dụng phần iii giải tích ngẫu nhiên

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.26 MB, 87 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

ĐẠIHỌCQUỐC GIA HÀ NỘI___________

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

NGUYÊN DUY TIÊN

CÁC MÔ HÌNH XÁC SUẤT VÀ ÚNG DỤNG

PHẦN III:GIẢITÍCHNGẪUNHIÊN

NHÀ XUẤTBẢN ĐẠI HỌCQUỐCGIAHÀ NỘI -2001

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

Giám đốc: NGUYỄN VĂNTHOA Tổng biêntập: NGUYEN THIỆNGÍÁP

PGS. TS ĐINH QUANG Lưu

TS NGUYỄNVIẾT PHÚ

Biên tập và sửa bản in: PHẠM PHÚ TRIÊM

CÁC MỊ HÌNH XÁC SUẤT VÀ ỨNG DỤNG

PHẦN III:GIẢI TÍCH NGAUNHIÊN

Mã sơ :01. 214. ĐH 2001 - 503.2001

In 1000 bản tại Nhà in Đại học Quôc gia I ỉa Nội

Số xuất bản: 4/503/CXB. Sơ' trích ngang: 419 KH/XB

In xong và nộp lưu chiểu quý IV năm 2001

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

Lời nói đầu ... 11

Chương 1. CÁC KIẾN THỨC cơ BẤN v'Ẻ XÁC SUẤT1.1. Biến ngẫu nhiên và hàm phán phối ... 17

1.1. i. Không gian xát suất ... 17

1.1.2. Biến ngầu nhiên ... 22

1.1.3. Kỳ vọng và phương sai ... 24

1.1.1. Phan phối dồng thời hai chiêu ... 32

1.2. Vector ngẫu nhiên ... 35

1.2.1. Hàm phân phối và hàm đặc trưng ... 35

1.2.2. Định lý Bochner ... 35

1.2.3. Phan phôi (Iman iLchivn ... 30

1.3. Tổng các biến ngẫu nhiên độc lập ... 37

1.3.1. l i’i111 (I ọc lạp xác sunI ... 33

1.4. Đinh nghĩa tổng quát của kỳ vọng có điều kiện ... 41

1.1.1. Đói với phân hoạch ... 41

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

1.4.2. Đổi với íT-trrrừng ... 41

1.4.3. Các tính chốt cùa kỳ vọng có điêu kiện ... 44

1.4.4. Các (lịnh lý chuyên giới hạn dưới drill kỳ vọng có điêu kiện . . 46

2.1.2. Phàn phối hữu hạn chiều ... 54

2.1.3. Quỹ đạt) và. không gian quỹ đạo ... 55

2.1.4. Tập trụ và (7-trirừng trụ ... 56

2.1.5. Phàn phối ciia q trình ngẫu nhiên trén khơng gian quỹđạo 57 2.1.6. Định lý ton tại Kolmogorov ... 58

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

2.4. Những lớp các quá trình ngẫu nhiên quan trọng ... 68

2.1.1. Quátrình Gauss... 68

2.4.2. Quátrình gia số độc lạp ... 69

2.4.3. Q trìnhgia số khơng tương quan ... 69

2.4.4. Quátrình dừng (theo nghĩa hẹp) ... 70

2.4.5. Quá trình dừng theo nghĩa rạng ... 71

Chương 3. MARTINGALE VỚI TEtín GIAN RỜI RẠC3.1. Khái niệm tương thích và dự báo được ... 88

3.1.1. Các ơ-trường liên quan tới dãy ngẫu nhiên ... 88

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

3.3.4. Martingale địa phương ... 106

3.3.5. Phép biến đổi martingale ... 107

3.1.2. 13al (lang I lure Kolmogorov ... 110

3. 1.3. Bat (lang tlnrc Boob... 119

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

3.9. Hằng đẳng thức Wald ... 138

3.9.1. Hang đang thức Wald ... 138

3.9.2. Hang đẳng thức cơ bàn Wald ... 141

Chương 4. MARTINGALE VỚI THỜI GIAN LIÊN TỤC4.1. Khái niệm tương thích và dự báo được... 150

4.1.1. Các ơ-tnrờng liên quan tới q trình ...150

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

4.4. Tính liên tục của quy đạo ... 159

4.8.6. Khai trièn Riesz... 163

4.8.7. Khai triêii Doob-Meyer đổi với thế ... 163

4.8.8. Khai triển Dơob-Meyer... 163

4.8.9. Martingale địa phương... 164

4.8.10. Định lý ... 164

Bài tập ... 165

Chương 5. TÍCH PHÂN NGAU nhiên 5.1. Tích phân Wiener ... 167

5.1.1. lích phân \\ ienei ( lia hàm số (lơn giãn... 167

5.1.2. Các tính chất cơ bân cùa tích phàn Wiener cua hàm số đơn giản ... 169

5.1.3. Tích phân Wiener cùa hàm sổ bình phương kha tích ... 171

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

5.2. Tích phân Ito ... 172

5.2.1. Tích phán Ito C1UI hàm ngầu nhiên thuọc lứp jV ... 172

5.2.2. Các tính chất CO' bân cua tích phan Ito cua hàm ngan nhiên thuộc lứp A/~ ... 177

5.2.3. Định lý ... 177

5.2. 1. Định lý ve bân sao liên tục cua tíc h phân Ito cua hàm lìgẫu nhiên 1 h lộc lứp A ... 178

5-3. Mờ rộng tích phân Ito ... 179

5.3- 1. Tích phàn Ito cùa hàm ngẫunhiên thuộc lóp .M ... 181

5.3. 2. Tích phân Wiener nhiêu chiêu ... 182

5.4. Vỉ phân ngẫu nhiên cúa hàm hợp, công thức Ito ... 183

5.4.1. Công thức Ito 1-chieu ... 183

5.4.2. Cóng thire Ito nhiêu chiều ... 187

5.4.3. Ví clii ... 188

5.4.1. Cịng t hire tích phan tírng phan ... 189

5.5. Phương trình vi phân ngẫu nhiên ... 189

5.5.1. 1’hircrng trình vi phàn ngẫu nhiên là gì? ... 189

5.5-2. Định lý ton tại cluv nhai Iighiẹm ... 190

5.5.3. Ví <lụ giãi phircrng trình vi phan ngẫu nhiên ... 190

5.5.4. Nghiệm mạnh và nghiệm yếu ... 194

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

Xác suất Thống kê là lĩnh vực toán ứng dung, nó địi hỏ; một cơ sờ tốn học. sâu sắc. Ngày nay các mơ hình xác suất đã thực sự được ứng dụng rộng

rãi trong khoa học tự nhiên cũng như trong khoa học xã hội. Tuy nhiên, ờ

Việt Nam có rất ít những tài liệu về các mơ hình xác suất và ứng dụng của chúng. Đó là lý do chính để chúng tơi viết giáo trình này. Nhằm phục: vụ các độc- giả trong nhiều lĩnh vực. khác nhau (toán học, vật lý, CO’ học, sinh học,

khoa học trái đất, kinh tế, y học, nông nghiệp, v.v...) nên giáo trình được viết theo tinh thần: chính xác: về lý thuyết tới mere: độ nhất định, có nhiều

ví dụ ứng dụng cụ thể thường gặp trong thực tế và tương đối dỗ hiểu.

Giáo trình Các mơ hình xác suất và ứng dụng do GS.TSKH Nguyền

Duy Tiến chủ biên bao gồm:

Phần I. Xích Markov và ứng dụng, GS.TSKH Nguyền Duy Tiến viết.

Phần II. Quá trình dừng và ứng dụng, PGS-TSKH Đặng Hùng Thắng viết.

Phần III. Giải tích ngẫu nhiên. GS.TSKH Nguyễn Duy Tiến viết.

Các thành viên của Bộ mơn Xác suất Thống kê, Khoa Tốn - Cơ - Tin

học, Trường ĐHKHTN - ĐHQGHN dã. nhiều năm giáng dạy Q trình ngầu nhiên và tích lũy được nhiều kinh nghiệm đề viết giáo trình này dưới dạng

mơ hình ứng dụng phục vụ cho đông đảo bạn đọc. Tuy nhiên, đáy khơng phải là giáo trình sơ cấp. Vì vậy đế đổ dạt được hiệu quà cao, bạn đọc cần phải có kiến thức tốn của hai năm đầu đại học’ và đặc- biệt phai có kiến thức xác: suất CÔ điển (chẳng hạn như trong Đào Hữu Hồ [1], Đặng Hùng Thắng

[2]. hoặc Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến [3]).

Chúng tơi hy vong giáo trình này sẽ có ích cho nhiêu bạn doe. phục vụ

tốt cho việc giảng dạy. nghiên cứu và ứng dụng.

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

Chắc chắn giáo trình cịn nhiều thiếu sót. Rất mong nhận được sir góp ý và chỉ bảo của bạn đọc. Chúng tôi xin chân thành cám ơn.

Cuối cùng chúng tôi xin cám ơn Ban Giám hiệu Trường ĐHKHTN - ĐHQGHN, Khoa. Toán - Cơ - Tin học. Bộ môn Xác suất Thống kê Trường ĐHKHTN - ĐHQGHN và Nhà. Xuất Bản ĐHQGHN đà. động viên, cổ vũ và

tận tình giúp đỡ chúng tơi biên soạn tài giáo trình này

Hà Nội mùa thu năm 1999

Các tác giã

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN

Khác với các phần I-IĨ, pha.il III được viết ở mức độ khá cao và khá. trừu

tượng, bời lẽ giải tích ngầu nhiên, ngồi các kiến thức tốn học như tích phân Riemann. đại sổ ma trận, ta cần phải nắm vững một. số kết q trừu tượng

('lìa giải tích và đại số.

Giài tích ngẫu nhiên là một chun de khó đối vứi sinh viên. Để hiếu nội

(lung cùa phần này. bạn cần phải :

1. Nắm vững các kiến thức cơ bàn cùa xác suất co dien,

2. Nắm vững lý thuyết độ đo và tích phán Lebesgue,

3. Nắm vững các tính chất của kỳ vọng có điều kiện đối với cr-trường,

4. Nắm được nội dung cơ bân Phan I: Xích Markov, phần II: Q trình

. dừng cua tài liệu: Các mơ hình xác suất và ứng dụng (do chúng tơi biên soạn,

xem [5], [6]).

Giãi tích ngẫu nhiên là cơ sỡ tốn hoc de nghiên cứu q trình ngẫu

nhiên. Cũng như giâi tích kinh dien, giả.i tích ngầu nhiên dồ cập tới các vấn

đề then chốt sau:

- Giới hạn và liên tục.

- Quỹ đạo và các tính chất quỹ đạo của quá trình ngẫu nhiên,

- Phân phối cùa q trình ngẫu nhiên trên khơng gian quỹ dạo.

- Phân loại q trình ngẫu nhiên,

- Tích phân ngẫu nhiên, phương trình vi phân ngẫu nhiên,

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

- Hội tu cúa quá trình ngẫu nhiên.

Trong một giỉío trình ngắn, khơng the trình bày dầy dú các vãn đe tron. Chúng tơi chi tạp trung trình bày một số khái niệm và kết quả quan trọng nhất cua giải tích ngầu nhiên.

Phần III: GIẨI TÍCH NGẪU NHIÊN (gồm 4 chương)

Chương 1 trình bày:

- Torn tat các kết quả quan trọng nhất của xác suất cô điên dựa trên độ

do và tích phân Lebesgue;

- Kỳ vọng có điều kiộn. (Đày là mục đích chính của chương 1.)

Chương 2 trình bày các định nghĩa cơ bần về q trình ngẫu nhiên. Chúng tơi tập trung vào giải thích ý nghĩa cua các khái niệm như: Phán phối hữu hạn chiêu; Điêu kiện nhất qiĩán; Sự tồn tại cùa qitá trình ngẫu

nhiêm Các tính chất quỹ dạo. Sau dó trình bày sir phản lớp các q trình

ngầu nhiên: Q trình Gauss: Q trình có gia số độc lập; Quá trình dừng. Đặc biệt quan trọng là quá trình Wiener.

Chương 3 dành cho lý thuyết martingale với thời gian rời rạc.

Nội dung chính của. chương 3 là: Các bất đằng thức; Các dịrih lý hội tụ; Thời diem dừng. Bất dang thức Doob và. định lý Doob ve sự hội tụ cua. martingale

là mục đích chính cúa chương 3. Bạn có thề đọc chương 3 ngay sau khi đọc hết chương 1.

Nội dung của chương 4 tương tự như nội dung của chương 3. Chương4 dành cho lý thuyết martingale với thỊÒd gian liên tục. Hầu hết các két qúâ của. phần này chì được phát biếu, khơng chứng minh (vì các chứng

minh hoặc giống trường hợp rời rạc, hoặc rất phức tạp và khó). Nhưng chúng

tịi cố gắng chi rõ những khó khăn khi chuyền các kết quà. của martingale từ

thời gian rời rạc lên thời gian lien tục.

Chương 5 dành cho lý thuyết tích phân ngẫu nhiên. Đầu tiên ta

dịnh nghĩa tích phân Wiener, sau đó là tích phân và vi phân Ito. Cóng thức

Ito ve vi phan cùa hàm hợp là kết quá then chốt. Phương trình vi phân ngẫu nhiên, bài toán lọc Kanman-Bucci cũng được đồ cập tới trong chương này.

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

Mỗi chương đều có bài tập giúp bạn đọc hiều sâu thêm lý thuyết và tập 1'rng dụng giải các bài toán thực tế. Bài tập khó có đánh dấu

Nội dung cúa giáo trình này được biên soạn theo các sách trong phần tài liệu tham khÀo.

Chúng tôi chân thành cám ơn TS. Nguyễn Viết Phú, PGS.TSKH. Đinh

Quang Lưu vầ PGS. TS. Nguồn Văn Hữu đã đọc kỹ bàn thảo và góp nhiều ý kiến q báu đê’ giáo trình nà.y hồn thiện hơn.

Hà Nội mùa thu năm 2000 Nguyễn Duy Tiến

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

Chương 1

Xác suất và thống kê bắt nguồn từ nhũng vấn đồ thực tế liên quan đến xử lý số liệu thực nghiêm. Tuy vậy, có thổ nói rằng, cơ sợ tốn học của lý thuyết xác suất và thống kê là. độ đo vả tích phân Lebesgue, một lĩnh vực

toán học khá trừu tượng. Đặc biệt, để nghiên cứu giải tích ngầu nhiên, bạn phải nắm khá. vững lý thuyết độ đo vả tích phân Lebesgue và một số khái niệm cơ bản cũng như những kết quà then chốt của xác suất cổ điển. Để giúp bạn đọc hiểu rõ bàn chất cùa giãi tích ngẫu nhiên, trong chương này,

chúng tơi trình bày tóm tắt những điều cốt yếu nhất của lý thuyết độ đo và

t ích phân Lebesgue, và ciìa xác suất co điên.

Ngồi ra, vì giải tích ngẫu nhiên nghiên cứu các q trình ngầu nhiên mơ tà quan sát sự tiến triển theo thời gian cùa một hệ thống nào đó, nên cần

phái điền giài sự phụ thuộc giữa, các- quan sát tại các thời điếm khác nhan. Trong xác suất và. thống kê, khá.i niệm xác suất có điồu kiện và kỳ vọng có

cĩiou kiện thường (lược dùng đe mô phổng sự plm thuộc nói trên. Chính vì

thế, mục đích chính của chúng tơi trong chương này là trình bày (khá chi tiết) định nghĩa tổng quát của kỳ vọng có điều kiện (đối với ơ-trường).

Bạn hãy đọc kỹ phần nà.y trước khi đọc tiếp các chương sau. .

1.1. Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối1.1.1. Khơng gian xác suất

Thí nghiệm (hay phép thừ) ngẫu nhiên là thí nghiệm có nhiều kết q

mà ta khơng thể đốn trước kết quả nào sẽ xảy ra. Tập hợp tất cả. các kẹt

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

quả có thể có của thí nghiệm được gọi là khơng gian mẫu và được ký hiệu

là. Q. Mỗi tập hợp con A c Q được gọi là một biến cố. Dưới đây ta giả sử Q là tập khác rỗng nào đó.

• Một họ các biến cố A được gọi là trường (hay đại số) nếu: (i) A chúakhông gian mẫu, tức là, Q G A ,

(ii) yl kín đối với-phép lấyphần bù,tức là, A E A thì A' EX. trong

đó Ac = Q \ A,

(iii) A kín đối với phéplấy hợphữu hạn, tức là, nếu

Ak EA, k— thỉ i,_J A,I E A

• Một họ các biến cố A được gọi là ơ-trường (hay ơ-đại số) nếu:

(i) Achúa khơnggian mẫu, tức là, Q G A,

(ii) Akín đối với phéplấyphần bù, tức là A E A thì yV' E A,trong

đo Ah í 2 A,

(iii) Akín đối với phép lấy hợpđốmđuợc,tức là. nếu

An EA,n = 1,2,... thi [JAJt E A.n=l

• Khơng gian đo là cặp (Í2, A). trong đó Í2 là khơng gian màu lìào đó,

A là ơ-trường.

• Già. sử c lằ tập mà. mồi phần từ của nó là tập con của Q. Khi đó ta nói c lồ một lớp. Ta ký hiệu 2n là lớp gồm tất cả các tạp (’Oil cùa ỉỉ. Đó

là ư-trường lớn nhất. Trong khi đó lớp gồm hai tập: (Í2,0) là ư-trường bé nhất. Giao của các ơ-trường chứa c cũng là íT-trườug chứa c. Vì thế. tồn

tại ơ-trường bé nhất chứa c. Ta ký hiệu íT-trường này là ư(C), và gọi đó là ơ-trường sinh ra tír c.

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

• về thực chất <7-trường là khái niệm tổng quát hoá khái niệm phân hoạch. Nói rằng dãy (hữu hạn hoặc vơ hạn) các tập (An) là phân hoạch của. Q. nếu hợp cua chúng bằng Q và chúng rời nhau từng cặp, tức là,

trong dó ỉ là tập con cùa. {1,2,...}.

• Cho (Au) là dãy các tập con của Q. Ký hiệu

lim ■/supAn-nuAk, lim inf An —

u nAk

limsupA,! = lim infAn

thì ta nói (A„) có giới han, và ký hiêu các tâp bằng nhau này bởi

ỉimAn. Trong trường hợp dổ ta nói limAu là giới hạn ẹỉủa dãy (A„_).

• Ta, nói (A-u) là dãy đơn điệu không giàm nếu An c A.u-ị-1, và nói

(Au.) là dãy đơn điệu khơng tăng nếu Au+1 c Azl. Nói rằng (Au) là dãy

đơn điệu nếu nó hoặc đơn điệu khơng giảm, hoặc đơn điệu khơng tăng.

• Lớp yM là đơn điệu nếu A4 chứa giới hạn của các dày đơn điệu cùa nó, tức là nếu Au G A4. và (Au) đơn điệu thì lim A„ G Ní. Dề dàng thấy rằng:

A ỉàơ-trư.ừỉtg khi và cỉtĩ khi A lò. trường,và đơn điệu;

Nếu cỉà đạisố thỉ cr(C) — NÍ(C), trong đó Nt(C) là lớpđơn điệu bé nhất

(■.h ứa c.

</div>Trang 22<div class="page_container" data-page="22">

• Cho hai khơng gian đo (ill , >11), (ÍI2, A2). Tập chữ nhật là tập có dạng

Al X A2, At e Ai, i = 1,2.

Ký hiện Aỵ ®A? là ơ-trường bé nhất chứa, các tập chữ nhật, và gọi đó là

ơ-trường tích. Khi đó, (Qi X n2,Ai ® A2) được gọi là khơng gian đo tích. Tương tự ta định nghĩa khơng gian đo tích cho một số hữu hạn các

khơng gian đo:

M n

k= 1 k— 1

• Khi Í2 là khơng gian metric E, thì ta. ký hiệu 13(E) là ơ-trường sinh ra từ các tập mờ. và gọi 13(E) là ư-trường Borel của E. Ttong trường hợp E

là đường thằng thực IR, thì 3(IR) trùng với ơ- trường sinh ra từ các khoảng.

Khi E = IRn thì ta viết Ì3n thay cho ổ(IRĩl).

• Ta hiểu độ đo trôn ơ-trường A là. ánh xạ /,4 ; A » [0,00] sao cho tồn tai A EA với fj>(A) < 00 và nếu An G An — 1, 2, ... là dãy các tập

rời nhau từng cập thì

M ( J ụ,(A7l) .

Độ đo ỊJ, là hữu hạn nếu /1(Í1) < 00; Độ đo ụ, là ơ-hữu hạn hay hữu hạn đếm được nếu

Độ đo ỊJ, được gọi là đủ hay chính xác hơn A là đủ đối với /.I nếu A

chứa tất cà các tập có /4-độ đo khơng.

cr-trường bổ sung của A đối với /4 được định nghĩa theo công thức sau

Ặ, = (Ceil I tồn tại Ai, A2 e A,Ai c c c A2, M(^! \ A2) 0

</div>Trang 23<div class="page_container" data-page="23">

Hiổn nhiên Aft là đủ đối với ẬẬ.

• Xác suất p là. độ đo chuẩn hóa, tức là P(Í2) = 1. Trong trường hợp (1(5. bộ ba (Q,>1, P) đirợc gọi là không gian xác suất (cơ sở). Nếu .4 đủ dối với F thì ta. nói (Q,.A,P) là. khơng gian xác suất đủ.

Ta thường (lùng các ký hiệu sau:

P(z4), ĨPịXÌ, ĨP{yl} để chì xác suất cúa biến cố A.

P(yl|B),F[zl|B], ĨP{.4ỊB} đe chi xác suất có điều kiện cùa 4 khi Ỉ3 đã xay ra (hoặc B đà cho).

Xác suất có (lieu kiện được định nghĩa, theo còng thức

P(j4|n) = "Vea/0- P(B) >

°-• Giã sữ c là lớp nào đó. Ta. gọi hàm tập là ánh xạ y? : c —» [—00,00] nhưng chi có thố nhận một trong hai giá trị —00, +00. Ta luôn giả thiết tồn tạ.i c ỂE c sao cho —00 < ụ?(C) < 00.

Nếu — 00 < 99(C) < 00 với mọi c Ec thì ta nói <p hữu hạn.

Nếu Ỉ7 phản hoạch thành một dãy các < ý?(ơ„) < 00 với mọi H — 1,2,... thì ta

Nếu 9?(C) > 0 với mọi c E c thì ta nói 99 khơng âm

Nếu *p(A u B) —<p(A) -í- <p(B) với mọi A, B E c thoa mãn điều kiện /lul? t V, A n B — 0 thì ta nói 99 cộng tính hữu hạn.

Nếu limn <^(j4„) = 0 với mọi dãy (An E C) đơn điệu giảm tới 0 (tức là,

nẤ„ — 0), và 0 E c thì ta. nói <p liên tục tại 0.

Kết quả sau thường đirợc áp dụng: Nếu 99 hữ’u hạn (hoặc không âm), cộng tinh h'ữ.u hạnvà 99 liên tục tại 0 thì 97 cộng tính đếm đưực (hay <7-cộng tính), tức là, nếuAn Ec ,n = 1,2, ... là dãy các tậpvời nhau từng

cặp saocho

71=1

</div>Trang 24<div class="page_container" data-page="24">

n.= 1 71=1

Ngượclại, nếu ự) hưu hạn và cộng tính đốm được thì '-Pliêntục tại 0.

• Khai triền Hahn-Jordan. Nếu (£> là hàm tập xác định trên cr-trưừng

>1, cộng tính đếm được thì tồn tại hai độ đo v?+, <p~ xác định trên >1 sao cho V?(.A) = ọ9+(yl) — g> (A), Vj4 e A.

• Mờ rông độ đo. Nếu ịx làhàm tập không âm xácđịnh trêntrường c,

cộngtính đếm được và hữu hạn (hoặc hữuhạn đếm được), thỉ tồn tạ.i duy nhất một độ đo /ĩ : ư(C) —> [0, co] (xác định trên ơ-trường bé nhốt. chứa.C)

sao cho

ỹ(C) - fi(cỵ VCeC.

Tử đâysuy ra hai độđo trênơ(C) bằng nhautrên cthìbằng nhau trên ư(C).

• Độ đo tích. Giả sử (Hí, Xi,/Ắặ), i = 1, 2 là hai khơng gian có độ đo hữu hạn hoặc hữu hạn đếm được. Khi đó, tồn tại và. duy nhất độ đo /Zị X /./2, được gọi là. độ đo tích của /Z1,/Z2, trên khơng gian đo tích

(Qi X Cì.2, >11 ® .Ao) sao cho

/lỵ X /12(^1 X A2) — /L1(Ai)fi2(Á2), Ai <E. Ai, i — 1,2.

1.1.2. Biến ngẫu nhiên

• Nói một cách chung chung thì biến ngẫu nghiên là. đại lượng mà giá trị

của nó phụ thuộc vào kết quả cùa. thí nghiệm. Định nghĩa chính xác cùa. nó

</div>Trang 25<div class="page_container" data-page="25">

(i) không giàm , (ii) liên tục bên phải,

(iii) lim F(x) — 0 , lim F\.r')= 1.

';c-4.-00 X-++OC

Biến ngẫu nhiên X được gọi là rời rạc nếu tập tất cà các giá trị của nó là hữu hạn hay đếm được. Ký hiệu ...) là. các giá trị của X.

Ta đặt pn = P(X = .?:„) , (?/. = 1, 2, ...) và gọi (pTi) là dãy phân phối xác suất cùa X.

Dày số này có các tính chất (cần và đủ) sau:

(i) khơng âm. tức là pIL > 0 (n — 1,2,...),

• Già sứ (í 2, A.) và (B, Ĩ3) là hai không gian đo. Ánh xạ. X: Ị>ì —ì E được

gọi là đo được, hay chính xác hơn là (X,Z3)-đo được, nếu

VBeổ,

</div>Trang 26<div class="page_container" data-page="26">

hoặc tương đương

trong đi') Ỉ3 =rr(C). Nếu (Q.A,/i) là. khơng gian có độ đo, thì ta đặt

Khỉ đố) fj,x là độ đo xác định trên Ỉ3. Ta gọi /J-X là độ đo ành của độ đo// qua ánh xạ X. Trong trường hợp /í — p là độ đo xác suất, thì được

gọi là phân phối (xác suất) cda X (trên không gian trạng thái £■). Khi

E = ]Rn, Ỉ3 = ổ(IRn), thì X = (_¥1, ...,XTt) được gọi là vector ngảu nhiên và 1P.X' được gọi là phân phối đồng thời của các biến ngẫu nhiên ...yX„.

Cần chú ý rằng:

- Mỗi độ đo xác suất trên (IR, Ì3) tương ứng duy nhất (chính xác đến

hằng số công) với hàm phân phối xác suất F (tức là F không giảm, liên tuc

phái, giới hạn ờ —oo bằng 0, giới hạn ờ +oo bằng 1) theo còng thức /t((n,ò]) = F(6)-F(a).

- Trén (IR" , 23") có độ đo duy nhất Ă sao cho A-độ đo của hình hộ]) bằng

the tích cua hình hộp. Độ do này được gọi là độ đo Lebesgue của ]R”. Mói

tạp thuộc Ì3n được gọi là tập Borel; trong khi đó, mồi tập của Bỵ (ơ-trường

bo sung cut) 23" dối với A) được gọi ỉà tập Lebesgue. Tất nhiên

Bn c

Hàm f : 1R" —à IR được gọi là hàm Borel, nếu nó đo dược đối với 23"; được gọi là hàm Lcbesgue-đo được nếu nó đo được đối với Z3£. Chằng hạn, các hàm liên tục là Borel.

1.1.3. Kỳ vọng và phương sai

Giã sư (Q,M, P) ỉà không gian xác suất., X là biến ngẫu nhiên.

</div>Trang 27<div class="page_container" data-page="27">

nếu chuỗi hội tụ tuyệt đối.

Kỳ vọng có điều kiện của. X khi biến cố B đã. cho là số thực xác đinh

theo cóng thức

E(X|B) - = xrt|B).

Phương sai của. X là. số thực không âm xác định theo công thức

VarX - E[X - EX]2 = EX2 - (EX)2

là số thực không âm xác định theo công thức

= E[X - EX]2 = EX2 - (EX)2

— ị X2 f{x)dx — ( Ịxf{x)dx^ .— <~yCì —rx~)

</div>Trang 28<div class="page_container" data-page="28">

Ta. có cơng thức sau: với r > 1

• Định nghĩa tổng quát của kỳ vọng. Trước hết ta trình bày vắn tắt

cách xây dựng tích phân Lebesgue. Giả sử (Q, yljp) là khơng gia.n có độ đo,

hữu hạn, thì ta nói / có tích phân Lebesgue (đối với độ đo p.) và. đặt

Nếu cà hai tích phân ờ vế phải hữu hạn, thì ta nói / khả tích Lebesgue

(đối với độ đo p,).

</div>Trang 29<div class="page_container" data-page="29">

27 Bằng cách tương tự ta, định nghĩa hàm đo được / : íì —> 1R, trong đó

IR = [—00,00], và định nghĩa tích phân Lebesgue cho những hàm như thế. Trong lý thuyết xác suất, X : Q —> IR được gọi là biến ngẫu nhiên suy

và gọi đó là kỳ vọng của X. Ta nói Xcó kỳ vọng hữu hạn nếu EỊXI < oo, và nói X có kỳ vọng nếu một trong hai số + hữu hạn.

• Khơng gian Lr. Cho hại hàm đo được f,g. Nói rằng /, g bằng nhau hầu

khắp nơi, nếu tập

{(U e Q|/(íu) Ạg(u)}

có /í-độ đo khơng. Trong trường hợp như thế ta viết f~g hay chính xác

hơn f= g (mod /t). Dưới đây ta đồng nhất các hàm bằng nhau hầu khắp nơi. Ta thường dùng các ký hiệu sau:

Z/o(D,/r) — tập các hàm đo được,

với 0 < r < oo ta đặt

run. M) = tập các hàm đo được ỉ sao cho Ị |/r<ỈM < oo,

Z-ooffZj/z) — tập các hàm đo được bị chặn.

Khi đã cho không gian có độ đo cụ thể, thì ta dùng ký hiệu vắn tắt L,.,0 < < oo, thay cho các ký hiệu trên.

• Các khái niệm hội tụ. Cho dãy fn G Lo- Nói rằng fn hội tụ /1-hầu khắp nơi nếu tập

{cc G Í2| (/n.(cư)) khơng hội tụ }

</div>Trang 30<div class="page_container" data-page="30">

có p-độ đo khơng. Vậy, khi bỏ đi một tập có độ đo khơng, tồn tại f = ỉimn fn,

Cho day f7l Ể Lr. Nói rằng fn hội tụ trong Lr (hay hội tụ trung bình cấp

r. 0 < < co) tới fE L, . nếu

- f\' dp. = 0.

Khi p — p là độ đo xác suất thì ta nói hơi tụ hầu chắc chắn thay cho hội tụ hầu khắp nơi; hội tụ theo xác suất thay cho hội tụ theo độ do. Ngoài

ra, nếu (JCn) là dãy các biến ngẫu nhiên, thì (X,i) hội tụ theo phân phối

đến biến ngẫu nhiên X nếu với mọi hàm thực / : IR —» IR liên tục và bị chặn ta có

J f(x')dPXn = Jf(x)dPx.

Ta cần nhớ các kết quả sau:

Hội tụ theo xác.suấtkéotheo hội tụ theophân phối.

Hội tụ hầuchắc chắn kéo theohội tụ theo xácsuất. Ngượclụi; một dãy

hộitụ theoxác suất thì cómộtdãy conhộitụ hầu chắc chắn.Hộitụ trong Lri0 < r < oo kéotheo hội tụ theoxác suất.

Các kết quả sau là những nét đặ.c sắc nhất của. tích phân Lebesgue.

• Định lý hội tụ đơn điệu (của B.Levy). Nếu (fn) là dãy thuộc Lo, đơn điệu tăng, không âm và hội tụ hầu khắp nơi tới f thì

</div>Trang 31<div class="page_container" data-page="31">

• Định lý hội tụ bị chặn (của Lebesgue), Nếu (/Ti) là dãy thuộc Lq hội tụ hầu khắp nơi tới f và tồn tại g ELỵ sao cho

sup \fn\ <g mod ụ,

thì f E Lỵ và.

Jim J ỉndp.= J fdự.

Q Q

* Khả tích đều. Họ {fa} trong L1 được gọi là khả tích đều, nếu với mọi

f: > 0, ton tại số dương K sao cho

sup y \fn\dfi < e.

Ta cần nhớ kết quà sau: Giảsử (An) là dãycác biến ngẫu nhiên thuộcLr,l< r < oo, hộitụ theođộ đo hoặc hộitụhầu chắcchắn tới X, thì ba

điều sau là tuơngđuơng

(ĩ) (N.n) hộitụ tới X trongLr;

(ii) (ịxrt|r) khả tích đều;

(iii) E|A’n,|r = E|-X’|r.

Hơn nứa,nếu mộttrong haiđiều kiện sauđuợc thụchiện, thì (ỉ), (iỉ)

và(iii) ở trênsẽđuợc thục hiện

</div>Trang 32<div class="page_container" data-page="32">

(iv) sup,, |X,JZ' < oo, r

(v)Tồn tại Y t L,- .saocho |Xn| < K Vn.

• Cơng thức đổi biến. Già sử (Q,X) và (£?, 13) là hai không gian đo, và _Y : Q —> E là (4., 23)-đo được. Nến (Ỉ2,4,/1) là khơng gian có độ đo, thì ta

Đặc biệt, riếu /./, = p là độ đo xác suất; X : í2 —> Hì"' là vector ngẫu nhiên và

/ : Hì" —> Hì kì hàm nhiêu biến Borel-đo được, thì

Kết quổ sau đây là then chốt để định nghĩa kỳ vọng có điều kiện tổng

• £>ịnh lý Radon-Nikodym. Trơn cùng một không gian đo (Q, .4) ta xét hai hàm tập cộng tính đếm được </>, ýn Nói rằng tp tuyệt đối liên tục đối

với '0 và viết p <v lị} nếu Ịi/;|(A) = 0 thì q?(A) = 0, trong đó |'0| = ?/>+

4-(xem khai tricn Hahn-Jordan).

Gia sừ /í là độ đo trên A. và f E L(](Í2,//,) và / có tích phân Lebesgue.

Đặt

</div>Trang 33<div class="page_container" data-page="33">

Khi đó. /I và mọt trong hai y?+, Ip~ ỉà. độ đo hữu hạn. Ngược lại, giàsù p. là độ do <7-hữu hạn trên X và ự? là hàm,Lậpơ-hùu hạntrên >4 sao cho một tronghai 'P +, ip~làđộđo hữu hạn. Nếu

Hơn nữa, / khảtích Lebesgue khi vàchi khi iphữu hạn. Đạo hàm Radon- Nikod.gm đuợc xác định duy nhất fj,- hầu khắp nơi(hoặcxác đỉnh duy nhất sai

khác mộttập có /1 độ đo không),tức là nếu f, f làđạo hàm. Radon-Nikodym

cùa p dối với ụ, thì

G Q|/(u>) /M} = 0.

Nếu p và u là hai dộ đo trên A, pb z>, và g € thì ta có cơng thức đơi độ đo sau:

ígdfi — ỉ g—^du, TA € A.

Neu X : Q —» Z?” là vector ngẫu nhiên, và Px liên tục tuyệt đối đối với (lộ (lo Lebesgue A thông thưởng cùa, IR'1, thì

được gọi là mật độ của X.

Định lý Fubini. Giả sử (Qi, Ai, pbi),i= 1,2 là hai khơnggian có đệđo hữu

hạn hoặc hữu hạn đếmdược,Ịj,ỵ X /J.2 là độđo tích trênkhơng gianđotích

(Í71 X Q2, A1 ®Aỉ)- Giả sii f : Qi X Q2 —+ IR là Ai® Ạz-đo đuợc và

cai, ía2)[d(/ii X/12) <00.

Q

</div>Trang 34<div class="page_container" data-page="34">

San khi đã có những kiến thức, trên về độ đo và tích phân Lebesgue ta dễ dàng tìm hiên những khái niệm cơ bàn của xác suốt. Đê dễ hiểu, trước hết ta xét trường hợp hai chiều.

1.1.4 Hàm phân phối đồng thời hai chiêu

Gill sử X và Y là hai biến ngẫu nhiên. Hàm phân phối đồng thời của

X. y dược xác định theo công thức

-F(a;, ,ự) = P(X < X-, Y < ỵy) ; .r, y € IR.

• Trường hợp rời rạc.

Giá sử X và Y lằ. hai biến ngẫu nhiên rời rạc. Khi đó dã.y số kép

Pij = P(X = Xi, Y = yy)

</div>Trang 35<div class="page_container" data-page="35">

Nếu X, Y có moment cấp hai hữu hạn, thì covarian và hệ số tươngquan của X,Y được xác định theo các công thức tương ứng sau:

cov(X.y) = E[(X - EX)(r - EK)i = EXT - EXEK = y2 xiyjPij — EXEK

_ covjX, Y)

x/Var X Var Y

Trirờng hợp liên tục.

Nếu hàm phân phối đồng thời của X, Y có dạng

thì lui gọi là mật độ đồng thời của X, y.

Khi đó, hàm mật độ của X được tính theo cơng thức

=Ị f (xpy)dy

</div>Trang 36<div class="page_container" data-page="36">

và. hàm mật độ cùa. Y được tính theo cơng thức.

fy(y)

=y /o,

y)dx.

Hàmmật độ có điêu kiện của X khi đãcho Y = y được tỉnh,theo

công thức

-vàkỳ vọng cóđiềukiện của X khỉ đã cho Y— yđược tính theo cơng thức

E[x|r = í/] = xfx\Y^\y)dx.

Nếu tại Y — y ta đặt E(X|y) -- E(Xjy - y) thì nói chung £?(JCịK) là biến ngẫu nhiên và được gọi là kỳ vọng có điều kiện của

X đối với Y .

Chú ý rằng trong mọi trường hợp ta. đều có cơng thức quan trọng sau

EX = E[E(X|Y)].

Nếu X, Y có moment cấp hai hữu hạn, thì covarian và hệ số tương quan

cùa. X, Y được xác định theo các công thức tương ứng sau:

cov(X,y) = E[(X - EX)(r - Eh)J = Exy - EXEK

</div>Trang 37<div class="page_container" data-page="37">

1.2. Vector ngẫu nhiên

1.2.1. Hàm phân phối và hàm đặc trưng. Ta nói rằng X = (X1, Xd)

là vector ngẫu nhiên d chiều, nếu mỗi thành phần k = l,...,rZ cùa X là biến ngẫu nhiên. Nói cách khác, X : Q —■> IR/7 là vector ngẫu nhiên, nếu

{cư e Q|X1 < Xỵ,...,xd < Xd} e Avờ' mọi X — (.T1,.. ,Xd) E IRd.

Hàm phân phối của vector X được xác định theo công thức sau:

Hàm này thường được gọi lả hàm phân phối đồng thịrì của các biến ngẫu nhiên và được, ký hiệu là:

Tỵ-!,. Xd) P{X1 < X1, ...,xd <xd}.

Khi d = 1, ta trò về khái niệm biến ngẫu nhiên và hàm phân phối (một

chiêu); Khi d = 2, ta trờ về khái nỉệm vector ngẫu nhiên và hàm phân phối hai chiều đã xét ờ trên.

Dễ (làng định nghĩa vector ngẫu nhiên rời rạc, vector ngẫu nhiên liên tục, và. hàm mật độ cho trường họp d > 3.

Hàm đặc trưng của X được xác định theo cơng thức sau:

<Ay,... .Y„(t) Ee«‘-X> = y'e,<t-x>£ZP = ị è<l’x>dFx^),

</div>Trang 38<div class="page_container" data-page="38">

1.2.2. Định lý Bochner. Diều kiện cầnvà đủ đê : IRd —> c là hàmđặc.

đốivới mọi fl e N, C1, ...,cn E c vàE ỈRư.

(iii)ipliên tục tại (0, ....0).

Ta nhác lại rằng: các biếnngẫu nhiên Xỵ, xd độc lập khivà chì khi một trong hai điêu kiện tương đương sau đây được thực hiện:

•Hàm phânphối đồng thời bằng tích cáchàm phânphối thành phần, túc

Fxỵ Xrf(^i, ■■■,Xcí)— X • X Fxd

(^ư)-•Hàm đặctrưng cùa X bằngtích các hàm đặctrưngthành phần, tứclà,

-Ad) = ơi) X •- • X<pXtí(id)

1.2.3. Phân phối chuẩn d-chiều

Ta. nói rằng X có phân phối chuẩn hay X là vector Gauss, nếu hàm đạc

trrrng cùa. nó có dạng

...xrí(tỵ, —,td) = exp —ộQAi > ■■■,td)^,

trong đó m =(rn 1, Iìid) E JRf/ là vector nào đó, Q(tỵ, Ể<y) là dạng tồn phương xác định không â.m:

Q(t) = Q(ti,—Ad) =yz ^jktjtk-j,k—l

</div>Trang 39<div class="page_container" data-page="39">

•Xi,Xd độc lập khi và chỉ khi A có dạng đường chéo.

• Nếu A khơng suy biến (tức là định thức của A khác khơng), thì X có

trong đó dct A là định thức cúa A, cịn Xjk là phần phụ đại số cúa Xjk.

• Nếu bring của A bang (?• < (7), thì tồn tại r biến ngầu nhiên độc lập

£11 vó phàn phối chuẩn với trung bình bằng 0. phương sai bằng 1 sao

cho mỗi thành phần xk là tổ hợp tuyến tính của T biến ngẫu nhiên này.

• X = (X1, X(i) là vector Gauss khi và. chỉ khi mỗi tổ hợp tuyến tính cua Xi,...,Xd là biến ngẫu nhiên chuẩn.

Bây giờ ta diem qua một số kết quà cơ bản nhất của lý thuyết xác suất kinh dien lien quan tới các biến ngẫu nhiên độc lập.

1.3. Tổng các biến ngẫu nhiên độc lập

Trước hốt ta trình bày khái niệm độc lập cho các lớp biến cố.

</div>Trang 40<div class="page_container" data-page="40">

1.3.1. Tính độc lập xác suất

Giả sir (Q, A,P) là khơng gian xác suất. Nói rằng: Hai biến cố A, B là độc lập nếu

P(An B) = P(A)P(B).

Hai lớp C1,C2 của A là độc lạp nếu

P(C1 n Cạ) = P(C1)P(C2), vc; G Ci, = 1, 2.

Giả sir (£?,, ổ,),ỉ‘ — 1,2 là hai không gian đo. Xi : Q —» E-i,i = 1,2 Khi

đó, A'1,%2 là dộc lập nếu hai ơ-trường rr(Ah) — X,ị (23,),7 = 1,2 độc lạp.

Cần nhớ rằng, nếu A\,Ab độc lập và có kỳ vọng hữu hạn thì tích X(X2 l ũng

có kỳ vong hữu hạn và

EX1X2 = EXiEXọ.

Các biến cố (Afc,k — 1, ...,7/.) là độc lập, nếu với mọi tập con I khác rỗng

của (1, 7Ỉ.)

Họ biến cố (Act) là độc lập, nếu với mọi 77. > 2 các biến cố (AOfc,

k = 1, ..., 77.) độc lập. Tirơng tự ta. định nghĩa tính độc lập của họ các lớp biến cố, và họ các biến ngẫu nhiên.

• Luật 0-1 Kolmogorov. Ta ký hiệu ơ{Aa,Oí G Z} là ơ - trường bé nhất

chứa tất cả Aa,O! GI. Đặcbiệt, a{Ak,k>77.} là. ơ - trường bé nhất chứa, tất

cá Ak,k > 77. Đặt

íToo = Q ơ{Ak,k> 71}, n=l

</div>

Các mô hình xác suất và úng dụng phần iii giải tích ngẫu nhiên

ĐẠIHỌCQUỐC GIA HÀ NỘI___________

<b>NGUYÊN DUY TIÊN</b>

<b>CÁC MÔ HÌNH XÁC SUẤT VÀ ÚNG DỤNG</b>

<b>PHẦN III:GIẢITÍCHNGẪUNHIÊN</b>

<b>NHÀ XUẤTBẢN ĐẠI HỌCQUỐCGIAHÀ NỘI -2001</b>

Giám đốc: NGUYỄN VĂNTHOA Tổng biêntập: NGUYEN THIỆNGÍÁP

PGS. TS ĐINH QUANG Lưu

TS NGUYỄNVIẾT PHÚ

<i><b>Biên tập và sửa bản in: </b></i>PHẠM PHÚ TRIÊM

<b>GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN</b>

u nAk

P(j4|n) = "Vea/0- P(B) >

=y /o,

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về