Các mô hình xác suất và ứng dụng phần II

ĐẠI H Ọ C VINH
T R U N G TÂM

THÔNG TIN-THƯVIỆN

NGUYỄN DUY TIẾN (Chủ biên)
ĐẶNG HÙNG THẮNG

519.2
NT 5622(2)c/ 05

GT.005745

CÁC Mộ HÌNH XÁC SUẤT
VÀ ÚNG DUNG
PHẢN l i
QUÁ TRÌNH DỪNG VÀ ỨNG DỤNG

COG
Hà

Nội

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NÔI



NGUYỄN DUY TIẾN (chủ biên)
ĐẶNG HÙNG THẮNG

C Á C MO HÌNH XÁC SU AT

VÀ ÚNG DỤNG
PHẦN li: QUÁ TRÌNH DỪNG VÀ ỨNG DỤNG
(In lần thứ hai)

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI



3

L Ờ I NÓI

ĐÂU

Xác suất Thống kê là lĩnh vực toán ứng dụng, nó đòi hồi một cơ sờ
t o á n học sâu sắc. Ngày nay các mô hình xác suất đ ã thực sự được ứng
dụng rộng rãi trong khoa học t ự nhiên cũng như trong khoa học xã hội.
Tuy nhiên, ờ V i ệ t Nam có r ấ t ít những tài liệu về các mô hình xác suất
v à ứng dụng của chúng. Đó là lý do chính chúng tôi v i ế t giáo trình này.
N h ằ m phục vụ các độc giớ trong nhiều lĩnh vực khác nhau (toán học,
v ậ t lý, cơ học, sinh học, khoa học trái đ ấ t , kinh t ế , y học, nông nghiệp,
v.v...) nên giáo trình được viết theo tinh thần: chính xác về lý thuyết
t ớ i mức độ nhất định, nhiều ví dụ ứng dụng cụ t h ể thường gặp trong
thực tế và t ư ơ n g đ ố i dễ hiểu.
Giáo trình C á c m ô h ì n h x á c suất v à ứng dung do

GS.TSKH.

Nguyễn Duy T i ế n chủ biên bao gồm:
Phần ì.

X í c h Markov v à ứng dụng , GS.TSKH. Nguyễn Duy T i ế n

viết.
Phần l i .

Q u á t r ì n h dừng v à ứng d ụ n g , PGS.TSKH. Đặng Hùng

Thắng viết.
Phần III.

G i ả i t í c h n g ẫ u n h i ê n , GS.TSKH. Nguyễn Duy T i ế n v i ế t .

Các t h à n h viên của B ộ môn Xác suất Thống kê, Khoa Toán - Cư T i n học, Đ H K H T N - ĐHQGHN đ ã nhiều n ă m giớng dạy quá trình ngẫu
nhiên v à tích lũy được nhiều kinh nghiệm đ ể v i ế t giáo trình này d ư ớ i
dạng mô hình ứng dụng phục vụ cho đông đớo bạn đọc. Tuy nhiên, đ â y
không phới là giáo trình sơ cấp. Vì vậy đ ể đ ạ t được hiệu quớ cao, bạn
đọc cần phới có kiến thức toán cuớ hai n ă m đ ầ u đ ạ i học và đặc biệt
phới có kiến thức xác suất cổ đ i ể n (chằng hạn như trong Đào H ữ u H ồ
[1], Đặng Hùng Thắng [2], hoặc Nguyễn V i ế t P h ú , Nguyễn Duy T i ế n
[3]).


4

Chúng tôi hy vọng giáo trình này sẽ có ích cho nhiều bạn đọc, phục
^ vụ tốt cho ứng dụng, giảng dạy và nghiên cứu.
Chắc chắn giáo trình còn nhiều thiếu sót. Rất mong nhận được sự
góp ý và chỉ bảo của bạn đọc. Chúng tôi xin chân thành cám ơn.
Cuối cùng chúng tôi xin cám ơn Ban Giám hiệu ĐHKHTN ĐHQGHN, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Bộ môn Xác suất Thống kê

ĐHKHTN - ĐHQGHN và Nhà Xuất Bản ĐHQGHN đã động viên, cổ
vũ và tận tình giúp đ
chúng tôi khi biên soạn giáo trình này.
Hà Nội mùa thu năm 1999

C á c t á c giả


5

MỤC LỤC
Phần l i : Q U Á T R Ì N H D Ừ N G V À Ứ N G D Ụ N G
Lời nói đầu

3

M ờ đầu

7

Chương 1.
1.1.

Quá trình cấp 2

Quá trình cấp 2

l i

1.1.1. Định nghiã

l i

1.1.2. Hàm trung bình và hàm t ự tương quan

13

1.1.3. L/2 - liên tục

15

1.2. Phép tính vi tích phân cho quá trình cấp 2

17

1.2.1. L a - k h á vi

17

1.2.2. L -

19

2

khả tích

1.2.3. Khai triển Karunen - Loève

28

1.3. Độ đo ngẫu nhiên và tích phân ngẫu nhiên

31

1.3.1. Độ đo ngẫu nhiên

31

1.3.2. Tích phân đối với một độ đo ngẫu nhiên

33

Bài tập

42

Chương 2.
2.1.
2.1.1.

Quá trình dừng

Các khái niệm cơ bản
Định nghía và tính chất

47
47

6

2.1.2.

Các ví dụ

49

2.1.3. Biểu diễn phổ
2.2.

Biến đ ổ i tuyến tính quá trình dừng

2.3.

Phương trình vi phân ngẫu nhiên và dự báo quá

52
61
.

.

.

.

74

trình dừng

2.3.1.

Phương trình vi phân ngẫu nhiên

74

2.3.2.

Dự báo quá trình dừng

82

2.4. Tính chất ergodic

89

Bài tập

107

Vài nét về lịch sử

113

Tài liệu tham khảo

119


7

M Ở ĐÂU
(ũ, F, P) , trong đó:

Xét không gian xác suất cớ sờ
ũ

là khô ng gian mẫu gồm t ấ t cá các kết cục có thể xảv ra của

phép thử ngẫu nhiên. M ỗ i kết cục

gọi là một điểm mẫu hay là

WỄÍÌ

một biến cố sơ cấp. Người ta cũng còn gọi íĩ

là khô ng gian các biến

cố sơ cấp.
T

là cr-đại số (ơ-trường) các biến cố. Tức là T

tợp con của

là một họ các

thoà mãn 3 điều kiện sau

ũ

+)
nếu

+)

A
thì

n\A

C

= A

=

Ã(EF,
oo

nếu

+)

và Ai n Aj = 0. (í 7^ j)

Ai,A ,...eF
2

thì

u An e T.
n=l

Mỗi tợp

A € T

gọi là một biến cố.

p là độ đo xác suất xác định trên T. Tức là ánh xạ p : T —• M.
thoi mãn 3 điều kiện sau
+)

P{A) > 0 với mọi A € ĩ

+)

P(fi) = l ,

+)

nếu

A ,A ,...
1

co

thì

P({jA
n=l

và Ai n Aj = 0 (ỉ ^ ì)

£T

2

,

oo
n

)=

^P(A ).
n

n=l

Đại lượng ngẫu nhiên hay biến ngẫu nhiên X là ánh xạ X : ũ —>• R
sao cho
{I
= { u e ÍÌ|X (cư) < x} € T

,

Vx 6 M.

Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
theo công thức
F(x) = P(X
,

xeR.

X

được xác định


8

H à m số này có các t í n h chất (cần v à đ ủ ) sau:
(i)

đ ơ n điệu không giám,

(li)

liên tục bên t r á i ,

(in)

l i m F(x)

= 0

,

l i m F(x)

x-»-oo

Xét h à m giá trị thực (hoặc phức)
N ế u cố định

teT

= 1.

X-Í-+00

thì ta được

X(uJ,t)

và

với u € ũ

t

ÉT.

là một đ ạ i lượng ngẫu nhiên

X(UJ,»)

hay b i ế n ngẫu nhiên.
N ế u cố định
Hàm
gọn là
Khi

U) € Í2 thì ta được

X(»,í)

là một h à m của biến

t e T .

gọi là h à m ngẫu nhiên v à t h ư ỉ n g được v i ế t ngắn

x(X(t).
T c R

thì n g ư ỉ i ta gọi X(t)

là biến t h ỉ i gian v à
Với mỗi

T

Lủ € f2

một quỹ đạo của

x(t)

là q u á t r ì n h ngẫu nhiên v ớ i

í

là t ậ p chỉ số t h ỉ i gian.
cố định, h à m

Xu

: t

->

x (t)

được gọi là

w

, còn gọi là một t h ể hiện hay một h à m chọn của

X(t).

P h â n phối h ữ u hạn chiều của q u á t r ì n h ngẫu nhiên

X(t)

, í € T

được xác định n h ư sau
Ft t ...t (xi,V2,.~,x )
l 3

n

= P\X(ti)

v

2

v ớ i m ỗ i n € N , v ớ i mọi ti, Í 2 , . . . , í n € T

2


n

n

v à v ớ i m ọ i XI,X2, •••,x

n

R õ r à n g là p h â n phối hữu hạn chiều thoả m ã n các t í n h chất

€ R.
sau

đây:
(ì) T í n h chất đ ố i xứng, tức là p h â n phối hữu hạn chiều không thay
đ ổ i khi ta hoán vị bộ chỉ số
(ụ)
lim

( Ì , 2, . . . , n ) .

T í n h chật n h ạ t q u á n theo ng^iĩa
F t ...t (xi,X2,...,x )
tl

ĩ

n

n

=

F t ...t ^i{xi,x ,:.,x -i).

tl

2

n

2

n

x„—ìoo

Ngược l ạ i , nếu cho trước p h â n phối hữu hạn chiều thoả m ã n hai
t í n h chất trên thì sẽ t ồ n t ạ i q u á t r ì n h ngẫu nhiên
p h â n phối hữu hạn chiều đ ã cho.
tại

Kolmogorov.

X(t)

, t E T

có

K h ẳ n g định đ ó chính là định lý tồn


9
H a i q u á t r ì n h n g ẫ u n h i ê n X i (í) v à X2(t)

t h ờ i gian T

v ớ i c ù n g m ộ t t ậ p chỉ số

( n h ư n g có t h ể x á c đ ị n h t r ê n hai k h ô n g gian x á c s u ấ t c ơ

sờ k h á c n h a u ) đ ư ợ c g ọ i là t ư ơ n g đ ư ơ n g n g ẫ u n h i ê n y ế u , n ế u c h ú n g c ó
c ù n g p h â n p h ố i h ữ u h ạ n chiều.
H a i q u á t r ì n h n g ẫ u n h i ê n Xi(t)

v à X2(t)

v ớ i c ù n g m ộ t t ậ p chỉ số

t h ờ i g i a n T v à x á c đ ị n h t r ê n c ù n g m ộ t k h ô n g gian x á c s u ấ t c ơ sờ

được

g ọ i là:
•f)
t a có

T ư ơ n g đ ư ơ n g n g ẫ u n h i ê n hay c h ú n g l à b ả n sao c ủ a n h a u , n ế u
p ự i ( t ) = x (t))

= Ì

2

R õ r à n g là

"Bằng

đ ố i VỚI m ẳ i

nhau"

=>•

í € T.

" T ư ơ n g đ ư ơ n g ngẫu nhiên"

=>•

"Tương đ ư ơ n g ngẫu nhiên y ế u " .
Ta t h ấ y rằng t ậ p
p h ụ thuộc v à o

At = {u
í € T

E n\X\(u,

X2(cư,t)}

và

{ u ; 6 í ỉ | J f i ( w , í ) = x (cj,t)
2

Vì t h ế , n ế u T

t) =

đ ế m được,

, Ví € T } =

Pl

Át.

t h ì hai q u á t r ì n h t ư ơ n g đ ư ơ n g k h i v à

chỉ k h i c h ú n g b ằ n g n h a u . T u y n h i ê n , n ế u T k h ô n g đ ế m đ ư ợ c t h ì đ i ề u
k h ẳ n g đ ị n h v ừ a r ồ i k h ô n g đ ú n g . C h ằ n g h ạ n , với
t r ư ờ n g Borel của

[0,1] , p

íì =

[0,1] , T

l à ơ-

l à đ ộ đ o Lebesgue t h ô n g t h ư ờ n g , T =

[0,1]

và
Xi{u,t)

Dễ dàng thấy

= 0 , Vo; € [0,1] , V í € [0,1] ,

rằng

hai q u á t r ì n h n à y t ư ơ n g đ ư ơ n g n g ẫ u

nhiên,

n h ư n g k h ô n g b ằ n g nhau.
Q u á trình ngẫu nhiên
tại

í

0

€ T , r i ế u

Ve>0

x(t)
t hì

, t 6 T

P{\x(t)

đ ư ợ c g ọ i l à liên t ụ c n g ẫ u n h i ê n
-

X(t )\
Q

> e) - > 0

khi

t -> í .
0



li

Chương Ì
QUÁ TRÌNH C Ấ P 2
C h ư ơ n g nàv trình bàv những khái niệm cơ bản và công cụ toán hoe
cần thiết, đ ể nghiên cứu quá trình dừng bao gồm khái niệm q u á trình
cấp hai, h à m t ư ơ n g quan, phép t í n h tích p h â n , v i p h â n cho q u á trình
cấp hai v à tích p h â n ngẫu nhiên đ ố i v ớ i đ ộ đ o ngẫu nhiên gia số trỉc
giao.

1.1.

Quá trình cấp 2

G i ả sử

X(t)

là một quá trình (ngẫu nhiên), trong đ ó

, t € T

là t ậ p chỉ số t h ờ i gian. T ậ p chỉ số T

R =

(-00,

+oo) , R

Z = {0,±1,±2 ..:}, z
>

Nếu

T = K hoặc T = M

+

+

T

có t h ể là
= [0, +oo) ,

+

= {0,1,2,...}.

thì ta có một q u á trình với t h ờ i gian liên

tục.
Nếu

T —z

r = z

hoặc

+

thì ta có một quá trình với thời gian r ờ i

rạc hay còn gọi là một d ã y ngẫu nhiên.

1.1.1.

Đinh nghiã

Quá trình

X(t)

,t € T

đuợc

E p f ( í ) | < oo
2

gọi là một quá trinh cấp 2 nếu

,

Víer.


12
:

Ký hiệu L2(Ũ,J ,P)
là. không gian Hilbert các đ ạ i lượng
nhiên X sao cho E | X | < oo. Tích vô hướng trong L2(ĩl,J ,P)
r

2

<X,Y>=

ngẫu
là

E(XY) = J X { u ) Y { u ) d P .
íì

Sự h ộ i t ụ trong L2(ũ, T, P) được gọi là hội t ụ bình p h ư ơ n g trung
bình.
Nếu

thì ta v i ế t

h ộ i t ụ bình p h ư ơ n g trung bình t ớ i X

x

n

l.i.mX

= X .

n

n—>oo

Ta có mệnh đ ề sau đ â y :
Mệnh
E|X |

2

đ ề 1.

Giả sử

{X )

là dãy đại luợng

n

ngẫu

nhiên

với

< oo.

n

Diêu kiện

cần và đủ đề tồn tại

l.i.mln = X

là:

n—yoo

(Ì)

Tồn tại

l i m EX

= EX.

n

n—¥oo

(li)

Tồn tại

l i m Cov(X ,

x

n

m

) = VarX.

n—>oo
m—>oo

Chứng minh.

G i ả sử t ồ n t ạ i

l . i . m X = X.
n

n—yoo

Khi

đ ó theo b ấ t đằng thức Schwarz ta có
2

lim

| E X - EX\ = l i m | E ( X - EX)\ < l i m ựE\X -X\
n

n

n-*oo

Mặt

n—>oo

k h á c Cov(X ,X )
n

lim

Cov{X ,X )
n

n—>oo

= < x

m

, x

n

m

> ~(EX )(EX )
n

m

, nên t a có

2

= <x,x>

m

= 0.

n

-(EX)

n—»oo
m—>oo

=

2

E X - (EX)

2

= VarX .

Ngược l ạ i , g i ả sử (i) v à (li) được thoả mãn. K h i đ ó tồn t ạ i
lim
ri—>oo
m—>oo

< x

n

, x

m

> =

lim

Cov(X ,X )
n

m

n—too
m—>oo

+

( l i m EX )(
n

n—¥oo

l i m EX )
m

m—>oo

= c.


13

Ta l ạ i có
E|X

n

— XmỸ' = < X

— X

n

,X

=
, X

— X

n

>=

m

> —2 <

n

n

m

X, X

m

n

>+m

m

> .

Do đ ó
lim

2

E\x - x \
m

n

= c-2c + c= 0.

n—>oo
771-40O

Vậy tồn t ạ i

ì.i.mXn

-• X.

n—>oo

M ệ n h đ ề được chứng m i n h . ũ
M ộ t q u á trình cấp 2 X(t)
X
1.1.2.

có t h ể định nghĩa n h ư l à m ộ t á n h x ạ

: T -> L ( Í Ì , ^ , P ) .
2

H à m trung b ì n h v à h à m t ư t ư ơ n g q u a n

H à m trung bình m(t) được định nghĩa bởi công thức sau
m{t) = EX(t) .
H à m t ự t ư ơ n g quan r(s, í)
r(s t)
t

được định nghiă b ờ i công thức sau

= Cov[X(s),Xtt)]=Eịx(s)-m(sỸ)(x(t)-mitỸ)

= EX(s)X(t)

Vì

V a r X ( í ) = Cov[X(t),X(t)]

Đ i n h l ý 1.

Hàm tự tương

=

- m(s)m(í) .

nên t a có V a r X ( í ) = r(t, í ) .
quan

r(s,t)

là đối xứng và xác định

không âm, tức là
(i)
(ii)

r ( a , t ) = r(t,sị
VneN,

,

Vs.teT.

V í i Í 2 , - , * n e T , V 6 i Ò 2 , . . . , f c „ € R thì
>

n

>

n

535^6*6^,^) > 0 .
i=i j = i

C h ứ n g minh.

T í n h chất đ ố i xứng là hiển nhiên.


14

T a chứng minh ( l i ) . Ta có
TI

0 <

n

Vaxị^biXặi))

=Cov[^6 X(í ),5^6 X(í )
i

i=l
TI

u

i

Tí

ý.

i

i= l
ri

i—Ì j = l

Chú

i

i=l

ri

i= l j = l

T í n h chất đ ố i x ứ n g v à x á c đ ị n h k h ô n g â m là t í n h

đ ặ c t r ư n g cho c á c h à m t ự t ư ơ n g quan. N ế u cho t r ư ớ c h à m

chất

r(s, í)

đối

x ứ n g v à x á c đ ị n h k h ô n g â m , t h ì luôn t ồ n t ạ i m ộ t q u á t r ì n h cấp 2
nhận

r(s,t)

là h à m t ự t ư ơ n g quan.

H ơ n n ư a có t h ể c h ọ n

X{t)

X(t)

là

m ộ t q u á t r ì n h Gauss ( b ạ n đ ọ c t ự c h ứ n g m i n h l ậ p l u ậ n n à y ) .
Ví dụ Ì

(Quá trình Wiener).

Q u á trình

g ọ i l à m ộ t q u á t r ì n h Wiener v ớ i t h a m số
chất

W(t)

, t > 0

được

nếu nó thoả m ã n các tính

2

ơ

sau:
(i)

W(0)

= 0.

(ii)

V ớ i mọi 0 < s < t

thì

W(t)

n h i ê n có p h â n phối chuửn v ớ i kỳ vọng
(iii)

W(t)

với mọi
W(t )
2

R õ r à n g W(t)

, W(t )
3

, W ( t

2

= EW{s)W(t)
= E|W(s)|

2

2

ơ (t

) - W{t ^)

—

s).

= EW{s)[W{s)

: g i ả sử
+ w{t)

-

2

+ E[W(s)

- W{ồ))E[W(t)

2

+EW(s)E{W(t)

= E\W(s)\
2

= Ơ S + m(s)E[W(t)
2

là đ ạ i l ư ợ n g n g ẫ u n h i ê n

V ậ y h à m t r u n g b ì n h mịt)
W(t)

= ơ min(s,í).

W(0)][W(t)

- W(s)}

-

là đ ộ c l ậ p .

n

+E[W(a)

= E\W{s)\

r(s,t)

n

l à m ộ t q u á t r ì n h c ấ p 2 vì w(t)

T a t í n h h à m t ự t ư ơ n g q u a n của

Vậy

v à p h ư ơ n g sai

các đ ạ i lượng ngẫu nhiên

n

- W(t )

c ó p h â n p h ố i c h u ử n N(0,t).

r(s,t)

là đ ạ i lượng ngẫu

l à q u á t r ì n h v ớ i gia số đ ộ c l ậ p , t ứ c l à

0 < Í1 < Í2 < ••• < t

- W(h)

0

- W(s)

-

W{s)}
2

= ƠS .

— 0,Ví € K

.

0 < s < t , khi đó
W{s)\
W{s)ị

-

+

W{s))

=


15

V í d ụ 2 ( Q u á trình Poisson).
Q u á trình x ( t ) , í > 0
được
g ọ i l à q u á t r ì n h Poisson v ớ i c ư ờ n g đ ộ A > 0 n ế u n ó t h o ả m ã n c á c t í n h
c h ấ t sau:

(i)

X(0)

(ri)

= 0.

V ớ i mọi

0 < s < t

thì

X(t)

n h i ê n c ó p h â n p h ố i Poisson v ớ i t h a m số
(iii)

X(t)

v ớ i mọi
X{t )

X ( t i ) , Xiu)

Rõ ràng

là đ ạ i lượng n g ẫ u

Xịt — s).

l à q u á t r ì n h v ớ i gia số đ ộ c l ậ p , t ứ c l à

0 < í Ì < Í2 < ... < t

-

2

— X(s)

X(t)

các đ ạ i lượng ngẫu nhiên

n

- X(t )

, X { t

2

n

)

- X ( t

là m ộ t q u á t r ì n h cấp 2 vì

x(t)

n

^ )

= X(t)

đ ạ i l ư ợ n g n g ẫ u n h i ê n có p h â n p h ố i Poisson v ớ i t h a m số
Do đó

m ( í ) = EX{t)

W(t)

: g i ả sử

= Cov(x(s),X(tỶ)

= Cov(x(s),[X{s)

= Cov(x(s),X(s))

+ C o v ( x ( s ) , [X{t) -

= V a r X ( s ) + C o v ( [ X ( s ) - X{0)1
Vậy

— X(0)

là

Ai.

= Ai.

T a t í n h h à m t ự t ư ơ n g quan của

r{s,t)

là độc l ậ p .

0 < s < ị , khi đ ó

+ X(t)

ịx(t)

- X(s)Ỹ)

=

X(s)Ỷ)

- X(s)ỶJ

= Xs .

r(s, t) — Arain(s, í ) .

1.1.3.

Li2 - l i ê n

Xét trường hợp

túc
T = R

Q u á t r ì n h cấp 2

Xịt)

hoặc
, t € T

T = R+.
đ ư ợ c g ọ i l à Lỉ2 - liên t
c (hay

t
c bình p h ư ơ n g trung bình) t ạ i đ i ể m

nếu

ío

L i . m X ( í ) = X(to)

liên

,

t—>to

tức là
2

l i m E\X(t)-X{t )\
0

= 0 .

t-¥to

Nếu

X(t)

1/2 - liên t
c .

l à L 2 - liên t
c t ạ i m ọ i đ i ể m

í € T , t h ì t a nói

X{t)

là

16

Định lý sau đ â y cho ta tiêu chuẩn đ ể b i ế t t í n h L 2 - liên tục của
X(t)
t h ô n g qua tính liên tục của h à m t r u n g bình v à h à m t ự t ư ơ n g
quan.
Đ i n h l ý 2.
trung

bình

Quá trình

m(t)

Xịt)

là L2 - liên tục khi và chỉ khi

và hàm tự tương

C h ứ n g minh.

quan

Điêu kiện cần:

r(s,t)

G i ả sử

là liên

X(t)

hàm

tục.

là L2 - liên tục.

T ừ bất đằng thức Schwartz ta có
\m(t)

- m(to)\

< E\X(t)
Suy ra m(t)
Ta l ạ i có

= |E(X(Í) -

- X(to)\

X{to))

< ựE\X(t)-

là liên tục.
r(s, í) = EX(s)X(t)

trong

s - > So

và

r

L 2 ( í 2 , ^ , P).
lim

í -»ío

X(t )\*

thì

.

0

- m(s)m(t)

= < X(s),X(t)
khi

ị <

> X(s)

=

m(s)m{t)

-> X(s )

.
và

0

X(t)

-> x ( t )
0

Do tính chất liên tục của tích vô h ư ớ n g ta suy

< X(s),X{t)

> = < X(s ),*(to) >
0

.

s—>so
í->to

V ậ y ta được

lim r(s, t)

= < X(s ),X(t )
0

0

> -

m(s )m(to)
0

= r(s ,t )
0

0

.

s—>So
Í-+ÍO

Diều kiện đủ:
E|X(í) - X ( s ) |
=

2


m (í) - m ( s ) ]

G i ả sư

m(t)

và

r ( s , í)

= (E[X(Í) - X(s)])
2

2

là liên tục. Ta có

+ V a r [ X ( í ) - X{s)\

+ VarX(í) - 2Cov(X(í),X(a))

+ VarX(s) =

2

= |m(í) - m(s) I + r ( í , ỉ ) - 2r(t, s) + r{s, s) .
Khi

t -> s

thì

|m(í) - m ( s ) |

2

-> 0

và

lim (r{t, t) - 2r(t, s) + r(s, s))
i—>S \

/

Vì vậy ta được
limE|X(í)-X(s)|

2

= 0 .

=

= 0 .

ra


17

Định lý đ ư ợ c chứng minh đ ầ y đ ủ . n
Định lý t r ê n cho p h é p ta k ế t l u ậ n quá trình Wiener v à quá t r ì n h
Poisson là Z/2 - liên tục.
C h ú ý.

Cần p h â n b i ệ t khái n i ệ m L-1 - liên tục v ớ i khái niệm liên

tục theo quỹ đ ạ o . Ta n h ớ l ạ i r ằ n g
đ ạ o n ế u v ớ i hầu h ế t

Lú

€ fì

x(t)

được gọi là liên tục theo quỹ

t h ì quỹ đạo

Xu

:

ị

—>

x^t)

là một

h à m liên tục. Việc t ì m tiêu chuẩn nhận biết tính liên tục theo quỹ đạo
của m ộ t q u á t r ì n h

là m ộ t bài t o á n khó hơn r ấ t nhiều.

X(t)

Q u á t r ì n h Wiener có các quỹ đ ạ o là h à m liên tục, trong khi các quỹ
đ ạ o của q u á t r ì n h Poisson l ạ i là các h à m bậc thang gián đ o ạ n . C h ú ý
r ằ n g h à m t ả t ư ơ n g quan của hai q u á t r ì n h n à y có dạng hoàn t o à n giống
nhau. N h ư v ậ y việc b i ế t h à m t ả t ư ơ n g quan của một q u á t r ì n h cấp 2
c h ư a đ ủ t h ô n g t i n đ ể cho p h é p k ế t luận về tính liên tục theo quỹ đạo
của q u á t r ì n h đ ó .

1.2.
1.2.1.

Phép tính vi tích phân cho quá trình cấp 2
L

- khả vi

2

Q u á t r ì n h cấp 2 X(t)

, t ÉT

đ ả ợ c gọi là Z/2 - k h ả v i t ạ i đ i ể m

to

n ế u t ồ n t ạ i giới h ạ n
1.1.m
/i->0

X(tọ

+

7

h)-X(to)

G i ớ i hạn n à y đ ư ợ c ký h i ệ u là X'(to)
của q u á t r ì n h

X(t)

tại điểm

Ta nói r ằ n g q u á t r ì n h
hàm

x'(t)

t ạ i mọi điểm

Đ ị n h l ý 3.

.

h

to-

x(t)
t

v à được gọi là Li2 - đạo h à m

là 1/2 - k h ả v i nếu tồn t ạ i L-1 - đạo

ÉT.

Quá trình

x(t)

là L/2 - khả vi tại điểm

Hàm trung bình

m(t)

khả vi tại

to

chỉ nếu:
(i)
(ii)

Tòn tại giới

lim

\r(to + h,t

/i->-0 hk
fc->0

í

0

í = to-

hạn

+ k) - r(t

0

+ h,to)

- r(t ,t
0

0

+ k)+

r(t ,t )
0

0

nếu và


18

Áp dụng mệnh đ ề Ì ờ trên ta có X(t),

Chiêng minh.

là Z/2 - k h ả

v i khi v à chỉ khi:
(i)

Tồn tại

X(tọ

lim E

+ h)h

/1-^0

X(tọ)

= lim
h-»0

Điều này t ư ơ n g đ ư ơ n g v ớ i m(t)
(li)

m(tọ + h) -

m(tọ)

h

'

khả v i t ạ i í = to

Tồn tại

'X{t
lim Covfh-io
\
fc->0

0

lim -7- r ( í
h->0 hk
fc->0

0

+ h)-X{t )
h

X(t

0

0

+

k)-X{t )
0

) -

k

+ h, to + k ) - r(to + h, to) - r(t ,t
0

+ k) + r(t ,

Q

0

to)

Định lý được chứng minh.D
V í d u 3.

Q u á trình Wiener không L2 - khả v i ờ b ấ t cứ đ i ể m nào.

T h ậ t vậy, q u á trình Wiener có hàm t ự t ư ơ n g quan là
.

h = k > 0 ta có

Với
lim

-^r

2

r(s, t) = <7 min(s, í) .

r(t

+ h,t

Q

+ h) — r(to + h,to)

0

1

lim

/wò

- r(t ,to
0

+ h) +

0

2

Ớ.
.
,.
cr
— r -to + h - to - to + to = l i m —
h
h-*0 h
2

r(t ,to)

00 .

T ư ơ n g t ự q u á trình Poisson cũng không L2 - k h ả v i ờ bất cứ đ i ể m

não.
Chú

ý.

T í n h L2 - k h ả v i không có liên quan gì đ ế n tính k h ả v i

của h à m chốn. T h ậ t vậy, h à m chốn của q u á trình Poisson là một h à m
bậc thang do đ ó nó chỉ không k h ả v i t ạ i các đ i ể m bước nhẩy. Đ ố i v ớ i
q u á t r ì n h Wiener, bằng một chứng minh r ấ t khó v à tinh t ế n g ư ờ i ta
đ ã chỉ ra rằng h à m chốn của q u á trình Wiener là hàm liên tục n h ư n g
không k h ả v i ờ b ấ t cứ đ i ể m nào.


19

Đinh lý 4.

Quá

trình

x(t)

là Li

2

d r(s
mịt)
tồn

khả vi và đạo
tại

và liên

hàm

cấp

2

- khả vi nếu

hàm

trung

bình

t)
d—

của hàm

tụ

tuơng

quan

là

tục.
2

d r(s

Suy từ định lý 3 và sự kiện: nếu

Chứng minh.

t)

Q—

tồn

t ạ i và liên tục thì tồn t ạ i giới hạn
lim
h-¥ũ

[r(t + h,s

hk

+ k ) - r ( t + h, s) -

Như vậy, nếu X(t)

r(t,

s + k) + r(t,

s)}

.•

là quá trình Li - khả vi thì Li - đạo hàm

x'(t)

của quá trình ấy lại là một quá trình cấp 2 mới. Từ chứng minh của
các định lý trên ta suy ra các công thức tính hàm trung bình và hàm
t ự tương quan của X'(t)
EX'(t)

như sau:
=

m'(t)
2

d r(s,t)
Cov[X'(s),X'(t)]

=

Cov[X'(s),X(t)]

=

dsdt
dr(s, í)

da

Tương tự ta có thổ xây dựng các khái niệm Li - khả vi cấp 2,3,...
1.2.2.

L

Giả sử

x(t)

2

- khả tích
là một Lĩ - quá trình (quá trình cấp 2) trên đoạn

[o,ò].
ứng với mỗi phép phân hoạch A đoạn
a = ío < h < ti < ... < ín+1 = b- với

[a, 6]
|A| = m a x ( í i - tị)
i+

n

ta lập tổng tích phân

r

5 (A) = ^ X ( s j ) ( í j 1 - tị) ,
+

i=0

trong đó Si là điổm tuy ý thuộc [ í j , í j i ] .
+

Nếu tồn t ạ i giới hạn

l.i.m5(A) = ì ,
• lAI-To

thì ta nói X(t)

là L2 - khả tích và viết

6

= J

X{t)dt.


20

Tích phân này có một số tính chất như tích phân thông thường.
Chằng hạn:
6

Định lý 5.

(i)

Nếu

X(t)

> 0 , Ví € [0,6]

Ị

thì

> 0.

X{t)dt

ã
c

(ii)

Ị

b

X{t)dt

+ Ị

a

b

X{t)dt

= Ị

c

X{t)dt

6

(iii)

,

(a

a
6

Ị[aX{t)

+ (3Y(t)]dt

= a

Ị

x{t)dt + 0

ã

a

(a,ậ

là các hằng

Ị

Y(t)dt

,

ã

số).
í

(iv)

Giả sử

X(t)

là L2 - liên tục. Dặt

Y(t)

= Ị

X(s)ds

,

ã

khi đó

(v)
Nếu

[a, bị

Y(t)

là L

2

- khả vi và

Y'(t)

=

X(t).

(Công thức Newton - Leibnitz).
x(t)

là L% - khả vi liên tục (tức

x'(t)

là L2 - liên tục)

trên

thì
b

Ị

x'{t)dt

= X{b)-X{a)

.

ã

Bạn đọc tự chứng minh bằng cách xem X(t) là một hàm xác định
trên [a, bị lấy giá trị trong không gian Hilbert I/2(íì, T, P).
Chú ý. Nếu X(t) là Li - khả tích thì không nhất thiết hàm
chọn -Xo, (í) là khả tích Riemann với xác suất Ì . Tuy nhiên, nếu
hàm chọn Xựjj)(t)
là khả tích Riemann với xác suất Ì thì tích phân
6

/ = Ị X(t)dt có

thể hiểu như là tích phân dọc theo mỗi quỹ đạo

U).

a
b

Nói cách khác, đại lư
ng ngẫu nhiên / =

Ị

X(t)dt
ã

6

công thức I{ui)

=J

X(U)){t)dt.

Thật vậy:

có thể tính theo


21

-SAM = ^ X ( t ư ) ( s i ) ( t t 1 - íi)

hội tụ

+

i=0

tới

ì (LƠ) v ớ i xác suất Ì .
6

M ặ t khác

l.i.m5A(w) =
|A|->0

ỊX{t)dt.
a
b

= Ị x(t)dt

Thành thừ

(h.k.n) .

ã

Định lý sau đ â y cho t a m ộ t tiêu chuẩn đ ề m ộ t q u á t r ì n h ngẫu n h i ê n
X(t)

là Z/2 - k h ả tích t h ô n g qua t í n h k h ả tích của h à m t r u n g b ì n h v à

h à m t ự t ư ơ n g quan.
Đ ị n h l ý 6.

Quá trình

chỉ nếu hàm

trung

quan

khả tích trên

r(s,t)

Trong trường

bình

X(t)

m(t)

= Ị

m{t)dt

ã
6

b

X{t)dtị

Ị

tuông

đây:

ã

ã
b

Ị

X(t)dtị

,

r(s,t)dsdt

d

a

tụ

6

= Ị

ã
b

Covị J X(s)ds,

và hàm

và

b

a

J

[a, bị

hợp đó ta có các công thức sau

JX(t)dtị

Var

khả tích trên

nếu

[a, bị

[a, b] X [a, bị.

b

E

là Z/2 - khả tích trên

d

= J

Ị

á

c

c
b

,

r{s,t)dsđt

, [c,d] C [a, bị

b

Covịx(s),JX(t)dtị

= Jr(s,t)dt

ã

.

ã
6

Chứng

Diều

minh.

kiện

cần:

G i ả sử tích p h â n

1 = Ị

X(t)dt

a
n

tồn t
i và

^2m(si)(u i
+

i=0

ho
c h

A

của

[a,b].

— ti)

là m ộ t t ổ n g Riemann ứ n g v ớ i p h â n


22

Vì 5 ( A ) = ^ X ( s i ) ( í j + 1 — ti) hội t ụ bình phương trung bình t ớ i
1=0

ỉ , nên suy ra E 5 ( A ) hội t ụ t ớ i E / khi | A | -> 0 theo mệnh đ ề Ì .
n

Thế

mà

E 5 ( A ) = J ^ m ( s i ) ( í 1 - í*).
i+

i=0

Vậy

l i m > m(si)(ti i

— ti) = EI.

+

1

1

i=0

Điều n à y chứng t ỏ m ( í ) k h ả tích v à
6

E

6

J X(t)dt

=J

T i ế p theo giả sử

m(t)dt.

V(A, A') = ] r ^ r (

S í

, ;)(í
S

i + 1

- ti)ự

j + l

-

ty

i=0 j = 0

là m ộ t tống Riemann ứng với phân hoạch

A X A ' của [a, bị X ịa, bị.

Đặt
771

n

i=0

Ta có

j=0

Cov[s(A),S(A')l = V ( A , A ' ) .

l.i.m 5 ( A ) = l.i.m S(A') = ì, nên theo mênh đ ề Ì t a có
|A|-To
I A'1^.0
"
V(A, A ' ) = Var/.

Vì
lim

|A'|-+0

Vậy

r(s,t)

k h ả tích trên

[a, bị X [a, 0] v à
bb

6

Var

J X(t)dt

Xét tương t
với

=Ị

ì' = Ị X(t)dt

Ị

r{s,t)dsdt

v à A X A ' là phân hoạch của

c

[a,b]
t a có

X [c,

dị

l.i.m 5 ( A ) = ì
|A|-To

v à l.i.m 5 ( A ' ) = ì',
|A'pO

23

nên

l i m VÍA, A ' ) - C o v í l , ì').
|A|-»0
|A'|->0

Vì t h ế r(s,t)

.khả tích trên

[a, bị X [c, d] v à
6

Cov

J

X{s)ds,

Ị

X(t)dt

=Ị

d

Ị

r(s,t)dsdt

ra

Ị.

, t/(s, A) = y ^ r ( s ,

Cuối cùng v ớ i J(s) = / r(s,t)dt

— ti)

Sj)(íj 1
+

ta có
C o v [ X ( s ) , S ( A ) ] = í / ( s , A ) , n ê n C o v [ X ( s ) , / ] = l.i.mt/(s, A ) = J ( s ) .
|Á|->0

Điêu kiện đủ: G i ả sử A v à A ' là hai phép phần hoạch tuy ý của

MI
A : a = to < ti < t

< ... < t

2

+

i =b,

n+l

= b.

m

A ' : a = t'o < t i < 4 < ... < t'
Chọn các đ i ể m tuy ý

Si € [íj,íj i]

,

+

s'j € ; [ i j , i j

+ 1

]

v à xét

các tổng
ra

S(A)

Tì.

= ^2x(

S

i

)(t

i

+

1

-U)

,

S(A') = J 2 x ự ) ( t '
j

1=0

j

+

1

-t' ).
j

j=0

Ta có:
™
ro

(Ì) T ồ n t ạ i

lim E5(A) =
IAI-+0

(li)

Tồn tại

b
•

lim V m ( s i ) ( i i 1

-

+

u) =

lAi-Kif-'

m(t)dt.
y

l i m Cov 5 ( A ) , 5 ( A ' ) ] =
|A'|-»0

tit.

i f| -!> 0
|A
|A'|->0

b
b
t í *

It,

5ZZ) ( *' ỉ-)(*i+i-*i)(*ỉ-+i-*ỉ-)=
r

s

s

Á p dung mênh đ ề Ì ta suy ra tồn t a i l.i.m 5 ( A ) .

'

Vậy

X(t)

là L - khả tích.D
2

|A|-K>

/

r(s,t)dsdt.