Chỉ số chính quy của iđêan cạnh của đồ thị

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (328.42 KB, 24 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

Danh sách hội đồng chấm thi luận văn thạc sĩ theo Quyết định số 918/QĐĐHHĐ ngày 26 tháng 04 năm 2023 của Hiệu trường Trường Đại học Hồng Đức.

Học hàm, học vị, họ và tênCơ quan công tácChức danh trong Hội đồng1. PGS.TS. Ngô Sỹ TùngTrường ĐH Hồng ĐứcChủ tịch hội đồng2. PGS.TS. Nguyễn Tiến QuangTrường ĐHSP Hà NộiUV Phản biện 1

3. TS. Phạm Thị CúcTrường ĐH Hồng ĐứcUV Phản biện 24. TS. Trần Nam TrungViện Toán họcUỷ viên

5. TS. Hồng Đình HảiTrường ĐH Hồng ĐứcThư ký

Xác nhận của người hướng dẫn

Học viên đã chỉnh sửa theo ý kiến của Hội đồng Ngày ... tháng ... năm 2023

(Ký, ghi rõ họ tên)

TS. Lê Xuân Dũng

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của tơi, được hồn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Lê Xuân Dũng. Các kết quả trình bày trong luận văn là trung thực, nội dung của luận văn khơng trùng lặp với các khóa luận, luận văn, luận án và các cơng trình nghiên cứu đã công bố.

Người cam đoan

Trần Thị Yến

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành tại Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Hồng Đức dưới sự hướng dẫn của TS. Lê Xuân Dũng. Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy người đã trực tiếp giảng dạy, chỉ bảo tận tình, chu đáo, ln giúp đỡ cổ vũ nhiệt tình trong suốt q trình học tập, nghiên cứu và hồn thành luận văn.

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu nhà trường, Ban chủ nhiệm khoa, các thầy, cô giáo, phòng sau Đại học và các phòng chức năng của trường Đại học Hồng Đức, đặc biệt là các thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Đại số và lý thuyết số K14 đã tạo điều kiện giúp đỡ cho tơi trong q trình học tập và nghiên cứu. Mặc dù lớp chỉ 9 học viên nhưng đã cho tôi những trải nghiệm, không những trong tự học, tập dượt nghiên cứu khoa học mà còn là những phương pháp luận, thế giới quan khoa học, bản lĩnh nghiên cứu trong quá trình học tập và rèn luyện.

Mặc dù đã cố gắng, song luận văn khó tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Tơi rất mong nhận được ý kiến góp ý của các nhà khoa học, các thầy cô giáo, anh chị và đồng nghiệp để luận văn được hoàn chỉnh hơn. Trân trọng cảm ơn!

Thanh Hóa, tháng 05 năm 2023

Trần Thị Yến

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

Mở đầu

1. Lý do chọn đề tài

Cho R = K[x1, x2, . . . , xn] là vành đa thức n biến trên trường K. Cho G là một đồ thị đơn trên tập đỉnh {x1, x2, . . . , xn} và tập cạnh E(G). Một iđêan sinh bởi các đơn thức bậc hai khơng chứa bình phương liên kết với đồ thị G được xác định và kí hiệu là I(G) = (xixj|{xi, xj} ∈ E(G)), gọi là iđêan cạnh của G. Như vậy với mỗi đồ thị đơn G ta luôn xác định được một iđêan đơn thức tương ứng. Việc tìm hiểu tính chất đại số của iđêan I(G) qua tính chất tổ hợp của đồ thị G gần đây được nhiều người quan tâm nghiên cứu. Chính vì vậy, tơi chọn đề tài “Chỉ số chính quy của iđêan cạnh của đồ thị” để tìm hiểu về bất biến chỉ số chính quy Castelnovo-Mumford và so sánh chỉ số chính quy Castelnovo-Mumford của iđêan cạnh I(G) với số ghép của đồ thị G.

2. Mục tiêu nghiên cứu

Tìm hiểu về iđêan cạnh và chỉ số chính quy Castelnovo-Mumford của iđêan cạnh.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Iđêan cạnh.

Phạm vi nghiên cứu: Đại số giao hoán tổ hợp và Đại số giao hoán. 4. Phương pháp nghiên cứu

Đề tài sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết: đọc, nghiên cứu,

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

phân tích và tổng hợp các tài liệu có liên quan đến đề tài; sử dụng các kỹ thuật tính tốn, chứng minh đặc thù của iđêan cạnh và chỉ số chính quy Castelnovo-Mumford của iđêan.

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Kết quả có thể là tài liệu tham khảo cho học sinh, sinh viên ngành Tốn.

6. Cấu trúc luận văn

Ngồi phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo luận văn chia làm 2 chương.

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.

Trong chương này, luận văn trình bày một số kiến thức cơ bản về vành, iđêan, mơđun, tích tenxơ, đồng điều, vành, môđun phân bậc và vành đa thức.

Chương 2: Chỉ số chính quy của iđêan cạnh của đồ thị.

Trong chương này, luận văn trình bày về lý thuyết đồ thị và iđêan cạnh từ đó trình bày một số kết quả về chặn trên, chặn dưới và chỉ ra dấu bằng cho các chặn đó của chỉ số chính quy của iđêan cạnh của một đồ thị đơn theo bất biến liên quan đến ghép cặp của đồ thị đó.

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, luận văn trình bày một số kiến thức cơ bản về vành và iđêan, mơđun, tích tenxơ, đồng điều, vành, mơđun phân bậc và vành đa thức dựa trên các tài liệu [3].

Định nghĩa 1.2.5 ([1, Định nghĩa 5.1]) Tích tenxơ của hai R−môđun M và N là một cặp (T, φ) với T là một R−môđun và φ : M × N → T là một ánh xạ R−song tuyến tính sao cho điều kiện sau đây được thỏa mãn: Với mỗi ánh xạ R−song tuyến tính Θ : M × N → P luôn tồn tại duy nhất một R−đồng cấu f : T → P sao cho biểu đồ sau giao hoán

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

nghĩa là Θ = f ◦ φ.

Định lý 1.2.1 ([1, Định lý 5.2]) Với hai R−mơđun M và N ln tồn tại tích tenxơ (T, φ) trên chúng. Hơn nữa nếu (T′, φ′) là một tích tenxơ khác của M và N thì tồn tại duy nhất một R−đẳng cấu f : T → T′ sao cho

Định nghĩa 1.2.8 ([1, Định nghĩa 3.1]) Một R− môđun P được gọi là xạ ảnh nếu nó thỏa mãn với các R−đồng cấu f : M → N và g : P → N trong đó f là một tồn cấu, ln tồn tại ít nhất một R−đồng cấu h : P → M sao cho g = f ◦ h nghĩa là biểu đồ sau giao hoán.

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

Định nghĩa 1.2.9 [5, section 3] Giải xạ ảnh của R− môđun là một dãy

Mệnh đề 1.2.2 ([1, Mệnh đề 3.13]) Với mỗi R−môđun cho trước, luôn tồn tại một dãy khớp dài các R−môđun

. . . −f→ P4 3 −f→ P3 2 −f→ P2 1 −f→ P1 0 → M → 0

trong đó Pi là R−môđun xạ ảnh với mọi i ∈ N. Một dãy khớp như trên được gọi là phép giải xạ ảnh của M . Phần tiếp theo, ta giới thiệu về đồng

Môđun T ornR(A, B) là môđun đồng điều thứ n của phức PA⊗ B, nghĩa là T ornR(A, B) = Hn(A, B) = ker(dn ⊗ 1)/ Im(dn+1⊗ 1).

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

1.3Vành và môđun phân bậc.

Định nghĩa 1.3.1. Vành R được gọi là Z−phân bậc nếu R = ⊕i∈ZRi xét như nhóm cộng, và RiRj ⊆ Ri+j với mọi i, j ∈ Z. Hơn nữa nếu Ri = 0 với mọi i < 0, thì gọi R là vành phân bậc dương, hay N−phân bậc.

Định nghĩa 1.3.2. Môdun M trên vành Z−phân bậc R được gọi là Z−phân bậc nếu M = ⊕i∈ZMi xét như nhóm cộng, và RiMj ⊆ Ri+j

với mọi i, j ∈ Z. Nếu M là mơđun phân bậc trên vành phân bậc R, thì gọi phần tử x của Ri (hoặc Mi) là phần tử thuần nhất bậc i. Kí hiệu deg(x) = i. Ta qui ước bậc của phần tử 0 là một số nguyên tùy ý. Như vậy nếu a ∈ R và x ∈ M là các phần tử thuần nhất, thì

deg(ax) = deg(a) + deg(x), hoặc ax = 0.

Định nghĩa 1.3.3. Vành phân bậc dương R = ⊕i≥0Ri được gọi là vành phân bậc chuẩn trên R0 nếu R = R0[R1].

Mệnh đề 1.3.1. Cho M là R− môđun phân bậc và N là môđun của M . Ba điều kiện tương đương sau:

a. N sinh bởi các phần tử thuần nhất.

b. Với mỗi x ∈ N , mọi thành phần thuần nhất của nó thuộc N . c. N = ⊕i∈Z(N ∩ Mi).

Định nghĩa 1.3.4. Môđun con N của môđun phân bậc M thỏa mãn một trong ba điều kiện ở Mệnh đề 1.3.1 gọi là môđun con thuần nhất của M . Nếu I là iđêan thuần nhất của R, thì R/I là vành phân bậc.

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

Định lý 1.3.2. Vành phân bậc R = ⊕i∈ZRi là vành Noether khi và chỉ khi R0 là vành Noether và S1 = ⊕i≥0Ri, S2 = ⊕i≤0Ri là các R0−đại số

là một giải tự do phân bậc nếu Fi là các R−môđun. Phần bậc và φi là các đồng cấu thuần nhất bậc 0 với mọi i ∈ N. Định nghĩa 1.5.1. Iđêan I ⊆ K[x] được gọi là iđêan đơn thức nếu nó sinh bởi các đơn thức.

Bổ đề 1.5.1. Cho I = (xa; a ∈ A) là iđêan đơn thức. Đơn thức xb ∈ I khi và chỉ khi xb chia hết cho một đơn thức xa với a ∈ A nào đó.

Bổ đề 1.5.2. Cho I là iđêan đơn thức và f ∈ K[x]. Các điều kiện sau là tương đương

a) f ∈ I.

b) Mọi từ của f thuộc I.

c) f là tổ hợp tuyến tính trên K của các đơn thức thuộc I.

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

Hệ quả 1.5.3. Hai iđêan đơn thức trong một vành đơn thức bằng nhau nếu chúng chưa cùng một tập đơn thức.

Bổ đề 1.5.4. Iđêan I là iđêan đơn thức khi và chỉ khi với mọi f ∈ I, các từ của f đều thuộc I.

Trong mục này, luôn giả thiết K là một trường, m1, · · · , mn là các đơn thức của vành R = K[x1, · · · , xs] và I là iđêan sinh bởi m1, · · · , mn. Mục này, luận văn tập trung giới thiệu khái niệm giải Taylor của vành R/I, dựa trên tài liệu [4, section 2].

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

là giải tự do phân bậc của R/I.

Định nghĩa 1.6.1. Giải tự do TR/I được xây dựng như trên gọi là giải Taylor của vành thương R/I. Khi đó ta có bổ đề sau:

Bổ đề 1.6.1. ([4, section 2])

T orRi (R/I, R/(Rx1+· · ·+Rxs))d = Hi(TR/I⊗(R/I, R/(Rx1+· · ·+Rxs)))d.

Trong mục này, chúng ta luôn giả thiết R = K[x1, · · · , xn] là vành đa thức n biến trên trường K vô hạn, m là iđêan thuần nhất cực đại của R và A là môđun phân bậc hữu hạn sinh trên R.

Định nghĩa 1.7.1. Chỉ số chính quy Casteluovo-Mumford (chính quy)

Định nghĩa 1.7.2. ([2, Proposition 1.1 và Theorem 1.2]) Cho giải tự do tối tiểu của A được xác định như sau

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

trong đó R(−j) kí hiệu là mơđun phân bậc mà thành phần phân bậc giảm j đơn vị.

i) βi,j(A) gọi là chỉ số Betti thứ i bậc j của A và βij(A) = P

jβi,j(A) gọi là số Betti thứ i của A.

ii) Khi đó chỉ số chính quy được xác định là

reg(A) := max {j − i | βi,j(A) ̸= 0} .

Từ định nghĩa thứ hai của chỉ số chính quy ta nhận được kết quả sau. Bổ đề 1.7.1 Cho I là iđêan thuần nhất của R, khi đó ta có

a) reg(R/I) = reg(I) − 1.

b) βi+1,j(I) = βi,j(R/I), ∀i = 1, p, j ∈ Z.

Bổ đề 1.7.2 Cho u là phần tử thuần nhất bậc d của R, khi đó a) reg(R/(u)) = d − 1.

b) reg((u)) = d.

Bổ đề 1.7.4 ([4, Proposition 21]) Cho Gi được xác định như mục 1.6 và D = maxg∈Gi(deg(BCN N (g))). Khi đó

βi,d(R/I) = 0, ∀d > D.

Với giả thiết như trong Bổ đề 1.6.1, ta có cơng thức tính số Betti của iđêan I như sau

Bổ đề 1.7.5 ([2, Exercise A 3.18]) Với giả thiết như trong Bổ đề 1.6.1, ta có

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

Chương 2

Chỉ số chính quy của iđêan cạnh của đồ thị

Trong chương này, luận văn trình bày về lý thuyết đồ thị và iđêan cạnh từ đó đưa ra các kết quả chính của luận văn dựa trên tài liệu [4], [6] và [7]. Các kết quả bao gồm chặn trên, chặn dưới và chỉ ra dấu bằng cho các chặn đó của chỉ số chính quy của iđêan cạnh của một đồ thị đơn theo bất biến liên quan đến ghép cặp của đồ thị đã cho.

Mục này luận văn giới thiệu về đồ thị và iđêan cạnh, các khái niệm và kí hiệu dựa trên tài liệu [4] và [6].

Định nghĩa 2.1.1. Đồ thị đơn hữu hạn G là một cặp (V (G), E(G)) = (V, E), trong đó V = {x1, x2, . . . , xn} gọi là tập đỉnh và E là tập cạnh bao gồm các tập con có 2 phần tử của V có dạng {xi, xj} (i ̸= j).

Định nghĩa 2.1.2. Đồ thị G′ = (V (G′) , E (G′)) gọi là đồ thị con của G nếu V (G′) ⊂ V (G) và E (G′) ⊂ E(G).

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

Định nghĩa 2.1.3. Cho G = (V, E) là đồ thị vô hướng. Giả sử S ⊆ V, S ̸= ϕ. Đồ thị con cảm sinh bởi S là đồ thị con cực đại của G với tập đỉnh là S (thường kí hiệu là G[S]). Đồ thị con H của đồ thị G được gọi là đồ thị con cảm sinh đỉnh của G nếu tìm được S ⊆ V sao cho H = G[S].

Định nghĩa 2.1.4. Cho đồ thị G = (V, E).

xi gọi là một đỉnh cơ lập của G nếu nó khơng thuộc bất kì cạnh nào của G.

Cho F = {G1, G2, . . . , Gs} là một họ các đồ thị con của G. F gọi là một phủ cạnh của G nếu Ssi=1E (Gi) = E(G).

Định nghĩa 2.1.5. Một ghép cặp M của đồ thị G là một đồ thị con của G sao cho E(M ) ⊂ E(G) và mọi cặp cạnh của M đôi một rời nhau. Kích thước của một ghép cặp M được kí hiệu bởi m(M ) là số cạnh của M . Một ghép cặp M gọi là cực đại nếu không thể bổ sung thêm cạnh khác của đồ thị G để tạo thành một ghép cạnh mới của G. Kích thước nhỏ nhất của ghép cặp cực đại của đồ thị G được kí hiệu là

b= min{m(M ) | M là ghép cặp cực đại của đồ thị G}.

Định nghĩa 2.1.6. Cho đồ thị G = (V, E). Một ghép cặp cảm sinh N của đồ thị G là một ghép cặp của đồ thị G và bao gồm tất cả các cạnh của đồ thị con cảm sinh trên ∪E∈NE. Kích thước của một ghép cặp cảm sinh N được kí hiệu là n(N ) là số cạnh của N .

Kích thước lớn nhất của ghép cặp cảm sinh của đồ thị G kí hiệu là ν(G) = max{n(N ) | N là một ghép cặp cảm sinh của đồ thị G}.

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

N(e) = {x ∈ V | ∃y ∈ e sao cho {x, y} ∈ E(G)} gọi là lân cận mở (gọi tắt là lân cận) của e.

N[e] = N(e) ∪ {e} gọi là lân cận đóng của e.

Định nghĩa 2.1.8. Cho S = K[x1, · · · , xn] là vành đa thức n biến trên trường K. Cho G là đồ thị đơn trên tập đỉnh x1, · · · , xn và tập cạnh E(G). Một iđêan sinh bởi các đơn thức bậc hai khơng chứa bình phương liên kết với đồ thị G như sau

I(G) = (xixj|{xi, xj} ∈ E(G)) ⊇ S

được gọi là iđêan cạnh của G. Kí hiệu reg(G) := reg(I(G)).

Định nghĩa 2.1.9. Cho đồ thị G = (V, E). Gọi e là một cạnh của G. G\e là đồ thị nhận được từ G bằng cách xoá đi cạnh e, nghĩa là

G\e = (V (G), E(G\e) = E(G)\{e}).

Ge là đồ thị con của G có tập đỉnh là V (Ge) = G\N [e].

Định nghĩa 2.1.10. Cho G là đồ thị. Đồ thị nhận được từ G bằng cách bỏ đi tập điểm cô lập của G gọi là đồ thị rút gọn của G. Kí hiệu Gred . Bổ đề 2.1.1. Cho đồ thị G. Ta có reg(G) = reg Gred .

Bổ đề 2.1.2. Cho đồ thị G có duy nhất một cạnh. Khi đó reg(G) = 2. Chứng minh. Giả sử G có cạnh e = {x1, x2}. Khi đó G = ({x1, x2} , {e}). Suy ra I(G) = (x1x2). Áp dụng Bổ đề 1.7 ii), ta nhận được reg(G) = 2.

Trong mục này, chúng tôi giới thiệu kết quả chặn dưới và chặn trên cho chỉ số chính quy của iđêan cạnh của một đồ thị đơn G bất kì theo kích

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

thước lớn nhất của các ghép cặp cảm sinh của đồ thị G. Các kết quả này trình bày trong [4]. Ln giả thiết G = (V, E) là đồ thị đơn trong toàn bộ chứng minh của mục này. Kỹ thuật chứng minh dựa trên việc xây dựng giải Taylor của vành R/I(G) kết hợp với bổ đề 1.6.1 và Bổ đề 1.7. Từ đó, ta đánh giá được số Betti của I(G) qua kích thước cực đại các ghép cặp cảm sinh của đồ thị G. Trước hết chúng tôi cần xây dựng giải Taylor cho

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

Mệnh đề 2.2.3. ([4, Lemma 2.2]) Cho đồ thị G = (V (G), E(G)) trong đó V (G) = {e1, · · · , es} và E(G) = {e1, · · · , eE}. Khi đó βi,2i là số cạnh của các đồ thị con cảm sinh của G có i cạnh rời nhau.

Định lý 2.2.4. ([6, Theorem 4.1])

Cho G là đồ thị đơn và ν(G) là kích thước lớn nhất của các ghép cặp cảm sinh của G. Khi đó reg(I(G)) ≥ ν(G) + 1.

Trong phần cuối của mục này, chúng tôi chỉ ra với lớp đồ thị có tên là đồ thị Chordal thì chặn trong Định lý 2.2.4 đạt được dấu bằng.

Định nghĩa 2.2.1. Cho đồ thị G = (V, E), chu trình là một tập hợp khơng rỗng {e1, . . . , en} ⊂ E sao cho e1 = {v1, v2}, e2 = {v2, v3}, . . . , en = {vn, v1}. Kí hiệu Cn(G). n gọi là độ dài của chu trình Cn(G).

Định nghĩa 2.2.2. Cho đồ thị G = (V, E), chu trình cảm sinh của G là một chu trình mà khơng hai đỉnh bất kì của chu trình nối với nhau tạo thành một cạnh khơng thuộc chu trình đó.

{1, 2, 3, 4, 5} là chu trình cảm sinh cịn {3, 6, 7, 8, 9} khơng phải chu trình cảm sinh vì {6, 8} ∈ E(G) nhưng không phải cạnh của {3, 6, 7, 8, 9}. Định nghĩa 2.2.3. Đồ thị G gọi là Chordal nếu khơng có chu trình cảm sinh độ dài 4 trở lên.

</div>Trang 22<div class="page_container" data-page="22">

Bổ đề 2.2.5. ([6, Lemma 5.6]) Cho G là đồ thị Chordal. Khi đó tồn tại cạnh e của G sao cho

a. reg(G) = max{reg(Ge) + 1, reg(G \ E)}. b. G \ E và Ge là các đồ thị Chordal.

Định lý 2.2.6. Cho G là đồ thị Chordal và ν(G) là kích thước cực đại của ghép cặp cảm sinh của G. Khi đó

reg(G) = ν(G) + 1.

Trong phần cuối của mục này, chúng tơi chỉ ra có một lớp đồ thị để chặn trên hình [6, Theorem 4.4] đạt được dấu bằng.

Định lý 2.2.7. ([6, Theorem 4.4]) Giả sử G là một đồ thị đơn. Khi đó ta có reg(G) ≤ b + 1.

Định lý 2.2.8. ([6, Remark 4.6]) Cho đồ thị G bao gồm tất cả các cạnh rời nhau, khi đó ta có reg(G) = b(G) + 1.

</div>Trang 23<div class="page_container" data-page="23">

Kết luận

Luận văn “Chỉ số chính quy của iđêan cạnh của đồ thị” đạt được một số kết quả chính như sau:

Trình bày tổng quan một số vấn đề vành, iđêan, mơđun, tích tenxơ, đồng điều, chỉ số chính quy Castelnovo-Mumford, đồ thị, iđêan cạnh của đồ thị.

Trình bày về một chặn dưới và một chặn trên của chỉ số chính quy Castelnovo-Mumford của iđêan cạnh của đồ thị đơn với số ghép cặp tương ứng của đồ thị tương ứng và nêu ra trường hợp đồ thị để các chặn đó đạt được dấu bằng.

</div>