Chặn trên cho chỉ số chính quy castelnuovo-mumford của môđun phân bậc liên kết

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH



NGUYỄN THANH HƯNG


CHẶN TRÊN CHO CHỈ SỐ CHÍNH QUY
CASTELNUOVO-MUMFORD CỦA
MÔĐUN PHÂN BẬC LIÊN KẾT


LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC



Nghệ An – 2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH


NGUYỄN THANH HƯNG

CHẶN TRÊN CHO CHỈ SỐ CHÍNH QUY
CASTELNUOVO-MUMFORD CỦA
MÔĐUN PHÂN BẬC LIÊN KẾT

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60.46.05
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
TS. ĐÀO THỊ THANH HÀ


Nghệ An – 2013
MỞ ĐẦU

Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford là một bất biến quan
trọng trong Đại số giao hoán và Hình học đại số. Khái niệm chỉ số
chính quy Castelnuovo-Mumford là một trong những minh họa cụ thể
cho việc áp dụng các phương pháp đồng điều vào viêc nghiên cứu một
số vấn đề của Hình học đại số và Đại số giao hoán. Nó cung cấp nhiều
thông tin về độ phức tạp của những cấu trúc đại số phân bậc.
Hàm Hilbert-Samuel
( ) ( / )
n
I
H n l A I

và đa thức Hilbert-Samuel
( )
I
P n
cũng là đối tượng quan trọng trong Đại số giao hoán. Gần đây
người ta đã thiết lập mối liên quan mới giữa chỉ số chính quy
Castelnuovo-Mumford và những khái niệm khác như số mũ rút gọn,
cơ sở Groebner, đa thức Hilbert-Samuel.
Luận văn trình bày lại bài báo của Cao Huy Linh [4]. Ngoài phần
mở đầu và phần kết luận, luận văn được chia thành 2 chương.

Chương 1 là chương kiến thức chuẩn bị. Trong chương này chúng
tôi nhắc lại một số khái niệm cơ sở và kết quả cần thiết sử dụng trong
luận văn.
Trong chương 2, chúng tôi trình bày về chỉ số chính quy của
môđun phân bậc, chặn trên cho hàm Hilbert-Samuel và chặn trên cho
chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của môđun phân bậc liên kết
của môđun phân bậc hữu hạn sinh đối với iđêan m-nguyên sơ.
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Độ dài của môđun
1.1.1. Định nghĩa. Một R-môđun M khác môđun không được gọi là một môđun
đơn, nếu
M
chỉ có đúng hai môđun con là môđun con không và chính nó.
1.1.2. Định nghĩa. Một dãy hợp thành của một
R
- môđun
M
là một dãy giảm
gồm một số hữu hạn các môđun con
0 1
{0}
n
M M M M
    

sao cho
1
/
i
i

M M

là một môđun đơn,
1, ,
i n

. Khi đó số
n
được gọi là độ dài
của dãy hợp thành này.
1.1.3. Ví dụ. Một không gian vectơ có dãy hợp thành khi và chỉ khi nó có chiều
hữu hạn. Một không gian vectơ có dãy hợp thành với độ dài
d
khi và chỉ khi nó
có chiều
d
. Vành số nguyên

là một

-môđun không có dãy hợp thành.
1.1.4. Định lí. Nếu
R
- môđun
M
có một dãy hợp thành với độ dài
n
, thì tất cả
các dãy hợp thành của
M

cũng có độ dài
n
. Hơn thế nữa, mỗi dãy tăng hoặc
giảm thực sự các môđun con của
M
đều có độ dài không vượt quá độ dài của
các dãy hợp thành, và đều có thể mở rộng thành một dãy hợp thành.
Từ Định lí 1.1.4 ta có định nghĩa sau.
1.1.5. Định nghĩa. Độ dài của các dãy hợp thành tùy ý của
R
- môđun
M
được
gọi là độ dài của môđun
M
và kí hiệu là
( )
R
l M
hoặc đơn giản là
( )
l M
. Nếu
R
-
môđun
M
không có dãy hợp thành thì ta quy ước độ dài
( )
R

l M
 
và gọi nó là
môđun có độ dài vô hạn.
1.1.6. Ví dụ.
(i) Độ dài của một không gian vectơ chính là số chiều của không gian vectơ đó.
(ii)
( ) 1
l



.
(iii) ( )
l
 


.
(iv)
( ) / 6 ) 2
l


 
vì
/ 6
 
có 2 dãy hợp thành là
0 2 / 6 / 6

 
   

hoặc dãy hợp thành
0 3 / 6 /6
 
   
.
1.2. Iđêan m-nguyên sơ
1.2.1. Định nghĩa. Cho
I
là một iđêan của
R
. Ta nói rằng
I
là iđêan
nguyên sơ của
R
nếu
(i)
I
là iđêan thực sự của
R
và
(ii)
,
a b R
 
với
ab I


mà
a I

thì
I
b

.
Điều kiện (ii) trong Định nghĩa 1.2.1 có thể diễn đạt như sau:
,
a b R
 
với
ab I

kéo theo
a I

thì
n
 

sao cho
n
I
b

.
1.2.2. Ví dụ.

(i) Iđêan nguyên sơ trong vành số nguyên

là 0 và
p

với
p
là số
nguyên tố.
(ii) Mỗi iđêan nguyên tố của vành
R
là iđêan nguyên sơ.
1.2.3. Mệnh đề. Cho
I
là iđêan nguyên sơ của vành
R
. Khi đó
:
I
P

là
iđêan nguyên tố của vành
R
, ta nói rằng
I
là
p
-nguyên sơ.
Hơn nữa,

p
là iđêan nguyên tố nhỏ nhất chứa
I
của
R
theo quan hệ bao
hàm, hay mỗi iđêan nguyên tố của
R
mà chứa
I
thì phải chứa
p
.
1.2.4. Mệnh đề. Giả sử
I
là iđêan của vành
R
thỏa mãn
I

m là một
iđêan cực đại của
R
. Khi đó
I
là iđêan nguyên sơ của vành
R
, và ta nói
rằng
I

là iđêan m-nguyên sơ của
R
.
1.2.5. Ví dụ. Mọi lũy thừa dương
n
m
(
)
n


của iđêan cực đại m là iđêan
m-nguyên sơ.
1.3. Vành và môđun phân bậc
1.3.1. Định nghĩa. Vành
R
được gọi là

-phân bậc nếu
i
i Z
R R

 
xét như
nhóm cộng, và
;
i j i j
R R R



với mọi
,
i j


. Hơn nữa nếu
0
i
R

với mọi
0
i

,
thì gọi
R
là vành phân bậc dương, hay

-phân bậc.
Môđun
M
trên vành

-phân bậc
R
được gọi là

-phân bậc nếu

i
i Z
M M

 

xét như nhóm cộng, và
i j i j
R M M


, với mọi
,
i j


.
Nếu
M
là môđun phân bậc trên vành phân bậc
R
, thì gọi phần tử
x
của
i
R

(hoặc
i
M

) là phần tử thuần nhất bậc
i
. Kí hiệu
deg( )
x i

. Ta qui ước bậc của
phần tử 0 là một số nguyên tùy ý. Như vậy, nếu
a R

và
x M

là các phần tử
thuần nhất, thì
deg( ) deg( ) deg( )
ax a x
 
, hoặc
0
ax

.
Từ định nghĩa suy ra
0
R
là một vành con của
R
và mỗi thành phần phân bậc
i

M

là
0
R
-môđun. Nếu
x M

và
1

i j
i
x x x x

   
với
, ; ,
k k
x M i k j i j
   

.
thì
k
x
(có thể
0
k
x


) được gọi là thành phần thuần nhất hoặc thành phần phân
bậc k của x. Mỗi phần tử chỉ có một biểu diễn duy nhất thành tổng của các thành
phần phân bậc.
Cho
S
là vành con của vành
R
( không nhất thiết phân bậc). Khi đó người ta gọi
R
là
S
-đại số. Nếu
1
, ,
n
a a R

, kí hiệu
1
[ , , ]
n
S a a
là tập hợp các tổ hợp tuyến
tính trên
S
của các phần tử
1
1
, ,

n
n
p
p
a a
với
1
)( , ,
n
n
p p


. Tập hợp này rõ ràng
là vành con của
R
. Có thể xem nó như các vành đa thức, nhưng
1
, ,
n
a a
ở đây
không phải là các biến độc lập. Nếu tồn tại
1
, ,
n
a a R

để
1

[ , , ]
n
R S a a

thì
R

được gọi là
S
-đại số hữu hạn sinh.
1.3.2. Định nghĩa. Vành phân bậc dương
0
i
i
R R

 
được gọi là vành phân bậc
chuẩn trên
0
R
nếu
0 1
[ ]
R R R

.
1.3.3. Ví dụ. Xét vành đa thức
n
biến

1
]
[ , ,
n
R K x x

.
Gọi
t
R
là tập hợp các đa thức thuần nhất bậc
t
, khi đó
0
t
t
R R

 
và tích của hai
đa thức thuần nhất bậc t và s là đa thức thuần nhất bậc
t s

. Do đó
1
]
[ , ,
n
K x x
là

vành phân bậc. Hơn nữa
1
]
[ , ,
n
K x x
là vành phân bậc chuẩn vì
0 1
[ ]
R R R

ở đây
0 1
,
R K R

là tập tất cả các đa thức thuần nhất bậc nhất.
1.3.4. Định nghĩa. Môđun con
N M

được gọi là môđun thuần nhất hay
môđun con phân bậc nếu nó thỏa mãn một trong 3 điều kiện sau.
(i)
N
sinh bởi các phần tử thuần nhất.
(ii) Với mỗi
x N

, mọi thành phần thuần nhất của nó thuộc N.
(iii)

( )
i
i
N N M

  

.
1.3.5. Định nghĩa. Cho
M
và
N
là hai môđun phân bậc trên vành phân bậc
R
.
Đồng cấu môđun
:
f M N

được gọi là đồng cấu thuần nhất ( hay phân bậc )
nếu với mọi
; ( )
i i
i f M N
 

.
1.3.6. Mệnh đề.
(i) Nếu
f

là đồng cấu thuần nhất thì hạch (hạt nhân) Kerf và ảnh Imf của nó là
các môđun con thuần nhất.
(ii) Nếu có dãy khớp

M N P
   

các môđun phân bậc với các đồng cấu phân bậc, thì ta cũng có dãy khớp sau với
mọi
i




i i i
M N P
   

1.3.7. Định nghĩa. Cho
I
là iđêan của vành giao hoán
R
và
M
là
R
môđun. Ta
xây dựng các vành và môđun phân bậc tương ứng với
I
như sau

(i)
* 2
( ) : / /
I
Gr R R I I IR
   


1
0
/
n n
n
I I






Ta có
*
0
( ) /
R R I

Phép toán trên
*
R

1
/
n n
a I I


,
1
/
m m
b I I



thì
.
ab ab

(modulo
1
n m
I
 
)
Khi đó
*
0
( ) ( ( ))
n
I I

n
R Gr R Gr R


 


được gọi là vành phân bậc liên kết của
R
đối với iđêan
I
.
(ii)
1
0
( ) /
n n
I
n
Gr M I M I M





là
*
R
-môđun phân bậc, gọi là môđun phân bậc
liên kết của

M
đối với
I
với phép toán
1
/
m m
a I I


,
1
/
n n
x I M I


thì
1
.
/
m n m n
a x ax I M I M
  
 
.
1.4. Chiều Krull
1.4.1. Định nghĩa. Một dãy giảm các iđêan nguyên tố của vành
R

0 1

n
p p p
  

được gọi là một xích nguyên tố có độ dài
n
.
Cho
p SpecR

, cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố với
0
p p


được gọi là độ cao của
p
và kí hiệu là
( )
ht p
. Nghĩa là
( )
ht p
= sup{ độ dài các xích nguyên tố với
0
p p

}

Cho
I
là một iđêan của
R
, khi đó độ cao của iđêan
I
được định nghĩa
ht(I) = inf { ht(p)/
p SpecR

,
p I

}
Cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố trong
R
được gọi là chiều
Krull của vành
R
, kí hiệu
dim
R
hay
dim
K
R
.
Cho
M
là một

R
-môđun. Khi đó
dim /
R
M
R Ann
được gọi là chiều Krull của
môđun M, kí hiệu dimM hay
dim
K
M
. Từ đó suy ra
dim dim
M R

.
1.4.2. Ví dụ.
1) Với
K
là một trường thì chiều Krull của
K
là 0 vì
K
chỉ có 2 iđêan là
(0)
và
K
và
(0)
là iđêan nguyên tố duy nhất của K. Vậy

dim 0
K
K

.
( Nhớ rằng nếu xem
K
là
K
-không gian véctơ thì
dim 1
V
K

)
2)
dim 1


(vì mọi iđêan nguyên tố của vành các số nguyên

là
(0)
hoặc có
dạng
p

với p là số nguyên tố. Hơn nữa mọi iđêan
p


với p nguyên tố là iđêan
cực đại. Từ đó xích nguyên tố của

có độ dài lớn nhất có dạng
(0) dim 1
K
p
  
 
.
3) Xét vành đa thức 3 biến
[ , , ]
K x y z

Ta có
2 3
dim [ , , ]/ ( ) ( ) 2
K x y z x y
 
.
1.5. Hệ tham số, số bội
1.5.1. Định nghĩa. Cho (R,m ) là một vành địa phương Noether, M là R-môđun
với
dim
M d

. Hệ các phần tử
1
}
{ , ,

d
x x
của m được gọi là một hệ tham số của
M nếu độ dài
1
( / ( , , ) )
d
l M x x M
 
và khi đó iđêan
1
( , , )
d
q x x R

được gọi
là iđêan tham số.
1.5.2. Chú ý. Hệ tham số của môđun M luôn tồn tại.
1.5.3. Mệnh đề. Cho (R,m) là vành địa phương Noether và
1
, ,
d
x x
là một hệ
tham số của môđun M. Khi đó
1,
dim / ( , ) , 1
i
M x x M d i i d
    

.
1.5.4. Ví dụ.
1
{ , , }
n
x x
là một hệ tham số của vành chuỗi lũy thừa hình thức .
1
[[ , , ]]
n
K x x
.
1.5.5. Định nghĩa. Cho q là iđêan tham số của M môđun, tức là iđêan sinh bởi d
phần tử
1 2
, , ,
d
a a a

m sao cho
1 2
( / ( , , , ) )
d
l M a a a M
 
. Khi đó ta gọi
,
( ) ( / )
n
q M

n
H n l M q M



là hàm Hilbert-Samuel, và khi
0
n

hàm này trở
thành một đa thức, kí hiệu
,
( )
q M
P n
. Đa thức này được gọi là đa thức Hilbert-
Samuel.
1.5.6. Nhận xét.
Ta có
,
deg ( ) dim
q M
P n M d
 

Hơn nữa
, 0 1
1
( ) ( , ) ( , ) ( 1) ( , )
1

d
q M
d
d n d n
P n e q M e q M e q M
d d
   

   
   
   
  
   

(*)
trong đó
0 1
( , ), ( , ), , ( , )
d
e q M e q M e q M
là những số nguyên và
0
( , ) 0
q M
e

.
Gọi
0
a

là hệ số cao nhất của đa thức
,
( )
q M
P n
thì
0 0
( , ) !
e q M a d

.
1.5.7. Định nghĩa.
(i) Số tự nhiên
0
( , )
e q M
trong khai triển (*) của
,
( )
q M
P n
được gọi là số bội của
M đối với iđêan tham số q.
(ii) Đặc biệt q= m thì ta kí hiệu số bội
0
( , ) ( , ) ( )
e q M e q M e M
 
và gọi nó là số
bội của môđun M.

1.5.8. Ví dụ. Số bội của vành đa thức
1 2
[ , , , ]
n
R k x x x

là 1.
Chứng minh. Ta có
2 2 3
( ) / / /
m
Gr R R m m m m m
   

Do đó
1

n
R k R R
    

Ta có hàm Hilbert-Samuel
1
( ) ( ) ( ) ( )
t
R
H t l k l R l R
   

= 1 + số đơn thức bậc 1 + + số đơn thức bậc t.

hay
( )
R
H n

số đơn thức bậc
n



( )!
! !
d n
d n
n d
n
 
 
 
 


 
( 1) ( )
!
n n d
n
 


!
d
n
d
 
các số hạng bậc thấp hơn.
Mặt khác ta có công thức
( )
( )
!
d
R
e R
H n n
d
 
các số hạng bậc thấp hơn
Vì vậy
( ) 1
e R

.
1.6. Dãy chính quy
1.6.1. Định nghĩa. Cho M là R-môđun
(i) Phần tử
, 0
x R x
 
được gọi là ước của 0 đối với M nếu tồn tại phần tử
, 0

m M m
 
sao cho
0
xm

.
(ii) Phần tử
x R

được gọi là M-chính quy nếu
M xM

và x không là ước của
0 đối với M.
(iii) Một dãy
1
{ , , }
t
x x
các phần tử của R được gọi là dãy chính quy của M hay
M-dãy nếu
1
/ ( , , ) 0
t
M x x M

và
i
x

không là ước của 0 của môđun
1 1
/ ( , , ) , 1,2, , .
i
M x x M i t

 

1.6.2. Định nghĩa. Cho
I R

là một iđêan. Nếu
1
, ,
t
x x I

và là dãy chính quy
thì dãy
1
{ , , }
t
x x
được gọi là dãy M-chính quy cực đại nếu không tồn tại
y I


để
1
{ , , , }

t
x x y
là một dãy M-chính quy và t được gọi là độ dài của dãy trên.
Cho R là vành địa phương và
I R

là một iđêan. Khi đó độ dài của hai dãy M-
chính quy cực đại nằm trong iđêan I luôn như nhau. Vì vậy ta có định nghĩa sau.
1.6.3. Định nghĩa. Cho (R,m) là vành địa phương Noether. Khi đó độ dài của
dãy chính quy cực đại trong m kí hiệu là depth(m, M) hay depth(M) và được gọi
là độ sâu của môđun M.
1.6.4. Định nghĩa. Cho M là R-môđun. Phần tử
a R

được gọi là phần tử lọc
chính quy của M nếu
(0 : )
M
l a
 
.
1.6.5. Chú ý.
(i) Cho M là R-môđun. Ta luôn có
dim
depthM M

.
(ii) Một phần tử là chính quy thì nó là phần tử lọc chính quy.
1.7. Môđun Cohen-Macaulay, môđun Cohen-Macaulay suy rộng
Khái niệm môđun Cohen-Macaulay, Cohen-Macaulay suy rộng khởi đầu được

định nghĩa cho vành địa phương, sau đó được định nghĩa cho vành và môđun
phân bậc.
1.7.1. Định nghĩa. R-môđun M được gọi là môđun Cohen-Macaulay nếu
dim
depthM M

. Nếu vành R là môđun Cohen-Macaulay trên chính nó thì ta
nói rằng R là vành Cohen-Macaulay.
1.7.2.Ví dụ.
(i) Xét vành đa thức
1
[ , , ]
n
R k x x

. Theo định nghĩa ta có
1
{ , , }
n
x x
là một dãy
chính quy của
1
[ , , ]
n
k x x
. Hơn nữa ta đã biết
1
dim [ , , ]
n

k x x n

và
dim
depthM M

. Suy ra
1
{ , , }
n
x x
là dãy chính quy cực đại. Do đó
dim
depthR n R
 
. Vì vậy vành
1
[ , , ]
n
k x x
là vành Cohen-Macaulay.
(ii) Cho
2 3 2
[ , , , ]
( ) ( , ) ( , , , )
k x y z t
M
x x y x y z t

 

là
[ , , , ]
k x y z t
-môđun.
Ta có
{( ),( , ),( , , , )}
AssM x x y x y z t

. Suy ra m
( , , , )
x y z t AssM
 
, vì vậy M
không có phần tử chính quy hay
0
depthM

.
Mặt khác
dim max{dim / }
M R p p AssM
  .
Do đó M không phải là môđun Cohen-Macaulay.
Cho (R,m) là vành địa phương Noether. M là R-môđun hữu hạn sinh với
dim
M d

.
Gọi
1

( , , )
d
x x x

là một hệ tham số của M,
1
( , , )
d
q xR x x R
 
là một iđêan
tham số của M.
Ta luôn có
0
( , ) ( , ) ( / )
e x M e q M l M qM
  

Xét hiệu số
( ) ( / ) ( , ) 0
M
I q l M qM e q M
  

Đặt
( ) ( )
M
I M SuppI q

, với q là iđêan tham số. Khi đó ta có mệnh đề sau.

1.7.3. Mệnh đề. Các phát biểu sau là tương đương
(i) M là môđun Cohen-Macaulay;
(ii) Tồn tại một hệ tham số
1
( , , )
d
x x x

của M để
( ) 0
M
I x

;
(iii) Với mọi hệ tham số
1
( , , )
d
x x x

của M thì
( ) 0
M
I x

;
(iv)
( ) 0
I M


.
Chú ý. Tồn tại những môđun M mà
( )
I M
 
.
1.7.4. Định nghĩa. M được gọi là môđun Cohen-Macaulay suy rộng nếu
( )
I M
 
.
1.7.5. Mệnh đề. M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng khi và chỉ khi
( ( ) , , ( dim )
i
m
l H M i d d M
    
.
1.7.6. Ví dụ.
(i) Mọi môđun có chiều bằng 1 là môđun Cohen-Macaulay suy rộng.
Chứng minh. Do
dim 1
M

nên theo Mệnh đề 1.7.5 ta chỉ cần chứng minh
0
( ( )
m
l H M
 

. Điều này luôn đúng.
[ , , ]
k x y z
-môđun
2 2
[ , , ]
( , ) ( , , )
k x y z
x y x y z

là Cohen-Macaulay suy rộng.
(ii) Mọi môđun Cohen-Macaulay là môđun Cohen-Macaulay suy rộng.
Chứng minh. Theo Mệnh đề 1.7.3 và Định nghĩa 1.7.4.
1.8. Môđun đối đồng điều địa phương
Khái niệm đối đồng điều địa phương được đưa ra bởi Grothendieck. Trong mục
này ta kí hiệu R là vành giao hoán địa phương Noether, I là iđêan của R và M là
R-môđun.
Ta có
2
0: 0: 0:
n
M M M
I I I
   

là dãy các môđun con lồng nhau của M nên
(0: )
n
M
n

I



cũng là môđun con của
M và kí hiệu
( )
I
M

.
1.8.1. Định nghĩa. Môđun
( )
I
M

xác định ở trên được gọi là môđun con I-xoắn
của M.
Xét đồng cấu R-môđun
:
f M N


Khi đó
( ( )) ( )
I I
f M N
  

Kí hiệu

( )
I
f

hay
*
f
là ánh xạ hạn chế của f trên
( )
I
M

.
( )
( ) ( )
I I
I
f
M N

 
với
( )
( ):( ) ( ( ) ( ))
I I I I
I
f
f
M N M N


      

.
Ta có hàm tử
( )
I
 
là hàm hiệp biến, cộng tính ( R-tuyến tính), khớp trái.
1.8.2. Định nghĩa. Hàm tử
( )
I I
   
xác định ở trên được gọi là hàm tử I-
xoắn.
1.8.3. Định nghĩa. Xét giải nội xạ của môđun M
0 1 1
0 1 1
:0
i i
i i
d d d d
E M E E E E
 

      

Khi đó ta có dãy phức
0 1
0 1 1
( ) ( ) ( )

( ):0 ( ) ( ) ( )
I I I I
i
I I I
d d d
E M E E


  
    
   

1
( )
( ) ( )
i i
I I
i
I
d
E E


  
Ta có
1
( ( )) er ( ) / Im ( )
i i i
I I I
H E K d d

 
   
được gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M với giá là iđêan I.
1.8.4. Định nghĩa. Hàm tử dẫn xuất phải thứ i của hàm tử I-xoắn
I

được gọi là
hàm tử đối đồng điều địa phương với giá là I và kí hiệu là
( )
i
I
H

.
1.8.5. Mệnh đề. Giả sử
1
, ,
r
x x I

là dãy M-chính quy. Khi đó
( ) 0, .
i
I
H M i r
  

1.8.6. Hệ quả.
( ) 0, ( ).
i

I
H M i depth M
  

1.8.7. Định lý. (Định lý triệt tiêu của Grothendieck). Cho I là iđêan của vành
giao hoán Noether R và M là R-môđun hữu hạn sinh chiều d. Khi đó
( ) 0, .
i
I
H M i d
  

1.8.8. Định lý. (Định lý dãy khớp dài). Cho dãy khớp ngắn các R-môđun
0 0
f g
M N P
   

Khi đó ta sẽ có dãy khớp dài
0 0 0 1 1 1
0 0 1 1
0
( ) ( ) ( ) ( )
0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
I I I I I I
I I I I
f g f g
M N P M N P
H H H H
H H H H H H


     

1
1 1
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
n n n n
I I I I
n n
n
I I
f g
P M N P
H H
H H H H


 
    

trong đó
0 1
, ,
 
là các đồng cấu nối.

Chương 2. CHẶN TRÊN CHO CHỈ SỐ CHÍNH QUY CASTELNUOVO-
MUMFORD CỦA MÔĐUN PHÂN BẬC LIÊN KẾT
2.1. Chỉ số chính quy của môđun phân bậc
Trong suốt phần này, cho
0
n
n
R R

 
là vành phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên
vành Artin địa phương
0
R
. Cho E là R-môđun phân bậc hữu hạn sinh. Ta nói E
là m-chính quy với m là số nguyên nếu
( ) 0
i
n
R
H E


; với mọi
0

i

và
1
n m i
  
. Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford reg(E) của E được xác định
là số nguyên m nhỏ nhất sao cho E là m-chính quy, có nghĩa là :
( ) : min
reg E

{
/
m E
là m-chính quy}
Chỉ số chính quy Castelnuovo - Mumford cũng có thể đặc trưng theo cách khác.
Cho


( ) max / ( ) 0
i
n
i
R
a E n H E

  

nếu
( ) 0

i
R
H E


và
( )
i
a E
 

Ta đã biết rằng


( ) max ( ) : 0
i
reg E a E i i
  

2.1.1. Bổ đề. Cho
0 0
L E N
   
là một dãy khớp các R-môđun phân bậc
hữu hạn sinh và các đồng cấu thuần nhất. Khi đó:


( ) max ( ), ( )
reg E reg L reg N
 .

Chứng minh. Theo giả thiết chúng ta có một dãy khớp dài
1
( ) ( ) ( ) ( )
i i i i
n n n n
R R R R
H L H E H N H L

   
    

với
0
i

. Đặt


max ( ), ( )
m reg L reg N
 .
Từ dãy khớp trên ta có
( ) 0
i
n
R
H E


; với mọi

0
i

và với
1
n m i
  
. Vì vậy E
là m-chính quy. 

Chúng ta nói E là m-chính quy yếu nếu
1
( ) 0
i
R m i
H E
  

với
0
i

.
Chú ý rằng nếu E là m-chính quy yếu thì E không nhất thiết là m-chính quy.
Chúng ta lấy một ví dụ đơn giản để minh họa cho trường hợp này.
2.1.2. Ví dụ. Cho
E R k
 
là một trường. Thì
( ) 0

i
R
H E


với
1
i

và
0
( )
R
H E E


. Giả sử
2
m
 
. Thì
1
( ) 0
i
R m i
H E
  

với
0

i

. Vậy E là m-chính
quy yếu, nhưng không là m-chính quy.
Giả sử
( ) : ( )
n
E
h n l E

kí hiệu hàm Hilbert của E. Đa thức duy nhất
( )
E
p X
thỏa
mãn
( ) ( )
E E
h n p n

với
0
n

được gọi là đa thức Hilbert của E. Nếu
dim( ) 1, ( )
E
d E p X
 
có thể được viết bởi

1
0
( )
( 1)!
d
E
X
p X e
d



+ các số hạng có bậc thấp hơn.
Số bội của E được định nghĩa là
0
( ):
e E e

. Nếu
0
d

chúng ta đặt
( ): ( )
e E l E

.
Giả sử
( )
d E

kí hiệu bậc lớn nhất của các phần tử trong cơ sở tối thiểu thuần nhất
của E.
2.1.3. Bổ đề. Giả sử
0
E

là R-môđun phân bậc hữu hạn sinh với
dim( )
E d


nếu
( ) 0
d E

thì
( ) 1
d
a E d e E
  
.
Chứng minh. Chứng minh tương tự chứng minh trong [4, Bổ đề 3.1] 

Theo [8], E được gọi là m-chính quy hình học nếu
( ) 0
i
n
R
H E



với mọi
1
n m i
  
và
1
i

. Chỉ số chính quy hình học
( )
g reg E

của E là số nguyên m
nhỏ nhất để cho E là m-chính quy hình học.
2.1.4. Bổ đề. (Xem [2, Định lý 15.2.5]) Nếu
1
( ) 0
i
R m i
H E
  

với
1
i

thì E là
m-chính quy hình học.
Từ bổ đề này chúng ta có các kéo theo sau đây:

E là m-chính quy

E là m-chính quy yếu

E là m-chính quy hình học.
Nhớ lại rằng một phần tử x thuần nhất của R được gọi là một phần tử E-lọc-chính
quy nếu
(0 : ) 0
n
E
x

với
0
n

(xem [9]).
Chú ý. Nếu
0 0
( , )
R m
là một vành địa phương với trường thặng dư vô hạn thì tồn
tại một phần tử
1
z R

sao cho z là E-lọc-chính quy, theo [9]. Nếu
0 0
( , )
R m

là một
vành địa phương với trường thặng dư hữu hạn, ta đặt
0 0
0 0 [ ]
': [ ]
m R X
R R X

, là địa
phương hóa của vành đa thức
0
[ ]
R X
tại iđêan nguyên tố
0 0
[ ]
m R X
. Thì
0
0
': '
R
R R R
 
là một vành phân bậc chuẩn bị phân bậc trên vành địa phương với
trường thặng dư vô hạn và
0
0
': '
R

E E R
 
là
'
R
- môđun phân bậc hữu hạn sinh.
Theo [2, Bổ đề 15.2.4] ta có
0
'
( ) ' ( ')
i i
n
R R
R
n
H E R H E


 

với
0
i

. Điều này kéo theo
( ') ( )
reg E reg E

.
2.1.5. Bổ đề. Giả sử

1
z R

là một phần tử E -lọc-chính quy và
dim 2
E

. Thế
thì
( / ) ( ) ( / ) ( )
g reg E zE g reg E reg E zE reg E
    
.
Chứng minh. Theo [9, Bổ đề 2.3] hoặc [2, Mệnh đề 18.3.11] ta có
( ) ( / ) ( )
g reg E reg E zE reg E
  
.
Bất đẳng thức còn lại
( / ) ( )
g reg E zE g reg E
  
có thể được chứng minh một
cách tương tự. 
Theo [9, Mệnh đề 4.1] và [2, Định lý 15.3.1], nếu E là m-chính quy thì
( )
d E m

.
2.1.6. Bổ đề. Cho m là một số nguyên. Thế thì E là m-chính quy khi và chỉ khi E

là m-chính quy yếu và
( )
d E m

.
Chứng minh. Xem chẳng hạn [6, Bổ đề 2.1]. 
Chú ý. Điều kiện
( )
d E m

trong Bổ đề 2.1.6 là cần thiết, xem Ví dụ 2.1.2. Phát
biểu của [8, Hệ quả 1.2] không cần điều kiện
0
m

vì
( / ) 0
d R I

.
2.1.7. Bổ đề. Với mọi n ta có
0
( ) ( ) ( 1) ( ( ) )
d
i i
n
E E R
i
h n p n l H E



  

.
Chứng minh. Xem chẳng hạn [5, Bổ đề 1.3], [2, Định lý 17.1.6]. 
Trong định lý sau, chúng ta thiết lập mối quan hệ giữa chỉ số chính quy hình học
của E và
/
E zE
.
2.1.8. Định lý. Giả sử
0
n
n
R R

 
là vành phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên
vành Artin địa phương
0
R
. Cho E là môđun phân bậc hữu hạn sinh, với
dim( ) 1
E

. Cho
1
z R

là một phần tử E-lọc-chính quy và

( / )
d E zE m

. Nếu
/
E zE
là m-chính quy hình học, thì E là
/
( ( ) ( ))
E
E L
m p m h m
 
-chính quy hình
học, ở đây kí hiệu L là môđun con lớn nhất có chiều dài hữu hạn của E.
Chứng minh. Bằng cách chứng minh tương tự [7, Định lý 1.4], ta có thể thay E
bởi
/
E L
và giả sử z là một phần tử
E
-chính quy. Ta chỉ cần chứng minh
( ) ( ) ( )
E E
g reg E m p m h m
   
.
Từ dãy khớp ngắn
0 ( 1) / 0
z

E E E zE
   


Ta được một dãy khớp dài của các môđun đối đồng điều địa phương
0 1 1 1
1
0 ( / ) ( ) ( ) ( / )
n n n
R R R Rn
H E zE H E H E H E zE
   
    

với mỗi số nguyên n. Vì
( / )
g reg E zE m
 
,
( / ) 0
i
n
R
H E zE


với mọi
1
n m i
  

và với
1
i

. Nó kéo theo
1
( ) ( )
i i
n
R Rn
H E H E
 

với mọi
1
n m i
  
và với
2
i

.Vì
( ) 0
i
n
R
H E


với

0
n

, từ đây suy ra
( ) 0
i
n
R
H E


với mọi
1
n m i
  
và
2
i

.
Bây giờ ta giả sử
n m

. Khi đó.
0 1 1
1
0 ( / ) ( ) ( ) 0
n
n n
R R Rn

H E zE H E H E

  
   

Chọn số nguyên nhỏ nhất
0
n m

sao cho
0
0
( / ) 0
n
R
H E zE


. Khi đó
/
E zE
là
0
n
-chính quy yếu. Theo Bổ đề 2.1.6,
/
E zE
là
0
n

-chính quy. Từ đây suy ra
0
( / ) 0
n
R
H E zE


với mọi
0
1
n n
 
. Vì vậy
1 1
1
( ) ( )
n
R Rn
H E H E
 
 với mọi
0
1
n n
 
.Vì
1
( ) 0
n

R
H E


với
0
n

,
1
( ) 0
n
R
H E


với mọi
0
n n

. Do đó
0
( )
g reg E n
 
. Ta giả sử
0
n m

. Thế thì

0
( / ) 0
n
R
H E zE


với
0
1
m n n
  
.
Vì
n

là toàn cấu nhưng không đẳng cấu với
0
1
m n n
  
. Do đó
1 1
1
( ( ) ( ( ) )
n
R Rn
l H E l H E
 
 với

0
1
m n n
  
. Nó kéo theo
1
( ( ) )
n
R
l H E

giảm
ngặt như là một hàm trên n khi nó tiến đến 0. Từ đó
1
0
( ( ) )
m
R
n m l H E

  . Vì
vậy ta có
1
0
( ) ( ( ) )
m
R
g reg E n m l H E

    .

Nhưng
1
( ( ) ) ( ) ( )
m
R E E
l H E p m h m

  ,
theo Bổ đề 2.1.7. Vậy

( ) ( ) ( )
E E
g reg E m p m h m
   
. 


2.2. Chặn trên cho hàm Hilbert-Samuel
Trong suốt phần này giả sử (A,m ) là một vành Noether địa phương với trường
thặng dư vô hạn k và I là iđêan m-nguyên sơ. Kí hiệu
1
( ): ( / )
n
M
H n l M I M

 và gọi
là hàm Hilbert-Samuel của M. Đa thức duy nhất
( )
M

P X
thỏa mãn
( ) ( )
M M
H n P n

với
0
n

được gọi là đa thức Hilbert-Samuel của M. Số giả
định của M đối với I được định nghĩa là số nguyên nhỏ nhất
0
n
sao cho
( ) ( )
M M
H n P n

với mọi
0
n n

. Giả sử M(A) kí hiệu là lớp các A-môđun hữu
hạn sinh. Một khái niệm tổng quát trên M(A) đối với I là một hàm số
U(-): {lớp các đẳng cấu của M(A) }

{tập con khác rỗng của I\m I}
Theo các điều kiện sau cho mỗi M:
 Nếu

x y
 
mI thì
( )
x U M

khi và chỉ khi
( )
y U M

.
 Tập
( ) \
U M I

mI chứa một tập con mở khác rỗng Zariski.
 Nếu
( ) 0
depth M

và
( )
x U M

, thì
x
là chính quy trên M.
Chúng ta thường sẽ không dùng kí hiệu
U
; ta sẽ viết "

x
là tổng quát trên M đối
với I " thay cho
( )
x U M

. Một cách tương tự một hệ tham số tổng quát
1
, ,
d
x x

của M đối với I là một hệ tham số đối với M sao cho
1
( )
x U M

và với
2, ,
i d

,
1 1
( / ( , , ) )
i
i
x U M x x M


. Chúng ta cần mở rộng khái niệm của bậc

mở rộng (hay bậc đối đồng điều) trong [ 3] theo định nghĩa sau.
2.2.1. Định nghĩa. Một bậc mở rộng trên M(A) đối với I là một hàm số
( ,.)
D I

trên M(A) sao cho các tính chất sau đúng với mỗi môđun
M

M(A).
(i)
( , ) ( , / ) ( )
D I M D I M L l L
 
, với
L
là môđun con lớn nhất của M có độ dài
hữu hạn,
(ii)
( , ) ( , / )
D I M D I M xM

với
x
tổng quát trên
M
đối với I,
(iii)
( , ) ( , )
D I M e I M


nếu
M
là A -môđun Cohen-Macaulay, với
( , )
e I M
kí
hiệu là số bội của M đối với I.
Bậc mở rộng tùy ý
( , )
D I M
sẽ thỏa mãn
( , ) ( , )
D I M e I M

, dấu bằng xảy ra khi
và chỉ khi
M
là môđun Cohen-Macaulay.
Chú ý: Bậc mở rộng
( , )
D I M
được mở rộng từ khái niệm bậc mở rộng
( )
D M

trong [3]. Đặc biệt, nếu I = m thì
( , ) ( )
D I M D M

.

Ví dụ. Nếu A là một ảnh đồng cấu của một vành Gorenstein S với
dim
S n

và
M

M(A) với
dim
M d

, ta định nghĩa bậc đồng điều đối với I,
deg( , )
h I

,
như sau:
1
0
1
( , ) deg( , ( , ))
deg( , ) :
( )
d
n i
S
i
d
e I M h I Ext M S
h I M i

l M




 

 
 

 







Đây là một định nghĩa đệ quy trên chiều vì
dim ( , )
n i
S
Ext M S i


với
0, , 1
i d
 
. Nếu A không là ảnh của đồng cấu của vành Gorenstein, ta chỉ cần

đặt
deg( , ): deg( , Â)
A
h I M h I M 
ở đây
Â
kí hiệu
I
-adic đầy đủ của A.
Theo [11] , có thể thử lại rằng
deg( , )
h I M
là một bậc mở rộng của M đối với I.
Đặc biệt, nếu M là một môđun Cohen-Macaulay suy rộng, thì
nếu
0
d


nếu
0
d


1
0
1
deg( , ) ( , ) ( ( ))
d
i

m
i
d
h I M e I M l H M
i


 
 
 
 

 


Bây giờ ta đặt
: ( )
I
G G A

. Thì
( )
I
G M
là một G-môđun bị phân bậc với
dim ( ) dim
I
G M M

. Ta muốn nghiên cứu từ M đến

/
M xM
với
\
x I

mI là
một phần tử sao cho dạng khởi đầu
*
x
của x trong G là một phần tử
( )
I
G M
-lọc-
chính quy. Chứng minh bổ đề sau đây cho các môđun là tương tự chứng minh
của [10, Bổ đề 4.4] cho vành.
2.2.2. Bổ đề. Giả sử
\
x I

mI sao cho dạng khởi đầu
*
x
của
x
trong G là một
phần tử
( )
I

G M
-lọc-chính quy. Khi đó
1n n
xM I M xI M

 

với
( ( )) 1
n reg G M
 
.
2.2.3. Bổ đề. Giả sử
\
x I

mI sao cho dạng khởi đầu
*
x
của
x
trong G là một
phần tử
( )
I
G M
-lọc-chính quy. Với
0
n


ta có

1
: (0 : )
n n
M
I M x I M x

  (1)
(0 : )
n
M
x I M

=0. (2)
Chứng minh. Rõ ràng
1
(0 : ) :
n n
M
I M x I M x

  . Giả sử y là một phần tử của
1
:
n
I M x

thì
1n

xy xM I M

  . Theo Bổ đề 2.2.2,
1n n
xM I M xI M

 
với
0
n

. Do đó
xy xz

với z nào đó
n
z I M

. Nó kéo theo
(0 : )
M
y z x
 
. Từ
đây suy ra
(0 : )
n
M
y I M x
 

. Vì vậy
1
: (0 : )
n n
M
I M x I M x

  . Vậy
1
: (0 : )
n n
M
I M x I M x

  . Chứng minh (2) là tương tự chứng minh của [10, Bổ
đề 4.6]. 

2.2.4. Bổ đề. Giả sử
\
x I

mI sao cho dạng khởi đầu
*
x
của x trong G là một
phần tử
( )
I
G M
-lọc-chính quy. Cho

0
n

ta có
1 1 1
( / ) ( / )) (( : )/ )
n n n n n
l I M I M l M I M xM l I M x I M
  
  
Chứng minh. Từ dãy khớp
1 1 1
0 ( : ) / / / / ( ) 0
xn n n n n
I M x I M M I M M I M M I M xM
  

    

Ta được
1 1 1
(( : ) / ) ( / ) ( / ) ( / ) 0
n n n n n
l I M x I M l M I M l M I M l M I M xM
  
    

Vì vậy
1 1 1
( / ) ( / ) ( / ( )) (( : )/ )

n n n n n
l M I M l M I M l M I M xM l I M x I M
  
   
Nó kéo theo

1 1 1
( / ) ( / ( )) (( : ) / )
n n n n n
l I M I M l M I M xM l I M x I M
  
   
Bổ đề sau đưa ra một chặn trên cho số giả định của M đối với I.
2.2.5. Bổ đề. Giả sử (A,m ) là một vành Noether địa phương, I là một iđêan m-
nguyên sơ, và M là A-môđun hữu hạn sinh. Khi đó
( ) ( )
M M
H n P n


với
( ( ))
I
n reg G M


Chứng minh. Ta có
1 1
( )
0 0

( ) ( / ) ( / ) ( )
I
n n
n i i
M
G M
i i
H n l M I M l I M I M h i
 
 
  
 

Đặt
: ( ( ))
I
m reg G M

. Thế thì
( ) ( ) ( ) ( )
0 1 0 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
I I I I
m n m n
M
G M G M G M G M
i i m i i m
H n h i h i h i p i
     
   

   

là một đa thức với
n m

. Đa thức này phải là
( )
M
P n
. 