Nghiên cứu xây dựng hệ mật theo các phần tử khả đảo trên vành đa thức chẵn

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (5.88 MB, 24 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

-]-MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài

Nâng cao độ an toàn và bảo mật của hệ thống truyền tin là một

yêu cau thực tiễn luôn chứa đựng tính cấp thiết, tính đa dạng, lại vừa

chứa đựng tính phát triển khơng ngừng. Các phương pháp mã hóa,

mật mã đã đóng góp khơng nhỏ vào việc nâng cao hiệu quả và đảm

bảo độ an toàn, tin cậy của các hệ thống truyền tin.

Các vành da thức chan Z,[x]/x°" +1 thường không được sử dung

trong lý thuyết mã sửa sai truyền thống. Tuy nhiên một số nghiên cứu

gân đây cho thấy việc sử dụng cấu trúc đại số trên các vành đa thức

chẵn vào việc xây dựng các hệ mật có được một sỐ kết quả nhất định.

Với mục đích tìm hiểu và nghiên cứu phát triển thêm các hệ mật

trên vành đa thức chăn; luận văn tập trung vào nghiên cứu xây dựng

hệ mật mã theo các phần tử khả dao của vành đa thức chan đặc biệt

Z[x]/(? +1), với tên đề tài tốt nghiệp: “Nghién cứu xây dựng hệ

mật theo các phân ¡ tử khả đảo trên vành đa thức chan”.

2. Tổng quan về vấn đề nghiên cứu

Trong mơ hình mật mã cơ điển, một hệ mật khóa bí mật thì Alice(người gửi) và Bob (người nhận) chọn một cách bí mật khố K. Sau

đó dùng K để tạo luật mã hoá e, va luật giải mã d, . Trong hệ mật

này d, hoặc giống e, hoặc dé dàng nhận được từ nó (ví dụ trong hệ

DES q trình giải mã hồn tồn tương tự như q trình mã nhưng

thủ tục khố ngược lại). Như vạy, nếu để lộ e, thì làm cho hệ thốngmat an tồn. Nhược điểm của hệ mật này là nó u cầu phải có thơng

tin trước về khố K giữa Alice và Bob qua một kênh an toàn trướckhi gửi một bản mã bất kỳ. Trên thực tế điều này rất khó đảm bảo.

Chang han khi Alice va Bob ở cách xa nhau va họ chỉ có thể liên lạc với nhau băng thư tín điện tử (E.mail). Trong tình huống đó Alice và Bob khơng thể tạo một kênh bảo mật với giá phải chăng.

Ý tưởng xây dựng một hệ mật khố cơng khai (hay dùng chung)

là tim một hệ mật khơng có kha năng tính tốn để xác định d, khi biết e„. Nếu thực hiện được như vậy thì quy tac mã e, có thé được cơng khai bang cách cơng bố nó trong một danh bạ (bởi vậy nên có

thuật ngữ hệ mat khố cơng khai). Ưu điểm của hệ mật khố cơng

khai là ở chỗ Alice (hoặc bất kỳ ai) có thê gửi một bản tin đã mã choBob (mà không cần thông tin trước về khoá mật) bằng cách dùng mật

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

-2-mã công khai e,. Người nhận A là người duy nhất có thé giải được bản mã này bằng sử dụng luật giải bí mật đ, của mình.

Có thé hình dung hệ mật này tương tự như sau: Alice đặt một vật

vào một hộp kim loại và rồi khố nó lại băng một khố số do Bob dé

lại. Chỉ có Bob là người duy nhất có thể mở được hộp vì chỉ có anh ta

mới biết tổ hợp mã của khố số của mình.

Ý tưởng về một hệ mật khố cơng khai được Diffie và Hellman

đưa ra vào năm 1976. Còn việc hiện thực hố nó thì do Rivesrt,

Shamir và Adleman đưa ra lần đầu tiên vào năm 1977, họ đã tạo nên hệ mật nổi tiếng RSA.

Một chú ý quan trọng là một hệ mật khố cơng khai khơng bao

giờ có thể đảm bảo được độ mật tuyệt đối (an tồn vơ điều kiện). Sở

dĩ như vậy vì đối phương khi nghiên cứu một bản mã, anh ta có thê

mã lan lượt các bản tin rõ bằng luật mã hóa cơng khai e, cho tới khi

anh ta tìm được bản rõ duy nhất M đảm bảo C =e,(M). Bản rõ này

chính là kết quả giải mã. Bởi vậy, ta chỉ nghiên cứu độ mật về mặt

tính tốn của các hệ mật này. Một khái niệm có ích khi nghiên cứu hệ

mật khố cơng khai là khái niệm về hàm cửa sập một chiêu.

Hàm mã khố cơng khai e, của Bob phải là một hàm dễ tính tốn.

Song việc tìm hàm ngược (hàm giải mã) rất khó khăn (đối với bất kỳ

ai khơng phải là Bob). Đặc tính dê tính tốn hàm ngược thường đượcgọi là đặc tính một chiêu. Bởi vậy điêu kiện cân thiệt là e, phải là

hàm một chiều (tính thuận đơn giản, nhưng tính ngược phức tạp).

Các hàm một chiêu đóng vai trị quan trọng trong mật mã học, các hệmật khố cơng khai và trong nhiêu lĩnh vực khác.

ĐỀ xây dựng một hệ mật khố cơng khai thì việc tìm được mộthàm một chiều vẫn chưa đủ. Ta không muốn e, là hàm một chiều đối

với Bob vì anh ta phải có khả năng giải mã các bản tin nhận được

một cách hiệu quả. Điều cần thiết là Bob phải có một cửa sập chứa

thơng tin bí mật cho phép dé dàng tìm hàm của e,. Như vậy Bob cóthé giải mã một cách hữu hiệu vì anh ta có một hiểu biết tuyệt mật

nào đó về K. Bởi vậy một hàm được gọi là cửa sập một chiều nếu nó

là một hàm một chiều và nó trở nên dễ tính ngược nếu biết một cửa

sập nhất định.

Các nghiên cứu trên thế giới từ năm 1976 cho đến nay đã đưa ra được 5 bài toán một chiều như sau [1], [8], [10]: Bài toán logarit rời

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

-3-rạc; Bài tốn phân tích thừa số; Bài tốn xếp ba lơ; Bài tốn mã sửa

sai; Bài toán xây dựng hệ mật trên đường cong elliptic.

Việc tìm hiểu và nghiên cứu phát triên thêm các hệ mật kiến trúc

trên vành đa thức chăn có ý nghĩa lý thuyết góp phần làm phong phú

thêm các bài tốn về mật mã, từ đó luận văn tập trung vào nghiên cứu xây dựng hệ mật mã theo các phần tử khả đảo của vành đa thức chan.

3. Mục dich nghiên cứu

- Nghiên cứu tổng quan về mật mã học.

- Nghiên cứu cơ sở toán học và một cau trúc đại số trên vành đa thức chan.

- Nghiên cứu xây dựng một hệ mật cụ thể trên vành đa thức

chan. Khảo sát và đánh giá.

4. Đối twong và phạm vi nghiên cứu

- Đối tương nghiên cứu: Mật mã khóa cơng khai, vành đa thức

- Pham vi nghiên cứu: Ap dụng các phan tử kha dao trên vành

chan dé xây dựng hệ mật mã khóa cơng khai.

5. Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng lý thuyết về mật mã học, các cấu trúc đại số trên vành

đa thức, kết hợp với việc tính toán và kiểm tra.

6. Bỗ cục luận văn

Bản luận văn này bao gồm phần mở đầu, 3 chương nội dung và

phần kết luận.

Chương I: Tổng quan về mật mã học. Trinh bày những van đề

cơ bản về lý thuyết mật mã, khái niệm mật mã khóa bí mật, mật mã khóa cơng khai, q trình phát triển của hệ mật khóa cơng khai.

Chương II: Nghiên cứu vành đa thức chan. Trinh bay cac

nghiên cứu về vành đa thức, đa thức, nhóm nhân cyclic, cấp số nhâncyclic, lũy đăng, đa thức chăn và các phần tử khả đảo trên vành đa

thức chan.

Chương III: Xây dựng hệ mật trên vành da thức chan. Trinh

bày về phần tử khả đảo và hàm sập trên vành đa thức chăn, từ đó đề xuất hệ mật khóa cơng khai trên cơ sở áp dụng phan tử kha đảo trên

vành đa thức chẵn và đánh giá hiệu quả của hệ mật được dé xuất.

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

-4-CHUONG 1: TONG QUAN VE MAT MÃ HỌC

Trong chương này sẽ trình bay tổng quan về mật mã học, di vào

tìm hiệu hai loại hệ mát: hệ mát khóa bí mat và hệ mật khóa cơngkhai, trong do sẽ trình bày kỹ hơn về các hệ mật khóa cơng khai.

1.1. Khái quát về mật mã học

1.1.1. Giới thiệu

Mật mã học là ngành khoa học ứng dụng toán học vào việc

biến đổi thông tin thành một dạng khác với mục đích che dấu nội

dung, ý nghĩa thơng tin cần mã hóa. Đây là một ngành quan trọng và

có nhiều ứng dụng trong đời sống xã hội. Ngày nay, các ứng dụng

mã hóa và bảo mật thơng tin đang được sử dụng ngày càng phổ biến

hơn trong các lĩnh vực khác nhau trên thế giới, từ các lĩnh vực an

ninh, quân sự, quốc phòng..., cho đến các lĩnh vực dân sự nhưthương mại điện tử, ngân hàng...

1.1.2. Sơ lược về mật mã học

Khoa học về mật mã (cryptology) bao gồm: Mật mã học

(cryptography) và Phân tích mật mã (cryptanalysIs)

Mật mã học là khoa học nghiên cứu cách ghi bí mật thơng tin

nhằm biến bản tin rõ thành các bản mã [1].

Phân tích mật mã là khoa học nghiên cứu cách phá các hệ mật

nhằm phục hồi ban rõ ban đầu từ bản mã. Việc tìm hiéu các thơng tin

về khố và các phương pháp biến đổi thông tin cũng là một nhiệm vụ

quan trọng của phân tích mật mã.

Có ba phương pháp tan cơng cơ ban của thám mã: Tìm khố vét

cạn; Phân tích thống kê và phân tích tốn học.

Việc tan cơng của thám mã có thé được thực hiện với giả định:

Tan công chỉ với bản mã; Tan công với bản rõ đã biết; Tan công với

các bản rõ được chọn; Tan cơng với các bản mã được chọn.

Có hai hệ thống mật mã chính là: mật mã khố bí mật và mật mã

khố cơng khai.

Khi xây dựng hệ mật ta thường xem xét tới các tiêu chuẩn sau: độ mật cần thiết, kích thước khơng gian khố, tính đơn giản và tốc độ

mã hố và giải mã, tính lan truyền sai, tính mở rộng bản tin.

Định nghĩa một số khái niệm cơ bản về mã hóa: Bản rõ, Bản mã,

Mã, Khoá, Mã hoá, Giải mã, Mật mã, Thám mã, Lý thuyết mã.

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

-5-1.2. Các hệ mật và các phương pháp thám mã

1.2.1. Các hệ mật ma khố bí mật

Hệ thống mã hóa bí mật là hệ thống mã hóa trong đó quy trình mã hóa và giải mã đều sử dụng chung một khoá - khóa bí mát. Việc

bảo mật thơng tin phụ thuộc vào việc bảo mật khóa.

Trong hệ thống mã hóa quy ước, thơng điệp nguồn được mã hóa

với mã khóa k được thống nhất trước giữa người gui A và người

nhận B. Người A sẽ sử dụng mã khóa & để mã hóa thơng điệp x

thành thơng điệp y và gửi y cho người B; người B sẽ sử dụng mã

khóa k để giải mã thông điệp y này. Vấn đề an tồn bảo mật thơng

tin được mã hóa phụ thuộc vào việc giữ bí mật nội dung mã khóa k.Nếu người C biết được mã khóa & thì C có thé “mở khóa” thơng điệpđã được mã hóa mà người A gui cho người B.

Khóa bí mật

- Hà E tù, ») |

Thong diep Ma hoa Thong điệp Giai ma Thong điệp

nguôn đã ma hóa đã giải mà

Hình 1.1. Mơ hình hệ thống mã khố bí mật

Có 3 phương pháp chính trong | mật mã khố bí mật (mat mã khố

riêng hay mật mã cơ điển) pháp nối bật đó là: Thay thế; Hốn vị; Xử

lý bit (chủ yếu trong ngơn ngữ lập trình)

Các hệ mật mã khố bí mật bao gồm các hệ mật sau: - Mật mã thay thé

- Mat mã hoán vi

- Mat ma Hill

- Hé mật xây dựng trên các cấp số nhân cyclic trên vành đa thức - Ma Affine (trường hợp đặc biệt của hệ mã thay thé)

- Cac hệ mật mã tích- Cac hệ mã dịng

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

-6-Ngồi ra cịn có phương pháp hỗn hợp thực hiện kết hợp cácphương pháp trên mà điển hình là chuẩn mã dữ liệu DES, chuẩn mã

dữ liệu tiên tiến AES của Mỹ.

1.2.2. Các hệ mật mã khố cơng khai

Một hệ thống khóa cơng cộng sử dụng hai loại khóa trong cùng một cặp khóa: khóa cơng cộng (public key) được công bố rộng rãi

và được sử dụng trong mã hóa thơng tin, khóa riêng (private key)

chỉ do một người nắm giữ và được sử dụng để giải mã thơng tin đã được mã hóa bằng khóa cơng cộng.

khóa cơng cộng khỏa riêng

OOO ©

+ ZPD

Thơng điệp Mã hóa Thơng điệp Giải mã Thơng điệp

gốc đã mã hóa được giải mã

Hình 1.2. Mơ hình hệ thống mã khố cơng khai

Các phương pháp mã hóa này khai thác những ánh xạ ƒ mà việc

thực hiện ánh xạ ngược ƒˆÌ rất khó so với việc thực hiện ánh xạ ƒ Chỉ khi biết được mã khóa riêng thì mới có thê thực hiện được ánh xạ ngược ƒ !.Khi áp dụng hệ thống mã hóa khóa cơng cộng, người A

sử dụng mã khóa cơng cộng để mã hóa thơng điệp và gửi cho ngườiB. Do biết được mã khóa riêng nên B mới có thể giải mã thơng điệpmà A đã mã hóa. Người C nêu phát hiện được thơng điệp ma A gửi

cho B, kết hợp với thông tin về mã khóa cơng cộng đã được cơng bó,

cũng rất khó có khả năng giải mã được thơng điệp này do khơng

năm được mã khóa riêng của B.

1.3. Hệ mật khóa cơng khai

1.3.1. Giới thiệu về mật mã khóa cơng khai

Y tuong vé một hệ mật khố cơng khai được Diffie va Hellman

đưa ra vào năm 1976. Còn việc hiện thực hố nó thì do Rivesrt,

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

-7-Shamir va Adleman đưa ra lần đầu tiên vào năm 1977, họ đã tạo nên

hệ mật nồi tiếng RSA. Ké từ đó đã cơng bố một SỐ hệ, độ mật của

chúng dựa trên các bài tính tốn khác nhau. Trong đó, quan trọng

nhất là các hệ mật khố cơng khai sau:

- Hé mật RSA: Dựa trên độ khó của bài tốn phân tích thừa SỐ.

- Hệ mật xếp ba lơ Merkle - Hellman: Hệ này và các hệ liên quan

dựa trên tính khó giải của bài tốn tổng các tập con. Tuy nhiên tất

cả các hệ mật xếp ba lô khác nhau đều đã bị chứng tỏ là không

mật (ngoại trừ hệ mật Chor-Rivest).

- Hé mát McEliece: dựa trên bài toán giải mã cho các ma tuyến tính (cũng là một bài toán NP day đủ).

- Hệ mật ElGamal: Hệ mật ElGamal dựa trên tính khó giải của bai

tốn logarithm rời rạc trên các trường hữu hạn.

- Hé mật Chor-Rivest: Hệ mật Chor-Rivest cũng được xem như một

hệ mật xếp ba lơ. Tuy nhiên nó vẫn được coi là an tồn.

- Hệ mật trên các đường cong Elliptic: Các hệ mật nay là bién

tướng của các hệ mật khác, chúng làm việc trên các đường congElliptic chứ không phải là trên các trường hữu hạn. Hệ mật này

đảm bảo độ mật với số khoá nhỏ.

Một chú ý quan trọng là một hệ mật khố cơng khai khơng bao

giờ có thể đảm bảo được độ mật tuyệt đối. Bởi vì đối phương khi nghiên cứu một bản mã, y có thể mã lần lượt các bản tin rõ bằng luật

mã hố cơng khai e, cho tới khi anh ta tìm được bản rõ duy nhất x đảm bảo y =e, (x). Bản rõ này chính là kết quả giải mã của y.

Hàm mã khố cơng khai e, của Bob phải là một hàm dễ tính tốn.

Song việc tìm hàm ngược (hàm giải mã) rất khó khăn. Đặc tính dễ tính tốn hàm ngược thường được gọi là đặc tính một chiều. Bởi vậy

điều kiện cần thiết là e, phải là hàm một chiều.

Các hàm một chiều đóng vai trị quan trọng trong mật mã học, chúng rất quan trọng trong các hệ mật khố cơng khai và trong nhiều

lĩnh vực khác. Đáng tiếc là mặc dù có rất nhiều hàm được coi là hàm một chiều nhưng cho đến nay vẫn không tổn tại một hàm nào có thé chứng minh được là hàm một chiều.

1.3.2. Nguyên tắc chung mã hóa với khóa cơng khai

Trong hệ thống có n đối tượng cùng trao đồi thơng tin mật. Từng

đơi tượng chọn cho mình một khóa lập mã k và cơng thức mã hóa ex

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

_8-được cơng khai. Như vay có n khóa lập mã cơng khai ki, kạ,..., kn.

Khi đối tượng ¡ muốn gửi thông tin cho đối tượng j thì dữ liệu được

chuyền thành từng khối với độ dài nào đó, mỗi khối P trong văn bảnđược mã hóa bằng khóa lập mã e, cua đối tượng j, thơng tin gửi di

có dạng: C =e, (P).

Dé giải mã đối tượng j thực hiện: d, (C) = d„.e„(P)=

Do ¿„ và d, là khóa lập mã và giải mã của đối tượng j do vậy

các đối tượng khác trong hệ thống khơng thể tìm ra khóa giải mã dy

trong thời gian chấp nhận được mặc dù biết đụ

-1.3.3. Quá trình phát triển của hệ mat khóa cơng khai [1],[8],[10]

Các hệ mật khóa cơng khai được nghiên cứu và phát triển mạnh

mẽ cuối những năm 70 của thế kỷ trước. Các hệ mật điển hình được

tập trung nghiên cứu phát triển và đưa vào ứng dụng trong thực tế là

hệ mật RSA, hệ mật RABIN, hệ mật ELGAMAL, hệ mật CHOR-RIVEST, hệ mật Merkle-Hellman, hệ mật MCELICECE, các hàm

băm và tính tồn ven dit liéu,...

Chương này đã trình bày những van đề tổng quan về mật mã hoc

như các khái niệm, phân loại và sơ đồ chức năng của hai hệ mật mã

hóa bí mật và khóa cơng khai. Ngồi ra đi vào tìm hiểu và phân tíchcác vấn đề liên quan đến hệ mật khóa cơng khai và các bài tốn một

Do vậy, trong chương 2 sẽ đi tìm hiểu về vành đa thức chan và các phan tử khả đảo trên vành đa thức chan (phan tử góp phần kiến

trúc lên hệ mật khóa cơng khai).

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

-0-CHUONG 2: NGHIÊN CỨU VÀNH ĐA THUC CHAN

Trong chương này, chúng ta sẽ di tìm hiểu về vành da thức và

phân hoạch vành đa thức, các mơ tả và tính chất của vành đa thức

chan, cdc phan tử kha đảo trên vành da thức chan. Chương này giúp

cung cấp những kiến thức cơ bản để nghiên cứu xây dựng hệ mậttrên vành da thức chan trong chương 3.

2.1. Vành đa thức

2.1.1. Khát niệm vành da thức

2.1.2. Tính chất đa thức trong vành 2.1.3. Lũy đẳng trong vành đa thức

2.1.4. Lity đẳng nuốt trong R,[x] với n lẻ

Định nghĩa 2.5: Trong các vành R,[x] một lũy đăng e(x) được

gọi lũy đăng nuôt (Swallowing Idempotent) nêu:

f(x) *e(x) =(w(f(z)mod2).e(x)mod(+"+I)IYƒ(+)eR,[x] (2.8)

Rõ rang trong mọi vành R,[x] với n lẻ, e,,(x) = Sx la lũy dang

nuốt. Day là đa thức chứa toàn bộ các đơn thức trong vành, do đó

é,,(x) là lũy đăng nt duy nhat trong vành này.

Trong một vành bat kỳ, với ø lẻ luôn tồn tại một lớp kề chỉ

chứa một lũy đăng “nuôt” e,, (x).

2.1.5. Các phân tử khả đảo

Định nghĩa 2.6: Trong R,[x], một đa thức f(x) là khả đảo nếu

tồn tại một đa thức g(x) e R,[x] thỏa mãn øg(x)* f(x) =1mod(x" +1).

Định nghĩa 2.7: Trong R,[x], tỉ lệ giữa số phần tử khả đảo trên

tổng số da thức của vành được ký hiệu là K, .

Do các đa thức khả đảo ln có trọng số lẻ nên giá trị lớn nhất của

K, là max(K,)=

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

-10-2.1.6. Đa thức bù, khát niệm nghịch đảo mở rộng trong các vành lẻ

Định nghĩa 2.8: Trong R[x] với n lẻ, đa thức

ƒ()= f(x) +e,,(x) được gọi là đa thức bù hay phan bù của f(x).

Có thé thấy f(x) cũng chính là phần bù của f(x) trong R,[x].

Định nghĩa 2.9: Trong R[x] với ø lẻ, một đa thức f(x) được

gọi là “khả nghịch mở rộng” nếu tồn tai một đa thức g(+) e R,[x]

thỏa mãn g(x)* f(x) =(e,(x)+1)mod(x"+1) và g(x) được gọi là

nghịch đảo mở rộng của f(x).

Bồ dé 2-1: Trong R,[x] với n lẻ, nếu f(x) là khả đảo với phan tử nghịch dao g(x) thì ø(+)= g(x)+e,,(x)chinh là phần tử nghịch đảo

mở rộng của f(x).

Bồ dé 2-2: Trong R,[x] với n lẻ, giả sử k(x) là nghịch đảo mở rộng của (x), nếu biết c(x) =zm(x)*f(x)mod(x" +1) và w(m(x)) ta có thé tính được:

m(x) = wứm(x))mod2.a„(x)+k(+)*c(x)mod(x"+lI) (2.9)

2.2. Phan hoạch vành đa thức

2.2.1. Nhóm nhan cyclic trên vành da thức [2]

2.2.2. Cấp số nhân cyclic trên vành da thức [2], [5]

2.2.3. Các bước phân hoạch vành đa thức [2], [5]

Đê phân hoạch một vành đa thức ta thực hiện theo các bước sau

đây [2], [5]: :

Bước 1: + Chọn một phân tử sinh a(x) e £ ,[x]/x" +1.

+ Xây dựng nhóm nhân cyclic: A ={a'(x),i=1,2,...,m},

trong đó: m = orda(x).

Bước 2: + Chọn b(x) e{£ ,[x]/x” +1\S}.

+ Xây dựng cấp số nhân cyclic:

B=bD(x).A = {b(x).a' (x),i =1,2,...,m}

+ S=SUB

Bước 3: Lap lại bước 2 cho đến khi S=¢ 2[xl⁄“" +1

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

-|1-Thông số m là cấp của a(x) (ký hiệu ord a(x) ). Giá tri m chi có

thé bang max ord a(x) hoặc ước số của max ord a(x) .

Do vành da thức có cau trúc đối xứng, một nửa vành gồm các

phần tử có trọng số lẻ, một nửa vành gơm các phan tử có trong số chan. Vì vậy khi phân hoạch ta chỉ cần tìm các phần tử có trọng sơ lẻ

của vành rồi có thé dé dang suy ra các phan tử chan.2.2.4. Các kiểu phân hoạch vành đa thức

Các kiểu phân hoạch vành đa thức cho đến nay bao gồm [5]: Phân

hoạch chuẩn; Phân hoạch cực đại; Phân hoạch cực tiêu; Phân hoạch

thành các cấp số nhân có cùng trọng số; Phân hoạch vành thành các

cấp số nhân với các phân tử có cùng tính chăn lẻ của trọng số; Phân

hoạch vành thành các câp số nhân theo modulo của A(x); Phân hoạch

hỗn hợp của hai vành đa thức khác nhau.

2.3. Vành đa thức chan

Vành đa thức chin là vành các đa thức có hệ số trên GF(2) theo modulo x?"+1lneZ*. Biéu diễn toán học day đủ của vành này là

GE, [x]/x°" +1 hay viết ngắn gọn là R,,[x].

2.3.1. Các thang du bậc hai và các phan tử liên hợp

2.3.1.1. Các thang du bậc hai va căn bậc hai cua thang du do trênvành da thức chan

Dinh nghia 2.12:

Đa thức f(x) được gọi là thang dư bậc 2 (quadratic residue - QR)

trong R,,[x] néu ton tại da thức g(x) e R,,[x] thỏa man:

g(x) = f (x) mod(xTM” +1) (2.13)

Khi đó g(x) va được gọi là căn bậc 2 của f(x) va g,(x)= J f(x)

được gọi là căn bậc 2 chính cua f(x).

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

-|2-Bồ dé 2-3 [12]: Da thức f(x) năm trong tập các thang du bậc 2 Q,, khi và chỉ khi f(x) chứa các đơn thức có số mũ chan.

Số các thang dư bậc 2 trong R,, [x] được xác định như sau:

|2,,,| = vc =C)+C)+C}`+...+C?""'+C? =2" (2.14)

Bồ đề 2-4 [12]: Các căn bậc 2 của một thặng dư bậc 2 được xác

định theo công thức sau:

sqrtf (O} = gG)=+x")S`x' + SFO) (2.15)

trong đó U là một tập gồm các tơ hợp tuỳ ý các giá trị trong tap

s={0,n—1}. Do vậy lực lượng của U sẽ bằng |U| =2" -1. Ngoài ra, mỗi thang dư bậc 2 trong vành R,,[x] có tat cả 2" căn bậc 2 (kế cả

căn bậc 2 chính).

Các căn bậc 2 của một đa thức là tổng của nhiều đơn thức sẽ bằng tổng các căn bậc 2 của từng đơn thức hay nói cách khác khai căn bậc 2 của đa thức là thực hiện khai căn từng thành phần của đa thức.

Một số nhận xét:

- Trong vành R,,[x] có 2" thang dư bậc 2, mỗi thang dư bậc 2 có