Báo cáo bài tập lớn môn giải tích 1 cơ sở lý thuyết và ứng dụng của phương trinh vi phân cấp 1 và 2

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

<b>ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINHTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA </b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

<b>ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINHTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA </b>

<b>Sinh viên thực hiện:</b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

MỤC LỤC

MỤC LỤC...3

LỜI MỞ ĐẦU...4

LỜI CẢM ƠN...4

CHƯƠNG 1:CƠ SỞ LÝ THUYẾT ...5

CHƯƠNG 2: CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP...6

CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG TRONG CÁC BÀI TẬP...9

CHƯƠNG 4:KẾT LUẬN ...11

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

LỜI MỞ ĐẦU

Giải tích 1 là mơn học đại cương có vai trị rất quan trọng đối với sinh viên ĐH Bách Khoa TP.HCM mà sinh viên Khoa Điện-Điện tử cũng khơng ngoại lệ. Vì đây là môn học của những bước đầu để học tốt các mơn học khác trong chương trình đào tạo. Vì thế, việc đặt nhiều tâm huyết và thời gian vào môn này là điều rất cần thiết.

LỜI CẢM ƠN

Theo suốt quá trình từ những bài học đầu tiên đến bài tập lớn hiện tại nhóm chúng em rất may mắn khi gặp cô Nhi được cô chỉ dạy, quan tâm chúng em hết mình. Nhóm chúng em chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cô thân yêu Lê Thị Yến Nhi đã dành hết tâm huyết để giảng dạy và hướng dẫn chúng em chi tiết để chúng em thực hiện bài tập lớn của mơn. Có lẽ nếu để lại hình ảnh của chúng em trong cơ thì điều khó vì một khố cơ đã gắn bó rất nhiều sinh viên nhưng đối với chúng em mơn giải tích 1 thì chỉ có một cơ Nhi nên hình ảnh cơ ln khắc sâu trong chúng em. Nhớ có cơ nhiệt tình giúp đở và truyền đạt kiến thức những kinh nghiệm để chúng em học tốt môn. Bài tập lớn này chắc sẽ khơng trọn vẹn mà có nhiều sai sót chúng em trân thành mong chờ những đóng góp của cơ để chúng em cải thiện lên từng ngày. Cuối lời chúng em xin chân thành cảm ơn và chúc cô ngày càng xinh đẹp, thành công

<small>4</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

<b>CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT</b>

<b>I.Phương trình vi phân cấp 1 </b>

Cơ sở lý thuyết phương trình vi phân là một lĩnh vực quan trọng trong toán học và các ngành khoa học khác như vật lý, kỹ thuật, kinh tế,... Phương trình vi phân bậc 1 là một trong những loại phổ biến nhất trong lớp các phương trình vi phân.

Một phương trình vi phân bậc 1 thường có dạng như sau:

<i>dx</i>⁼<i>^{f ( x , y )}</i>

Trong đó y là hàm chưa biết,x là biến độc lập và f(x,y)là hàm đã biết,Để giải phương trình này cần tìm hàm y sao cho đạo hàm của nó theo x bằng f(x,y). Điều này thường liên quan đến các phương pháp giải bài toán cụ thể hoặc sử dụng các kỹ thuật như phân phối đều và điều kiện ban đầu.

Phương trình vi phân bậc 1 còn bao gồm các khái niệm về hàm giải, tồn tại và duy nhất, cũng như các phương pháp giải như phương pháp phân rã Euler, phương pháp Runge-Kutta, và phương pháp tích phân hữu hạn. Đặc biệt, khi có điều kiện ban đầu (initial condition), ta cần tìm hàm giải thỏa mãn cả phương trình vi phân và điều kiện ban đầu.

<b>II.Phương trình vi phân cấp 2</b>

Phương trình vi phân bậc 2 là một phần quan trọng của lý thuyết phương trìnhvi phân, và nó có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật.

Phương trình vi phân cấp 2 là phương trình có dạng:

F(<i>x , y</i>,<i>y<small>'</small></i>,<i>y<small>' '</small></i>) = 0 hay <i>y<small>' '</small></i> = <i>f</i>

(

<i>x , y , y<small>'</small></i>

)

(1)

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

<b>Chương 2: CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN </b>

<b>I.Phương trình vi phan cấp 1:</b>

Cấp của một phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm hoặc vi phân của hàm phải tìm có mặt trong phương trình vi phân đó.

Phương trình vi phân thường cấp n có dạng tổng quát như sau: F(x,y,y',..,<i>y<small>n</small></i>) =0 (1)

Trong đó F là một hàm số của n+2 biến số x,y,y',..,<i>_y<small>n</small></i>.

Phương trình vi phân thường cấp 1 là phương trình được biểu diễn một trong các dạng sau: -Dạng tổng quát: <i>F</i>

(

<i>x , y ,^dy</i>

<i>dx</i>

)

=0 (2)

trong đó: x là biến số độc lập; y là hàm phải tìm; y' là đạo hàm cấp một của y. Dạng đã giải theo đạo hàm: <i>dy</i>

<b>II.Phương trình vi phân cấp 2:</b>

<b>1. Phương trình Euler-Cauchy: Đây là một dạng phổ biến của phương trình vi phân cấp 2 </b>

trong hệ phương trình tuyến tính. Nó có dạng:

<i>Trong đó a, b và f (x) là các hàm cho trước. Phương trình này thường được giải bằng phương</i>

pháp giả sử hoặc phương pháp sử dụng các hàm đặc biệt như hàm Bessel.

<b>2. Phương trình vi phần tuyến tính có hệ số hằng: Dạng phổ biến nhất của phương trình vi </b>

phân cấp 2 là phương trình có dạng:

<i>ay (x)+by'(x)+cy(x) =f(x</i>

<i>Trong đó a, b và c là các hệ số hằng, f (x) là một hàm cho trước. Phương trình này có thể </i>

được giải bằng nhiều phương pháp khácnhau, bao gồm phuong pháp giả sử và phương pháp sử dụng các hàm đặc biệt như hàm giải tích.

<b>III.Hệ phương trình vi phân</b>

<b>1. Định nghĩa:</b>

- Hệ phương trình vi phân là một hệ các phương trình dạng:

<i>y '_i</i>=<i>f_i</i>

₍

<i>x , y</i>₁<i>,… , y_n</i>

₎

<i>, i=1 , …,n (1)</i>

<small>6</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

<i>Trong đó, f<small>i</small>là những hàm số (n+1) biến y<small>i</small></i>, là những hàm chưa biết của biến x. Giải (hay tích

<i>phân) hệ trên có nghĩa là tìm tất cả các bộ n hàm số y_i( x) , i_n</i>=1 , … ,n thỏa mãn (1). Nếu cho trước

<i>điểm x</i><small>0</small><i>và các giá trị b</i><small>1</small><i>, … , b_n<b>∈ R thì một nghiệm y</b></i><small>1</small>(<i>x), … , y_n</i>(<i>x) của hệ (1) thỏa mãn điều kiện </i>

<i>trong đó a_j<small>i</small><b> là những hàm số (xác định trên khoảng I∈ R).</b></i>

<i>Giả thiết i a_j<small>i</small><b> liên tục trên I. Nếu ký hiệu Y là vectơ cột và A là ma trận chứa a</b>_j<small>i</small></i>

<i>Với giả thiết về tính liên tục của các hàm hệ sốa_j<small>i</small>, cho trước x</i><small>0</small><i><b>∈I và b∈ R</b><small>n</small></i>, tồn tại duy nhất một

<i>nghiệm Y(x) của hệ (*) thỏa mãn điều kiện khởi đầu Y(x</i><small>0</small>¿=<i>b. Ngoài ra các nghiệm của hệ (*) tạo </i>

thành một không gian n chiều.

<b>b. Hệ tuyến tính khơng thuần nhất:</b>

- Hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng thuần nhất là hệ phương trình dạng:

<i>trong đó A là ma trận cấp m×n, B(x) là vectơ cột n tọa độ.</i>

<i>Giả thiết Y</i><small>0</small><i>là nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất (*) và Y<small>P</small></i>là một nghiệm nào đó của hệ khơng thuần nhất. Khi ấy nghiệm tổng quát của hệ không thuần nhất có dạng:

<i>Y ( x )=Y</i>₀<i>( x)+Y_P</i>(<i>x )</i>

<i>Ngồi ra, nếu ta biết được giải thức θ</i>

(

<i>x , x</i>₀

₎

_{của hệ (*), thì nghiệm của hệ khơng thuần nhất thỏa mãn}

<i>điều kiện khởi đầu Y(x</i>₀¿=<i>b sẽ được tính theo cơng thức:</i>

- Thiết kế và phân tích các hệ thống điều khiển tự động.

- Mơ hình hóa các hệ thống kỹ thuật như mạch điện, hệ thống nhiệt, cơ khí,…

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

<b>b. Sinh học và y học:</b>

- Mô tả các quá trình sinh học như tăng trưởng, di truyền, phản ứng hóa học,… - Phân tích và dự đốn sự phát triển của các bệnh và tác dụng của các loại thuốc. - Mơ hình hóa các hệ thống sinh học phức tạp như hệ thống thần kinh, hệ tuần hồn,…

<b>c. Kinh tế và tài chính:</b>

- Mơ tả và dự đoán các xu hướng kinh tế như tăng trưởng, lạm phát, thất nghiệp,… - Phân tích và tối ưu hóa các quá trình kinh doanh như sản xuất, tiếp thị, tài chính,…

<b>d. Khí tượng học và địa lý:</b>

- Mơ tả và dự đốn các hiện tượng khí hậu như nhiệt độ, lượng mưa, gió,… - Phân tích và mơ hình hóa các q trình địa lý như dịng chảy, xói mịn,…

<b>Tóm lại, hệ phương trình vi phân là một cơng cụ tốn học mạnh mẽ để mơ tả, phân tích và dự đoán các hệ thống động học phức tạp trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật.</b>

<small>8</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

<b>CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG TRONG CÁC BÀI TẬP </b>

<b>Bài tập 1: Một bể chứa 20kg muối hòa tan trong 5000 lít nước. Nước biển có chứa 0,03kg </b>

muối trong 1 lít nước được bơm vào bể với tốc dộ 25 lít/phút. Dung dịch được khuấy đều và bơm ra ngoài với tốc dộ tương tự. Hỏi sau nửa giờ trong bể bao nhiêu muối?

 Gọi y(t) là lượng muối trong bể thời điểm t.

 Tốc độ muối chảy vào 0,03 (kg/lít) x 25 (lít/phút) = 0,75 (kg/phút)

<i>Vậy sau nửa giờ bể chứa khoảng y(30) = -130e</i><small>200</small>^−t+150 ≈ 38.1 kg muối

<b>Bài tập 2: Có mơ hình về sự lây lan của một bệnh dịch , trong đó tốc dộ lây lan tỷ lệ với số</b>

người bị nhiễm bệnh và số người không bị nhiễm bệnh. Ở một thị trấn hẻo lánh có 5000 cư dân, số người mắc bệnh dịch vào đầu tuần là 160 và con số này đã tăng lên đến 1200 vào cuối tuần. Hỏi phải mất bao lâu thì 80% cư dân thị trấn đều bị nhiếm bệnh?

<i>dt</i>

⁽

<i>^t</i><small>1</small>

)

<i>: Tốc độ nhiễm bệnh tại thời điểm t</i><small>1</small> hay thời điểm hay tốc

<i>độ lây lan dịch bệnh tại thời điểm t</i><small>1</small>. - Tại thời điểm t: tốc độ lây lan dịch bệnh <i>^dy</i>

<i>dt</i>^{; số người bị nhiễm bệnh y(t) ; số người không}

<i>bị nhiễm bệnh là 5000- y (t)=M − y (t) .</i>

- Vì tốc độ lây lan tỷ lệ với số người bị nhiễm bệnh và số người không bị nhiễm bệnh nên ta có phương trình:

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

Mơn Giải Tích 1 khơng chỉ là một phần quan trọng của chương trình học, mà cịn là nền tảng vững chắc cho sự phát triển toàn diện trong lĩnh vực khoa học và kỹ thuật. Qua hành trình học, chúng em đã nhận thức rõ về tầm quan trọng của việc nắm vững những khái niệm cơ bản như đạo hàm, tích phân, và chuỗi số.

Việc thực hiện Bài Tập Lớn không chỉ là cơ hội để áp dụng kiến thức mà còn là dịp để rèn luyện kỹ năng làm việc nhóm, giao tiếp, và giải quyết vấn đề. Chúng em đã học cách tận dụng sức mạnh của nhóm để vượt qua thách thức và đạt được kết quả tốt

Khám phá những ứng dụng thực tế của Giải Tích 1 đã mở ra cánh cửa cho sự hiểu biết sâu sắc và tăng cường khả năng giải quyết vấn đề. Môn học không chỉ là việc thu thập thông tin và giải bài tập, mà cịn là hành trình tự khám phá và phát triển khả năng tư duy phê phán.

Cuối cùng, Giải Tích 1 khơng chỉ giúp chúng em xây dựng nền tảng vững chắc cho những mơn học chun sâu hơn mà cịn là nguồn động viên để nuôi dưỡng niềm đam mê và sự tị mị trong lĩnh vực tốn học và khoa học tự nhiên. Điều này khơng chỉ là hành trình học tập, mà là chặng đường hình thành nhân cách và tri thức.

</div>