chương 2 đại số ma trận mô hình máy tính trong thiết kế máy bay
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.05 MB, 43 trang )
<span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">
<b>Chương2.</b>
<b>ĐẠISỐMATRẬN</b>
<b>MơhìnhMáytínhtrongThiết ếMáybayk</b>
Đểthiếtkế ếth hệmáybaythương mại vàquân sựkếtiếp,các kỹsưt i ạ Boing’sPhantom Work sử dụng mơhình 3D và tính tốn động lực chấ ỏng (CFD). ọ nghiên cứu dịngt l H khơngkhíquanhmộ máybayảođểtrả ờt l icho nh ngcâuh ivềthiếtkếquantr ngtrước ữ ỏ ọ khit oạ nhữngmơhìnhvậ lý.Điềunàyđãt giảmđáng ểsốchutrìnhthiế ếvàgiáthành–k t k vàđạisốtuyế tínhđóngn vai trị quan tr ng trong tiếntrình này. ọ
Máybayảolúcđầunhưmộtmơ hình tốn“khung dây” mà chỉt nt i ồ ạ trong bộnhớmáy tínhvàthiếtbịđầucuố hiể thịđồ ọ (Mộ mơhìnhBoingi n h a. t 777đãchỉranhưvậy.)Mơ hìnhtốnhọcnàysắ ế vàtácđộng p x p tới mỗibướcthiết k ếvàchế ạ máybaycảtrong ẫ t o l n ngồi.PhântíchCFDquantâm ớ t i bềmặ tbênngồi.
Mặcdùbềngồilớ vỏcủ máybaykhip a hồnthànhtrơngcóvẻtrơ tru,tuynhiêncấun trúcbề mặtlàkháphứctạp.Bên ạnhcánhvàthânmáyc bay, một máy bay cịn cóvỏ, bộ phậngiữthăngbằng,bộ ậnđiph ều ướng,…Cáchh màkhơngkhí ịchchuyể xungd n quanh cácbộphậnnàyquyếtđịnhcách mà máy bay di chuyển trên bầ utr i. Các phương trình mơờ tảsự ịchchuyể này làd n ấ phức ạp,và ọphả tínhtốnđếnđầuvào vàr t t h i đầuracủ độnga cơ,vành ngữ vệtcịnl iạ docánhcủamáybay.Đểnghiêncứu luồng khí, các kỹsưcầ nmột mô ảt cả itiến pcấ caocủ bềmặ máybay.a t
M tộ máytính ạ mộ mơhìnhbềmặ bằngcáchthêm ướ bachiềucủ các ộ trongt o ra t t l i a h p mơhình ngun th y.ủ Cáchộptrong ướinàyhoặchồntồn ằmtronghoặcl n ngồimáy bay,hoặcchúnggiaovớibềmặtcủamáybay.Máytính ự chọ cáckhố giao ớibềm tl a n i v ặ và chianhỏchúng,chỉgiữl iạ những ộ ỏh nh pnh ơ màvẫ cịngiaovớ bềmặt.Qtrìnhn i chia nhỏnàyđượcl p l iặ ạ chođến khilướ i là cựcm n. M tị ộ l iđiểnướ hình có thểchứa trên 400,000 hộp.
Qtrìnhtìmluồngkhíquanhmáybay bao ồmviệcgiả ặ đi l p lg i l p ặ ạicác ệphươngh
<b>trìnhtuyếntính x</b><i>A</i> =<b>b</b>mà có thểliên quanđến hai<b>triệuphươ trìnhvàbiế số Véctơb</b>ng n . thayđổimỗ ần,và ự vào ữliệucủ ướ vànghiệmcủ cácphươngtrìnhtrướcđó.Sửi l d a d a l i a dụngmộ máytínhnhanhnhấ ngồithịtrường,mộtnhómcủ FantomWorkscóth dànht t a ể từmộ vàigiờđế mộ vàingàyđểthiếtt n t lập và giải quyết mộ ấtv nđềvềlu ng khí.Sau khiồ nhómnàyphântíchcácgiảipháp,họcó ểcóth mộtsốđiều ỉnh nhch ỏtớibềmặtcủamáy baytồnbộqtrìnhmộ ầ t l n nữa.Cóthểcầnđến hàngngàn lần chạ y CFD.
Chương này trìnhbàyhaikháiniệmquantrọ hng ỗtrợviệctìmnghiệm ủ ữ hệc anh ng phươngtrìnhđồsộ ưvậy:nh
Khốimatr n:M thệCFDđi nậ ộ ể hìnhcómatrậ ệsố“thư vớ ầu ế cácphầ ửn h a” i h h t n t khơng.Nhómcácbiế mộ cáchchínhxác ẫ ớ mộ matrậnkhố vớ nhiềukhốin t d n t i t i i không.Mục giớ thiệunhữngmatrậ nhưvậ vàmô ảcácứng ụngcủ chúng.2.4 i n y t d a Nhântửhóamatrận:Th mchíkhiđượcviếtậ vớ nhữngmatrậnkhối, ệcácphươngi h
trìnhnàylàrấtphứctạ Đểđơnp. giả ơn ữ cáctínhtốn,phầ m mn h n a n ề CFDcủ a Boingsửdụngcáig iọ lànhân ửhóaLUcủ ma ật a trnhệs .Mục2.5 ảoluậnvềLUố th và vi ệcnhântửhóacácmatrậ hữun íchkhác.Chitiếthơnvềnhântửhóaxuấ hiệ ởt n mộtsố ụcsauđó.m
</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">3 Đểphântích nghiệm của một hệluồng khí, các kỹsưmuốnhình dung ra luồng khí trên bề mặt máy bay. ọsử dụng đồH họa máytính và đại sốtuyế tính để cung cấpn phươngtiệnchođồhọa.Mẫukhungdâycủabềmặtmáybayđược ưutrữnhưlàl dữ ệ li u trongnhiềumatrận.Mộtkhimộ hìnhảnhđượcxuấtramànt hìnhmáytính,cáckỹsưcó thểthayđổiquymơcủanó, phóng to ơcjthunhh ỏcácvùng ỏ,vàxoaynhữnghìnhnh ảnhđểxemcácphần mà có thểbịchekhuất. Mỗi thao tác nàyđược hồn thành bởiviệ c nhâncácmatrậnthíchhợp.Mục2.7giả ithíchcácýtưởngcơbả n.
Khả năngphân tích và giải các phương trình của chúng tơi sẽ đượ nângc cao khi chúngtôithựchiệncácbiế đổiđạin sốcácmatrận. ơ ữa,cácđịnhnghĩavàđịnhlýH n n trongchương này cungcấpmộtsốcông ụcơbảnđểc giảiquyếtnhi u ngdụngcủađạiề ứ sốtuyếntínhbaogồmhai hay nhiềumatrận.V iớ nh ngữ matrậnvng,Định lý Ma trận nghịchđảotrong mục 2.3 kết nối hầuhết các khái niệm ãđượctrìnhbàytrướcđó.Mụ đ c 2.4và2.5kiểmtracácmatrận ốikh vàviệcnhân ửhóamat trận,màxuấ hiệ tronghầut n h tế cáccáchdunghiệ đạicủađạin sốtuyế tính.Mục2.6n và2.7mơ ảt haiứngdụ củang đạisốmatrận, cho tới kinhtếhọc và đồhọamáy tính.
Nếu <i>A</i>làmộtmatrậncỡ<i>m</i>´<i>n</i>,ngh làĩa mộtmatrận<i>vớ mhàngvàncột,khiđóphần tửở</i>i
<i>hàng ivàc t cộ j ủaAđượckýhiệubởia<small>ij</small></i>vàđượckýhiệu là phần tử( , ) <i>i jcủaA.</i>Chẳng hạn, phần tử(3,2)làsố<i>a</i><sub>32</sub>ởhàngba, cộ thai.Mỗi c t của ộ <i>Alàmột dãy msốthực màcó thểđồng</i> nhấtvớ mộ véctơtrongi t <i><small>m</small></i>.Thơngthường,nhữngcộtnày<b>đượckýhiệubởia a</b><sub>1</sub>, <sub>2</sub>¼,<b>a</b><i><sub>n</sub></i>và
<i>củamatrậnA .Một</i>matrậ đườngchéolàmộtn matrậ vngmàn các phần tửngồiđường chéođềubằng0.Mộtmatrậ màcácphầ tửđề bằngkhơngđượcn n u g iọ là ma trận không và viếtlà0.Cỡcủamatrậ khôngthườngđượcchorõràngtùyvào ừngn t ngữcảnh.
Sốhọcvềvéctơđãđượcmơt tả ừtrướ cósựmởrộngc tựnhiênchocácmatrậ Tanóin. hai ma trận là bằng nhau ếu chúng có cùng cỡ (nghĩa làn có cùng sốhàng và sốcộ các cộtt) tươngứngcủachúnglàbằ nhau, ặcng ho nóimộtcáchkháccácphầ ử ủachúnglàbằ n t c ng nhau.<i>NếuA Blàcácmatrậncỡ</i>và <i>m</i>´<i>n,thìtổngA B</i>+ làmatrận cỡ <i>m</i>´<i>n</i>màcáccộtc aủ nólàtổngcủacác ộ ươ ứngc t t ng của <i>A</i>và<i>B.Từ ệ ộ cácvéctơcộtđược</i>vi c cng thự hiệntheoc
</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">4 t<i>ừngphầ ử,mỗ phầ ửcủaA B</i>n t i n t + làtổng tươngứng củacácphần t<i> ử ủaAvàB.Tổ </i>c ng
<i>A</i>+<i>B</i>đượcđịnhnghĩa<i>chỉkhi A </i> <i>và B có cùng cỡ.</i>
Khiđó
<i>nhưngA C</i>+ khơngthểxácđịnhđược vì chúng khơng có cùng cỡ.
<i>Nếurlàm tộ vôhướngvàAlàm tộ matrận,thìphépnhânvơhướngrAlàmatrậncó các</i> cột là tích của <i>r</i>với các ột tương ứngc <i> của A. Cũ nhưvéctơ, A</i>ng - <i>được dùng cho( 1)A</i>- , và
</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">5 Rõ ràng rằng sốcácc t<i>ộ của A phả ươ thích</i>i t ng <i> vớ sốcác hàng củ B đểcho một t h</i>i a ổ ợp tuyếntínhnhư<i>Ab</i><sub>1</sub>t nồ <i>tại. Cũngnhưvậy,định nghĩacủa ABchỉra rằng AB cócùng sốhàng</i>
<i>vớiAvàcócùngsốcộtvớ B.</i>i
baonhiêunếuchúng ồ ại?t n t
<b>GIẢI</b><i>TừA </i>có 5c tộ <i>vàBcó 5hàng, tích của ABlà t ntạivàlàmộtmatrậncỡ3 2</i> ồ ´ :
Tích<i>BA</i>khơngt n t iồ ạ vìhaicộ của t <i>B</i>khơng ươngthíchvớ 3t i <i>hàngcủ A.</i>a
Địnhnghĩacủa<i>AB</i>làquatrọ chotínhtốnlýthuyếtvàứngdụng,tuynhiênquyng tắcsauđâychomộ phươngt thức ệuquảchoviệctínhtốncácphầ tửriêng ẻcủahi n l <i>AB</i>khi
Xemxétcácphần tửliênquansẽchota th ấyvìsaohaiphươngpháptínhtíchmatrậncho cùngmộtkếtquả.
<b>GIẢI</b>Đểtìm<i>phầntửởhàng 1 cột 3 củama trận AB, ta chỉra hàng1 của A và cột 3 của B.</i> Nhântươngứngcácphầ ửvàcộngcáckế quả ạ nhưđãthấydướ đn t t l i i ây:
</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">ĐỊNHLÝ2<i>GiảsửAlàmột matrậncỡ</i> <i>m</i>´<i>n,BvàClàcácmatrậncócỡsaochocácphép</i>
tốncộngvànhânđượ chỉralàthự hiệnđược.c c
Tínhtrái‐phảitrongphépnhânlàbắ buộcvìt <i>AB</i>và<i>BA</i>khơnglngiốngnhau.Điềunày khơngcógì llà <i>ạvìchúngtabiế rằngcáccộ củaAB các</i>t t là t hổ ợptuyế tínhcủan cácc cột ủa
<i>A,trongkhiđó,cácc</i>ột ủac <i>BA</i>lạiđượct oạ thànhtừcác ột cc <i> ủaB. ịtrí ủa</i>V c cácthừ sốa
<i>trongtíchABđượcnhấnmạnhbở tagọ Alàđượcnhânphải</i>i i <i>bở B,cịn </i>i <i>B</i>làđượcnhântrái
<i>bởiA.NếuAB</i>=<i>BA</i>thì <i>ta nóiA và B là giao hốn với nhau.</i>
<i>x</i>Ỵ thì<i>A x<small>k</small></i> làkết quả của phép nhân trái <i>x</i>bởi<i>A ặp ạ </i>l l i l<i>k</i> ần,Nếu<i>k</i>=0thì <small>0</small>
<i>A x</i>là<i>chính x.Dođó</i> <small>0</small>
<i>A</i>đượcthểhiện nhưma trận
</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">1.Từviệcmỗivéctơtrong<i><small>n</small></i> có thểxemnhưmột ma trận cỡ <i>n</i>´1,cáctínhchấtvềsự chuyểnvịtrongĐịnhlý3cũngđượ ápdụngchocácc véctơ.Cho
<b>Tính x</b>(<i>A</i>) ,<i><small>T</small></i> <b>x</b><i><small>T</small>A<small>T</small></i>,<b>xx</b><i><small>T</small></i><b>vàx x</b><i><small>T</small></i> .Cót nồ t i<b>ạ x</b><i>A<small>TT</small></i>không?
2.Cho <i>A</i>làmộtmatrận 4 4´ <b>và x là một véctơtrong</b> <small>4</small><b>.Cáchnàonhanhnhấtđểtính x</b><i>A</i><small>2</small> ? Hãytínhsốphépnhân.
</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8"><b>2.2.NGHỊCHĐẢOCỦAMATRẬN </b>
Một ma trận cỡ<i>n</i>´<i>nA được gọi<b> là khảnghịch ếu ồ ạ ma trận C sao choCA I</b></i>n t n t i = và
<i>AC</i> =<i>I</i>với<i>I</i>=<i>I<sub>n</sub></i>làmatrậnđơn<i><b>vịcấpn.Trongtrường ợpnàyClàmộ nghịchđảocủ </b></i>h t a
<i>A</i>. Thực tế, được xác định<i>C</i> duynhất<i> bởi A, vì ếu B là mộ nghịch đảo khác của A thì</i>n t
<i>Giátrịad bc</i>- đượcgọi là nh đị thức<i>của ma trận A,và taviết det( )</i> <i>A</i>=<i>ad</i>-<i>bc</i>.Định lý4chỉrarằng <i>A</i>khảnghịchnếuvà ỉnếu det( )ch <i>A</i>¹0.
độngtạicácđiểm 1, 2, 3 nhưhình <b>vẽ. Gọi ftrong</b> <small>3</small>làtập tất cảcác lực tạinhữngđiểm này,
<b>vàgọiytrong</b> <small>3</small>
làtổng sốcácbiếndạng (nghĩalà cácchuyểnđộng)củathanhtạibađiểm đó.Theođịnh luật Hookecủa vật lý, có thểchỉra rằng
với <i>Dlàmatrận u n</i> ố (flexibilitymatrix).Nghịchđảocủanóđượcgọilàmatrậncứng(stiffness matrix).Hãymơtảcáchiệ ượngvậ lýcn t t <i>ủacác ộ củaDvà</i>ct <small>1</small>
<i>D</i><small>-</small>.
</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">Bi<b>ểu ễnvéctơe1</b>di =(1, 0, 0)nhưlàmộtđơn vịlực tácđộng xuố dưới t ing ạ điểm1trênthanh (với l ựcbằngkhơng ạ t i hai<b>điểmkia).Khiđó e1</b><i>D</i> ,c<i>ộtthứnhất ủaD,làtập</i>c hợ cácđộuố p n củathanhdomộtđơnvị ựctácđộngl t iạ 1.Tươ tng ựtacócácmơ ảchocộ thứt t haivàthứ
<b>Bâygiờ,tabiểudiễne</b><sub>1</sub>nhưlàmộtvéctơuố Khiđón. <small>1</small>
<i>D</i><small>-</small>baogồm cáclực sinh rasựuốn. Ngh là,ĩa cộtđầutiêncủa <small>1</small>
<i>D</i><small>-</small>baogồmcác lựcđược tácđộng tại bađiểmđểsinhramộtđơn vịuốn t i ạ điểm1vàđộuốnbằng không tạicác iểm đ khác. Tương tự ư nh vậy,cột 2 và3của
<i>D</i><small>-</small>baogồm những lực cầnđếnđểtạo ra mộtđơn vịuố tn ươngứng ạ đ ểm2và3.Tạ mỗ t i i i i cột,mộthoặ hailự phảitráidấu(hướnglêntrên)đểc c tạo ra mộtđơnvịuốn tại iểmtương đ ứngvàđộuốnbằng khơng tạihai i đểmcịn ại.Nếuđộl uốn ođược, chđ ẳnghạ bằninchen, trênpound,thìcácphần t ửcủamatrậ cn ứngđượ đobằngpoundc trêninche.
<i>2. NếuA, B</i>làcácmatrậncỡ<i>n</i>´<i>n</i>khảnghịchthì<i>AB</i>cũng khảnghịch, vànghịchđảo của<i>AB</i>là tích ủa nghịch đảoc <i> của A và B</i> theo thứ ự ngượct lại, nghĩ a là
Mộtmatrậncơsởlàmộtmatrậnnhậnđượcbằngcáchthự hiệnc mộ phépbiế đổisơcấpt n hàngcơbảntrênmatrậ đơ vị.Vídụsauđâyminh ọaba ạin n h lo matrậ cơsở.n
Tíchcácmatrậ nkhảnghịchlàkhảnghịch,vànghịchđảolàtíchcác nghịchđảotheochiềungược ạl i.
</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">10 Hãytính<i>E A E A E Avà</i><sub>1</sub> , <sub>2</sub> , <sub>3</sub> mơ tảlàm thếnào mà các tích này lại cóthểnhậnđượcbằngcác phépbiếnđổ sơci <i>ấphàng ơbả trênA.</i>c n
<b>GIẢI</b>Tathấy rằng
Cộng 4- lầnhàng <i>1 củaA vàohàng 3</i> choma trận <i>E A(đây </i><sub>1</sub> là một toán tửthaythếhàng). Đổichỗhàng 1 và hàng 2 cho ta <i>E A</i><sub>2</sub> <i>,vànhânhàng3củaAvới5tađượcE A.</i><sub>3</sub>
Phépnhântráibởimatrậ n<i>E</i><small>1</small>trong <i>Ví dụ5 có tác dụng tương tựtrên bất kỳma trận 3 n</i> ´ nào.Nócộng 4- lần hàng 1vào hàng3 của ma trậnđó.Nóiriêng,từ <i>E I</i><sub>1</sub> =<i>E</i><sub>1</sub>,tacó ểth thấyrằng<i>E</i><sub>1</sub>tựnóđượcchobởiphépbiế đổisơcấphàngtn ương ự ừmatrậ đơnt t n vị.Bở i
</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">Trongthựchành, hiếmkhiđượctính,trừkhi cầta nđến cácphầntử của .Đểtính ảc và mấ ấ t g p ba ầ l n sốphéptốngiải bằngphươngphápbiếnđổisơcấphàng.
<b>THUẬTTỐNTÌM</b><i>A</i>
Biến đổi hàng ma trậ mở rộng n [<i>A I</i>]. Nếu <i>Atương đương hàng với I thì</i>[<i>A I</i> ]tương đươnghàngvới [<i>I A</i><small>-1</small>].Ngượclại, <i>A</i>khơngcónghịchđảo.
<i>A</i><small>-</small>chínhxáclà các nghiệm củacác hệtrong (2). Quan sát nàylà có íchvì mộtsốvấnđềứngdụ cóng thể ỉucầutìmmột ặcch ho hai ột ủac c <i>A</i><small>-1</small>.Trongtrườnghợp đó,chỉnhững hệtươngứng trong (2) cần phải giải mà thôi.
</div>
