MẶT CỰC TIỂU DIỆN TÍCH TRONG KHÔNG GIAN VỚI MẬT ĐỘ TUYẾN TÍNH

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.92 MB, 46 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

UBND TỈNH QUẢNG NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN

-------

DƯƠNG PHÚ AN

MẶT CỰC TIỂU DIỆN TÍCH

TRONG KHƠNG GIAN VỚI MẬT ĐỘ TUYẾN TÍNH

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Quảng Nam, tháng 5 năm 2018

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

UBND TỈNH QUẢNG NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN

-------

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Tên đề tài: MẶT CỰC TIỂU DIỆN TÍCH

TRONG KHƠNG GIAN VỚI MẬT ĐỘ TUYẾN TÍNH

Sinh viên thực hiện

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

LỜI CẢM ƠN

Để hồn thành được bài khóa luận, tôi đã nhận được rất nhiều sự quan tâm, động viên, giúp đỡ và kinh nghiệm quý từ phía các thầy cô giáo trường Đại học Quảng Nam.

Lời đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến giảng viên ThS. Nguyễn Thị Lài là người đã tận tình giúp đỡ tơi trong thời gian qua để tơi có thể hồn thành bài khóa luận này.

Bên cạnh đó, tơi cũng xin chân thành cảm ơn sự quan tâm giúp đỡ từ các thầy cơ khoa Tốn và tạo điều kiện cho tơi trong suốt q trình học tập và hồn thành khóa luận.

Cuối cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến những người thân và bạn bè đã động viên tinh thần, giúp đỡ tơi trong q trình học tập và hồn thành khóa luận. Mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng khơng thể tránh khỏi được những thiếu sót cần bổ sung và chỉnh sửa. Rất mong sự đóng góp ý kiến và nhận xét của quý thầy cô và các bạn để bài khóa luận trở nên hồn chỉnh hơn.

Tam kỳ, tháng 5 năm 2018.

Sinh viên thực hiện

Dương Phú An

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của bản thân tôi dưới sự hướng dẫn của ThS. Nguyễn Thị Lài. Các nội dung, kết quả nghiên cứu trong đề tài là trung thực không sao chép từ bất cứ tài liệu nào. Nếu không đúng như trên tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về đề tài của của mình.

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

MỤC LỤC

Chương 1: Mặt Cực Tiểu Diện Tích ... 1

1.1.Lý thuyết mặt. Độ cong Gauss và độ cong trung bình ... 1

1.1.1.Lý thuyết mặt ... 1

1.1.2.Độ cong Gauss và độ cong trung bình ... 8

1.2.Phương trình Lagrange ... 8

1.3.Bài tốn Plateau ... 9

1.4.Mặt cực tiểu khơng cực tiểu diện tích ... 11

2.1.1.Định nghĩa về khơng gian mật độ... 27

2.1.2.Độ cong trung bình trong khơng gian mật độ ... 28

2.2. Mặt cực tiểu trong khơng gian với mật độ tuyến tính ... 30

2.3. Định lý Stokes và phương pháp dạng cỡ trong không gian 3 với mật độ e ... 32

2.4. Một số mặt cực tiểu diện tích trong khơng gian với mật độ tuyến tính ... 32

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ... 37

TÀI LIỆU THAM KHẢO ... 38

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài

Hiện nay, mặt cực tiểu là đối tượng thu hút được rất nhiều sự quan tâm và nghiên cứu trong hình học vi phân. Đặc biệt hơn, đó là các vấn đề liên quan đến mặt cực tiểu và mặt cực tiểu diện tích trong khơng gian với mật độ. Thuật ngữ “minimal surfaces” được dùng để chỉ các mặt có độ cong trung bình bằng khơng tại mọi điểm, còn thuật ngữ “area-minimizing surfaces” lại được dùng để chỉ các mặt có diện tích nhỏ nhất trong lớp các mặt cùng biên đồng điều hay dưới những sự biến dạng compact, bảo tồn thể tích cho trước. Người ta đã chỉ ra rằng các mặt cực tiểu diện tích có rất nhiều tính chất thú vị. Ví dụ như trong khơng gian

mặt có diện tích nhỏ nhất với biên là một đường cong cho trước có độ cong trung bình bằng khơng hay mặt có diện tích nhỏ nhất ứng với một thể tích cho trước bất kì có độ cong trung bình là hằng số… Bên cạnh đó, các phương pháp được dùng để tìm và chứng minh một mặt là cực tiểu diện tích cũng đang thu hút rất nhiều sự quan tâm của các nhà toán học, đặc biệt là phương pháp dạng cỡ.

Chúng ta đã biết không gian với mật độ là không gian được trang bị một hàm dương gọi là hàm mật độ được dùng làm trọng số cho cả thể tích và chu vi. Khi chuyển từ không gian thông thường sang nghiên cứu không gian với mật độ, một câu hỏi luôn được đặt ra là: Liệu rằng các kết quả, các tính chất trong khơng gian thơng thường có cịn đúng với không gian với mật độ nữa không?

Với mong muốn được tìm hiểu và trả lời những câu hỏi đó, dưới sự hướng

dẫn và giúp đỡ của cô giáo ThS. Nguyễn Thị Lài, tôi đã chọn đề tài:” Mặt cực tiểu diện tích trong khơng gian với mật độ tuyến tính”.

Nội dung chính của bài khóa luận gồm hai chương:

Chương I trình bày một số vấn đề liên quan đến mặt cực tiểu trong không gian 3như lý thuyết mặt, độ cong Gauss và độ cong trung bình và phương trình Lagrange. Đồng thời, cũng trình bày một số nội dung về mặt cực tiểu diện tích

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

trong khơng gian như mặt cực tiểu nhưng không cực tiểu diện tích, phương pháp dạng cỡ và một số ví dụ về mặt cực tiểu diện tích.

Chương II trình bày về mặt cực tiểu diện tích trong khơng gian mật độ tuyến tính. Cụ thể trong chương này tôi sẽ trình bày về độ cong, mặt cực tiểu trong không gian mật độ đồng thời trình bày phương pháp dạng cỡ dùng để chứng minh một mặt cực tiểu diện tích trong khơng gian mật độ.

2. Mục đích nghiên cứu

Khóa luận tập trung vào việc đi tìm một phương pháp đơn giản nào đó để chứng minh mặt cực tiểu và cực tiểu diện tích trong không gian với mật độ tuyến tính.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về các tài liệu liên quan đến nội dung của bài khóa luận. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Các tài liệu và kiến thức liên quan đến nội dung của bài khóa luận.

5. Phương pháp nghiên cứu

- Đọc các tài liệu liên quan đến nội dung của bài khóa luận.

- Phân tích và tổng hợp: tham khảo, học hỏi kinh nghiệm từ các giáo viên,

các tài liệu trực tuyến,…

- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia liên quan đến đề tài nghiên cứu. 6. Kết cấu bài khóa luận

Ngồi phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo thì bài khóa luận cịn có 2 chương với nội dung cụ thể như sau:

Chương 1. Mặt cực tiểu diện tích.

Chương 2. Mặt cực tiểu diện tích trong khơng gian với mật độ tuyến tính.

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

NỘI DUNG

Chương 1: Mặt Cực Tiểu Diện Tích

Trong chương này, chúng tơi trình bày kiến thức liên quan đến lý thuyết mặt cực tiểu và cực tiểu diện tích trong khơng gian 3, đặc biệt trình bày sự liên hệ giữa mặt cực tiểu và cực tiểu diện tích. Đồng thời ở chương này, chúng tơi sẽ trình bày về phương pháp dạng cỡ để chỉ ra một mặt nào đó là mặt cực tiểu diện tích.

1.1. Lý thuyết mặt. Độ cong Gauss và độ cong trung bình

Trong mục này, tham khảo từ tài liệu số [1], chúng tơi trình bày các khái niệm cơ bản liên quan đến khái niệm mặt trong không gian 3.

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

Ánh xạ X được gọi là một tham số hóa của S tại p, cặp



U V,



gọi là bản đồ địa phương của S.

Hình 1.2. Bản đồ địa phương của mặt S.

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

Ta đã biết đồ thị của một hàm hàm khả vi là một mặt chính qui, liệu rằng một mặt chính qui có phải là đồ thị của một hàm khả vi nào đó hay khơng. Định lý sau sẽ trả lời câu hỏi này.

Định lý 1.2. Giả sử 3

S  là một mặt chính qui và pS. Khi đó tồn tại lân cận V của p tại S sao cho V là đồ thị của một hàm khả vi có một trong ba

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

Theo điều kiện 3 của định nghĩa mặt chính qui, một trong các định thức sau

 nên theo định lý hàm ngược tồn tại lân cận V1 của q và V2

của oX q

 

sao cho oX là một vi phôi từ V1 lên V2. Từ đây suy ra hạn chế của  lên V  X V

 

1 là đơn ánh và tồn tại hàm ngược



1

oX  VV

Do X là đồng phôi ta suy ra X V

 

1 là lân cận của p tại S .

Nhận thấy V là đồ thị của hàm hợp này z z u x y v x y

   

,,,



 f x y

 

, . Tương tự chứng minh các trường hợp còn lại. Một cách tự nhiên là chúng ta xây dựng khái niệm giải tích cho các mặt chính qui. Dưới đây là các định nghĩa của hàm số khả vi trên mặt chính qui và ánh xạ khả vi giữa hai mặt chính qui.

Cho f V: S là hàm xác định trên một tập mở V của mặt chính qui S. Hàm f được gọi là khả vi tại p V nếu tham số hóa 2

thì hàm hợp f X Uo : là hàm khả vi tại 1

 

X p .

Hàm f được gọi là khả vi trên V nếu f khả vi tại mọi điểm của V.

Tương tự chúng ta có thể định nghĩa ánh xạ khả vi từ một mặt chính qui vào một mặt chính qui như sau:

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

Cho S S1, 2 là các mặt chính qui, V là tập mở trong S1 và :V S1S2 là ánh xạ liên tục. Ánh xạ  được gọi là khả vi tại p V nếu với các tham số hóa đã xạ  được gọi là khả vi trên V nếu nó khả vi tại mọi điểm của V.

Một vector tiếp xúc của mặt chính qui S tại điểm pS là vector tiếp xúc của

một cung tham số khả vi có vết nằm trên S

:



 ,



S,

 

0 p.

Tập tất cả các vector tiếp xúc của S tại p gọi là mặt phẳng tiếp xúc của S

tại p, kí hiệu là T Sp .S là mặt chính qui, pS.

Hình 1.4. Vector tiếp xúc và mặt phẳng tiếp xúc.

Khi đó ta có hai vector đơn vị ( ngược chiều nhau) vng góc với T Sp gọi là các pháp vector đơn vị tại p. Đường thẳng đi qua p với vector chỉ phương là

vector đơn vị này được gọi là pháp tuyến của S tại p.

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

Như vậy, chúng ta có ánh xạ khả vi rất quan trọng trong việc nghiên cứu mặt:

Định nghĩa 1.2. Một mặt chính qui S được gọi là định hướng được nếu có

một trường pháp vector đơn vị liên tục N xác định trên toàn bộ mặt. Khi đó trường pháp vector N được gọi là một định hướng của S.

h U  là một hàm khả vi. Khi đó đồ thị của h là một mặt chính qui định hướng được.

Chứng minh:

Xét tham số hóa X u v

 

,



u v h u v, ,

 

,



,

 

u v,U.

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

C t  x ty tz tt   R trên mặt S đi qua p với C

 

0 p. Vì đường cong nằm trên mặt nên f x t

     

,y t ,z t



a, tI.

Đạo hàm cả hai vế tại t0, ta nhận được

   

' 0

   

' 0

   

' 00

Từ đây ta suy ra vector tiếp xúc của c tại t0 trực giao



fx, fy,fz



tại p. Do điểm p và đường tham số c được lấy tùy ý nên ta suy ra rằng điểm của mặt. Do đó N là liên tục. 

Mệnh đề 1.3. Nếu S là một mặt chính qui định hướng được và N và N là hai định hướng trên mặt S thì ta phải có N N hoặc N  N.

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

Dạng cơ bản thứ hai: Dạng toàn phương IIp

 

 :  DNp

 

 , là dạng cơ bản thứ hai của S tại p.

Ta đặt e N X, uu , f  N X, uv ,g  N X, vv . Khi đó e f g, , là các hệ số của dạng cơ bản thứ hai.

1.1.2. Độ cong Gauss và độ cong trung bình

Định nghĩa 1.3. Cho



S N,



là mặt chính qui định hướng,pSvà DNplà đạo hàm của ánh xạ Gauss N tại điểm p. Ta sẽ gọi:

i) Định thức của DNp là độ cong Gauss của S tại điểm p, ký hiệu K p

 

.

ii) Một nửa vết của DNp, 1



 trong đó k k1, 2 là hai độ cong chính.

2. Nếu thay đổi hướng của mặt thì độ cong Gauss K khơng thay đổi cịn độ cong trung bình H thì đổi dấu.

Một mặt chính qui là mặt cực tiểu nếu độ cong trung bình tại mọi điểm đều

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

Hay nói một cách tương đương eEgG2fF 0.

Thay các giá trị của E G F, , và e g f, , tính được ở trên ta nhận được phương

1.3. Bài tốn Plateau

Các thí nghiệm về màng bong bóng xà phòng của Joseph – Plateau đã cho thấy nhiều tính chất mới. Qua q trình quan sát thí nghiệm, Plateau đã nhận ra rằng những màng bong bóng xà phịng chỉ có hai dạng: hoặc là ba mảnh của mặt gặp nhau dọc theo một đường và tạo nên một góc 0

120 hoặc bốn đường như thế gặp nhau tại một điểm tạo nên một góc gần 0

109 .

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

Hình 1.5. Bốn đường gặp nhau tại một điểm tạo nên một góc gần 0109 .

Hình 1.6. Ba mảnh của mặt gặp nhau dọc theo một đường và tạo nên một góc 0

120 .

Sau khi các cơng trình của Plateau, xuất hiện một số phương hướng toán học nhằm mơ hình hóa và giải thích các hiện tượng trên. Một trong các tính chất đặc biệt của màng xà phịng là tính cực tiểu diện tích (địa phương) trong lớp các mặt cùng biên và từ đó bài tốn Plateau: "Tìm một mặt Dcó diện tích nhỏ nhất trong các mặt cùng biên với đường cong C cho trước" ra đời.

Những kết quả thực nghiệm của bài toán đã gây hứng thú cho các nhà toán học trong việc tìm kiếm một phương pháp phân tích mới cho phép họ chứng minh sự tồn tại các mặt có diện tích nhỏ nhất biên là đường cong cho trước, từ đó đóng góp vào việc xây dựng và phát triển lý thuyết mặt cực tiểu. Người ta

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

nhận thấy rằng những mặt có diện tích nhỏ nhất là những mặt cực tiểu. Nhưng sự tồn tại của những mặt cực tiểu có diện tích nhỏ nhất thật không dễ chứng minh chút nào. Vì thế một phát biểu khác của bài toán Plateau được đưa ra : "Tìm một mặt cực tiểu nhận đường cong C cho trước làm biên". Như vậy, trong các mặt cực tiểu cùng biên cho trước tồn tại mặt có diện tích nhỏ nhất, tức là tính cực tiểu là điều kiện cần để mặt cực tiểu diện tích nhưng đây khơng phải là

điều kiện đủ.

Khi đó xuất phát hai hướng nghiên cứu. Hướng thứ nhất nghiên cứu về lớp các mặt có độ cong trung bình bằng khơng tại mọi điểm gọi là mặt cực tiểu và hướng thứ hai nghiên cứu về những mặt có diện tích nhỏ nhất trong các mặt cùng biên đồng điều cho trước gọi là mặt cực tiểu diện tích.

1.4. Mặt cực tiểu khơng cực tiểu diện tích

Xét mặt cực tiểu M x u v:

 

, bị chặn bởi một đường cong Jordan C và chúng ta có một biến phân y u vt

   

,x u v,tV u v

 

, mà ở đó V u v

 

,

   

u v U u v,, là một trường pháp vector trên M biến phân 

 

u v, với 

 

C 0 ( nghĩa là 

bị triệt tiêu trên biên C của mặt).

O t là những hạng tử của t có bậc lớn hơn hoặc bằng 3;

Với ký hiệu trên , chúng ta thấy rằng mặt diện tích A t

 





yut  yvt dudv . Bây giờ chúng ta giả sử M là cực tiểu, ta thấy A' 0

 

0.

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

Định lý 1.3(Schwars). Xét M là mặt cực tiểu với biên là một đường cong Jordan C. Nếu trong miền đóng

 

22



phần trong của miền R thì tồn tại một hàm số  sao cho A'' 0

 

0. Vậy M

không phải là mặt cực tiểu diện tích trong tất cả các mặt cùng biên C.

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

Ta có thể chứng minh được với hàm



22 22 1 phụ thuộc vào r. Bây giờ chúng ta có thể thay thế tốn tử Laplace uv trong tích

phân trên, ta được:

 

Ta có  và s t,  khơng phụ thuộc vào r cho phép chúng ta dễ dàng tìm được đạo hàm của A r

 

. Ta được:

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

Tử số của hàm lấy tích phân ln âm với 221

s  t và A' 1

 

0. Có thể hiểu rằng A r

 

giảm tại r 1 và chúng ta có trước đó là A

 

10.

Bây giờ chúng ta chứng minh rằng đĩa tròn đơn vị D chứa trong miền tham số . Khi đó, có một số giá trị r sao cho

 

222



Bây giờ ta có thể mở rộng định lý trên như sau.

Định lý 1.4. Xét M là mặt cực tiểu với biên của một đường cong C. Nếu ảnh của M qua ánh xạ Gauss được chứa trong nửa bán cầu của 2

S thì M không phải là mặt cực tiểu diện tích trong các mặt cùng biên C.

Định lí 1.5. Mặt cực tiểu diện tích thì cực tiểu.

Thật vậy, giả sử S là mặt cực tiểu diện tích. Khi đó:

Nhưng điều ngược lại chưa chắc đúng được thể hiện qua ví dụ sau:

Mặt Catenoid xác định bởi tham số X u v

  

, acosh cos , cosh sin ,uv auv au



với a0, 0 v 2 ,     u là mặt cực tiểu.

</div>Trang 22<div class="page_container" data-page="22">

sinh cos , sinh sin ,;cosh sin , cosh cos , 0 ;cosh cos , cosh sin , 0 ;

sinh cos , sinh cos , 0 ;cosh cos ,cosh sin , 0 .

</div>Trang 23<div class="page_container" data-page="23">

Tuy nhiên ta sẽ chỉ ra mặt Catenoid không cực tiểu diện tích trong lớp các mặt cùng biên với nó, cụ thể với hai đĩa phẳng.

Gọi r là khoảng cách giữa hai đĩa phẳng. Khi đó nếu r đủ lớn thì diện tích mặt Catenoid lớn hơn diện tích của hai đĩa phẳng hoặc nếu r đủ nhỏ thì diện tích mặt Catenoid nhỏ hơn diện tích của hai đĩa phẳng.

Diện tích của hai đĩa tròn khi r 1 là S2 2 .

Ta thấy S1 S2. Vậy mặt Catenoid không cực tiểu diện tích. 

1.5. Phương pháp dạng cỡ:

Tổng hợp từ các tài liệu [2], [3], [6]. Trong mục này chúng tơi sẽ trình bày phương pháp dạng cỡ để chứng minh một mặt cực tiểu là cực tiểu diện tích.

</div>

MẶT CỰC TIỂU DIỆN TÍCH TRONG KHÔNG GIAN VỚI MẬT ĐỘ TUYẾN TÍNH

<b>DƯƠNG PHÚ AN </b>

<b>MẶT CỰC TIỂU DIỆN TÍCH </b>

<b>TRONG KHƠNG GIAN VỚI MẬT ĐỘ TUYẾN TÍNH </b>





 

 



 

   



 

 





 

 



 



 

 

     



   

   

   





 

 





 



 

   

 

 

   

 

 

 



 

 



 



 

 

 

 

 

 



  



Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về