luận văn tốt nghiệp ĐHSP: mặt cực tiểu và mặt cực tiểu diện tích trong không gian R3 với mật độ e mủ r2

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
    
TRẦN THỊ NHÃ TRANG
MẶT CỰC TIỂU VÀ MẶT CỰC TIỂU
DIỆN TÍCH TRONG KHÔNG GIAN R
3
VỚI MẬT ĐỘ e
r
2
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP
Chuyên ngành : Hình học vi phân
Cán bộ hướng dẫn
PGS. TS. ĐOÀN THẾ HIẾU
Huế, tháng 5 năm 2011
i
LỜI CẢM ƠN
Trải qua bốn năm học tập và rèn luyện tại giảng đường trường ĐH
Sư Phạm Huế, dưới sự dìu dắt của quý Thầy Cô giáo, tôi đã tích lũy
cho mình rất nhiều kiến thức và kinh nghiệm quý báu cả về chuyên môn
và nghiệp vụ. Khóa luận này chính là thành quả quan trọng của cả quá
trình đó.
Đầu tiên, tôi xin được gửi lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo, PGS.
TS. Đoàn Thế Hiếu, người đã hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình, chu đáo
cho tôi trong suốt thời gian thực hiện khóa luận.
Tôi xin được gửi lòng biết ơn chân thành đến quý Thầy Cô đã giảng
dạy lớp Toán B khóa 2007 - 2011 trường ĐHSP Huế, đặc biệt là toàn
thể quý Thầy Cô Khoa Toán trường ĐHSP Huế, những người không
những cho tôi kiến thức mà còn quan tâm động viên và nhiệt tình giúp
đỡ tôi trong suốt quá trình học tập cũng như trong thời gian thực hiện
khóa luận.

Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn đến tất cả người thân, bạn
bè đã quan tâm động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập
vừa qua.
Huế, tháng 5 năm 2011
Trần Thị Nhã Trang
ii
MỤC LỤC
Trang phụ bìa i
Lời cảm ơn ii
MỤC LỤC 1
MỞ ĐẦU 3
1 MẶT CỰC TIỂU TRONG KHÔNG GIAN R
3
VỚI MẬT ĐỘ e
r
2
5
1.1 Không gian R
3
với mật độ e
ϕ
- Độ cong trung bình theo mật độ . . 5
1.2 Biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích trong không
gian R
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Biến phân thứ nhất của hàm diện tích trong không gian R
3
với mật độ e

ϕ(r)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Mặt cực tiểu trong không gian R
3
với mật độ e
r
2
. . . . . . . . . . 10
1.3.1 Một số mặt cực tiểu cổ điển trong không gian R
3
. . . . . . 11
1.3.2 Mặt cực tiểu trong không gian R
3
với mật độ e
r
2
. . . . . . 13
2 MẶT CỰC TIỂU DIỆN TÍCH TRONG KHÔNG GIAN R
3
25
2.1 Bong bóng xà phòng và mặt cực tiểu diện tích với biên là đường
cong đóng cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Điều kiện cần để một mặt có diện tích nhỏ nhất trong tất cả các
mặt có cùng biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Biến phân thứ hai của hàm diện tích . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 Định lý Stokes và phương pháp dạng cỡ . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.1 Dạng vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.2 Tích ngoài của m - vector, covetor trong không gian R
3
. . . 33

2.4.3 Định lý Stokes trong không gian R
3
. . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.4 Dạng cỡ trong không gian R
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.6 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1
3 MẶT CỰC TIỂU DIỆN TÍCH TRONG KHÔNG GIAN R
3
VỚI MẬT ĐỘ e
r
2
41
3.1 Định lý Stokes với mật độ và phương pháp dạng cỡ trong không
gian R
3
với mật độ e
r
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Biến phân thứ hai trong không gian R
3
với mật độ e
r
2
. . . . . . . 44
3.3 Một số kết quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
KẾT LUẬN 50
TÀI LIỆU THAM KHẢO 51

2
MỞ ĐẦU
Hiện nay, mặt cực tiểu là đối tượng thu hút được rất nhiều sự quan tâm và
nghiên cứu trong hình học vi phân. Đặc biệt hơn, đó là các vấn đề liên quan đến
mặt cực tiểu và mặt cực tiểu diện tích trong không gian với mật độ. Thuật ngữ
minimal surfaces được dùng để chỉ các mặt có độ cong trung bình bằng không còn
thuật ngữ area-minimizing surfaces lại được dùng để chỉ các mặt có diện tích nhỏ
nhất trong lớp các mặt cùng biên đồng đều hay dưới những sự biến dạng compact,
bảo toàn thể tích cho trước. Người ta đã chỉ ra rằng các mặt cực tiểu diện tích có
rất nhiều tính chất thú vị. Ví dụ như trong không gian R
3
mặt có diện tích nhỏ
nhất với biên là một đường cong cho trước có độ cong trung bình bằng không hay
mặt có diện tích nhỏ nhất ứng với một thể tích cho trước bất kì có độ cong trung
bình là hằng số . . .. Bên cạnh đó, các phương pháp được dùng để tìm và chứng
minh một mặt là cực tiểu diện tích cũng đang rất thu hút rất nhiều sự quan tâm,
đặc biệt là phương pháp dạng cỡ và phương pháp biến phân.
Chúng ta đã biết không gian với mật độ là không gian được trang bị một
hàm dương gọi là hàm mật độ được dùng làm trọng số cho cả thể tích và chu vi.
Khi chuyển từ không gian thông thường sang nghiên cứu không gian với mật độ,
một câu hỏi luôn được đặt ra, là: Liệu rằng các kết quả, các tính chất trong không
gian thông thường có còn đúng với không gian với mật độ nữa không?
Với mong muốn được tìm hiểu và trả lời những câu hỏi đó, dưới sự hướng
dẫn và giúp đỡ của Thầy giáo, PGS. TS. Đoàn Thế Hiếu, tôi đã chọn đề tài: "Mặt
cực tiểu và mặt cực tiểu diện tích trong không gian R
3
với mật độ e
r
2
".

Nội dung chính của khóa luận gồm có ba chương.
Chương I trình bày một số vấn đề liên quan đến mặt cực tiểu trong không
gian R
3
với mật độ e
r
2
như mặt có độ cong trung bình hằng, điều kiện để các mặt
tròn xoay, mặt tịnh tiến, mặt kẻ, . . . là mặt cực tiểu và một số mặt cực tiểu đại
số. Bên cạnh đó, chúng tôi trình bày biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích
của một mặt tham số chính quy trong R
3
và trong R
3
với mật độ.
Chương II trình bày một số vấn đề liên quan đến mặt cực tiểu diện tích trong
không gian R
3
. Cụ thể đó là biến phân thứ hai của phiếm hàm diện tích của một
mặt tham số chính quy, phương pháp dạng cỡ và một số ví dụ về mặt định cỡ.
3
Chương III trình bày mặt cực tiểu diện tích trong không gian R
3
với mật độ
e
r
2
. Cụ thể chúng tôi trình bày phương pháp dạng cỡ và phương pháp biến phân
dùng để chứng minh một mặt là cực tiểu diện tích trong không gian với mật độ.
Cuối cùng là một số kết quả về mặt cực tiểu diện tích trong lớp các mặt cùng biên

đồng đều và các mặt cực tiểu diện tích ứng với một thể tích cho trước bất kì.
Thông qua khóa luận, tác giả hi vọng người đọc sẽ phát hiện ra một vài điều
lí thú và bổ ích.
Thân mến!
4
Chương 1
MẶT CỰC TIỂU TRONG KHÔNG GIAN
R
3
VỚI MẬT ĐỘ e
r
2
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số vấn đề liên quan đến mặt cực tiểu trong
không gian R
3
và không gian R
3
với mật độ e
r
2
. Cụ thể đó là một số mặt cực tiểu cổ điển
trong không gian R
3
và sự phù hợp tương ứng giữa độ cong trung bình của mặt cực tiểu với
biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích. Bên cạnh đó, chúng tôi trình bày một số kết quả
cũng như điều kiện để các mặt tịnh tiến, mặt kẻ, mặt tròn xoay là mặt cực tiểu trong không
gian R
3
với mật độ e
r

2
.
1.1 Không gian R
3
với mật độ e
ϕ
- Độ cong trung
bình theo mật độ
Hàm mật độ trong R
3
là một hàm dương, khả vi thường được viết dưới dạng
e
ϕ
: R
3
−→ R
(x, y, z) −→ e
ϕ(x,y,z)
.
Không gian với mật độ e
ϕ
là không gian được trang bị hàm mật độ e
ϕ
dùng làm
trọng số cho cả thể tích và chu vi. Cụ thể nếu dV và dP là các phần tử của thể
tích và chu vi trong R
3
thì phần tử thể tích và chu vi trong R
3
với mật độ e

ϕ
được
cho bởi công thức
dV
ϕ
= e
ϕ
dV,
dP
ϕ
= e
ϕ
dP.
Trong không gian R
3
với mật độ e
ϕ
, độ cong trung bình theo mật độ, kí hiệu là
H
ϕ
, của mặt S được định nghĩa như sau
H
ϕ
= H −
1
2
dϕ
dN
,
5

với H là độ cong trung bình và N là trường pháp vector đơn vị của mặt S. Vì
dϕ
dN
= ϕ
x
cos(
−→
Ox, N) + ϕ
y
cos(
−→
Oy, N) + ϕ
z
cos(
−→
Oz, N) nên ta có thể viết lại công
thức tính H
ϕ
như sau
H
ϕ
= H −
1
2
∇ϕ, N
=
1
2
(k
1

+ k
2
− ∇ϕ, N)
với ∇ϕ = (ϕ
x
, ϕ
y
, ϕ
z
) và k
1
, k
2
là các độ cong chính của mặt S.
1.2 Biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích
Trong phần này chúng tôi trình bày biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện
tích của một mặt tham số chính quy trong không gian R
3
và trong không gian R
3
với mật độ bằng cách sử dụng biến phân chuẩn tắc. Từ đó làm cơ sở nêu lên mối
liên hệ giữa một mặt cực tiểu với biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích
cũng như trong chương II nêu lên điều kiện cần để một mặt là cực tiểu diện tích
trong tất cả các mặt có cùng biên.
Trước khi giới thiệu biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích của một mặt
chính quy chúng ta có định nghĩa phần tử diện tích và biến phân chuẩn tắc như
sau
Định nghĩa 1.2.1. (Phần tử diện tích)
Cho S là một mặt chính quy, R ⊂ S là một miền bị chặn chứa trong lân cận tọa
độ xác định bởi tham số X : U ⊂ R

2
−→ S (với U là miền mở liên thông với bao
đóng compact và biên trơn trong R
2
). Khi đó với Q = X
−1
(R), số dương
A(R) =

Q
|X
u
∧ X
v
|dudv
được gọi là diện tích của miền R.
Tương tự, diện tích của miền R trong không gian R
3
với mật độ e
ϕ
được định
nghĩa là
A
ϕ
(R) =

Q
e
ϕ
|X

u
∧ X
v
|dudv.
Vì |X
u
∧ X
v
|
2
+X
u
, X
v

2
= |X
u
|
2
|X
v
|
2
nên ta cũng có thể tính diện tích của R
như sau
A(R) =

Q


EG − F
2
dudv
6
và
A
ϕ
(R) =

Q
e
ϕ

EG − F
2
dudv
với E, F, G là các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất của X.
Định nghĩa 1.2.2. (Biến phân chuẩn tắc)
Cho X : Ω −→ R
3
là một mặt tham số chính quy, D ⊂ Ω là miền bị chặn và
h : D −→ R là một hàm khả vi. Ta gọi một biến phân chuẩn tắc của X(D) xác
định bởi h là ánh xạ
ϕ : D × (−ε, ε) −→ R
3
ϕ(u, v, t) = X(u, v) + th(u, v)N(u, v), (u, v) ∈ D, t ∈ (−ε, ε).
Khi đó với mỗi t xác định, ánh xạ
X
t
: D −→ R

3
X
t
(u, v) = ϕ(u, v, t)
là một mặt tham số.
Hình 1.1: Các biến phân chuẩn tắc của X(u, v)
1.2.1 Biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích trong không gian
R
3
Xét mặt chính quy S với tham số hóa X : Ω ⊂ R
2
−→ S, D ⊂ Ω và một biến
phân chuẩn tắc X
t
của X(D). Ta có
X
t
u
= X
u
+ thN
u
+ th
u
N,
X
t
v
= X
v

+ thN
v
+ th
v
N.
Kí hiệu E
t
, F
t
, G
t
là các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất của X
t
, ta có
E
t
= E + 2thX
u
, N
u
 + t
2
h
2
N
2
u
+ t
2
h

2
u
,
F
t
= F + 2thX
u
, N
v
 + t
2
h
2
N
u
, N
v
 + t
2
h
u
h
v
,
7
G
t
= G + 2thX
v
, N

v
 + t
2
h
2
N
2
v
+ t
2
h
2
v
,
với X
u
, N
u
 = −e,X
u
, N
v
 = X
v
, N
u
 = −f,X
v
, N
v

 = −g và 2H(EG−F
2
) =
Eg − 2F f + Ge. Khi đó
E
t
G
t
− (F
t
)
2
= (EG − F
2
) − 2th(Eg − 2F f + Ge) + R(t)
= (EG − F
2
)(1 − 4thH) + R(t)
= (EG − F
2
)(1 − 4thH + R(t)),
với R(t) là một đa thức theo t, bậc ≥ 2 và R(t) =
R(t)
EG−F
2
.
Với ε đủ nhỏ thì X
t
là một mặt tham số chính quy. Do đó diện tích của mặt
tham số X

t
A(t) =

D

E
t
G
t
− (F
t
)
2
dudv
=

D

1 − 4thH + R(t)

EG − F
2
dudv
=

D

1 − 4thH + R(t)dA.
Khi đó
A


(t) =

D
−4hH + R

(t)
2

1 − 4thH + R(t)
dA
được gọi là biến phân thứ nhất của hàm diện tích của mặt tham số chính quy X
t
.
Tại t = 0, ta có
A

(0) =

D
−2hHdA
được gọi là biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích của mặt tham số chính
quy X.
Từ đó ta có định lý nêu lên mối liên hệ giữa một mặt cực tiểu và biến phân thứ
nhất của phiếm hàm diện tích của mặt đó như sau
Định lý 1.2.1. [1] Cho X : Ω −→ R
3
là một mặt tham số chính quy, D ⊂ Ω là
miền bị chặn. Mặt tham số X là cực tiểu KCK A


(0) = 0 với mọi miền bị chặn D
và với mọi biến phân chuẩn tắc của X(D).
8
Chứng minh. Nếu X là mặt cực tiểu thì H = 0. Do đó A

(0) = 0.
Ngược lại, giả sử A

(0) = 0 và ∃p ∈ D : H(p) = 0. Không mất tính tổng quát, ta
giả sử H(p) > 0. Chọn h : D −→ R sao cho h(p) > 0 và h đồng nhất bằng 0 ngoài
một lân cận đủ nhỏ của p. Khi đó A

(0) < 0 với biến phân xác định bởi h. Mâu
thuẫn.
1.2.2 Biến phân thứ nhất của hàm diện tích trong không gian R
3
với
mật độ e
ϕ(r)
Xét không gian R
3
với mật độ e
ϕ(r)
với r là khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm.
Diện tích của mặt tham số X
t
trong không gian R
3
với mật độ e
ϕ(r)

là
A
ϕ
(t) =

D
dA
t
ϕ
=

D
e
ϕ
t
dA
t
=

D
e
ϕ
t

E
t
G
t
− (F
t

)
2
dudv
=

D
e
ϕ
t

1 − 4thH + R(t)

EG − F
2
dudv
=

D
e
ϕ
t

1 − 4thH + R(t)dA.
Khi đó A

ϕ
(t) =
=

D

(e
ϕ
t
)


1 − 4thH + R(t)dA +

D
e
ϕ
t


1 − 4thH + R(t)


dA
=

D
e
ϕ
t
(ϕ
t
)


1 − 4thH + R(t)dA +


D
e
ϕ
t


1 − 4thH + R(t)


dA
=

D
e
ϕ
t
(ϕ

x
x

t
+ ϕ

y
y

t
+ ϕ


z
z

t
)

1 − 4thH + R(t)dA +

D
e
ϕ
t


1 − 4thH + R(t)


dA
=

D
e
ϕ
t
h∇ϕ
t
, N

1 − 4thH + R(t)dA +


D
e
ϕ
t
(−4hH + R

(t))
2

1 − 4thH + R(t)
dA
chính là biến phân thứ nhất của hàm diện tích của mặt tham số X
t
trong không
gian R
3
với mật độ e
ϕ
t
(r)
.
9
Và
A

ϕ
(0) =

D

e
ϕ
h∇ϕ, NdA +

D
e
ϕ
(−2hH)dA
= −

D
2h(H −
1
2
∇ϕ, N)e
ϕ
dA
= −

D
2hH
ϕ
dA
ϕ
chính là biến phân thứ nhất của hàm diện tích của mặt tham số chính quy X trong
không gian R
3
với mật độ e
ϕ(r)
.

Nhận xét 1.2.1. Nếu S là mặt cực tiểu với mật độ thì A

ϕ
(0) = 0.
1.3 Mặt cực tiểu trong không gian R
3
với mật độ
e
r
2
Trước khi đi vào tìm hiểu các mặt cực tiểu trong không gian R
3
với mật độ e
r
2
,
chúng tôi trình bày định nghĩa mặt cực tiểu trong không gian với mật độ, định
nghĩa mặt tròn xoay, mặt kẻ và mặt tịnh tiến. Đồng thời, chúng tôi cũng xin giới
thiệu một số mặt cực tiểu cổ điển trong không gian R
3
.
Định nghĩa 1.3.1. (Mặt cực tiểu trong không gian với mật độ)
Một mặt chính qui là mặt cực tiểu với mật độ nếu độ cong trung bình theo mật
độ của nó tại mọi điểm đều bằng không.
Định nghĩa 1.3.2. (Mặt tròn xoay)
Cho C là một đường cong chính qui trong mặp phẳng xz và không cắt trục z.
Quay C quanh trục z ta nhận được một tập S ⊂ R
3
. Giả sử
x = f(u), z = g(u) với a < u < b, f(u) > 0

là một tham số hóa của C và v là góc quay quanh trục z. Như vậy tham số hóa
của mặt S là
X(u, v) = (f(u) cos v, f(u) sin v, g(u))
xác định trên tập U = {(u, v) ∈ R
2
: 0 < v < 2π, a < u < b} vào S.
Mặt S như vậy được gọi là mặt tròn xoay, đường cong C được gọi là đường sinh,
trục z được gọi là trục quay.
10
Định nghĩa 1.3.3. (Mặt kẻ)
Cho I ⊂ R
3
là một khoảng mở; α, β : I −→ R
3
là hai hàm số khả vi đến cấp cần
thiết, α

(u) = 0, β(u) = 0 ∀u ∈ I. Ta xem α(u) như là một điểm, β(u) như là một
vector trong R
3
. Lúc đó mặt tham số được cho bởi
X(u, v) = α(u) + vβ(u), u ∈ I, v ∈ R
được gọi là mặt kẻ sinh bởi α và β.
Đường cong α(u) được gọi là đường chuẩn của mặt kẻ. Với mỗi u ∈ I, đường
thẳng đi qua điểm α(u) và nhận β(u) làm vector chỉ phương được gọi là một đường
sinh của mặt kẻ.
Nhận xét 1.3.1. Ta luôn có thể chọn α(u) là đường cong trực giao với họ các đường
thẳng của mặt S, β(u) là trường vector đơn vị dọc α và là vector chỉ phương của
các đường thẳng đi qua α(u) đồng thời giả sử u là tham số hóa độ dài cung của
α. Do đó luôn giả thiết được rằng một mặt kẻ bất kì trong R

3
có tham số hóa
X(u, v) = α(u) + vβ(u), u ∈ I, v ∈ R
với |α

(u)| = 1, |β(u)| = 1 và α

(u) ⊥ β(u) ∀u ∈ I.
Định nghĩa 1.3.4. (Mặt tịnh tiến)
Mặt tịnh tiến là mặt có tham số hóa dạng
X(u, v) = (u, v, f(u) + h(v))
với f, h là các hàm khả vi.
1.3.1 Một số mặt cực tiểu cổ điển trong không gian R
3
Sau đây, chúng tôi xin giới thiệu một số mặt cực tiểu cổ điển khá nổi tiếng trong
không gian R
3
. Đó là
1. Mặt phẳng.
2. Mặt catenoid xác định bởi tham số
X(u, v) = (a cosh u cos v, a cosh u sin v, au),
với 0 < v < 2π,−∞ < u < +∞, a > 0, là mặt tròn xoay cực tiểu duy nhất
khác mặt phẳng.
11
Hình 1.2: Mặt catenoid
3. Mặt helicoid xác định bởi tham số
X(u, v) = (a sinh u cos v, a sinh u sin v, av),
với 0 < v < 2π,−∞ < u < +∞, a > 0 hoặc
X(u, v) = (au cos v, au sin v, av),
với a > 0, 0 < v < 2π,−∞ < u < +∞,

là mặt kẻ cực tiểu duy nhất khác mặt phẳng.
Hình 1.3: Mặt helicoid
4. Mặt scherk xác định bởi tham số hóa
X(u, v) = (u, v,
1
a
ln
cos av
cos au
), a = 0
là mặt tịnh tiến cực tiểu duy nhất khác mặt phẳng.
12
Hình 1.4: Mặt scherk
5. Mặt enneper có tham số hóa xác định bởi
X(u, v) = (u −
u
3
3
+ uv
2
, v −
v
3
3
+ vu
2
, u
2
− v
2

),
với (u, v) ∈ R
2
là mặt cực tiểu.
Hình 1.5: Mặt enneper
1.3.2 Mặt cực tiểu trong không gian R
3
với mật độ e
r
2
Định lý 1.3.1. Trong không gian R
3
với mật độ e
r
2
, giá trị
1
2
|∇ϕ, N| là khoảng
cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng tiếp xúc tại mỗi điểm của mặt S.
Chứng minh. Với mọi điểm M(x, y, z) thuộc mặt S, gọi N(a
1
, b
1
, c
1
) là pháp vector
đơn vị của S tại M. Khi đó phương trình mặt phẳng tiếp xúc của S tại M là
(α) : a
1

x + b
1
y + c
1
z + d
1
= 0.
13
Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (α) là
d(O, α) =
|d
1
|

a
2
1
+ b
2
1
+ c
2
1
= |d
1
|
= | − (a
1
x + b
1

y + c
1
z)|
= | −
1
2
(2x, 2y, 2z)(a
1
, b
1
, c
1
)|
=
1
2
|∇ϕ, N|.
Định lý 1.3.2. Trong không gian R
3
với mật độ e
r
2
, mặt phẳng là mặt có độ cong
hằng. Mặt phẳng là mặt cực tiểu khi và chỉ khi nó đi qua gốc tọa độ.
Chứng minh. Gọi phương trình tổng quát của một mặt phẳng bất kì là Ax +By +
Cz + D = 0 (A
2
+ B
2
+ C

2
= 1).
Ta có độ cong theo mật độ của mặt phẳng trên là
H
ϕ
= H −
1
2
∇
ϕ
, N
với ∇
ϕ
= (2x, 2y, 2z) và N = (A, B, C).
Vì mặt phẳng có độ cong trung bình H = 0 nên
H
ϕ
= −
1
2
(2x, 2y, 2z)(A, B, C) = −(Ax + By + Cz) = D = const..
Mặt phẳng là mặt cực tiểu ⇔ H
ϕ
= 0 ⇔ D = 0.
Định lý 1.3.3. Trong không gian R
3
với mật độ e
r
2
, mặt cầu tâm O là mặt có độ

cong hằng. Không có mặt cầu nào là mặt cực tiểu.
Chứng minh. Gọi phương trình tổng quát của mặt cầu S tâm O bán kính R là
x
2
+ y
2
+ z
2
= R
2
. Xét một tham số hóa của mặt cầu S là
X(u, v) = (R sin u cos v, R sin u sin v, R cos u) với 0 < u < 2π, 0 < v < 2π.
Ta có
X
u
= (R cos u cos v, R cos u sin v,−R sin u),
X
v
= (−R sin u sin v, R sin u cos v, 0),
N = (sin u cos v, sin u sin v, cos u),
X
uu
= (−R sin u cos v,−R sin u sin v,−R cos u),
X
vv
= (−R sin u cos v,−R sin u sin v, 0),
X
uv
= (−R cos u sin v, R cos u cos v, 0).
14

Các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai là
E = R
2
, F = 0, G = R
2
sin
2
u,
e = −R, f = 0, g = −R sin
2
u.
Độ cong trung bình là
H =
1
2
eG + Eg − 2fF
EG − F
2
= −
1
R
.
Với mọi điểm p(x, y, z) ∈ S, pháp vector đơn vị N
p
của S tại p là
N
p
= (
x


x
2
+ y
2
+ z
2
,
y

x
2
+ y
2
+ z
2
,
z

x
2
+ y
2
+ z
2
).
Độ cong trung bình theo mật độ của S là
H
ϕ
= H −
1

2
∇
ϕ
, N
= −
1
R
−
1
2
(2x, 2y, 2z)(
x

x
2
+ y
2
+ z
2
,
y

x
2
+ y
2
+ z
2
,
z


x
2
+ y
2
+ z
2
)
= −
1
R
−
x
2
+ y
2
+ z
2

x
2
+ y
2
+ z
2
= −
1
R
− R = const..
Định lý 1.3.4. Trong không gian R

3
với mật độ e
r
2
, mặt trụ có phương trình tổng
quát x
2
+ y
2
= R
2
là mặt có độ cong hằng. Không có mặt trụ nào là mặt cực tiểu.
Chứng minh. Gọi mặt trụ T có phương trình tổng quát là x
2
+ y
2
= R
2
. Xét một
tham số hóa của mặt trụ T là
X(u, v) = (R cos v, R sin v, u)) với 0 < v < 2π,−∞ < u < +∞.
Ta có
X
u
= (0, 0, 1),
X
v
= (−R sin v, R cos v, 0),
N = (− cos v,− sin v, 0),
X

uu
= (0, 0, 0),
X
vv
= (−R cos v,−R sin v, 0),
X
uv
= (0, 0, 0).
15
Các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai là
E = 1, F = 0, G = R
2
,
e = 0, f = 0, g = R.
Độ cong trung bình là
H =
1
2
eG + Eg − 2fF
EG − F
2
=
1
2R
.
Với mọi điểm p(x, y, z) ∈ T, pháp vector đơn vị N
p
của T tại p là
N
p

= (−
x

x
2
+ y
2
,−
y

x
2
+ y
2
, 0).
Độ cong trung bình theo mật độ của T là
H
ϕ
= H −
1
2
∇
ϕ
, N
=
1
2R
−
1
2

(2x, 2y, 2z)(−
x

x
2
+ y
2
,−
y

x
2
+ y
2
, 0)
=
1
2R
+
x
2
+ y
2

x
2
+ y
2
=
1

2R
+ R = const..
Định lý 1.3.5. (Phương trình Lagrange)
Trong không gian R
3
với mật độ e
r
2
, mặt tham số hóa dạng
X(u, v) = (u, v, f(u, v))
với f là hàm khả vi là mặt cực tiểu với mật độ khi và chỉ khi hàm f thỏa mãn
phương trình
(1 + f
2
u
)f
vv
+ (1 + f
2
v
)f
uu
− 2f
u
f
v
f
uv
+ 2(uf
u

+ vf
v
− f)(1 + f
2
u
+ f
2
v
) = 0.
Chứng minh. Xét mặt S có tham số hóa là
X(u, v) = (u, v, f(u, v)).
16
Ta có
X
u
= (1, 0, f
u
),
X
v
= (0, 1, f
v
),
N = −
1

1 + f
2
u
+ f

2
v
(f
u
, fv,−1),
X
uu
= (0, 0, f
uu
),
X
vv
= (0, 0, f
vv
),
X
uv
= (0, 0, f
uv
).
Các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai là
E = 1 + f
2
u
, F = f
u
f
v
, G = 1 + f
2

v
,
e =
f
uu

1 + f
2
u
+ f
2
v
, f =
f
vv

1 + f
2
u
+ f
2
v
, g =
f
uv

1 + f
2
u
+ f

2
v
.
Ta có độ cong trung bình là
H =
1
2
eG + Eg − 2fF
EG − F
2
=
1
2
(1 + f
2
v
)f
uu
+ (1 + f
2
u
)f
vv
− 2f
u
f
v
f
uv
(1 + f

2
u
+ f
2
v
)
3
2
và ∇
ϕ
= (2u, 2v, 2f) nên
∇
ϕ
, N = −(2u, 2v, 2f)
1

1 + f
2
u
+ f
2
v
(f
u
, fv,−1)
=
−2

1 + f
2

u
+ f
2
v
(uf
u
+ vf
v
− f).
Do đó độ cong trung bình theo mật độ là
H
ϕ
= H −
1
2
∇
ϕ
, N
=
1
2
(1 + f
2
u
)f
vv
+ (1 + f
2
v
)f

uu
− 2f
u
f
v
f
uv
+ 2(uf
u
+ vf
v
− f)(1 + f
2
u
+ f
2
v
)
(1 + f
2
u
+ f
2
v
)
3
2
.
H
ϕ

= 0 ⇔
(1 + f
2
u
)f
vv
+ (1 + f
2
v
)f
uu
− 2f
u
f
v
f
uv
+ 2(uf
u
+ vf
v
− f)(1 + f
2
u
+ f
2
v
) = 0.
Từ định lý trên ta có một số hệ quả sau
Hệ quả 1.3.5.1. Trong không gian R

3
với mật độ e
r
2
, các mặt tịnh tiến là những
mặt cực tiểu với mật độ khi và chỉ khi các hàm f và h thỏa mãn phương trình
(1 + f
2
)h

+ (1 + h
2
)f

+ 2(uf

+ vh

− f − h)(1 + f
2
+ h
2
) = 0.
17
Hệ quả 1.3.5.2. Trong không gian R
3
với mật độ e
r
2
, mặt có tham số hóa dạng

X(u, v) = (u, v, f(u)) với f là hàm khả vi
là mặt cực tiểu khi và chỉ khi hàm f thỏa mãn phương trình
f

+ 2(uf

− f)(1 + f
2
) = 0.
Mệnh đề 1.3.1. Trong không gian R
3
với mật độ e
r
2
, nếu mặt tròn xoay S là mặt
cực tiểu với mật độ thì trục quay của S phải đi qua gốc tọa độ.
Chứng minh. Không mất tính tổng quát, giả sử trục quay của S trùng với phương
của trục z. Gọi C là giao tuyến của S với mặt phẳng xy, khi đó với mọi M(x, y, z) ∈
C ta đều có H = const..
Vì S là mặt cực tiểu nên
H
ϕ
= 0 ⇔ H −
1
2
∇
ϕ
, N = 0
⇔ H =
1

2
∇
ϕ
, N
⇔ |H| =
1
2
|∇
ϕ
, N|.
Mặt khác, theo Định lý (1.3.1) ta có giá trị
1
2
|∇
ϕ
, N| là khoảng cách từ gốc
tọa độ đến mặt phẳng tiếp xúc của S tại mỗi điểm M(x, y, z) nên O phải là tâm
của đường tròn C. Vậy trục z là trục quay của S.
Định lý 1.3.6. (Điều kiện để mặt tròn xoay là mặt cực tiểu)
Trong không gian R
3
với mật độ e
r
2
, các mặt tròn xoay là những mặt cực tiểu với
mật độ khi và chỉ khi hàm f và g thỏa mãn phương trình
f(f

g


− g

f

) + [g

+ 2(fg

− gf

)](f
2
+ g
2
) = 0.
Chứng minh. Xét mặt tròn xoay S có tham số hóa là
X(u, v) = (f(u) cos v, f(u) sin v, g(u)).
Ta có
X
u
= (f

cos v, f

sin v, g

),
X
v
= (−f sin v, f cos v, 0),

N = −
1

f
2
+ g
2
(g

cos v, g

sin v,−f

),
X
uu
= (f

cos v, f

sin v, g

),
X
vv
= (−f cos v,−f sin v, 0),
X
uv
= (−f


sin v, f

cos v, 0).
18
Các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai là
E = f
2
+ g
2
, F = 0, G = f
2
,
e =
f

g

− g

f


f
2
+ g
2
, f = 0, g =
fg



f
2
+ g
2
.
Độ cong trung bình là
H =
1
2
eG + Eg − 2fF
EG − F
2
=
1
2
f
2
(f

g

− g

f

) + fg

(f
2
+ g

2
)
f
2
(f
2
+ g
2
)
3
2
=
1
2
f(f

g

− g

f

) + g

(f
2
+ g
2
)
f(f

2
+ g
2
)
3
2
và ∇
ϕ
= (2f cos v, 2f sin v, 2g) nên
∇
ϕ
, N = −(2f cos v, 2f sin v, 2g)
1

f
2
+ g
2
(g

cos v, g

sin v,−f

)
=
−2

f
2

+ g
2
(fg

− f

g).
Do đó độ cong trung bình theo mật độ là
H
ϕ
= H −
1
2
∇
ϕ
, N
=
1
2
f(f

g

− g

f

) + g

(f

2
+ g
2
) + 2f(fg

− gf

)(f
2
+ g
2
)
f(f
2
+ g
2
)
3
2
.
H
ϕ
= 0 ⇔ f(f

g

− g

f


) + [g

+ 2f(fg

− gf

)](f
2
+ g
2
) = 0.
Hệ quả 1.3.6.1. Xét mặt tròn xoay S được sinh ra bởi đường α(t) = (f(t), 0, t)
khi quay quanh trục z có phương trình tham số là
X(u, v) = (f(u) cos v, f(u) sin v, u)
với f ≥ 0, khả vi ∀u ∈ R và 0 < v < 2π.
Khi đó S là mặt cực tiểu khi và chỉ khi hàm f thỏa mãn phương trình
ff

− [1 + 2(f − uf

)](1 + f
2
) = 0 ∀u.
Định lý 1.3.7. (Điều kiện để mặt kẻ là mặt cực tiểu)
Trong không gian R
3
với mật độ e
r
2
, mặt kẻ có tham số hóa dạng

X(u, v) = α(u) + vβ(u), u ∈ I, v ∈ R
19
với |α

(u)| = 1, |β(u)| = 1 và α

(u) ⊥ β(u) ∀u ∈ I là mặt cực tiểu với mật độ khi
và chỉ khi
⇔

















α

∧ β, α


 − 2{α

∧ β, α = 0
α

∧ β, β

 + β

∧ β, α

 − 4α

∧ β, αα

, β

 = 0
β

∧ β, β

 − 2α

∧ β, αβ
2
= 0
β

∧ β, α = 0

(1.3.1)
hoặc



α

∧ β, α

− 2α = 0
β

= 0
. (1.3.2)
Chứng minh. Xét mặt kẻ S có tham số hóa như trên. Ta có
X
u
= α

+ vβ

,
X
v
= β,
X
u
∧ X
v
= (α


∧ β) + v(β

∧ β),
X
uu
= α

+ vβ

,
X
vv
= 0,
X
uv
= β

.
Các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai là
E = (α

+ vβ

)
2
, F = 0, G = β
2
= 1,
N =

X
u
∧ X
v
|X
u
∧ X
v
|
=
(α

∧ β) + v(β

∧ β)
√
EG − F
2
=
(α

∧ β) + v(β

∧ β)
|α

+ vβ

|
,

e =
α

∧ β, α

 + v[α

∧ β, β

 + β

∧ β, α

] + v
2
β

∧ β, β


|α

+ vβ

|
,
f =
α

∧ β, β



|α

+ vβ

|
, g = 0.
Độ cong trung bình là
H =
1
2
eG + Eg − 2fF
EG − F
2
=
1
2
α

∧ β, α

 + v[α

∧ β, β

 + β

∧ β, α


] + v
2
β

∧ β, β


(α

+ vβ

)
3
và ∇
ϕ
= (2x, 2y, 2z) = 2X(u, v) = 2(α(u) + vβ(u)), nên
∇
ϕ
, N = 2
α

∧ β, α + vβ

∧ β, α
|α

+ vβ

|
.

20
Do đó độ cong trung bình theo mật độ là
H
ϕ
= H −
1
2
∇
ϕ
, N
=
1
2
α

∧ β, α

 + v[α

∧ β, β

 + β

∧ β, α

] + v
2
β

∧ β, β



(α

+ vβ

)
3
−
1
2
2
α

∧ β, α + vβ

∧ β, α
|α

+ vβ

|
.
H
ϕ
= 0
⇔ α

∧ β, α


 + v[α

∧ β, β

 + β

∧ β, α

] + v
2
β

∧ β, β


− 2[α

∧ β, α + vβ

∧ β, α](α

+ vβ

)
2
= 0
⇔ α

∧ β, α


 + v[α

∧ β, β

 + β

∧ β, α

] + v
2
β

∧ β, β


− 2[α

∧ β, α + vβ

∧ β, α](1 + 2vα

, β

 + v
2
β
2
) = 0
⇔ α


∧ β, α

 + v[α

∧ β, β

 + β

∧ β, α

] + v
2
β

∧ β, β


− 2{α

∧ β, α + v[β

∧ β, α + 2α

∧ β, αα

, β

] + v
2
[α


∧ β, αβ
2
+ 2β

∧ β, αα

, β

] + v
3
β

∧ β, αβ
2
} = 0
⇔ α

∧ β, α

 − 2α

∧ β, α + v[α

∧ β, β

 + β

∧ β, α


 − 2β

∧ β, α
− 4α

∧ β, αα

, β

] + v
2
[β

∧ β, β

 − 2α

∧ β, αβ
2
− 4β

∧ β, αα

, β

] − 2v
3
β

∧ β, αβ

2
= 0.
Xem phương trình trên như là một đa thức theo biến v, ta kết luận S là mặt
cực tiểu với mật độ
⇔

















α

∧ β, α

 − 2α

∧ β, α = 0
α


∧ β, β

 + β

∧ β, α

 − 2β

∧ β, α − 4α

∧ β, αα

, β

 = 0
β

∧ β, β

 − 2α

∧ β, αβ
2
− 4β

∧ β, αα

, β


 = 0
β

∧ β, αβ
2
= 0
.
⇔

















α

∧ β, α

− 2α = 0

α

∧ β, β

 + β

∧ β, α

 − 4α

∧ β, αα

, β

 = 0
β

∧ β, β

 − 2α

∧ β, αβ
2
= 0
β

∧ β, α = 0
hoặc




α

∧ β, α

− 2α = 0
β

= 0
.
21
Tìm cách giải quyết hệ phương trình (1.3.2)và chọn β = (0, 0, a) ta có hệ quả
sau
Hệ quả 1.3.7.1. Trong không gian R
3
với mật độ e
r
2
, mặt kẻ có tham số hóa dạng
X(u, v) = (x(u), y(u), z(u) + av), với x, y khác hàm hằng, a là hằng số bất kì, là
mặt cực tiểu với mật độ nếu phương trình
x

− 2x
x

=
y

− 2y

y

thỏa mãn với mọi z(u).
Nhận xét 1.3.2. Xét phương trình được nêu trong Hệ quả (1.3.7.1) ta có nhận xét
sau
1. Nếu x(u) = y(u) ∀u ∈ I thì phương trình trên nghiệm đúng.
2. Đặt
x

− 2x
x

=
y

− 2y
y

= t(u),
với t(u) là một hàm theo biến u.
Việc giải phương trình trên đưa ta về việc giải phương trình vi phân
x

− t(u)x

− 2x = 0.
• Nếu t(u) = a = const. ∀u thì ta có phương trình
x

− ax


− 2x = 0.
Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng. Nghiệm của
phương trình này là
x(u) = C
1
e
a−
√
a
2
+8
2
u
+ C
2
e
a+
√
a
2
+8
2
u
,
với C
1
, C
2
là các hằng số bất kì.

Mặt kẻ thu được trong trường hợp này là mặt phẳng.
• Nếu t(u) = const. ∀u thì phương trình trên muốn giải được thì phải biết
trước một nghiệm của nó rồi dùng công thức Ostrogradski − Liouville
để tìm nghiệm. Hiện tại công viêc này chúng tôi vẫn chưa giải quyết
được.
22
Nhận xét 1.3.3. Xét hệ phương trình (1.3.1)
⇔

















α

∧ β, α

− 2α = 0 (1.3.1.1)

α

∧ β, β

 + β

∧ β, α

 − 4α

∧ β, αα

, β

 = 0 (1.3.1.2)
β

∧ β, β

 − 2α

∧ β, αβ
2
= 0 (1.3.1.3)
β

∧ β, α = 0 (1.3.1.4)
.
Từ phương trình cuối ta có α, β và β


đồng phẳng. Khi đó tồn tại hai số thực k, l
không đồng thời bằng 0 sao cho α = kβ + lβ

. Với lưu ý α

⊥ β, α

⊥ α

, β ⊥ β

và
|β

| = 0 ta có được α, β = k và 0 = α

, β = kβ

, β + lβ

, β = lβ

, β.
Thay vào phương trình (1.3.1.3) ta có
β

∧ β, β

 − 2α


∧ β, αβ
2
= 0
⇔ β

∧ β, β

 − 2k(β

∧ β) + l(β

∧ β), kβ + lβ

β
2
= 0
⇔ β

∧ β, β

 − 2l
2
β

∧ β, β

β
2
= 0
⇔ β


∧ β, β

(1 + 2l
2
β
2
) = 0
⇔ β

∧ β, β

 = 0.
Nếu l = 0 hoặc β

∧ β, β

 = 0 thì β là đường cong phẳng và vì |β| = 1 nên ta
có thể giả sử β(u) = (cos u, sin u, 0). Khi đó α và β đều nằm trong mặt phẳng xOy.
Ta lại có β

(u) = (− sin u, cos u, 0) và α(u) = (k cos u− l sin u, k sin u + l cos u, 0),
dễ dàng kiểm tra được chúng đều thỏa mãn các phương trình còn lại của hệ phương
trình (1.3.1). Lúc này mặt kẻ thu được là mặt phẳng xy.
Sau đây, ta tìm hiểu thêm về một số mặt cực tiểu đại số với mật độ như sau
Định lý 1.3.8. Trong không gian R
3
với mật độ e
r
2

, mặt tịnh tiến S : X(u, v) =
(u, v, f(u) + h(v)) với
f(u) = a
n
u
n
+ a
n−1
u
n−1
+ ... + a
0
,
h(v) = b
m
v
m
+ b
m−1
v
m−1
+ ... + b
0
,
m, n ∈ N, a
n
= 0, b
m
= 0.
Khi đó S là mặt cực tiểu với mật độ khi và chỉ khi S là mặt phẳng đi qua gốc tọa

độ.
Chứng minh. ⇐)Dễ dàng kiểm tra được.
⇒) Theo Hệ quả (1.3.5.1) ta có S là mặt cực tiểu với mật độ khi và chỉ khi f và
h thỏa mãn phương trình
(1 + f
2
)h

+ (1 + h
2
)f

+ 2(uf

+ vh

− f − h)(1 + f
2
+ h
2
) = 0.
23