phương pháp toán lý các hàm đặc biệt

<span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

Tập hợp các hàm trực giao đóng vai trị cực kỳ quan trọng trong phân tích, chủ yếu bởi vì các hàm này thuộc về một lớp hàm rất tổng quát có thể được biểu diễn bởi các chuỗi của các

<i><b>hàm trực giao được gọi là chuỗi Fourier tổng quát.</b></i>

GIỚI THIỆU

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

Lớp hàm trực giao đặc biệt bao gồm tập hợp các đa thức

Legendre là tập hợp đa thức đơn giản nhất thuộc lớp hàm này. Những tập hợp đa thức khác thường xuất hiện trong

<i><b>các ứng dụng là các đa thức Hermite, Laguerre và</b></i>

<i><b>Chebyshev. Các tập hợp đa thức tổng quát hơn được định</b></i>

<i><b>nghĩa bởi các đa thức Gegenbauer và Jacobi mà được kể</b></i>

đến trong các trường hợp đặc biệt khác.

GIỚI THIỆU

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

Nghiên cứu tập hợp các đa thức tổng quát như đa thức Jacobi thì được quy về các nghiên cứu mỗi một tập hợp đa thức tập trung vào các tính chất mà là đặc trưng chung của tất cả các đa thức đơn lẻ. Ví dụ, tập hợp 𝑝_𝑛𝑥mà ta sẽ nghiên cứu tất cả thỏa phương trình vi phân tuyến tính bậc 2 và hệ thức Rodrigues, và được liên hệ đến tập hợp (𝑑𝑚/𝑑𝑥^𝑚)𝑝_𝑛𝑥(ví dụ như đa thức Legendre kết hợp) thì cũng là hàm trực giao. Hơn thế nữa nó có thể được chứng minh rằng tập hợp đa thức trực giao bất kỳ thỏa ba điều kiện này thì cần thiết là thành viên của tập hợp đa thức Jacobi, hay trong trường hợp giới hạn như thế là đa thức Hermite và Laguerre.

GIỚI THIỆU

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

Đa thức Hermite đóng vai trị quan trọng trong vấn đề giải phương trình Laplace trong hệ tọa độ parabol trong một số bài toán như trong cơ học lượng tử và lý thuyết xác suất.

(cách định nghĩa này thường được sử dụng trong thốngkê) như sau:

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

Với việc khai triển hàm e mũ

Với bước cuối cùng ta đổi biến m = n – 2k, từ đó ta có đathức Hermite như sau:

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

Từ (3.3) cho thấy rằng đa thức H_n(x) là đa thức có bậc n,và còn là hàm chẵn theo x với n chẵn và hàm lẻ theo xvới n lẻ. Do đó nó cho thấy rằng

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

Bên cạnh chuỗi (3.3), đa thức Hermite có thể được định nghĩa theo hệ thức Rodrigues như sau: Đa thức Hermite có nhiều tính chất giống với đa thức Legendre, và thực tế có nhiều mối liên hệ giữa hai đa thức này với nhau.

<b>GHI NHỚ</b>

ĐA THỨC HERMITE

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

Ví dụ như hai trường hợp đơn giản nhất sau đây

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

Hãy dùng hàm sinh để chứng minh mối liên hệ sau

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

ở đây ta đã đổi chỉ số m và k, và đặt m = n – 2k. Cuối cùng so sánh hệ số củatntrong hai chuỗi, ta dẫn ra

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

Thay chuỗi𝜔 𝑥, 𝑡 = 𝑒^{2𝑥𝑡−𝑡}²vào phương trình

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

Một hệ thức hồi quy khác cũng thỏa của đa thức Hermiteđược dẫn ra từ việc thay chuỗi 𝜔 𝑥, 𝑡 vào phương trình

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

Tính chất trực giao của đa thức Hermite được cho bởi

׬_−∞^∞𝒆^−𝒙^𝟐𝑯_𝒏(𝒙)𝑯_𝒌(𝒙)𝒅𝒙 = 𝟎𝒌 ≠ 𝒏 (3.17)

Với 𝑒−𝑥²được gọi là hàm trọng số. Ta có thể chứngminh (3.17) tương tự như trong đa thức Legendre,nhưng đối với đa thức Hermite sẽ được chứng minh

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

Hãy bắt đầu với các mối liên hệ của hàm sinh như sau:

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

Tiếp theo ta nhân hai vế (3.19) với hàm trọng số 𝑒−𝑥²và sau đó thực hiện

</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">

Dựa vào các hệ thức (3.17) và (3.22), ta có thể hình thành một lý thuyết về khai triễn cho các đa thức bất kỳ hay các hàm bất kỳ một cách tổng quát theo chuỗi các đa thức Hermite. Đặc biệt nếu 𝑓(𝑥) là hàm phù hợp được định nghĩa cho mọi x, ta tìm được khai triễn tổng quát của hàm như sau:

<b>Các chuỗi kiểu này được gọi là chuỗi Hermite. Ta có các định lý cho chuỗi </b>

này sau đây.

</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22">

<b>ĐỊNH LÝ 3.1. Nếu 𝑓 trơn từng phần trong các khoảng hữu hạn và</b>

−∞ ∞

𝒆^−𝒙^𝟐𝒇^𝟐(𝒙)𝒅𝒙 < ∞

Thì chuỗi Hermits (3.23) có các hệ số được xác định trong (3.24) hội tụ vềcác điểm trong từng phần tại mỗi một điểm liên tục của𝑓(𝑥). Ở các điểmkhông liên tục, chuỗi hội tụ về giá trị trung bình

</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">

Hãy biểu diễn hàm𝑓 𝑥 = 𝑒^2𝑏𝑥theo chuỗi các đathức Hermite, và sử kết quả để dẫn ra giá trị của tích

</div><span class="text_page_counter">Trang 24</span><div class="page_container" data-page="24">

<b>Giải: Trong trường hợp này ta có thể có được chuỗi theo cách gián tiếp sau. Ta đơn giản đặt t = b</b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 25</span><div class="page_container" data-page="25">

Trong cơ học sóng, phương trình cơ bản để mơ tả (ví dụ trong một chiều) vị trí của một hạt bị giữ (bị hút) bởi thế năng V(z) là phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian sau:

ℎ²𝑉 𝑧 − 𝐸 = 0(3.25)

Với m là khối lượng của hạt, E là năng lượng tổng, và h là hằng số Planck. Đại lượng chua biết ψ được gọi là hàm sóng, nghĩa là biên độ sóng có cường độ cho ra xác suất tìm thấy hạt ở một điểm bất kỳ trong không gian. Vấn đề cơ bản trong cơ học sóng quan tâm đến chuyển động của hạt được giữ trong thế vng. Nó được hình thành bởi các nghiệm “giải trong các vùng giữ hạt” của phương trình Schrodinger mà cho thấy rằng các nghiệm thõa các điều kiện cho hạt bị giam giữ chỉ xảy ra cho các mức năng lượng rời rạc (gián đoạn) của hạt trong thế vng.

<b>DAO ĐỘNG ĐIỀU HỊA ĐƠN GIẢN</b>

ĐA THỨC HERMITE

</div><span class="text_page_counter">Trang 26</span><div class="page_container" data-page="26">

Ví dụ cụ thể của vấn đề quan trọng này là bài toándao động tử tuyến tính(hay cịn được gọi là dao động tử điều hịa đơn giản), lời giải của phương trình này dẫn đến các đa thức Hermite.

Nếu lực phục hồi tác dụng lên hạt ở khoảng cách z từ vị trícân bằng là – kz, với k có thể là hằng số dao động tử cổ điển“độ cứng của lò xo nếu dao động từ lị xo”, thì thế năng của

</div><span class="text_page_counter">Trang 27</span><div class="page_container" data-page="27">

Thay vào phương trình (3.25) và đặt biến theo tham số không thứnguyên như sauở đây đạo hàm theo biến x. Thêm vào đó, hàm sóng ψ cần phải thõa điềukiện biên sau

</div><span class="text_page_counter">Trang 28</span><div class="page_container" data-page="28">

Để tìm kiếm nghiệm liên kết (hạt bị giam trong hố thế) của (3.26) ta bắt đầu với trường hợp λ rất nhỏ so với x2khi x lớn nên có thể bỏ qua với x lớn. Do đó dạng tiệm cận của nghiệm ta mong đợi của (3.26) có dạng sau

𝜓 𝑥 ~𝑒^±^𝑥

2|𝑥| ⟶ ∞

ở đây chỉ có nghiệm tương ứng dấu trừ là thõa điều kiện(3.27). Dựa vào nghiệm này, ta có giả sử rằng (3.26) có

</div><span class="text_page_counter">Trang 29</span><div class="page_container" data-page="29">

Với hàm y(x) phù hợp. Thay (3.28) vào (3.26) ta có phương trình vi phân

𝑦^′′− 2𝑥𝑦^′+ 𝜆 − 1 𝑦 = 0(3.29)

Điều kiện biên (3.27) được dùng cho giả sử rằng bất cứ dạng hàm y nào,giả sử hàm y hữu hạn cho mọi x tiến đến vô cùng ở tốc độ chậm hơn tốcđộ của 𝑒⁻^𝑥22tiến đến 0. Thì chỉ những nghiệm của (3.29) thõa điều kiệnnày tương ứng với điều kiện

</div><span class="text_page_counter">Trang 30</span><div class="page_container" data-page="30">

Được gọi là các trị riêng. Biểu diễn các trị riêng theo số hạng năng lượng

Mà chính là phương trình Hermite có nghiệm là𝑦 = 𝐻_𝑛(𝑥). Do đó ta kếtluận rằng mỗi một trị riêng λ_nđược cho bởi (3.30) sẽ có tương ứng cácnghiệm của (3.26) được gọi là hàm riêng hay trạng thái riêng được cho bởi

</div><span class="text_page_counter">Trang 31</span><div class="page_container" data-page="31">

BÀI TẬP

ĐA THỨC HERMITE

</div><span class="text_page_counter">Trang 32</span><div class="page_container" data-page="32">

BÀI TẬP

ĐA THỨC HERMITE

</div><span class="text_page_counter">Trang 33</span><div class="page_container" data-page="33">

BÀI TẬP

ĐA THỨC HERMITE

</div><span class="text_page_counter">Trang 34</span><div class="page_container" data-page="34">

BÀI TẬP

ĐA THỨC HERMITE

</div><span class="text_page_counter">Trang 37</span><div class="page_container" data-page="37">

ở đây ta đã đảo ngược thứ tự lấy tổng từ k trước rồi đến m. Cuối cùng, ta đổi chỉ số m = n – k dẫn đến biểu thức (3.33)

<b>chính là đa thức Laguerre được định nghĩa bởi</b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 38</span><div class="page_container" data-page="38">

Do vậy, đồng nhất hệ số ở hai vế phương trình (3.40) nên các hệ số của tnởbên trái phải bằng 0, ta được hệ thức hồi quy

</div><span class="text_page_counter">Trang 40</span><div class="page_container" data-page="40">

Hệ thức cuối cùng cho phép ta biểu diễn vi phân của đa thức Laguerre theo số hạng đa thức Laguerre.

<b>GHI NHỚ</b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 41</span><div class="page_container" data-page="41">

ở đây ta kết luận rằng 𝑦 = 𝐿_𝑛𝑥 (𝑛 = 0,1,2, … ) là nghiệm

<b>phương trình Laguerre sau</b>

<b>GHI NHỚ</b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 42</span><div class="page_container" data-page="42">

<b>CHUỖI LAGUERRE</b>

ĐA THỨC LAGUERRE

Cũng giống như đa thức Legendre và Hermite, nhiềuhàm khác nhau thõa điều kiện chung có thể được khaitriễn theo chuỗi đa thức Laguerre. Cơ sở của lý thuyếtchuỗi như thế là tính trực giao của đa thức Laguerre như

</div><span class="text_page_counter">Trang 44</span><div class="page_container" data-page="44">

<b>CHUỖI LAGUERRE</b>

ĐA THỨC LAGUERRE

So sánh hệ số tnsnở cả hai vế của (3.52) ta rút ra kết quả (3.49), trongkhi với k = n, ta cũng thấy rằng (với n = 0, 1, 2, …)

</div><span class="text_page_counter">Trang 45</span><div class="page_container" data-page="45">

Thì chuỗi Laguerre (3.54) có hệ số được xác định bởi (3.55)hội tụ từng phần về 𝑓(𝑥) ở mỗi điểm liên tục của 𝑓. Ở cácđiểm không liên tục, chuỗi hội tụ về giá trị trung bình

</div><span class="text_page_counter">Trang 46</span><div class="page_container" data-page="46">

Trong nhiều ứng dụng, cụ thể trong cơ học lượng tử, ta

<b>cần đa thức Laguerre tổng quát mà được gọi là đa thức</b>

<b>Laguerre kết hợp như sau</b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 47</span><div class="page_container" data-page="47">

Hàm sinh cho đa thức Laguerre kết hợp𝐿_𝑛^𝑚𝑥 có thể đượcdẫn ra từ hàm sinh cho đa thức Laguerre L_n(x). Trước tiên tathay n bằng n + m trong (3.33) ta được

</div><span class="text_page_counter">Trang 48</span><div class="page_container" data-page="48">

Các số hạng của chuỗi cho n = -1, -2, …,-m tất cả đều bằng 0, khi đạo hàm lần thứ m của đa thức có bậc nhỏ hơn m thì bằng 0, và do đó ta dẫn ra rằng

1 − 𝑡^−1−𝑚𝑒⁻1−𝑡^𝑥𝑡= σ_𝑛=−𝑚^∞𝐿^(𝑚)_𝑛(𝑥)𝑡^𝑛𝑡 < 1(3.58)

Đa thức kết hợp có nhiều tính chất mà đơn giản là sự tổng quát của những tính chất này của đa thức Laguerre.

</div><span class="text_page_counter">Trang 50</span><div class="page_container" data-page="50">

Các đa thức𝐿_𝑛^𝑚cũng thõa nhiều hệ thức mà có các chỉ số trên khác nhau. Hai hệ thức như thế được cho như sau

𝑳_𝒏−𝟏^𝒎𝒙 + 𝑳_𝒏^𝒎−𝟏𝒙 − 𝑳_𝒏^𝒎𝒙 = 𝟎<b>(3.62)</b>

𝑳_𝒏^{𝒎 ′}𝒙 = −𝑳_𝒏−𝟏^𝒎+𝟏(𝒙)<b>(3.63)</b>

Phương trình vi phân bậc 2 được thõa bởi các đa thức 𝐿_𝑛^𝑚(𝑥)

<b>là đa thức Laguerre kết hợp sau</b>

𝒙𝒚^′′+ 𝒎 + 𝟏 − 𝒙 𝒚^′+ 𝒏𝒚^′= 𝟎<b>(3.64)</b>

<b>GHI NHỚ</b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 51</span><div class="page_container" data-page="51">

Để chứng minh điều này, trước tiên ta để ý rằng đa thức 𝑧 =𝐿_𝑛+𝑚(𝑥) là nghiệm phương trình Laguerre

</div><span class="text_page_counter">Trang 55</span><div class="page_container" data-page="55">

<b>Chú ý: Đa thức Laguerre kết hợp</b>𝐿_𝑛^𝑚(𝑥) có thể đượctổng qt hóa cho trường hợp m khơng ngun như sau

</div><span class="text_page_counter">Trang 56</span><div class="page_container" data-page="56">

<b>NGUYÊN TỬ HYDRO</b>

ĐA THỨC LAGUERRE

Ở trên ta đã giải phương trình Schrodinger một chiều cho dao động tử điều hịa tuyến tính, các nghiệm dẫn đến đa thức Hermite. Một ứng dụng quan trọng liên quan đến đa thức Laguerre là tìm hàm sóng của electron trong nguyên tử hydro. Vấn đề này liên quan đến lực xuyên tâm và dẫn đến hình thành phương trình Schrodinger được cho bởi

∇²𝜓 +^8𝜇𝜋²

ℎ²𝑉 𝑟 − 𝐸 𝜓 = 0(3.67)

Với μ là khối lượng electron, h là hằng số Planck, V(r) là thế năng của electron, và E là năng lượng tổng.

</div><span class="text_page_counter">Trang 57</span><div class="page_container" data-page="57">

<b>NGUYÊN TỬ HYDRO</b>

ĐA THỨC LAGUERRE

Ở đây ta giả sử rằng thế năng xuyên tâm có dạng V(r) = k/r, với k là hằng số dương. Trong hệ tọa độ cầu (r, ϕ , θ) phương trình (3.67) có

Để có hàm sóng liên kết trong thế năng, ta bắt đầu tìm kiếm nghiệmcủa (3.68) có dạng tích của các hàm theo từng biến như sau (phươngpháp tách biến)

</div><span class="text_page_counter">Trang 58</span><div class="page_container" data-page="58">

<b>NGUYÊN TỬ HYDRO</b>

ĐA THỨC LAGUERRE

Từ các xấp xĩ trong phương pháp tách biến có thể chứng tỏ rằng hàm Θ(𝜃) và Φ(𝜙) thõa các phương trình vi phân tương ứng sau Vơi μ và ν là các hằng số tách biến. Để nghiệm thõa các điều kiện của bài toán vật lý thì hàm Θ(θ) cần phải là hàm tuần hồn với chu kỳ 2π. Yêu cầu này dẫn đến μ = m2, m = 0,1,2,…, mà từ đó dẫn ra rằng Θ(θ) có dạng

Θ_𝑚𝜃 = 𝑒^𝑖𝑚𝜃𝑚 = 0,1,2, …(3.72)

</div><span class="text_page_counter">Trang 59</span><div class="page_container" data-page="59">

<b>NGUYÊN TỬ HYDRO</b>

ĐA THỨC LAGUERRE

Với μ = m2, cho thấy rằng phương trình (3.71) chỉ có các

<i>nghiệm liên kết khi ν = l(l+1), l = 0,1,2,…, và trong trường</i>

<b>Được gọi là các hàm cầu điều hòa và là hàm rất quan trọng</b>

trong rất nhiều ứng dụng ngoài ứng dụng cho hydro.

</div><span class="text_page_counter">Trang 60</span><div class="page_container" data-page="60">

<b>NGUYÊN TỬ HYDRO</b>

ĐA THỨC LAGUERRE

Dựa vào các kết quả trên, thành phần phương trình xun tâmR(r) của hàm sóng khi đó thõa phương trình

</div><span class="text_page_counter">Trang 62</span><div class="page_container" data-page="62">

<b>NGUYÊN TỬ HYDRO</b>

ĐA THỨC LAGUERRE

Nên ta cần giới hạn cho λ phải là các giá trị nguyên mà là

<i>λ = n, n = 1, 2, 3, …, với n > l. Giới hạn như thế của λ có</i>

ảnh hưởng đến giới hạn cho năng lượng hạt phải có cácgiá trị rời rạc (gián đoạn) được cho bởi

</div><span class="text_page_counter">Trang 63</span><div class="page_container" data-page="63">

ĐA THỨC LAGUERRE

BÀI TẬP

</div><span class="text_page_counter">Trang 64</span><div class="page_container" data-page="64">

ĐA THỨC LAGUERRE

BÀI TẬP

</div><span class="text_page_counter">Trang 65</span><div class="page_container" data-page="65">

ĐA THỨC LAGUERRE

BÀI TẬP

</div><span class="text_page_counter">Trang 66</span><div class="page_container" data-page="66">

ĐA THỨC LAGUERRE

BÀI TẬP

</div><span class="text_page_counter">Trang 75</span><div class="page_container" data-page="75">

<b>PHỤ LỤC</b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 76</span><div class="page_container" data-page="76">

<b>PHỤ LỤC</b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 77</span><div class="page_container" data-page="77">

<b>PHỤ LỤC</b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 78</span><div class="page_container" data-page="78">

<b>PHỤ LỤC</b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 79</span><div class="page_container" data-page="79">

<b>PHỤ LỤC</b>

</div><span class="text_page_counter">Trang 80</span><div class="page_container" data-page="80">

<b>PHỤ LỤC</b>

</div>