ỨNG DỤNG SỐ PHỨC GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TRONG CHƯƠNG TRÌNH HÌNH HỌC LỚP 10

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.78 MB, 51 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

UBND TỈNH QUẢNG NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Quảng Nam, tháng 5 năm 2016

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

UBND TỈNH QUẢNG NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

MỤC LỤC

PHẦN 1. MỞ ĐẦU ... 1

1.1. Lý do chọn đề tài ... 1

1.2. Mục đích nghiên cứu ... 1

1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ... 1

1.4. Phương pháp nghiên cứu ... 1

1.5. Đóng góp của đề tài ... 1

1.6. Cấu trúc đề tài ... 2

PHẦN 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU ... 3

CHƯƠNG 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ SỐ PHỨC ... 3

2.1. Biểu diễn hình học của số phức ... 10

2.1.1. Biểu diễn hình học của số phức ... 10

2.1.2. Biểu diễn hình học của modul ... 10

2.1.3. Biểu diễn hình học của các phép tốn đại số ... 11

2.2. Chia đoạn thẳng theo tỉ số k cho trước ... 12

2.3. Góc của tam giác ... 12

2.4. Góc giữa hai đường thẳng... 14

2.5. Các điều kiện thẳng hàng, vng góc, và cùng thuộc một đường trịn ... 15

2.6. Phương trình đường thẳng ... 16

2.6.1. Phương trình đường thẳng qua hai điểm ... 16

2.6.2. Phương trình tham số của đường thẳng ... 18

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

2.6.3. Phương trình chính tắc của đường thẳng ... 19

2.7. Phương trình đường trịn... 20

2.7.1. Phương trình tổng qt của đường trịn ... 20

2.7.2. Một số kết quả liên quan đến bài tốn đường trịn ... 21

CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG SỐ PHỨC GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TRONG CHƯƠNG TRÌNH HÌNH HỌC LỚP 10. ... 25

3.1. Ứng dụng số phức giải bài toán vector ... 25

3.2. Ứng dụng số phức giải bài toán hệ thức lượng trong tam giác ... 31

3.3. Ứng dụng số phức giải bài toán tam giác, tứ giác, đường tròn ... 36

PHẦN 3. KẾT LUẬN ... 45

PHẦN 4. TÀI LIỆU THAM KHẢO ... 46

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

PHẦN 1. MỞ ĐẦU

1.1. Lý do chọn đề tài

Số phức có vai trị quan trọng trong tốn học, nó xuất hiện từ đầu thế kỷ XVI do nhu cầu phát triển của toán học về giải những phương trình đại số. Từ khi ra đời, số phức đã thúc đẩy toán học tiến lên mạnh mẽ và giải quyết được nhiều vấn đề của khoa học và kỹ thuật.

Ở bậc học THPT số phức đã được đưa vào giảng dạy trong chương trình tốn giải tích lớp 12. Đối với học sinh thì số phức là một nội dung còn mới mẽ, với thời lượng không nhiều học sinh chỉ biết được những kiến thức rất cơ bản của số phức cũng như những ứng dụng số phức trong giải toán chỉ mới dừng lại ở việc giải các bài tập đơn giản, việc khai thác các ứng dụng của số phức còn hạn chế. Nhưng số phức cịn là cơng cụ hữu

hiệu để giải quyết một số bài tốn hình học. Do đó, tơi chọn đề tài: “Ứng dụng số phức giải một số dạng bài tập trong chương trình hình học lớp 10” làm đề tài khóa luận tốt

nghiệp.

1.2. Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu việc ứng dụng số phức vào giải một số dạng bài tập trong chương trình hình học lớp 10, từ đó giúp học sinh có nhiều hướng giải quyết một bài toán cụ thể liên quan đến vector, hệ thức lượng trong tam giác, đường thẳng, đa giác, đường tròn trong mặt phẳng.

1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Dùng số phức để giải quyết một số dạng bài tập vector, hệ thức lượng trong tam giác, đường thẳng, đa giác, đường tròn.

- Phạm vi nghiên cứu: Trong chương trình hình học lớp 10.

1.4. Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tài liệu, đọc hiểu tài liệu. - Phân tích, tổng hợp các kiến thức. - Trao đổi, thảo luận với chuyên gia.

1.5 . Đóng góp của đề tài

Khóa luận sau khi hồn thành sẽ là một tài liệu tham khảo về chuyên đề giải một số dạng bài hình học lớp 10 bằng công cụ số phức cho các bạn đọc quan tâm.

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

1.6. Cấu trúc đề tài

Khóa luận gồm phần mở đầu, kết thúc và ba chương:

- Chương 1: Một số khái niệm cơ bản về số phức.

- Chương 2: Biểu diễn một số kết quả hình học bằng ngơn ngữ số phức.

- Chương 3: Ứng dụng số phức giải một số dạng bài tập trong chương trình hình học lớp 10.

Phần tài liệu tham khảo và phụ lục.

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

PHẦN 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

CHƯƠNG 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ SỐ PHỨC 1.1. Số phức

1.1.1. Khái niệm số phức

Ta biết rằng trường số thực nhận được bằng cách làm “đầy” trường số hữu tỉ , mà nó được xây dựng từ vành số nguyên . Việc làm đầy xuất phát từ sự nghiên cứu các phương trình đại số với hệ số hữu tỉ và giới hạn của các dãy số hữu tỉ. Tuy nhiên trường

vẫn khơng đầy đủ, bởi vì ngay cả phương trình đơn giản

2

x   (1)

cũng khơng có nghiệm trong . Cịn trong giải tích nếu chỉ giới hạn trong , người ta không thể giải thích được tại sao hàm

 

1 2

f x

 không thể khai triển được thành

chuỗi lũy thừa trên toàn bộ đường thẳng.

Với lí do trên, buộc ta phải tìm kiếm trường K nào đó chứa như một trường con sao cho tối thiểu phương trình (1) có nghiệm. Ở đây ta nói là trường con của K nếu các phép toán trên được cảm sinh bởi các phép tốn trên K.

Sau đó đưa vào quan hệ bằng nhau và các phép toán sao cho với chúng trở thành một trường chứa như một trường con (qua phép đồng nhất nào đó). Các phép toán này được dẫn dắt từ các phép toán của trường với chú ý 2

Tập hợp với quan hệ bằng nhau, các phép cộng và nhân xác định như trên lập thành một trường thỏa mãn các điều kiện sau:

1) chứa trong như một trường con (qua đồng nhất với ) 2) Tồn tại nghiệm của phương trình 2

x   trong

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

1.1.3. Định nghĩa

Số phức là số có dạng: trong đó . Phép biểu diễn số phức dưới dạng gọi là dạng đại số của số phức .

Trong đó số được gọi là phần thực của số phức , kí hiệu Re được gọi là phần ảo của số phức kí hiệu Im Số phức có dạng yi,

y

* được gọi là số thuần

ảo, số phức i gọi là số đơn vị ảo. Tập tất cả số phức kí hiệu là . ii) z khi và chỉ khi Im

 

z 0;

iii) z \ khi và chỉ khi Im

 

z 0.

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

3) Mỗi số phức

z

ta ln có

z z.

là một số thực khơng âm;

4) z1z2  z1 z2 (số phức liên hợp của một tổng bằng tổng các số phức liên hợp); 5) z z1. 2 z z1. 2 (số phức liên hợp của một tích bằng tích các số phức liên hợp); 6) Mỗi số phức khác 0 đẳng thức sau luôn đúng

  

1

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

1.1.5. Dạng lượng giác của số phức

Trên mặt phẳng cho một hệ tọa độ vng góc, sự biễu diễn số phức theo những điểm trên mặt phẳng cho ta dễ dàng nghiên cứu các phép toán trên số phức: cho hai số phức dạng đại số

z

1

 x

1

iy

1 ,

z

2

 x

2

iy

2. Đó là hai

điểm

Z Z

1

,

2 trong hệ tọa độ vng góc ứng với số trên.

Điểm O là tọa độ gốc.

Ta nối điểm

Z Z

1

,

2 với gốc O và xác định vector OZ1, OZ2 . Sau đó dựng hình bình hành

OZ ZZ

1 2. Như vậy đỉnh thứ tư biểu diễn tọa độ của số phức

zz

như tổng của hai số phức đã cho.

Do đó tổng hai số phức có thể biễu diễn hình học như cộng hai vector trong mặt phẳng.

Bởi vì mỗi điểm trên mặt phẳng tương ứng với một bán kính vectơ

OZ

và ta thấy ngayOZ1OZ2 OZ, ta có nhận xét là khi xem số phức như những điểm trên mặt phẳng

với hệ tọa độ gốc O thì có thể xem số phức như là những vectơ trên mặt phẳng này,

xy

O

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

chính điều nhận xét này mà ta áp dụng được số phức vào giải những bài toán trong hình học phẳng.

Một số phức xác định như là một điểm trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho trước. Ngoài ra, một điểm trong mặt phẳng cũng hoàn toàn xác định bởi hệ tọa độ cực: thật vậy, cho z  xiy 0 thì số phức này ứng với một vectơ

OZ

, ta ký hiệu là độ dài bán kính vectơ này, cịn



là độ lớn của góc định hướng giữa trục hoành và vectơ xác định số phức (góc có hướng dương là góc có chiều quay trục hồnh đến vectơ theo chiều ngược kim đồng hồ, góc có hướng âm thì ngược lại).

Rõ ràng là một số thực không âm. Nếu điểm nằm trên trục hồnh thì số chính là mơđun của số thực tương ứng, vì vậy cho số phức ta cũng định nghĩa là môđun của

và kí hiệu là z .

Do đó √ hoặc ̅.

Góc



được gọi là argument của số phức và kí hiệu là arg z. Giá trị của



có thể là âm hoặc dương phụ thuộc vào hướng quay của trục hoành đến nó. Có thể xác định



argument của số phức z0có vơ số giá trị. Nếu một giá trị



đã xác định thì argument được xác định theo công thức: argz  k2 , k là số nguyên.

Thường thường ta chỉ dùng giá trị của argument trong tập



0, 2



Những số và



biểu diễn một tọa độ cực của Nếu cho một điểm , thì

mối liên hệ giữa tọa độ cực và tọa độ vng góc như sau

Một số phức viết theo dạng trên người ta gọi là dạng lượng giác của số phức.

Cho hai số phức dưới dạng lượng giác z1r1



cos1isin1



và

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

z r  i  . Ta có tính chất sau:

1) Nếu

z

1 trùng với

z

2, thì mơđun của chúng bằng nhau và argument của chúng

 

1

,

2 khác

cos sin . cos sin

cos .cos sin .sin cos .sin sin .cos

Như vậy, tích của hai số phức viết dưới dạng lượng giác zr



cosisin



, ở đó

r là tích của

r r

1 2 hai môđun của hai thừa số. Hoặc là z z1 2  z z1 2 . Còn argument



là tổng

 

1



2 của hai argument thừa số, hay nói cách khác

argz zargzargz

. Bằng phương pháp qui nạp dễ dàng chứng minh được

cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin

cos cos sin sin sin cos cos sin

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

là một điểm với bán kính vectơ

r r

1 2 và argument

 

1



2.

Đặt . Theo công thức Moa-vrơ ta có:

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

CHƯƠNG 2. BIỂU DIỄN MỘT SỐ KẾT QUẢ HÌNH HỌC BẰNG NGƠN NGỮ SỐ PHỨC

2.1. Biểu diễn hình học của số phức

2.1.1. Biểu diễn hình học của số phức

Ta vừa định nghĩa số phức tương ứng với cặp số thực

, vì vậy, một cách tự nhiên, ta có thể đặt số phức ứng với một điểm trong mặt phẳng .

Gọi là tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng tương đương với hệ trục tọa độ. Khi đó ánh xạ là song ánh.

Định nghĩa 2.1. Điểm được gọi là ảnh hình học của số phức . Ngược lại, số phức được gọi là tọa vị của điểm . Hơn nữa, ta sẽ dùng kí hiệu để chỉ tọa vị của là số phức .

Từ định nghĩa này, ta suy ra điểm (đối xứng với qua trục ) là

Là song ánh, trong đó ⃗ ⃗ là các vector đơn vị của trục hồnh và trục tung.

2.1.2. Biểu diễn hình học của modul

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

suy ra √ | | | ⃗|. Nói cách khác, modul của số phức là độ dài của đoạn thẳng hay độ dài của vector ⃗.

2.1.3. Biểu diễn hình học của các phép tốn đại số  Phép cộng và phép trừ.

Xét các số phức và lần lượt tương ứng với các vector ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗. Ta dễ dàng thấy rằng tương ứng với ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗.

Ví dụ 2.1. Ta có , vì vậy ảnh hình học của tổng này được

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

 Tích của một số thực và một số phức.

Xét số phức ứng với vector ⃗ ⃗ ⃗. Nếu là một số thực thì ứng với vector ⃗ ⃗ ⃗. Hơn nữa, nếu thì các vector ⃗ ⃗ cùng hướng và | ⃗| | ⃗|.

2.2. Chia đoạn thẳng theo tỉ số k cho trước

Xét hai điểm phân biệt . Một điểm nằm trên đường thẳng chia đoạn thẳng theo tỉ số { } nếu ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗. Từ hệ thức này, ta có được:

Định lý 2.1. Cho là các điểm phân biệt, không thẳng hàng trong mặt phẳng phức. Khi đó, trung điểm của đoạn thẳng [ ] có tọa độ phức là:

Chứng minh.

Từ nguyên lý cộng hai vector suy ra rằng:

Nếu là trung điểm của thì

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) hoặc tọa vị của biểu diễn qua là

2.3. Góc của tam giác

Một tam giác có hướng dương nếu các đỉnh của nó theo thứ tự ngược chiều quay của kim đồng hồ. Ngược lại ta nói tam giác có hướng âm. Xét các điểm phân biệt và không trùng với gốc tọa độ mặt phẳng phức. Góc ̂ được định hướng nếu các điểm theo thứ tự ngược chiều quay của kim đồng hồ.

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

Thực hiện phép tịnh tiến theo vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗. Qua phép tịnh tiến này, các điểm lần lượt trở thành , . Hơn nữa, ta cũng có được

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

Từ đó ta có

.

Chú ý:

Một cách tổng quát, biểu diễn độ đo góc theo hướng dương của hai vector bất kỳ theo tọa vị của các số phức thì sao? Cho hai vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ với tọa vị các điểm tương ứng . Ta cần phải quay vector đơn vị ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đi một góc theo chiều dương

- Do công thức (1) nếu trùng với trùng với gốc tọa độ và | | | |, thì khi biết tọa vị và góc với các giá trị đặc biệt thì tính được tọa vị theo như sau:

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) hay góc định hướng tạo bởi tia với tia

2.5. Các điều kiện thẳng hàng, vng góc, và cùng thuộc một đường trịn

Cho bốn điểm phân biệt .

Mệnh đề 2.2. Các điểm phân biệt thẳng hàng khi và chỉ khi

Chứng minh. Ta có khi và chỉ khi { }. Điều này tương đương với { } hay .

Chú ý: Khi ta có nếu và chỉ khi

.

Mệnh đề 2.4. Bốn điểm phân biệt (xếp theo thứ tự này) cùng thuộc một đường tròn khi và chỉ khi

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

Các trường hợp còn lại được chứng minh tương tự.

2.6.1. Phương trình đường thẳng qua hai điểm

Mệnh đề 2.5. Trong mặt phẳng phức cho đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt lần lượt có tọa vị . Khi đó có phương trình là:

̅ ̅ ̅ ̅ ̅ (1) Ta đặt ̅ ̅ ̅ ̅ . Khi đó (1) được viết lại:

̅ ̅ (2)

Chứng minh.

Gọi là hai điểm nằm trong mặt phẳng phức có tọa vị . Lấy có tọa vị thuộc vào . Điều kiện cần và đủ để 3 điểm khác nhau nằm trên một đường thẳng là góc ̂ bằng 0 hoặc . Do tính chất của số phức ta có thể biểu diễn dưới

Ví dụ 2.5. Trong mặt phẳng tọa độ, cho điểm . Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm .

Giải.

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

Xét trong mặt phẳng phức: tọa vị là , tọa vị là .

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm có dạng là:

Ví dụ 2.6 (BT 4/Toán SGK NC lớp 10 – trang 80). Cho hai điểm .

a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm và song song với

</div>Trang 22<div class="page_container" data-page="22">

Thay các tọa vị vào ta được:

2.6.2. Phương trình tham số của đường thẳng

Mệnh đề 2.6. Trong mặt phẳng phức cho đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt lần lượt có tọa vị . Khi đó phương trình tham số của đường thẳng đi qua là một tọa vị của một điểm trên đường thẳng đi qua và ngược lại. Như vậy, khi chạy trên tập hợp số thực thì phương trình:

gọi là phương trình tham số của đường thẳng đi qua .

Chú ý:

i) Trong ứng dụng giải những bài tập hình học ta cần xem xét khi khi biến đổi thì ảnh hưởng của thế nào đối với ?

- Nếu số

là số thực dương, thì vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cùng chiều. - Nếu số là âm thì vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ngược chiều nhau.

Đối với vị trí điểm được xác định như sau: - Nếu thì nằm trong đoạn .

- Nếu thì nằm ngồi đoạn về phía . - Nếu thì nằm ngồi đoạn về phía .

</div>Trang 23<div class="page_container" data-page="23">

ii) Giá trị tuyệt đối của bằng tỷ số đoạn thẳng | | và | |. Trong thực tế, ta thường tìm trên đường thẳng một điểm sao cho ̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅ đã cho trước (ở đây ̅̅̅̅̅̅ là độ dài đại số của ). Khi đó , từ đó suy ra

. Nghĩa là một điểm nằm trên đường nối có dạng trên với là một số thực nào đó.

Ví dụ 2.7. Trong mặt phẳng tọa độ, cho điểm . Viết phương trình tham số đi qua hai điểm .

2.6.3. Phương trình chính tắc của đường thẳng

Mệnh đề 2.7. Trong mặt phẳng phức cho đường thẳng đi qua điểm có tọa vị nhận ⃗⃗ làm vector chỉ phương có tọa vị . Khi đó phương trình chính tắc của là:

Ví dụ 2.8 (Ví dụ/Tốn SGK NC lớp 10 – trang 76). Cho tam giác có 3 đỉnh

. Viết phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ .

Giải.

</div>Trang 24<div class="page_container" data-page="24">

Xét trong mặt phẳng phức. Gọi lần lượt là tọa vị của các điểm

2.7.1. Phương trình tổng qt của đường trịn

Mệnh đề 2.8. Trong mặt phẳng phức, cho điểm có tọa vị số thực . Phương trình đường trịn tâm , bán kính là:

̅ ̅ ̅ ̅

Đặt ̅ ̅ , khi đó phương trình trên được viết lại: ̅ ̅ ̅

Ngược lại, trong mặt phẳng phức mỗi phương trình ̅ ̅ ̅ với ̅ sẽ là phương trình đường trịn tâm có tọa vị ̅, bán kính

√ ̅ .

Chứng minh.

Chúng ta sẽ tìm điều kiện cần và đủ để nằm trên một đường tròn. Ở đây ta có thể coi đường thẳng như là đường trịn tâm vô tận.

Nếu nằm trên đường trịn, thì hiệu giữa góc định hướng ̂ và ̂ là 0 hoặc .

là một số thực, thì là tọa vị của những điểm trên đường tròn hoặc đường thẳng. Do tính chất của số phức ta có thể biểu diễn dưới dạng như sau:

Z1Z0

</div>Trang 25<div class="page_container" data-page="25">

Từ phương trình trên để một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác là phương trình sau thỏa mãn

Do đó ̅ là tọa vị của tâm đường trịn và bán kính √ ̅ .

- Trường hợp đặc biệt tâm của đường trịn trùng với gốc tọa độ và bán kính là 1 thì phương trình đường trịn có dạng z ̅ . Đường tròn loại này được gọi là đường tròn đơn vị.

2.7.2. Một số kết quả liên quan đến bài toán đường tròn

Trong thực tế có nhiều bài tốn liên quan đến đường trịn, khi ta chọn hệ tọa độ vng góc với gốc chính là tâm đường trịn đó và coi đường trịn là đường trịn đơn vị, thì chúng ta có kết quả đẹp và dễ sử dụng trong các bài toán cụ thể.

Mệnh đề 2.9. Giả sử là hai dây cung của đường tròn đơn vị. Gọi lần lượt là tọa vị của các điểm . Khi đó:

</div>

ỨNG DỤNG SỐ PHỨC GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TRONG CHƯƠNG TRÌNH HÌNH HỌC LỚP 10

UBND TỈNH QUẢNG NAM

<b>TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM </b>

<b>KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC </b>

UBND TỈNH QUẢNG NAM

<b>TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM </b>

 

<i>y</i>

 

 

<i>z</i>

<i>z z</i>.

  

<i>z</i>

 <i>x</i>

<i>iy</i>

<i>z</i>

 <i>x</i>

<i>iy</i>

<i>Z Z</i>

,

<i>Z Z</i>

,

<i>OZ ZZ</i>

<i>z</i><i>z</i>

<i>OZ</i>

<i>OZ</i>





















<i>z</i>

<i>z</i>

 

,





<i>r r</i>



 



arg<i>z z</i>arg<i>z</i>arg<i>z</i>

<i>r r</i>

 



Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về