VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC VÀO GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.18 MB, 67 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM

KHOA: TOÁN ------

TRẦN THỊ PHƯƠNG

VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC VÀO GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN Ở TRƯỜNG

TRUNG HỌC PHỔ THƠNG

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Quảng Nam, tháng 6 năm 2021

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM

KHOA: TỐN ------

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Tên đề tài:

VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC VÀO GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN Ở TRƯỜNG

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

LỜI CẢM ƠN

Quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp là giai đoạn quan trọng trong quãng đời mỗi sinh viên. Khóa luận tốt nghiệp là tiền đề nhằm trang bị cho sinh viên những kỹ năng nghiên cứu, những kiến thức quý báu trước khi tốt nghiệp.

Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với cô Phạm Nguyễn Hồng Ngự - Tiến Sĩ Toán học - Giảng viên khoa Toán trường Đại học Quảng Nam, đã tận tình giúp đỡ, định hướng cách tư duy và cách làm việc khoa học. Khóa luận được hồn thành cũng chính nhờ vào những ý tưởng, hướng dẫn cũng như góp ý tận tình của cơ. Đó là những góp ý hết sức q báu khơng chỉ trong q trình thực hiện khóa luận này mà cịn là hành trang tiếp bước cho tơi trong q trình học tập và lập nghiệp sau này.

Tiếp theo tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô trong ban lãnh đạo trường Đại học Quảng Nam, quý thầy cô trong khoa Toán,… đã tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành các thủ tục của khóa luận. Đặc biệt là các Thầy, Cô trong Nhà trường đã tận tình chỉ dạy và trang bị cho tôi những kiến thức cần thiết trong suốt thời gian ngồi trên ghế giảng đường, làm nền tảng cho tơi có thể hồn thành được bài khóa luận này.

Và cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, tập thể lớp DT17STH01, những người luôn sẵn sàng chia sẻ và giúp đỡ tôi trong học tập và cuộc sống. Mong rằng, chúng ta sẽ mãi mãi gắn bó với nhau. Xin chúc những điều tốt đẹp nhất sẽ luôn đồng hành cùng mọi người.

Xin chân thành cảm ơn!

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan: Khóa luận tốt nghiệp với đề tài “Vận dụng phương pháp quy nạp toán học vào giải một số dạng toán ở trường trung học phổ thơng” là q trình nghiên cứu của cá nhân tôi không sao chép của bất kì ai.

Tơi xin chịu mọi trách nhiệm về cơng trình nghiên cứu của mình!

Quảng Nam, tháng 6 năm 2021

Người cam đoan

Trần Thị Phương

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ... 7

1. Lý do chọn đề tài ... 7

2. Mục đích nghiên cứu ... 8

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu... 8

3.1. Đối tượng nghiên cứu ... 8

3.2. Phạm vi nghiên cứu ... 8

4. Phương pháp nghiên cứu ... 8

5. Đóng góp của đề tài ... 9

6. Cấu trúc của đề tài ... 9

CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT ... 10

1.1. Quy nạp và quy nạp toán học... 10

1.1.1. Khái niệm ... 10

1.1.1.1. Quy nạp ... 10

1.1.1.2. Quy nạp toán học ... 10

1.1.2. Phân loại quy nạp toán học ... 11

1.1.2.1. Quy nạp hoàn toàn ... 11

1.1.2.2. Quy nạp khơng hồn tồn ... 12

1.1.3. Ngun lý quy nạp toán học ... 16

1.1.3.1. Tiên đề Peano ... 16

1.1.3.2. Tiên đề thứ tự ... 17

1.1.3.3. Ngun lí quy nạp tốn học ... 17

1.2. Một số kỹ thuật của phương pháp quy nạp ... 18

1.2.1. Bước quy nạp xây dựng trên P(k) ... 18

1.2.2. Bước quy nạp xây dựng trên P( k+1) ... 19

1.2.3. Kỹ thuật quy nạp nhảy bước ... 21

1.2.4. Kỹ thuật tổng quát hóa ... 24

1.2.5. Một số sai lầm thường gặp khi sử dụng phương pháp quy nạp ... 25

1.3. Kết luận chương 1 ... 26

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

CHƯƠNG 2: VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC VÀO

GIẢI MỘT SỐ DẠNG TỐN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG ... 28

2.1. Vận dụng phương pháp quy nạp toán học trong các bài toán số học ... 28

2.2. Vận dụng phương pháp quy nạp toán học trong các bài toán đại số ... 34

2.3. Vận dụng phương pháp quy nạp toán học trong các bài tốn giải tích ... 42

2.4. Vận dụng phương pháp quy nạp toán học trong các bài tốn hình học ... 52

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài

Tốn học là một mơn khoa học suy diễn. Các kết luận toán học đều được chứng minh một cách chặt chẽ. Nhưng trong q trình hình thành, trước khi có những kết luận mang tính tổng quát, toán học cũng đã phải tiến hành xét các trường hợp cụ thể, riêng biệt. Ta phải đối chiếu các quan sát, suy ra từ điều tương tự, phải thử đi thử lại,... để từ đó kết luận về một định lý toán học, trước khi chứng minh chúng. Và một trong những phương pháp quan trọng giúp chúng ta đi từ cái cụ thể đến cái tổng qt đó chính là phương pháp quy nạp tốn học.

Quy nạp là khái niệm cực kì quan trọng, nó được coi là một tuyệt chiêu trong toán học và được sử dụng rộng rãi trong số học, đại số, lí thuyết số. Vì vậy nắm rõ được bản chất về mặt kiến thức, về mặt phương pháp cũng như tư duy là điều bất cứ ai trong chúng ta đều mong muốn hướng tới. Thêm vào đó, quy nạp là một trong những phương pháp tiếp cận bài tốn rất độc đáo. Nó có một sức mạnh tuyệt vời khi giải quyết những bài toán chứng minh cả ở hình học. Phép quy nạp khơng chỉ có ứng dụng trong việc tính tốn các đại lượng hình học đơn thuần mà nó cịn được ứng dụng trong việc chứng minh định lí hình học, trong giải các bài toán dựng hình, quỹ tích, cả trong mặt phẳng, trong không gian; ở hình học sơ cấp và hình học cao cấp. Trong tốn học có nhiều bài toán nếu chúng ta giải bằng phương pháp thơng thường thì rất khó khăn và phức tạp, khi đó phương pháp quy nạp tốn học chính là công cụ đắc lực giúp chúng ta giải quyết được bài tốn đó. Do đó việc đưa phương pháp này vào dạy - học trong chương trình tốn THPT là tất yếu. Tuy nhiên đối với học sinh lớp 11 thì đây là nội dung mới được đề cập trong một phạm vi hạn chế, chưa mô tả được một cách hệ thống, chưa nêu rõ được ứng dụng của phương pháp này trong số học, đại số và đặc biệt là hình học chưa được sử dụng nhiều nên đối với học sinh cịn khá xa lạ.

Ngồi ra, việc nghiên cứu phương pháp quy nạp giúp ta có thể rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy cần thiết, phát triển năng lực, trí tuệ

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

cũng như giúp học sinh tiếp thu các kiến thức toán học một cách chủ động hơn. Thấy được vai trò và ứng dụng quan trọng của phương pháp quy nạp trong dạy học toán và nhằm giúp cho học sinh, giáo viên cũng như những ai quan tâm về phương pháp quy nạp, hiểu hơn về nguyên lí quy nạp cũng như những kĩ thuật áp dụng vào việc giải các bài toán khác nhau. Hơn nữa, là một sinh viên sư phạm toán với mong muốn nghiên cứu phương pháp này một cách sâu hơn và hệ thống, mong muốn tích lũy kiến thức toán học nhiều hơn, có chun mơn vững vàng cho việc giảng dạy sau này nên tôi đã chọn đề tài: “Vận dụng phương pháp quy nạp toán học vào giải một số dạng toán ở trường trung học phổ thơng” để làm đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình.

2. Mục đích nghiên cứu

- Tổng hợp, hệ thống hóa khái niệm về ngun lí quy nạp tốn học và các kỹ thuật dùng trong phương pháp quy nạp.

- Ứng dụng của phương pháp quy nạp vào giải một số dạng tốn ở phổ thơng. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1. Đối tượng nghiên cứu

- Phương pháp chứng minh quy nạp toán học. - Một số dạng Tốn trong chương trình THPT.

3.2. Phạm vi nghiên cứu

- Ứng dụng của phương pháp chứng minh quy nạp toán học trong giải một số dạng toán ở trường THPT.

4. Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc và nghiên cứu tài liệu, giáo trình, sách giáo khoa, những chuyên đề có liên quan đến phép quy nạp và phương pháp chứng minh quy nạp toán học.

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên cứu tham khảo tài liệu, giáo trình từ đó rút ra những kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu.

- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp hướng dẫn, các giảng viên trong khoa để hoàn hiện về mặt nội dung và hình thức của khóa luận.

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

5. Đóng góp của đề tài

- Hệ thống lý thuyết về phương pháp quy nạp, giúp người đọc có cái nhìn chính xác hơn về vấn đề này.

- Phân loại, vận dụng phương pháp quy nạp vào giải một số dạng toán cụ thể. - Đề tài có thể là tài liệu tham khảo cho giáo viên trong dạy học nguyên lí quy nạp ở phổ thông và là tài liệu tham khảo cho những bạn đọc quan tâm đến vấn đề này.

6. Cấu trúc của đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, thì khóa luận gồm có 2 chương:

Chương 1: Cơ sở lý thuyết.

Chương 2:Vận dụng phương pháp quy nạp toán học vào giải một số dạng toán ở trường trung học phổ thông.

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1. Quy nạp và quy nạp toán học

1.1.1. Khái niệm 1.1.1.1. Quy nạp

Hiện nay có rất nhiều khái niệm về quy nạp được đưa ra nhưng về bản chất nó đều phản ánh chung về dấu hiệu, sau đây là một số định nghĩa về quy nạp:

Theo từ điển tốn học thơng dụng thì “ Quy nạp” có nghĩa là phương pháp suy luận dựa trên quan sát và thí nghiệm, xuất phát từ những trường hợp riêng lẻ, rồi mở rộng các kết quả có tính chất quy luật ra cho trường hợp tổng quát ([8], trang 494).

Hay dựa vào tác phẩm bộ sách mới của Fransic Bacon mà tác giả Phan Hoàng Hoàng đã đưa ra khái niệm quy nạp như sau: “ Quy nạp có nghĩa là quy về, dẫn về,…được hiểu là phương pháp tư duy mà mục đích của nó là phân tích sự vận động của tri thức từ các phán đoán đơn nhất, riêng lẻ đến các phán đốn chung. Nó phản ánh bước chuyển tư tưởng từ những mệnh đề ít chung đến những mệnh đề có tính chung cao hơn. Có thể coi quy nạp là một dạng suy luận trong đó có sự thực hiện bước chuyển tri thức về những đối tượng riêng biệt của một lớp tri thức về toàn bộ lớp đó ([5], trang 13) .

Trích từ câu trả lời của “24 câu phương pháp nghiên cứu khoa học (cao học)” đã đưa ra khái niệm: “Quy nạp là phương pháp đi từ những hiện tượng riêng lẻ, rời rạc, độc lập ngẫu nhiên rồi liên kết các hiện tượng ấy với nhau để tìm ra bản chất của một đối tượng nào đó ([11], trang 3).

Dựa vào những quan niệm trên, ta có thể hiểu quy nạp là phương pháp suy luận dựa trên quan sát và thí nghiệm, xuất phát từ những trường hợp riêng lẻ rồi mở rộng các tính chất có quy luật cho trường hợp tổng quát. Phép quy nạp có khi đưa ra những khẳng định đúng, có khi đưa ra khẳng định sai.

1.1.1.2. Quy nạp tốn học

Theo sách giáo khoa mơn Tốn 11, phương pháp quy nạp toán học là: “Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên *

mà không thể thử trực tiếp được thì có thể làm như sau:

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

- Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n1.

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì nk1(gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với nk1([6], trang 80)”.

Trong khóa luận “ Rèn luyện và phát triển năng lực suy luận quy nạp cho học sinh trong dạy học toán ở trường THPT” đã đưa ra khái niệm: Quy nạp toán học là phương pháp suy luận chặt chẽ, thực chất nó là suy diễn, nhưng nó chứa yếu tố quy nạp, cụ thể là bước thử trực tiếp mệnh đề đúng với n 0(hoặc n p). Phương pháp quy nạp toán học là một phương pháp chứng minh quan trọng trong toán học, cơ sở của nó là ngun lý quy nạp tốn học ([12], trang 6).

1.1.2. Phân loại quy nạp toán học 1.1.2.1. Quy nạp hoàn toàn

Quy nạp hoàn toàn là một suy luận mà trong đó kết luận, khái quát chung

về một tập hợp dựa trên cơ sở nghiên cứu tất cả các trường hợp riêng, rồi nhận xét để nêu ra kết luận chung cho tất cả các trường hợp đó và chỉ cho các trường hợp ấy mà thôi ([1]).

Như vậy, sử dụng quy nạp hồn tồn để kết luận tính chất  đúng đối với tập A, người ta xét tất cả các trường hợp riêng của tập A. Nếu các trường hợp đó thỏa mãn tính chất  , ta nói rằng Acó tính chất . Trong đó A

 

 là một phỏng đốn quy nạp.

Ví dụ 1.1. Chứng minh rằng: “Mỗi số chẵn k đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của hai số nguyên tố khác nhau” với k 



8,100



Bài giải

Ta lần lượt kiểm tra từng giá trị của k 



8,100



thỏa yêu cầu bài toán hay không? Đặt

 

 : “Mỗi số chẵn k đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của hai số nguyên tố khác nhau”. Trong đó A 



8,100



Với k    8 5 3 8

 

 .

Với k 10  7 3 10

 

 .

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

Ta kiểm tra tương tự, lần lượt cho các giá trị k 12 tới giá trị k 100 ta thấy tất cả các số chẵn đó đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của hai số nguyên tố khác nhau.

Suy ra “ Mỗi số chẵn nằm trong



8,100



đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của hai số nguyên tố khác nhau, nên A

 

 đúng (quy nạp hoàn toàn).

Hơn nữa  aA,



q r,





của n phần tử như sau:

Sau đó giáo viên cho học sinh dự đốn



a b



n ?

Khi đó, sử dụng phương pháp quy nạp khơng hồn tồn học sinh có thể đề xuất

Nhận xét: Quy nạp khơng hồn tồn là suy luận mà trong đó kết luận khái

quát chung về tập hợp, được rút ra trên cơ sở nghiên cứu không đầy đủ các đối

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

tượng của tập hợp ấy. Thực chất là việc nghiên cứu chỉ tiến hành cho một số đối tượng của tập hợp, song kết luận rút ra chung cho cả tập hợp đó. Chúng ta dự đoán kết quả tổng quát sau khi mới chỉ xem xét một số trường hợp riêng mà thơi. Ví dụ 1.4. Để dự đoán tổng số giao điểm S n

 

của n đường thẳng đơi một cắt nhau (khơng có ba đường thẳng đồng quy), ta có thể sử dụng suy luận quy nạp khơng hồn tồn như sau:

- Số giao điểm của hai đường thẳng cắt nhau là 1 hay S

 

21.

- Số giao điểm của ba đường thẳng đôi một cắt nhau là 3 hay S

 

33.

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

Tổng hợp lại ta có bảng sau:

 

Từ bảng trên ta thấy với n 2,3, 4,5ta có một quy luật

 

 : “Tích hai số liên tiếp hàng trên bằng hai lần số thứ hai hàng dưới”. Cụ thể:

Nhận xét: Nhờ phép quy nạp khơng hồn tồn, người ta có thể dự đốn,

phát hiện một tính chất tốn học nào đó. Tuy nhiên trong toán học, đây lại là phương pháp chứng minh khơng chặt chẽ vì vậy cần phải thận trọng khi sử dụng phương pháp này. Đơi khi quy nạp khơng hồn tồn sẽ dẫn đến những kết luận

Cụ thể xét thêm n 4, n 5, ta thấy tất cả đều là số nguyên tố. Khi đó nếu sử dụng phương pháp quy nạp không hồn tồn ta có thể kết luận mệnh đề trên là đúng. Tuy nhiên với n 41 thì ta có 22

4141 41 41 khơng phải là số nguyên tố.

Vậy mệnh đề trên không đúng.

Ví dụ 1.6. D.A. Grave nhà tốn học Xơ Viết, ông giả định rằng: Với mọi số nguyên tố p thì 2p11 không chia hết cho p2. Bằng kết quả kiểm tra trực tiếp với mọi số nguyên tố p 1000 càng củng cố thêm giả định này của ông. Nhưng

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

chẳng bao lâu sau người ta chỉ ra rằng 21 chia hết cho 1093 (1093là số nguyên tố). Như vậy phỏng đốn của Grave là sai lầm.

Ví dụ 1.7. Nhà toán học Pháp P. Fermat cho rằng các số có dạng 2

Nhận xét: Nhờ phép quy nạp khơng hồn tồn mà ta có những dự đốn về

một tính chất tốn học nào đó và đó là một cơ sở để đi tới các phát minh. Vì vậy, trong tốn học, dù phương pháp quy nạp không hoàn toàn là phép chứng minh khơng chặt chẽ, tuy kết luận của nó có thể sai nhưng lại có ý nghĩa to lớn trong việc tìm tịi, dự đốn, tìm ra tri thức mới.

1.1.3. Nguyên lý quy nạp toán học 1.1.3.1. Tiên đề Peano

Cơ sở của nguyên lý quy nạp tốn học (cịn gọi là tiên đề quy nạp) nằm

trong hệ tiên đề PEANO về tập hợp số tự nhiên.

Các tiên đề của PEANO có thể được phát biểu như sau:

Cho M  và M thỏa các điều kiện:

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

1.1.3.2. Tiên đề thứ tự

Tiên đề thứ tự: Trong mỗi tập hợp khác rỗng của số tự nhiên có một phần

tử nhỏ nhất.

Chứng minh:

Cho A  . Vì  bị chặn dưới bởi 0 nên A cũng bị chặn dưới.

Giả sửA bị chặn dưới bởi n0 tức là  nA n:0n.

Nếu n0An0 là số bé nhất trong A.

Nếun0An0  1 A vì giữa n0 và n 0 1 khơng có số nào khác nên n 01 là số bé nhất trong A.

Vậy tiên đề thứ tự được chứng minh.

1.1.3.3. Ngun lí quy nạp tốn học

Định lý 1.1. Cho n0 là một số nguyên dương và P n

 

là một mệnh đề có nghĩa với mọi số tự nhiên nn0. Nếu mệnh đề P n

 

thỏa mãn hai điều kiện sau:

Dựa vào ngun lí quy nạp tốn học này, người ta đưa ra phương pháp quy nạp toán học để kiểm tra một tính chất, mệnh đề đúng thì ta thực hiện hai bước

như sau:

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

Bước cơ sở: Ta kiểm tra khẳng định một tính chất đúng với nn0.

Bước quy nạp: Ta chứng minh rằng nếu với mỗi kn0, P k

 

thỏa mãn tính chất đã biết thì suy ra P k 



1



cũng có tính chất ấy.

Kết luận P n

 

có tính chất đã cho  nn0.

Cách chứng minh theo phương pháp quy nạp là tránh cho ta phải đi kiểm tra vô hạn bước các khẳng định của mệnh đề. Vì mệnh đề của bài tốn có thể phụ thuộc vào nhiều đối số, nên người ta phải nói rõ chứng minh quy nạp theo n

đối với mệnh đề phụ thuộc vào n.

1.2. Một số kỹ thuật của phương pháp quy nạp

Bài giải

Bước cơ sở: Với n 1 ta có P

 

16 chia hết cho 6 nên bài toán đúng với n 1.

Bước quy nạp: Giả sử bài toán đúng vớink nghĩa là P k 

 



1



k 2 .k

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

1.2.3. Kỹ thuật quy nạp nhảy bước

Trong định lí 1.1 ở điều kiện 1 cho ta cơ sở mở rộng bắt đầu từ giá trị n0. Điều kiện 2 của định lí 1.1 cho ta mệnh đề khẳng định P n

 

đúng với

n  n  . Thực tế nhiều khi trong bước quy nạp phải đòi hỏi hai giá trị

nk và nk của mệnh đề, để suy ra mệnh đề đúng với nk1. Trong trường hợp này bước cơ sở phải kiểm tra không những chỉ với n0 mà cả với

n  . Tổng quát hơn ta có thể phát biểu định lý ở phần trước như sau:

Chứng minh rằng v n 2n1, với n là số nguyên không âm bất kỳ.

Do đó bài tốn đúng với nk1.

Vậy theo nguyên lý quy nạp ta có điều phải chứng minh.

Kỹ thuật quy nạp nhảy bước là kỹ thuật mà để khẳng định tính đúng của

mệnh đề P n

 

, người ta đi xem xét tính đúng của các mệnh đề P n

 

0,P n 



01 ,...



</div>Trang 23<div class="page_container" data-page="23">

đúng cho mọi số chẵn n.

</div>Trang 25<div class="page_container" data-page="25">

Như vậy từ sự đúng đắn của mệnh đề Q k 



1



suy ra P k 



1



cũng đúng. Vậy đẳng thức được chứng minh.

1.2.5. Một số sai lầm thường gặp khi sử dụng phương pháp quy nạp

Phương pháp quy nạp là một phương pháp tư duy dùng để tìm tịi, dự đốn, từ những khẳng định riêng tiến tới khẳng định chung. Phương pháp quy nạp có khi đưa ra những khẳng định đúng, có khi đưa ra khẳng định sai. Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp tránh cho ta phải đi kiểm tra vô hạn các bước khẳng định của mệnh đề. Đơi khi bài tốn phụ thuộc vào nhiều biến số, nên khi chứng minh ta cần nói rõ chứng minh quy nạp theo biến nào.

Trong chứng minh bằng quy nạp, cả hai bước đều cần thiết. Nếu thiếu một trong hai bước, thì sẽ dẫn đến sai lầm. Một số ví dụ sau đây sẽ cho ta thấy rõ điều này.

Ví dụ 1.16. Chứng minh rằng mọi số tự nhiên đều bằng số tự nhiên liền sau nó. Bài giải

Ta chứng minh theo phương pháp quy nạp toán học.

Bước quy nạp: Giả sử mệnh đề đúng với nk với k là số tự nhiên nào đó,

Như vậy khẳng định với nk thì nó cũng đúng với nk1, do đó bài toán đúng với mọi số tự nhiên n.

</div>Trang 26<div class="page_container" data-page="26">

Hệ quả của bài toán này là tất cả các số tự nhiên đều bằng nhau. Điều này vơ lí, vậy cách chứng minh sai ở đâu? Lời giải của ví dụ đã áp dụng nguyên lí quy nạp toán học nhưng bỏ qua bước cơ sở quy nạp. Nghĩa là đã không kiểm tra bài tốn có đúng trong trường hợp n 1 hay khơng.

Ta thấy rằng với n 1 thì khẳng định sai vì 12.

Bước kiểm tra ban đầu có một ý nghĩa đặc biệt là tạo ra cơ sở để thực hiện quy nạp. Bước thứ hai đưa ra nguyên tắc cho việc mở rộng tự động vô hạn trên cơ sở điều kiện ban đầu, đây là nguyên tắc đi từ trường hợp riêng này sang trường hợp riêng khác: từ k đến k 1.

Ví dụ trên chứng tỏ rằng: Khi chưa kiểm tra điều kiện ban đầu khơng có cơ sở để thực hiện quy nạp, vì vậy khơng có nghĩa gì khi thực hiện kiểm tra phần quy nạp.

Ngược lại, khi áp dụng phương pháp quy nạp mà chỉ chứng minh được một số điều kiện ban đầu, mà bỏ qua bước quy nạp thì mới chỉ đưa ra được cơ sở chứ chưa có nguyên tắc nào để mở rộng cơ sở đó. Ta sẽ xét ví dụ 1.5, ví dụ 1.6, ví dụ 1.7, ( mục [1.1.2.2], trang 11) đã trình bày trong khóa luận này.

Do bỏ qua bước quy nạp nên D.A. Grave nhà tốn học Xơ Viết hay là nhà Toán học Pháp P. Fermat đã đưa ra khẳng định sai, hay ở ví dụ 1.5 khi chưa thực hiện bước quy nạp mà cho rằng khẳng định đó đúng thì hồn tồn dẫn đến kết luận sai lầm.

Chúng ta nhiều khi tưởng rằng quy nạp thực chất cũng chỉ là đi theo một mơ hình quen thuộc cho nên bỏ qua một vài bước trong đó. Ta nên cẩn thận và hiểu rằng đó là làm trái với tiên đề và như vậy tất nhiên sẽ khơng có cơ sở gì nói lên rằng chứng minh của ta là đúng. Như vậy việc kiểm tra cả hai bước cần được tôn trọng và thực hiện đầy đủ khi áp dụng phương pháp quy nạp toán học.

1.3. Kết luận chương 1

Trong chương này khóa luận đã tổng hợp, hệ thống các khái niệm như quy nạp, quy nạp tốn học, quy nạp hồn tồn, quy nạp khơng hồn tồn, từ đó làm rõ được tính chất của chúng. Khóa luận đã trình bày được nguyên lý quy nạp tốn học cũng như chứng minh ngun lí đó nhưng trước khi đưa ra nguyên lý

</div>Trang 27<div class="page_container" data-page="27">

này thì cơ sở của nó chính là dựa vào hệ tiên đề Peano và tiên đề thứ tự, thì khóa luận cũng đã trình bày được và chứng minh. Qua đó khóa luận đã đúc kết và khắc sâu hai bước cần phải thực hiện khi giải toán bằng phương pháp quy nạp là: Bước cơ sở và bước quy nạp, cũng như tầm quan trọng phải thực hiện đầy đủ hai bước này, thông qua các ví dụ và phản ví dụ. Khi sử dụng phương pháp quy nạp chúng ta thường gặp khó khăn ở bước quy nạp, biết được vấn đề này nên khóa

luận đã nêu ra được một số kỹ thuật của phương pháp quy nạp để vận dụng vào

giải tốn nhằm giải quyết các khó khăn đó cùng các ví dụ minh họa.

</div>Trang 28<div class="page_container" data-page="28">

CHƯƠNG 2: VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC VÀO GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Như chúng ta đã biết phương pháp quy nạp toán học được sử dụng để giải những bài toán khác nhau thuộc nhiều lĩnh vực của tốn học, trong chương này khóa luận sẽ trình bày một số dạng toán thường gặp trong chương trình phổ thơng giải bằng phương pháp quy nạp.

2.1. Vận dụng phương pháp quy nạp toán học trong các bài toán số học Trong số học các phép chia hết cho ta rất nhiều tính chất về số nguyên. Đối với những bài toán về phép chia hết, chúng ta có nhiều cách giải cho một bài tốn, thậm chí các cách giải đó có thể ngắn gọn hơn rất nhiều. Tuy nhiên sử dụng phương pháp quy nạp lại là công cụ để ta tiếp cận bài toán một cách dễ

</div>Trang 29<div class="page_container" data-page="29">

Bài toán 2.1.2. Chứng minh rằng P n

 

1615n1 chia hết cho 225, n  .

Theo ngun lí quy nạp ta có P n

 

225, n .

Bài toán 2.1.3. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, Sn 



n1



n2 ...

 

n n



chia hết cho 2n.

Bài giải

Bước cơ sở: Với n 1 thì ta có S   1 1 12 chia hết cho 221. Vậy bài toán đúng với n 1.

Bước quy nạp: Giả sử bài toán đúng với nk(k là số tự nhiên bất kì), nghĩa là

</div>Trang 30<div class="page_container" data-page="30">

Bài tốn 2.1.4. Chứng minh rằng nếu a b n, , là các số nguyên không âm và b

Bước quy nạp: Giả sử bài toán đúng với nk(k là số ngun khơng âm nào đó), tức là nếu b chia hết cho ak thì



a 1



b1 chia hết cho k 1

Biểu thức trong dấu ngoặc vuông thứ nhất chia hết cho k 1

a  (theo giả thiết quy

tổng này đều chia hết cho a.

Như vậy bài toán đúng với nk1.

Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh.

Bài tốn 2.1.5. Chứng minh rằng  n ,n1 thì những số có dạng Aa4n1 a

</div>Trang 31<div class="page_container" data-page="31">

Thừa số thứ nhất chia hết cho 5! 1204.30( kết quả tích của 5 số tự nhiên liên tiếp), còn thừa số thứ hai chia hết cho 5.3! 30 (kết quả tích của 3 số tự nhiên

aA chia hết cho 30và Akchia hết cho 30 theo giả thiết quy nạp, nên bài toán đúng với nk1.

VậyA chia hết cho 30  a .