lý thuyết chia và đồng dư

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

Khoa Công nghệ thông tin và truyền thơng Bộ mơn Khoa học máy tính

LÝ THUYẾT CHIA VÀ ĐỒNG DƯ

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

PHÉP CHIA HẾT VÀ CÓ DƯ

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

Phép chia hết

Định nghĩa:

Xét a,b Z vàb 0

b chia hết a (b là ước của a)hay

a chia hết cho b (a là bội của b)khi và chỉ khitồn tạiq Zsao cho:a = bq

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

5.( a 0, b0, a|b và b|a) khi và chỉ khi a = b

6.Nếu b|a thì b|ax

7.Nếu c|a và c|b thì c|(a+b) và c|(a-b) 8.Nếu (a|b và b|c) thì a|c (tính bắc cầu)

9.Nếu c|a và c|b thì c|(ax+by)

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

UCLN VÀ BCNN

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

Ước chung lớn nhất (UCLN)

a₁,a ,…,a₂_nlà các số nguyên không đồng thời bằng 0 Số nguyênd Zđược gọi làước chungcủa các a_i (i=1,2,...,n) khi và chỉ khid là ước của mỗi a_i(d|a )_i

Ước chung dcủa các a_i(i=1,2,...,n) được gọi làUCLN

của các a nếu và chỉ nếu_id là bội của mọi ước chung

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

Ước chung lớn nhất (UCLN)

</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">

Ước chung lớn nhất (UCLN)

Số nguyên tố cùng nhau:UCLN của các a_i(i=1,2,...,n) bằng 1thì cáca_iđược gọi lànguyên tố cùng nhau

Số nguyên tố sánh đôi:Hai số bất kỳ trong các số a₁,a ,…,a₂_nlà nguyên tố cùng nhau,thìcác số a₁,a ,…,a₂_nđược gọi làngun tố sánh đơi

Nếu a₁,a ,…,a₂_nlà ngun tố sánh đơi thì a₁,a ,…,a là₂_n

</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">

Các tính chất của UCLN

1.Nếu (a₁,a ,…,a₂_n) = d thì tồn tại các số nguyên x₁,x₂,…,x_nsao cho: a_{1 1}x+ a₂x₂+....+ a_{n n}x= d

2.Nếu m là số nguyên dương thì (ma ,ma ,...,ma₁₂_n) = m(a_{1 2},a ,...,a )_n

3.Nếu d > 0 là UC của a₁,a ,...,a thì₂_n

</div><span class="text_page_counter">Trang 24</span><div class="page_container" data-page="24">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 25</span><div class="page_container" data-page="25">

Các tính chất của UCLN

4.Nếu d>0 là UC của a₁,a ,…,a₂_nthì d là UCLN của a₁,a ,…,a₂_nkhi và chỉ khi

5.Nếu b>0 là ước của a thì (a,b) = b, đặc biệt (0,b) = b

6.Nếu c|ab và (a,c)=1 thì c | b

7.Nếu b|a và c|a và (b,c) = 1 thì bc | a

8.Nếu (a,b)=1 thì (ac,b) = (c,b)

</div><span class="text_page_counter">Trang 26</span><div class="page_container" data-page="26">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 27</span><div class="page_container" data-page="27">

Ước chung lớn nhất (UCLN)

Định lý:

Nếua và b là hai số nguyên dương

Vàa = bq + rvới 0r < b thì:(a,b) = (b,r)

Thuật tốn Euclid tìm UCLN:

Thực hiện phép chia có dư a cho b, Nếua chia hết cho bthì(a,b) = b

Nếua khơng chia hết cho b a = bq + r, thì(a,b) = (b,r)

Thực hiện phép chia có dư b cho r ...

Quá trình thực hiện sẽ dừng sau một số hữu hạn bước

Ví dụ:

</div><span class="text_page_counter">Trang 28</span><div class="page_container" data-page="28">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 29</span><div class="page_container" data-page="29">

Bội chung nhỏ nhất (BCNN)

a₁, a₂, …,a_nlà các số nguyên khác 0

Số nguyênMđược gọi làbội chungcủa cáca_i

(i=1,2,...,n) khi và chỉkhi M là bội của mỗi a_i

Bội chung M của các a_i(i=1,2,...,n) được gọi làbội chung nhỏ nhất(BCNN) của cáca_inếu và chỉ nếuM là ước của mọi bội chung của các a_i

Ký hiệu:M = [ a₁,a ,…,a ]₂_n

Quy ước:BCNN là một số nguyên dương

Ví dụ:

[2,3,4] = 12

</div><span class="text_page_counter">Trang 30</span><div class="page_container" data-page="30">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 31</span><div class="page_container" data-page="31">

Luôn luôn tồn tại BCNN của các số nguyên kháckhông a₁, a₂,...,a_ncho trước

</div><span class="text_page_counter">Trang 32</span><div class="page_container" data-page="32">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 34</span><div class="page_container" data-page="34">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 36</span><div class="page_container" data-page="36">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 37</span><div class="page_container" data-page="37">

Các tính chất của BCNN

a₁, a₂,...,a_nlà các số nguyên khác 0

1.Nếu số nguyênM>0 là bội chung của a₁, a₂,...,a_nthì:

M = [a₁, a₂,...,a_n]khi và chỉ khi

</div><span class="text_page_counter">Trang 38</span><div class="page_container" data-page="38">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 39</span><div class="page_container" data-page="39">

SỐ NGUYÊN TỐ VÀ HỢP SỐ

</div><span class="text_page_counter">Trang 40</span><div class="page_container" data-page="40">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 41</span><div class="page_container" data-page="41">

Số nguyên tố (SNT)

Số nguyên p>1được gọi làsố ngun tốnếup khơng có ước số dương nào khác ngồi 1 và chính nó.

Haysố ngun p>1được gọi làsố ngun tốnếup chỉ có hai ước số dương là 1 và p

2,3,5,7,... là các số nguyên tố

</div><span class="text_page_counter">Trang 42</span><div class="page_container" data-page="42">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 44</span><div class="page_container" data-page="44">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 46</span><div class="page_container" data-page="46">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 48</span><div class="page_container" data-page="48">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 49</span><div class="page_container" data-page="49">

Bảng số nguyên tố

trên một đoạn

không vượt quá

lập bảng các số nguyên tố không vượt quá một số n>1 cho trước,

</div><span class="text_page_counter">Trang 50</span><div class="page_container" data-page="50">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 52</span><div class="page_container" data-page="52">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 54</span><div class="page_container" data-page="54">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 55</span><div class="page_container" data-page="55">

Định lý cơ bản của số học

Bổ đề:

Nếup là số nguyên tố, a là số nguyên0thì Hoặcp là ước của a: p|a

Hoặcp và a là nguyên tố cùng nhau: (a,p) = 1 Nếumột tích các số ngun chia hết cho số ngun

tố pthìphải có ít nhất một thừa số của tích đó chia hết cho p

Hệ quả:Nếutích các số nguyên tố chia hết cho sốnguyên tố pthìp phải trùng với một trong các thừa sốcủa tích đó

</div><span class="text_page_counter">Trang 56</span><div class="page_container" data-page="56">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 57</span><div class="page_container" data-page="57">

Định lý cơ bản của số học

Mỗisố nguyên a>1đều có thểphân tích thành tích của các thừa số nguyên tốvà sự phân tích đó làduy nhấtnếu khơng kể đến thứ tự các thừa số

8 = 2.2.2 18 = 2.3.3

Dạng phân tích tiêu chuẩn

Những thừa số nguyên tố khi phân tích số nguyên a>1 có thể trùng nhau

Gọi p

₁

, p

₂

,...,p

_n

là các thừa số nguyên tố khác nhau từng đôimột vài (i=1,2,...,n) là số lần xuất hiện của chúng thìdạngphân tích tiêu chuẩn của a:

</div><span class="text_page_counter">Trang 58</span><div class="page_container" data-page="58">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 60</span><div class="page_container" data-page="60">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 61</span><div class="page_container" data-page="61">

Một số vấn đề về SNT

Giả thiết Goldbach-Euler

1)-Có phải chăng mọi số nguyên lẻ lớn hơn 5 đều được biểu diễn thành tổng của 3 số nguyên tố?

25 = 3+11+11 = 7+7+11

2)-Có phải chăng mọi số chẵn lớn hơn 2 đều được biểu diễn thành tổng của 2 số nguyên tố?

34 = 5+29 = 3+31

</div><span class="text_page_counter">Trang 62</span><div class="page_container" data-page="62">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 63</span><div class="page_container" data-page="63">

PHƯƠNG TRÌNH NGUYÊN

</div><span class="text_page_counter">Trang 64</span><div class="page_container" data-page="64">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 66</span><div class="page_container" data-page="66">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 68</span><div class="page_container" data-page="68">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 69</span><div class="page_container" data-page="69">

PT nguyên bậc nhất 2 ẩn

Định lý:Tìm nghiệmcủa phương trìnhax + by = c(1) d = (a,b).

Khi đó:

Nếud khơng là ước của cthì(1) khơng có nghiệm ngun

Nếud là ước của cthì(1) có vơ số nghiệm ngun. Khi

(x₀,y )₀là mộtnghiệm ngunnào đó của (1) thìmọinghiệm ngun (x, y) của (1)có dạng:

</div><span class="text_page_counter">Trang 70</span><div class="page_container" data-page="70">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 72</span><div class="page_container" data-page="72">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 74</span><div class="page_container" data-page="74">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 76</span><div class="page_container" data-page="76">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 78</span><div class="page_container" data-page="78">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 79</span><div class="page_container" data-page="79">

PT nguyên bậc nhất 2 ẩn

Giải trực tiếp phương trình ngunax +by = c(1)Ví dụ:Giải phương trình: 47x - 17y = 5

</div><span class="text_page_counter">Trang 80</span><div class="page_container" data-page="80">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 81</span><div class="page_container" data-page="81">

Một phương trình nguyên bậc nhất n ẩn có nghiệm nguyênkhi và chỉ khihệ số của các ẩn là nguyên tố cùng nhau

Giải phương trình nguyên bậc nhất n ẩn rất phức tạp. Xét ví dụ cụ thể

</div><span class="text_page_counter">Trang 82</span><div class="page_container" data-page="82">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 84</span><div class="page_container" data-page="84">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 86</span><div class="page_container" data-page="86">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 88</span><div class="page_container" data-page="88">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 90</span><div class="page_container" data-page="90">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 92</span><div class="page_container" data-page="92">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 94</span><div class="page_container" data-page="94">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 96</span><div class="page_container" data-page="96">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 98</span><div class="page_container" data-page="98">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 100</span><div class="page_container" data-page="100">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 102</span><div class="page_container" data-page="102">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 104</span><div class="page_container" data-page="104">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 106</span><div class="page_container" data-page="106">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 108</span><div class="page_container" data-page="108">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 110</span><div class="page_container" data-page="110">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 112</span><div class="page_container" data-page="112">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 114</span><div class="page_container" data-page="114">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 116</span><div class="page_container" data-page="116">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 118</span><div class="page_container" data-page="118">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 120</span><div class="page_container" data-page="120">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 122</span><div class="page_container" data-page="122">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 124</span><div class="page_container" data-page="124">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 126</span><div class="page_container" data-page="126">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 128</span><div class="page_container" data-page="128">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 130</span><div class="page_container" data-page="130">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 132</span><div class="page_container" data-page="132">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 134</span><div class="page_container" data-page="134">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 136</span><div class="page_container" data-page="136">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 138</span><div class="page_container" data-page="138">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 140</span><div class="page_container" data-page="140">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 142</span><div class="page_container" data-page="142">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 144</span><div class="page_container" data-page="144">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 146</span><div class="page_container" data-page="146">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 148</span><div class="page_container" data-page="148">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 150</span><div class="page_container" data-page="150">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 152</span><div class="page_container" data-page="152">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 154</span><div class="page_container" data-page="154">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 156</span><div class="page_container" data-page="156">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 158</span><div class="page_container" data-page="158">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 160</span><div class="page_container" data-page="160">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 162</span><div class="page_container" data-page="162">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 164</span><div class="page_container" data-page="164">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 166</span><div class="page_container" data-page="166">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 168</span><div class="page_container" data-page="168">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div><span class="text_page_counter">Trang 170</span><div class="page_container" data-page="170">

5/4/24, 8:45 AM Sohocdongdu - This is about modulo

</div>