Lý thuyết chia hết và chia có dư.doc

1 Hà Văn Tùng
CÁC BÀI TẬP
I. QUAN HỆ CHIA HẾT:
1. BÀI 1:
Chứng minh rằng trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 2.
Giải
Gọi hai số tự nhiên liên tiếp là : a, a +1
Lấy a chia cho 2 ta được: a = 2.q + r với 0 ≤ r < 2.
+ Với r = 0 thì a = 2.q 2
+ Với r = 1 thì a + 1 = 2.q + 1 + 1 = 2.q + 2 = 2( q + 1)  2
Vậy trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 2.
2. BÀI 2:
Chứng minh rằng trong ba số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3.
Giải
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là : a, a +1 , a +2
Lấy a chia cho 3 ta được: a = 2.q + r với 0 ≤ r < 3.
+ Với r = 0 thì a = 3.q  3
+ Với r = 1 thì a = 3.q + 1 . Khi đó : a + 2 = 3.q + 3 3
+ Với r = 2 thì a = 3.q + 2 . Khi đó a + 1 = 3.q + 3 3
Vậy trong ba số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3.
3. BÀI 3:
Chứng minh rằng trong n số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho n.
Giải
Gọi n số tự nhiên liên tiếp là : a, a +1 , a +2 …a( n-1)
Lấy a chia cho n ta được: a = n.q + r với 0 ≤ r < n.
+ Với r = 0 thì a = n.q  n
+ Với r = 1 thì a = n.q + 1  n . Khi đó : a+ (n-1) = n.q + 1 + (n-1) = n.q + n  n
+ Với r = 2 thì a = n.q + 2  n. Khi đó a + (n-2) = n.q + 2 + (n+-2) = n.q + n  n
+ Với r = n-1 thì a = n.q + n - 1 n . Khi đó a + 1 = n.q + n-1 +1= n.q + n  n
Vậy trong n số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho n.
*Một số phương pháp chứng minh chia hết

4. BÀI 4
Tính chất 8:
CMR tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6
Giải
Giả sử ta gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a, a+1, a + 2
Theo đề bài : A = a( a +1) ( a + 2)  6
Ta có : 6 = 3x2 mà ( 3, 2) =1
- A  2 vì trong A số tự nhiên liên tiếp có một số tự nhiên chia hết cho 2
- A  3 vì trong A số tự nhiên liên tiếp có một số tự nhiên chia hết cho 3
Vậy A  6
5. BÀI 5
CMR tích của ba số chẵn liên tiếp chia hết cho 8
Giải
Giả sử hai số tự nhiên chẵn liên tiếp là: 2k , 2k + 2.
2 Hà Văn Tùng
Theo đề bài chứng minh, B = 2k.( 2k + 2)  8 hay B = 4k ( k + 1)
Ta có 4  4 và k+1  2 vì trong B có một số chia hết cho 2
Vậy B  8
6. BÀI 6
VD : CMR: 11 a + a  6 ∀ a ∈ N
Giải
Ta có: 11 a + a = 12 a - a + a
= 12 a - ( a - a)
= 12 a - a( a - 1)
= 12 a - a ( a- 1) ( a+ 1)
12 a  6
A = a ( a -1 ) ( a + 1)
Nếu a = 0 → A = a( a-1)(a+1) = 0  6
Nếu a > 0 → A = a (a-1)( a+1)  6 vì trong A có một số tự nhiên chia hết
cho 6

Vậy : 11 a + a  6
Bài 7
Dùng quy nạp CMR tổng các lũy thừa bậc ba của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết
cho 9.
Giải
Tổng các lũy thừa bậc 3 của 3 số tự nhiên liên tiếp có dạng: (n-1) + n + (n+1)  9
Ta có : (n-1) + n + (n+1) = n - 3n +3n-1+ n + n +3n +3n +1
= 3n + 6n  9
Giả sử: n = 1, ta có: 3.1 +6.1 = 9  9
Giả sử n = k , ta có: 3k +6.k  9
Ta chứng minh: n = k+1 , ta có: 3(k+1)+6(k+1) = 3(k +3k +3k+1)+6k+6
= 3k +9k +9k+3+6k+6
= 3k +6k + 9k +9k+9
Mà 3k +6k  9 và 9k +9k+9  9
Vậy: 3n + 6n  9
Theo nguyên lý quy nạp thì (n-1) + n + (n+1)  9
Bài 8: : CMR ∀ a ∈ N ta có :
a( a+1) ( 2a + 1)  6

Giải
a(a+1)( 2a+ 1)  6
Ta có: a(a+1)( 2a+ 1) = a(a+1)( a -1 + a+ 2) = a(a+1)(a-1) + a(a+1)( a+2)
Nếu a = 0 thì a(a+1)(2a+1) = 0  6
Nếu a > 0 thì a( a+1) (a-1)  6 vì tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6
a( a+1)( a+2)  6 vì tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6
Do đó : a(a+1( 2a+1)  6 ∀ a ∈ N
Bài 9 CMR ∀ a ∈ N ta có :
a - a  30
Giải
3 Hà Văn Tùng

Ta có: a ≡ a (mod 5)
a -a ≡ a - a (mod 5)
a - a ≡ 0 (mod 5)
Vậy a - a  30
Cách 2:
a - a = a( a -1) = a[(a) - 1 ]
= a(a -1)(a +1)
= a(a-1)(a+1)(a -4+5)
= a(a-1)(a+1)[(a -2)(a+2)+5]
= a(a- 1)(a+1)(a-2)(a+2)+5a(a-1)(a+1)
Nếu a=0 thì a - a = 0  30
Nếu a>0 thì a(a- 1)(a+1)(a-2)(a+2)  30 vì tích năm số tự nhiên liên tiếp chia hết cho
30, ( 5,6)=1
Và : 5a(a-1)(a+1)  30 vì tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6
Vậy a - a  30
Bài 10 CMR ∀ a ∈ N ta có :
2a ( a - 16)  30
Giải
Ta có: 2a ( a - 16) = 2a( a+4)(a -4)
= 2a( 5+ a -1)( a-2)(a+2)
= 2a[5+(a-1)(a+1)](a-2)(a+2)
= 10a (a-2)(a+2) + 2a(a-2)(a+2)(a-1)(a+1)
Nếu a=0 thì 2a( 5+ a -1)( a-2)(a+2)  30
Nếu a>0 thì 10a (a-2)(a+2)  30 vì tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 30
2a(a-2)(a+2)(a-1)(a+1)  30 vì tích năm số tự nhiên liên tiếp chia hết
cho 6.
Vậy : 2a ( a - 16)  30
Bài 11: Chứng minh rằng:
a(a+2)  8 , với a là số chẵn , a ∈ N
Giải

Vì a chẵn nên a = 2k ; k ∈ N
Ta có: a(a+2) = 2k(2k+2) = 4k(k+1)
+ Nếu k chẵn ⇒ 4k  8
+ Nếu k lẻ ⇒ k+1 là số chẵn
+ Nếu k lẻ ⇒ 4k(k+1) 8
Vậy a(a+2)  8 , với a là số chẵn , a ∈ N
Bài 12 CMR: n +11n  3 ∀n
Giải
Ta có: n (n -1 +12) = n(n -1) + 12n
= n(n -1)(n+1) +12n  3
Vì n(n-1)(n+1) là tích ba số tụe nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3.
4 Hà Văn Tùng
Vậy: n +11n  3 ∀n.
Bài 13: CMR : với bất kỳ n ta có : n - n  3
Giải
Ta có : n(n -1) = n(n-1)(n+1)  3 ( vì tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết
cho 3)
Vậy: n - n  3 ∀ n.
Bài 14 CMR : [(a +a)(2a+1)]  6 ∀ a ∈ N
Giải
Ta có: (a +a)(2a+1) = a(a+1)[(a-1)+(a+2)]
= [a(a+1)(a-1)+a(a+1)(a+2) ]  6
Vì a(a+1)(a-1) và a(a+1)(a+2) là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết
cho 6.
Vậy: [(a +a)(2a+1)]  6 ∀ a ∈ N.
Bài 15 CMR: [a(a -2)+13a] 6 ∀ a ∈ N.
Giải
Ta có: a(a -2)+13a = a(a - 1- 1)+13a
= a(a -1) - a+13a
= a(a -)(a+1) +12a

Vì a(a -)(a+1) +12a là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6.
Vậy: [a(a -2)+13a] 6 ∀ a ∈ N.
Bài 16 CMR : [m(m +5)  6 ∀ m∈ N
Giải
Ta có: m(m +5) = m( m - 1+6)
= m(m-1)(m+1) +6m
Vì m(m-1)(m+1) +6m là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6.
Vậy: [m(m +5)  6 ∀ m∈ N
Bài 17 CMR: ( a +b )  6 ⇔ (a+b)  6 với a,b ∈ N và a,b ≥ 1.
Giải
Xét (a +b )-(a+b) = a +b - a-b
= a - a + b - b = a( a - 1) + b (b -1)
= a(a-1)(a+1) + b(b-1)(b+1)
Vì a(a+1)(a-1) và b(b+1)(b-1) là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6.
Vậy: ( a +b )  6 ⇔ (a+b)  6 với a,b ∈ N và a,b ≥ 1.
*DÙNG QUY TẮC KÉO THEO:
VD : CMR trong ba số tự nhiên bất kỳ có hiệu hai số chia hết cho 2
Giải
Giả sử có ba số tự nhiên bất kỳ là: a,b,c
Lấy a,b,c chia cho 2 ta được : a = 2.q + r với 0 ≤ r < 2
b = 2.q + r với 0 ≤ r < 2
c = 2.q + r với 0 ≤ r < 2
5 Hà Văn Tùng
Ta nhận thấy : r , r , r đều nhận hai giá trị là 0 và1. Theo nguyên tắc ngăn kéo thì
số có 2 số nhận cùng một giá trị . Giả sử r = r = 1 . Khi đó : a - b = 2.q - 2.q  2 (đpcm)
.
VD : CMR trong bốn số tự nhiên bất kỳ có hiệu hai số chia hết cho 3 (Tự giải)
VD : CMR trong n+1 số tự nhiên bất kỳ có hiệu hai số cia hết cho n.
Giải
Giả sử n+1 số tự nhiên bất kỳ là: a , a , a …..a .

Lấy a , a , a …..a chia cho n ta được: a = n.q + r với 0≤ r < n
a = n.q + r với 0≤ r < n
.
.
a = n. q + r với 0 ≤ r <n
Ta nhận thấy r , r ….r nhận n giá trị {0,1…n+1} theo nguyên tắc kéo theo thì số có
hai số nhận cùng giá trị. Giả sử r = r = n-3. Khi đó :
a - a = n.q - n.q  n (đpcm)
* DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC :
a - b  a-b ; a + b  a+b với n lẻ
------------------------------------------------
II. ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT
1. BÀI 1( Tính chất 5)
Dùng thuật toán Ơclit tìm ( 895, 195)
Giải
Ta có:
895 = 195. 4 + 115
195 = 115. 1 + 80
115 = 80. 1 + 35
80 = 35. 2 + 10
35 = 10. 3 + 5
10 = 5.2 + 0
Vậy ( 895, 195) = 5
2. BÀI 2
Tìm tất cả các cặp số tự nhiên a, b thõa mãn điều kiện sau:
a + b = 432 và ( a, b) = 36
giải
-Vì vai trò của a và b như nhau nên ta giả sử a ≥ b.
- Vì ( a, b) = 36 . Theo tính chất 5. Ta có:
= 1

Đặt a = và b = . Khi đó (a ,b) = 1 (1)
a ≥ b (2)
a + b = + = (a+b) = =12 (3)
Từ (1), (2) và (3) ta chọn:
⇒
6 Hà Văn Tùng
và
⇒
252
180
a
b
=


=



Vậy có các cặp ( 346,36) và (252,180) thõa mãn điều kiện đề bài
BÀI 3
Tìm tất cả các cặp số tự nhiên a, b thõa mãn điều kiện sau:
a x b = 2700 và (a, b) = 6
giải
-Vì vai trò của a và b như nhau nên ta giả sử a ≥ b.
- Vì ( a, b) = 6 . Theo tính chất 5. Ta có:
= 1
Đặt a = và b = . Khi đó ( a ,b ) = 1 (1)
a ≥ b (2)
a x b = x = a x b = = 75 ( 3)

Từ (1), (2) và (3) ta chọn:
⇒
và
⇒

Vậy có các cặp ( 450, 6) và (90, 30) thõa mãn điều kiện đề bài.
CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN VỀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT
Áp dụng tính chất 5:
Bài 1 : Tìm các cặp số tự nhiên a, b thõa mãn điều kiện sau:
a x b = 360 , [a,b] = 60
Giải
Vì vai trò của a ,b như nhau , ta giả sử a ≥ b
Vì [a,b]= 60 . Theo tính chất 5 ⇒ = 1
Đặt a = , b = . Khi đó :
( a, ) = 1 (1)
a ≤ b (2)
a x b = x = = 10 ( 3)
Từ (1) , (2). Ta chọn:
⇒
và
⇒
Vậy có các cặp (60; 10) và (30 ; 12)