Báo cáo khoa học: Ứng dụng kỹ thuật tạo lưới trong bài toán mô phỏng dòng phun rối xoáy hai pha không đẳng nhiệt potx

Báo cáo khoa học:
Ứng dụng kỹ thuật tạo lưới trong bài toán mô phỏng
dòng phun rối xoáy hai pha không đẳng nhiệt
Tạp chí KHKT Nông nghiệp 2006 Tập IV, số 6:111-115

Đại học Nông nghiệp I


ứng dụng kỹ thuật tạo lới trong bài toán mô phỏng dòng phun rối
xoáy hai pha không đẳng nhiệt
An application of grid generation technology to simulate Two-phase Non-isothermal
swirling turbulent Flow
Nguyễn Thanh Nam
1
, Nguyễn Thanh Hào
2
, Hoàng Đức Liên
3

SUMMARY
The numerical solution of partial differential equations requires some discretization of the
field into a collection of points. The differential equations are approximated by a set of algebraic
equations on this collection. This system of algebraic equations is then solved to produce a set
of discrete values which approximate the solution of the partial differential system over the field.
The discretization of the field requires some organization for the solution thereon to be efficient,
it must be possible to readily identify the points neighboring the computation site. Furthermore,

the discretization must conform to the boundaries of the region in such a way that boundary
conditions can be accurately represented. The boundaries of the flame are not straight lines,
how to determine grid points inside physical region which be used to solves equations of two-
phase non-isothermal swirling turbulent flow in industrial combustion chamber is presented in
this paper. Generalizing from the above consideration, the computational region may be treated
as follows:

(x,y) and

(x,y) on the boundaries of the flame in manner: Set,

= constant,

=
monotonically varying along the boundary of the physical region, and set,

= constant,

=
monotonically varying along the boundary of the physical region. The grid points inside
computational region will be deformed into rectangle to form the transformed region. After that,
the inside points of physical region will be determined as follows: x(

,

) and y(

,

) Here we

consider the situations in which Cartesian coordinates are used both in the physical and
computational regions.
Key words: grid generation technology, two-phase, non-isothermal swirling turbulent flow

1. ĐặT VấN Đề
Sử dụng phơng pháp sai phân hữu hạn có
thể dễ dàng giải các bài toán có miền khảo sát
dạng hình chữ nhật. Tuy nhiên, khi giải bài
toán mô phỏng dòng phun rối xoáy hai pha
không đẳng nhiệt bằng phơng pháp này lại
gặp rất nhiều khó khăn vì biên dạng của dòng
phun là đờng cong đối xứng qua trục toạ độ
(Hình 3.1a). Xét phơng trình vi phân tổng
quát của dòng phun rối xoáy hai pha không
đẳng nhiệt có dạng:
(
)
(
)
0.
.

.
=+

dr
r
c
rb
rz
c
rb

zzrrz
a
(1.1)
Trong đó: a

, b

, c

, d

là các hệ số, là hàm của đờng dòng và là biến số.
1
Khoa Cơ khí, Đại học Bách khoa TP HCM
2
Khoa Cơ khí, Đại học Công nghiệp TP HCM
3
Khoa Cơ - Điện, Đại học Nông nghiệp I

Theo Phơng pháp sai phân hữu hạn,
phơng trình tổng quát (1.1) sẽ đợc rời rạc
hoá bằng cách thay thế các biểu thức vi phân
bằng các tỷ sai phân tơng ứng, để chuyển
phơng trình vi phân (1.1) về dạng phơng
trình đại số. Sau đó sử dụng thuật toán nội
suy kết hợp với phơng pháp lặp giữa các
điểm nằm trên biên với các điểm bên trong
miền vật lý để giải hệ phơng trình đại số.
Nhng việc nội suy này không thực hiện
đợc hoặc phải chấp nhận sai số rất lớn, do

biên dạng của phơng trình tổng quát (1.1) là
một đờng cong, nên khi tiến hành chia lới
miền khảo sát dạng lới hình chữ nhật sẽ có
một số nút lới không nằm trên biên của
miền vật lý mà chúng chỉ nằm gần biên hoặc
rơi ra khỏi miền vật lý. Vấn đề này sẽ đợc
giải quyết khi ta chuyển hệ trục toạ độ từ
miền vật lý có biên dạng là một đơng cong
về miền tính toán có biên dạng là đờng
thẳng (hình 3.1), trong đó khoảng cách giữa
các nút lới theo phơng x là đều nhau, còn
khoảng cách giữa các nút lới theo phơng y
là không đều.
2. MÔ HìNH TíNH TOáN CHUYểN ĐổI LƯớI
Trình tự chuyển đổi hệ trục toạ độ từ
miền vật lý (x,y) sang miền tính toán () bao
gồm các bớc cơ bản nh sau (M.Necati
Ozisik, 2000):
- Xác định mối quan hệ giữa hệ trục toạ
độ từ miền vật lý (x,y) và hệ trục toạ độ tính
toán () bới các phơng trình vi phân Laplas
hoặc phơng trình Poison của elliptic.
- Chuyển đổi toạ độ từ miền vật lý (x,y)
sang miền tính toán (,) trong hệ trục toạ độ
Đề các.
- Chuyển đổi các phơng trình vi phân
trong miền vật lý thành các phơng trình vi
phân trong miền tính toán.
- Giải các phơng trình trong miền tính
toán, sau đó chuyển kết quả tìm đợc trong

miền tính toán thành miền vật lý ban đầu.
Xét một phơng trình vi phân riêng phần
có các biến độc lập x,y trong miền vật lý.
Phép biến đổi từ các biến x,y sang các biến
, có thể đợc biểu diễn nh sau:
(x,y); (x,y) (2.1a,b)
Và phép biến đổi ngợc là x ,;
y , (2.2a,b)
Phép biến đổi Jacobi J đợc đa ra nh
sau (Courant, 1956):
0
,
,
=


=








=

yxyx
yx
yx
yx
JJ

(2.3)
Trong đó:




=


=
y
y
x
x ,
(2.4a,b)
Theo định luật Cramer, ta có:


x
J
y
J
yx
1

,
1
== (2.5a,b)


x
J
y
J
yx
1
,
1
==
(2.5c,d)
Quan hệ giữa các nút lới trên biên của
miền vật lý trong hệ toạ độ Đề các (x,y) và các
nút lới trên biên của miền tính toán trong hệ
toạ độ Đề các (,) (Joe F.Thompson,
Z.U.A.Warsi, C.Wayne Mastin, 1985) là:
= hằng số, = thay đổi tuyến tính dọc
theo biên của miền vật lý.
= hằng số, = thay đổi tuyến tính dọc
theo biên của miền vật lý.
Bớc tiếp theo là chuyển đổi các toạ độ lới
bên trong miền vật lý sang miền tính toán với
điều kiện các đờng toạ độ có xu hớng cách
đều nhau ở trong miền và các giá trị , thoả
mn phơng trình Poisson (Joe F.Thompson,
Z.U.A.Warsi, C.Wayne Mastin, 1985):

0
2
2
2
2
=


+


yx

(2.6a)
0
2
2
2
2
=


+


yx

(2.6b)
Tuy nhiên, khi tiến hành giải các phơng
trình (2.6) bằng phơng pháp sai phân hữu hạn

để xác định tính chất của dòng phun, ta phải
tiến hành giải bài toán ngợc đó là xác định

giá trị các toạ độ x,y tơng ứng với các giá trị
các toạ độ , đ biết trong miền tính toán.
Khi đó phơng trình (2.6) trở thành:
02
2
22
2
2
=


+











yyy
(2.7a)
02
2

22
2
2
=


+











xxx
(2.7b)
Trong đó các hệ số hình học a, b, g và ma
trận Jacobi đợc xác định nh sau:
22

+










=


yx
(2.8a)






+

=
yyxx
(2.8b)
22










+










=


yx
(2.8c)

=
yxyx
J
(2.8d)
Giả sử các bớc lới D = Dh = 1. áp
dụng khai triển chuỗi Taylor, ta có:
)(
2
1
)(
,1,1, jijiji
fff
+
=

(2.9a)
)(
2
1
)(

1,1,, +
=
jijiji
fff

(2.9b)
)2()(
,1,,1, jijijiji
ffff
+
+

=

(2.9c)
)2()(
1,,1,, +
+=
jijijiji
ffff

(2.9d)
)(
4
1
)(
1,11,11,11,1, ++++
+=
jijijijiji
fffff

(2.9e)
Trong đó f x hoặc y và các chỉ số i và j tơng ứng liên hệ với và h.
Các biểu thức sai phân hữu hạn cho bởi phơng trình (2.9) đợc thay vào phơng trình (2.7),
ta có:
)()(5.0)([
5.0
1,1,1,11,11,11,1,1,1, ++++++
++++
+
=
jijijijijijijijiji
fffffffff


(2.10)
Trong đó đại lợng a, b, g và ma trận J đợc coi là các hệ số và đợc tính bằng sai phân hữu
hạn sau khi làm trễ một bớc lặp:
(
)
2
1,1,,
4
1
+
=
jijiji
ff

(2.11)

( )( )
1,1,,1,1,
4
1
++
=
jijijijiji
ffff


(2.12)
( )
2
1,1,,
4
1
1
+
+=
jijiji
ff


(2.13)

( )
1,1,,
2

1
+
=
jijiji
ffJ

(2.14)

3. KếT QUả TíNH TOáN
Việc tính toán đợc thực hiện trên máy
tính, chơng trình tạo lới tự động đợc xây
dựng bằng phần mềm Matlab 6.5 trong đó
toạ độ các nút lới trong miền vật lý (x, y)
hoàn toàn đợc xác định tơng ứng với lới
hình chữ nhật trong miền tính toán (, ).

Với giả thiết khoảng cách giữa các nút
lới theo phơng x là đều nhau, còn khoảng
cách các nút lới theo phơng y là không đều
cho ta ma trận điểm và đồ thị chia lới sau
khi chạy chơng trình. Số lợng các nút lới
theo phơng x, y và dung sai cho phép (độ
hội tụ) đợc nhập vào theo yêu cầu của ngời
sử dụng.
Ma trn kt qu ca bin y = f(x)


a) Chia lới miền vật lý b) Chia lới miền tính toán
Hình 3-1. Kết quả phân bố lới của dòng phun rối xoáy hai pha không đẳng nhiệt
sau khi chạy chơng trình

4. KếT LUậN
ứng dụng kỹ thuật tạo lới cho phép ta
giải bài toán mô phỏng dòng phun rối xoáy
hai pha không đẳng nhiệt trong buồng đốt
công nghiệp một cách rất dễ dàng và chính
xác bằng phơng pháp sai phân hữu hạn.
Nghiệm nhận đợc từ chơng trình đạt độ
chính xác mong muốn vì dung sai cho phép và
số nút lới trên biên của miền vật lý là do
ngời sử dụng chơng trình trực tiếp nhập vào.
Chơng trình còn có thể ứng dụng trong
các bài toán dẫn nhiệt trong mặt hình học
không đều, đối lu tự nhiên trong hình bao
không đều
Ngoài ra kỹ thuật tạo lới còn có thể ứng
dụng trong việc chia lới các miền vật lý có

hình dạng phức tạp khác trong tự nhiên cũng
nh trong kỹ thuật.
Tài liệu tham khảo
Joe F.Thompson, Z.U.A.Warsi, C.Wayne
Mastin (1985). Numerical Grid
Generation Foundations and
Applications, Elsevier Science
Publishing Co. - Inc. pp. 7.
P.D.Thomas, J.F.Middlecoff (1979). Direct
Control of the Grid Point Distribution in
Meshes Generated by Elliptic
Equations. AIAA Journal Vol.18 -
No.6. pp. 1462.

M.Necati Ozisik (2000). Finite Difference
Methods in Heat Transfer. CRC Press.
Pp. 307 ữ 333.
Courant, R. (1956). Differential and Integral
Calculus. Blackie & Son, Ltd., London.
Pp. 133.
Nguyễn Hoài Sơn (chủ biên), Đỗ Thanh Việt,
Bùi Xuân Lâm (2002). ứng dụng
Matlab trong tính toán kỹ thuật. Nhà
xuất bản Đại học Quốc gia Tp. HCM.
Trang 13 ữ 49.


Công trình đợc sự hỗ trợ quí báu của chơng trình nghiên cứu cơ bản trong khoa học tự
nhiên. Các tác giả xin chân thành cảm ơn!