TÓM TẮT: VỀ SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾN

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

<small>Tập thể hướng dẫn khoa học:1. PGS. TS. Dương Anh Tuấn2. PGS. TS. Đào Trọng Quyết</small>

<small>Phản biện 1: GS. TS. Cung Thế Anh - Trường Đại học Sư phạm Hà NộiPhản biện 2: PGS. TS. Vũ Mạnh Tới - Trường Đại học Thủy lợi Hà NộiPhản biện 3: PGS. TS. Đỗ Đức Thuận - Đại học Bách khoa Hà Nội</small>

<small>Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp trườnghọp tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội</small>

<small>vào hồi ... giờ...ngày... tháng ... năm ...</small>

<small>Có thể tìm hiểu Luận án tại Thư viện Quốc Gia Hà Nộihoặc Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

<small>MỞ ĐẦU</small>

<small>1. Lịch sử vấn đề và lí do chọn đề tài</small>

Phương trình đạo hàm riêng được nghiên cứu lần đầu tiên vào giữa thếkỉ 18 trong các cơng trình của những nhà tốn học như Euler, D’Alembert,Lagrange và Laplace như là một công cụ quan trọng để mơ tả các mơ hìnhcủa Vật lý và Cơ học.

Ngày nay, sau hơn hai thế kỉ phát triển, phương trình đạo hàm riêngđược sử dụng trong rất nhiều lĩnh vực để mơ hình hóa nhiều bài tốn trongVật lý, Cơ học, Hóa học, Sinh học, Kinh tế học. Do tính phức tạp của cácbài tốn thực tế, mơ hình được thiết lập thường là các phương trình đạohàm riêng phi tuyến. Việc nghiên cứu sự tồn tại và tính chất định tính củanghiệm của các lớp phương trình này là một trong những chủ đề chính củagiải tích tốn học theo hướng ứng dụng.

Một hướng nghiên cứu thu hút sự chú ý của nhiều nhà toán học trongnhững năm gần đây là xem xét các điều kiện tồn tại hoặc không tồn tạinghiệm thông qua các định lí kiểu Liouville. Chúng đóng vai trị cơ bản vàđược xem là nền tảng để tiếp cận đến những hiểu biết sâu sắc về cấu trúctập nghiệm của các bài tốn giá trị biên. Các định lí kiểu Liouville đưađến nhiều hệ quả và ứng dụng đặc biệt quan trọng, chẳng hạn như: ướclượng tiên nghiệm cho bài toán Dirichlet, các ước lượng kì dị và phân rã,định lí kiểu Liouville trên nửa không gian, ước lượng phổ quát, bất đẳngthức kiểu Harnack, tốc độ bùng nổ ban đầu và tốc độ phân rã theo thờigian của bài toán parabolic. . .

Chủ đề thứ nhất được nghiên cứu trong luận án là phương trình

u_t − ∆u^m = u^p trong R^N × R (1)và hệ phương trình

u_t − ∆u<small>m</small> = v^p

v_t − ∆v^m = u^q trong R^N × R, (2)trong đó p, q > m > 1.

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

Mục tiêu chính của chúng tơi là thiết lập điều kiện không tồn tại nghiệmkhông tầm thường đối với (1) và (2). Trong những năm gần đây, tính chấtLiouville đã được xem như một trong những công cụ mạnh trong việcnghiên cứu tính chất định tính đối với phương trình phi tuyến. Các địnhlý kiểu Liouville đưa đến một loạt các kết quả, ví dụ như: ước lượng tiênnghiệm; ước lượng kỳ dị và phân rã, ước lượng phổ quát.

Phân loại nghiệm trên dương của (1) và (2) trong trường hợp ellipticđã được chứng minh Amstrong-Sirakov (2011). Chính xác hơn, mơ hìnhelliptic của (2) là hệ Lane-Emden

.Đặc biệt, khi p = q, hệ Lane-Emden

khơng có nghiệm trên dương khi và chỉ khi N − 2 ≤ _p/m−1² . Mặt khác,sự tồn tại và không tồn tại nghiệm dương đối với phương trình (4) đãđược thiết lập trong Gidas-Spruck (1981) với số mũ tới hạn p_c(N ) = ^{N +2}_{N −2}.Tuy nhiên, vấn đề tương tự đối với hệ Lane-Emden (3) vẫn chưa được giảiquyết hồn tồn. Nó được gọi là giả thuyết Lane-Emden: Hệ (3) khơng cónghiệm dương khi và chỉ khi

p/m + 1 ⁺

q/m + 1 ^{> 1 −}2N^.

Giả thuyết này đã được chứng minh trong trường hợp số chiều thấp N ≤ 4,xem Souplet (2009). Giả thuyết vẫn chưa chứng minh được trong trườnghợp N ≥ 5.

Đối với mơ hình parabol (1) trong trường hợp nửa tuyến tính khi m = 1,chúng ta đã có kết quả Fujita nổi tiếng về sự không tồn tại nghiệm khôngâm không tầm thường trong R^N × (0, ∞) trong trường hợp 1 < p ≤ ^{N +2}_N ,xem Fujita (1966). Trong trường hợp p > ^{N +2}_N , bài toán (1) đã được giải

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

quyết, ở đó một nghiệm trên khơng âm có dạngu(x, t) =

kt⁻<small>p−1</small>¹ e^−γ^1+|x|2<small>t</small> nếu t > 0, x ∈ R^N

(5)với k, γ được chọn thích hợp.

Với hệ (2) khi m = 1, trong Duong-Phan (2021) các tác giả đã chứngminh kết quả tồn tại và không tồn tại nghiệm trên không âm và nghiệmtrên dương. Trong Duong-Phan (2021), các tác giả đã chỉ ra rằng hệ (2)khi m = 1 khơng có nghiệm trên không âm khi và chỉ khi

p, q > 0, pq > 1 và max 2(p + 1)pq − 1 ^,

2(q + 1)pq − 1

Tiếp theo, chúng ta xét các bài toán (1) and (2) trong trường hợp m > 1.Đối với các nghiệm trong R^N ^{× (0, T ) của các phương trình kiểu (1), một}số kết quả về tính giải được địa phương đã được nghiên cứu. Người ta đãchỉ ra rằng khi p ≤ m + _N² , nghiệm u của (1) trong R^N × (0, +∞) với điềukiện ban đầu u₀ ̸≡ 0 liên tục, bị chặn khơng tồn tại tồn cục và bùng nổtrong một thời gian hữu hạn, tức là tồn tại T > 0 sao cho

Kiểu ước lượng này sau đó đã được chứng minh trong Ammar-Souplet(2011) cho p lớn, tức là p < p₀(m, N ) với p₀(m, N ) được tính tốn cụ thểthỏa mãn

m + ²

N ^{< mp}⁰^{(m, N ) < mp}^S ^với ^{N ≥ 2.}

Ở đây, p_S là số mũ Sobolev. Trên thực tế, tác giả cho thấy rằng phươngtrình (1) khơng có nghiệm yếu khơng âm trong tồn bộ khơng gian R^N×Rkhi m < p < p₀(m, N ). Kết quả khơng tồn tại này được phỏng đốn làđúng trong khoảng m < p < mp_S trong Ammar-Souplet (2011). Tuynhiên, điều này vẫn chưa được chứng minh.

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

Dựa trên các tiến bộ gần đây về nghiên cứu phương trình xốp Souplet (2011), Vasquez (2007), chúng tơi nghiên cứu sự tồn tại và khôngtồn tại nghiệm trên yếu khơng âm của các bài tốn (1) và (2) trên tồnbộ khơng gian.

Ammar-Chủ đề thứ hai trong luận án là nghiên cứu sự không tồn tại nghiệm ổnđịnh của phương trình eliptic

−G_αu + c(z) · ∇_αu = h(z)e^u, z = (x, y) ∈ R^N<small>1</small> × R^N<small>2</small>

= R^N, (7)trong đó G_α = ∆_x + (1 + α)² |x|^2α∆_y, α > 0, là toán tử Grushin, hàmtrọng h(z) là liên tục. Ở đây, c(z) là một trường vectơ khả vi liên tục thỏamãn

div_Gc = 0 và β := sup

|z|_G|c (z)|

|∇_α|z|_G| ^{< ∞,} ⁽⁸⁾với chuẩn Grushin

|z|_G = ^|x|^2(1+α) + (1 + α)²|y|²^

và gradient Grushin

∇_α = (∇_x, (1 + α)|x|^α∇_y).Nếu α = 0, c = 0 và h = 1, bài toán (7) sẽ trở thành

Phương trình này được gọi là phương trình Gelfand.

Gần đây, phân loại nghiệm của phương trình (9) đã thu hút nhiều sựquan tâm của các nhà toán học. Người ta đã chỉ ra rằng (9) khơng cónghiệm ổn định khi và chỉ khi N ≤ 9, Farina (2007).

Gần đây, các bài tốn elliptic với hệ số bình lưu đã được nghiên cứurộng rãi. Trong Cowan (2014), tác giả đã thu được một số phân loại cácnghiệm dương ổn định của phương trình

−∆u + c · ∇u = u^p trong R^N,

trong đó c là trường vectơ tự do trơn thỏa mãn |c(x)| ≤ _1+|x|^ε , ε đủ nhỏ.Các kỹ thuật được sử dụng trong Cowan (2014) bao gồm phương pháphàm thử và bất đẳng thức Hardy suy rộng.

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

Trong trường hợp hàm phi tuyến dạng mũ, bằng cách khai thác kỹ thuậttrong Cowan (2014), các tác giả trong Lai-Zhang (2017) đã thiết lập sựkhông tồn tại nghiệm ổn định đối với phương trình

−∆u + c · ∇u = e^u trong R^N (10)khi 3 ≤ N ≤ 9 và c thỏa mãn các điều kiện tương tự như trong Cowan(2014).

Với một sự giảm nhẹ về điều kiện của hệ số bình lưu, các tác giảtrong Duong-Nguyen-Nguyen (2019) đã chứng minh rằng phương trình(10) khơng có nghiệm ổn định khi 3 ≤ N ≤ 9 và c là trường vectơ tự dotrơn thỏa mãn |c(x)| ≤ _1+|x|^ε với 0 < ε < p(N − 2)(10 − N).

Tiếp theo chúng ta xét các bài toán elliptic chứa toán tử Grushin. Nhắclại rằng G_α là elliptic với x ̸= 0 và suy biến trên đa tạp {0}×R^N<small>2</small> . Tốn tửnày đã thu hút sự chú ý của nhiều nhà toán học. Việc phân loại nghiệm ổnđịnh của phương trình elliptic có sử dụng tốn tử Grushin phi tuyến loạilũy thừa đã được nghiên cứu trong Duong-Nguyen (2017). Đối với phươngtrình Gelfand chứa tốn tử Grushin, một số kết quả khơng tồn tại nghiệmổn định đã được chứng minh.

Chủ đề thứ ba được nghiên cứu trong luận án là phương trình Choquardphân thứ phi tuyến

(−∆)^su =

|x|<small>N −2s</small> ∗ u^p

ở đây 0 < s < 1, p ∈ R và “ ∗ ” là tích chập của hai hàm, tức là1

|x|<small>N −2s</small> ∗ u^p =Z

|x − y|<small>N −2s</small>dy.Trong trường hợp s = 1, phương trình (11) trở thành

−∆u =

|x|<small>N −2</small> ∗ u^p

Phương trình trên thuộc lớp các phương trình Choquard tĩnh−∆u + V (x)u =

|x|<small>N −2</small> ∗ u^p

Liên quan đến việc phân loại nghiệm dương của phương trình (12), Lei(2018) đã chứng minh rằng phương trình (12) khơng có nghiệm dương với

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

điều kiện 1 ≤ p < ^{N +2}_{N −2}. Gần đây, Le (2020) đã tìm được một kết quảmạnh hơn, đó là phương trình (12) khơng có nghiệm dương khi N ≤ 2hoặc N ≥ 3 và −∞ < p < ^{N +2}_{N −2}. Một trong những đóng góp trong Le(2020) là sự khơng tồn tại các nghiệm dương vẫn đúng với p ≤ 1. Trongtrường hợp không địa phương, tức là 0 < s < 1, sự không tồn tại cácnghiệm dương của (11) đã được chứng minh khi 1 ≤ p < ^{N +2s}_{N −2s}.

Bên cạnh các kết quả đã được thiết lập cho phương trình Lane-Emdenhay phương trình Gelfand, việc phân loại nghiệm ổn định của phương trìnhChoquard vẫn cịn khiêm tốn. Chúng tơi đề cập đến một số kết quả cho(7) với s = 1, xem Lei (2018), Zhao (2018) về phân loại nghiệm ổn địnhdương và Le (2020) về phân loại nghiệm ổn định đổi dấu. Kỹ thuật đượcsử dụng trong các bài báo này là sự kết hợp giữa phương pháp hàm thửvà ước lượng tích phân phi tuyết xuất phát từ ý tưởng của Farina (2007).Kết quả sau đây được chứng minh trong Lei (2018).

Định lý A. Cho s = 1 và N ≥ 3. Giả sử p > 1 vàN < 6 + ^{4(1 +}pp<small>2</small> − p)

p − 1 ^.Khi đó, bài tốn (7) khơng có nghiệm ổn định dương.

Hơn nữa, tính tối ưu của Định lý A cũng được chỉ ra. Cụ thể, số mũJoseph-Lundgren được tính tốn tường minh là

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

|x|<small>N −2s</small> ∗ u^p

ở đây 0 < s < 1, p ∈ R và “ ∗ ” là tích chập của hai hàm, tức là1

|x|<small>N −2s</small> ∗ u^p =Z

|x − y|<small>N −2s</small>dy.

<small>3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu</small>

ˆ Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu một số phương trình đạo hàm riêngphi tuyến.

ˆPhạm vi nghiên cứu:

Nội dung 1: Thiết lập điều kiện tối ưu để phương trình/hệ phươngtrình xốp khơng có nghiệm trên yếu khơng âm khơng tầm thường trong R^N^×R:

u_t − ∆u^m = u^pvà

u_t − ∆u^m = v^pv_t − ∆v<small>m</small> = u^qvới p, q > m > 1

Nội dung 2: Tìm điều kiện tốt nhất có thể để bài tốn elliptic khơngcó nghiệm ổn định:

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

với chuẩn Grushin

|x| = ^|x|^2(1+α) + (1 + α)²|y|²^

|x|<small>N −2s</small> ∗ u^p

ở đây 0 < s < 1, p ∈ R và “ ∗ ” là tích chập của hai hàm, tức là1

|x|<small>N −2s</small> ∗ u^p =Z

|x − y|<small>N −2s</small>dy.

<small>4. Phương pháp nghiên cứu</small>

Để chứng minh kết quả tối ưu về sự không tồn tại nghiệm trên cho lớpphương trình parabolic, đề tài sử dụng phương pháp hàm thử và các ướclượng tích phân. Ngồi ra, để chỉ ra sự tối ưu, đề tài xây dựng nghiệmtường minh trong trường hợp trên tới hạn.

Để thiết lập sự khơng tồn tại nghiệm của bài tốn elliptic, chúng tôi sửdụng phương pháp được đề xuất bởi Farina (2007) bao gồm việc đánh giátích phân phi tuyến và ước lượng phiếm hàm năng lượng.

Để thiết lập sự không tồn tại nghiệm của phương trình Choquard phânthứ phi tuyến, chúng tôi sử dụng phương pháp hàm thử và các ước lượngnăng lượng từ ý tưởng của Farina (2007).

<small>5. Cấu trúc của luận án</small>

Ngoài các phần Lời cảm ơn, Mở đầu, Danh sách kí hiệu, Tài liệu thamkhảo, Danh mục các cơng trình khoa học liên quan đến luận án, Kết luận,Chỉ mục, luận án được chia thành bốn chương có nội dung chính như sau:

Chương 1: Nhắc lại một số kiến thức chuẩn bị.

Chương 2: Đưa ra kết quả về sự tồn tại và không tồn tại nghiệm trênyếu khơng âm khơng tầm thường của phương trình/hệ phương trình xốpcó trọng.

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

Chương 3: Nghiên cứu sự khơng tồn tại nghiệm ổn định của phươngtrình elliptic suy biến với hệ số bình lưu.

Chương 4: Chứng minh sự khơng tồn tại nghiệm dương của phươngtrình Choquard phân thứ phi tuyến.

Các Chương 2, 3 và 4 dựa trên các bài báo [P1], [P2] và [P3].

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

<small>1.3.Toán tử Laplace phân thứ</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

Chương này được viết dựa trên bài báo [P1] trong danh mục công bố.

<small>2.1.Đặt vấn đề và các kết quả chính2.1.1.Đặt vấn đề</small>

Xét phương trình/hệ phương trình vật liệu xốp có trọng

u_t − ∆u^m = u^p trong R^N × R (2.1)và

u_t − ∆u^m = v^p

v_t − ∆v^m = u^q trong R^N × R, (2.2)với p, q > m > 1.

<small>2.1.2.Kết quả về sự khơng tồn tại nghiệm</small>

Định lí 2.1. Giả sử p > m > 1. Khi đó phương trình (2.1) khơng cónghiệm trên yếu không âm không tầm thường (nontrivial nonnegative weaksolution) trong R^N × R khi và chỉ khi p ≤ ^{mN +2}_N .

Trong trường hợp p > ^{mN +2}_N , chúng tôi sẽ xây dựng nghiệm trên yếukhông âm không tầm thường của (2.1). (Xem trong phần cuối cùng củaphần chứng minh Định lí 2.1).

Định lí 2.2. Giả sử p, q > m > 1. Hệ (2.2) khơng có nghiệm trên yếukhơng âm khơng tầm thường trong R^N × R khi và chỉ khi

N ≤ max

2(p + 1)

p(q + 1) − m(p + 1)^,

2(q + 1)

q(p + 1) − m(q + 1)

. (2.3)

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

<small>2.2.Chứng minh kết quả về sự khơng tồn tại nghiệm2.2.1.Đối với phương trình</small>

Giả sử u là một nghiệm trên yếu không âm của (2.1). Như vậy, chúng tasuy ra rằng

u^pψ_rdxdt≤ Cr^κ

^m_p ^#.

u^pdxdt = 0.Điều này là đúng khi và chỉ khi u = 0.

Phần còn lại của chứng minh được dành cho kết quả tồn tại. Đối vớip > ^{mN +2}_N , chúng tôi xây dựng một nghiệm trên yếu không âm không tầm

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

thường có dạng

u(x, t) =

<small>2.2.2.Đối với hệ phương trình</small>

Trong phần này, chúng tơi chia chứng minh Định lý 2.2 thành hai phần:kết quả không tồn tại và sự tồn tại nghiệm.

Bước 1. Kết quả không tồn tại

Giả sử rằng (u, v) là một nghiệm trên yếu không âm của (2.2). Chúngtơi chỉ ra

v^pdxdt = 0.Do đó, v = 0 và điều này dẫn đến u = 0.

Bước 2. Tồn tại nghiệm trên

Giả sử rằng (2.3) không đúng, tức làN > max

. (2.6)Chúng ta sẽ xây dựng một nghiệm trên yếu không âm không tầm thườngcủa (2.2) như sau. Đầu tiên, chúng tôi đặt

u(x, t) =

ε − ^γ<small>1(m−1)2m</small>

nếu t > 0 và x ∈ R^N

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

v(x, t) =

ε − ^γ<small>2(m−1)2m</small>

(x, t); ^γ¹^{(m − 1)}2m ^(|x|

+ 1) < ^ε2^t

và t > 1

,tức là

χ(x, t) =(

1 trên Ω

0 trong trường hợp ngược lại .

Đặt U (x, t) = u(x, t)χ(x, t) và V (x, t) = v(x, t)χ(x, t). Do đó, trên miềnΩ, ta suy ra rằng

U_t − ∆U^m ≥ (γ₁N − α₁)ε⁻<small>m−1</small>^p−1 2⁻<small>m−1</small>^p V ^p

V_t − ∆V ^m ≥ (γ₂N − α₂)ε⁻<small>m−1</small>^q−1 2⁻<small>m−1</small>^p U^q ^. ^(2.7)Ta chỉ cần chọn ε đủ nhỏ sao cho

(γ₁N − α₁)ε⁻<small>m−1</small>^p−1 2⁻<small>m−1</small>^p > 1và

(γ₂N − α₂)ε⁻<small>m−1</small>^q−1 2⁻<small>m−1</small>^p > 1.

Do đó, chúng ta thu được một nghiệm trên yếu không âm không tầmthường (U, V ) của hệ khi ε đủ nhỏ.

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

<small>Chương 3</small>

<small>Nghiệm ổn định của phương trình elliptic suy biến với số hạng bình lưu</small>

Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu các phương trình elliptic liênquan đến tốn tử Grushin và số hạng bình lưu là một trường vectơ trơn,tự do. Chúng tôi chứng minh sự không tồn tại nghiệm ổn định của Phươngtrình dưới một số điều kiện về số chiều.

Chương này được viết dựa trên bài báo [P2] trong danh mục công bố.

<small>3.1.Đặt vấn đề và kết quả chính3.1.1.Đặt vấn đề</small>

Xét phương trình

−G_αu + c(z) · ∇_αu = h(z)e^u, z = (x, y) ∈ R^N<small>1</small> × R^N<small>2</small> = R^N, (3.1)ở đó G_α = ∆_x + (1 + α)²|x|^2α∆_y, α > 0 là toán tử Grushin, hàm trọngh(z) liên tục và c(z) là một trường véctơ khả vi liên tục cấp 1 thỏa mãn

div_Gc = 0 và β := sup

|z|_G|c (z)|

|∇_α|z|_G| ^{< ∞,} ^(3.2)với chuẩn Grushin xác định bởi

|z|_G =

|x|^2(1+α) + (1 + α)²|y|²^

và gradient Grushin

∇_α = (∇_x, (1 + α)|x|^α∇_y).

<small>3.1.2.Sự không tồn tại nghiệm ổn định</small>

Định lí 3.1. Giả sử hàm trọng h liên tục và h(z) ≥ C|z|^l_G với l ≥ 0. NếuN_α < 10 + 4l

và điều kiện (3.2) thỏa mãn vớiβ <

(N_α − 2) 10 + 4l − N_α
,

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

<small>(N</small>_α<small>−2)</small>² + 1 − ^t2

h(z)e^(2t+1)uψ_R²dxdy (3.3)

≤ C ^{ 1}R²

1|z|<small>l</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

<small>Chương 4</small>

<small>Về sự không tồn tại nghiệm dương của phương trình Choquard phân thứ phi tuyến</small>

Trong chương này, chúng tơi quan tâm đến phương trình Choquard phânthứ phi tuyến trên tồn bộ khơng gian R^N. Đầu tiên, chúng tơi chứng minhrằng Phương trình khơng có nghiệm dương trong trường hợp dưới tuyếntính. Trong trường hợp siêu tuyến tính, chúng tôi thiết lập sự không tồntại nghiệm dương ổn định của Phương trình. Kết quả này mở rộng kết quảtrong Lei (2018) đối với phương trình Choquard phân thứ.

Chương này được viết dựa trên bài báo [P3] trong danh mục cơng bố.

<small>4.1.Đặt vấn đề và các kết quả chính4.1.1.Đặt vấn đề</small>

Xét phương trình sau trên tồn bộ khơng gian R^N(−∆)^su =

|x|<small>N −2s</small> ∗ u^p

với 0 < s < 1 và p ∈ R. Ở đây “ ∗ ” là tích chập của hai hàm, nghĩa là1

|x|<small>N −2s</small> ∗ u^p =Z

</div>