GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.4 MB, 54 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

UBND TỈNH QUẢNG NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TỐN

------

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Tên đề tài:

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ

Sinh viên thực hiện

TRẦN THỤY TUYỀN

MSSV: 2112020139

CHUN NGÀNH: SƯ PHẠM TỐN KHĨA: 2012 – 2016

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

MỤC LỤC

A. MỞ ĐẦU ... 1

1. Lí do chọn đề tài ... 1

2. Mục tiêu của đề tài ... 1

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ... 2

4. Phương pháp nghiên cứu ... 2

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

A. MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài

Có thể nói tốn học là khoa học của mọi khoa học, tốn học cũng là cơng cụ của các mơn học khác, tốn học cũng có vai trò rất quan trọng trong đời sống thực tiễn. Do đó các lĩnh vực của tốn học được quan tâm đặc biệt. Toán học bao gồm nhiều lĩnh vực khác nhau và nó đều có vai trị và tầm ảnh hưởng khác nhau trong toán học. Một trong những lĩnh vực rất quan trọng trong tốn học đó là lĩnh vực liên quan đến hàm số, có thể nói hàm số xuất hiện và đóng vai trị quan trọng trong các lĩnh vực của tốn học như: Giải tích, Hình học, Phương pháp tính, Toán ứng dụng,...Trong các lĩnh vực liên quan đến hàm số thì việc giải phương trình hàm đóng một vai trị rất quan trọng, và tương đối khó. Cái khó ở đây là khơng có một phương pháp nào tổng qt để có thể giải quyết tất cả các bài tốn về phương trình hàm. Chính vì vậy mà phương trình hàm trở thành một chuyên đề quan trọng trong bồi dưỡng học sinh khá, giỏi ở trường trung học phổ thơng (THPT). Các bài tốn về phương trình hàm thường có trong các đề thi học sinh giỏi tốn trong và ngoài nước. Tuy nhiên, cho đến nay, học sinh các lớp chun nói chung và người giỏi tốn nói riêng cịn biết rất ít về phương trình hàm, thậm chí là cịn lúng túng khi tiếp cận một phương trình hàm bởi vì đây là loại tốn địi hỏi ở người học phải vận dụng nhiều kiến thức khi giải, có khả năng tư duy tốt, khả năng khái quát, phán đoán vấn đề… Có rất nhiều phương trình hàm được giải quyết một cách gọn gàng nhờ phương pháp thế. Do đó, việc giúp học sinh tiếp cận với phương pháp thế để giải quyết một số bài tốn về phương trình hàm là rất cần thiết.

Do vậy trong quá trình học tập và nghiên cứu tôi đã chọn đề tài “Giải phương

trình hàm bằng phương pháp thế” làm đề tài nghiên cứu; với mong muốn được hiểu

vấn đề một cách sâu sắc và cặn kẽ, qua đó vận dụng những kiến thức mà bản thân đã tích lũy được trong thời gian qua và điều quan trọng là có thêm kiến thức về phương trình hàm cũng như giúp học sinh được tiếp cận và có cái nhìn nhận mới về phương trình hàm.

2. Mục tiêu của đề tài

+ Hệ thống một số cách giải các bài tốn phương trình hàm giải được bằng phương pháp thế.

+ Phân loại, định dạng một số phương trình hàm thường gặp để bồi dưỡng học sinh giỏi THPT giải được bằng phương pháp thế.

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu:

+ Lý thuyết và bài tập phương trình hàm.

+ Phương trình hàm giải được bằng phương pháp thế. - Phạm vi nghiên cứu:

+ Lý thuyết phương trình hàm.

+ Phương trình hàm trong bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường THPT.

4. Phương pháp nghiên cứu - Phân tích tổng hợp lý thuyết.

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: phân tích các tài liệu về phương trình hàm, các tạp chí tốn học và tuổi trẻ, 40 năm Olympic Toán học Quốc tế.

- Tham khảo ý kiến chuyên gia.

+ Giúp HS có một cái nhìn và cách tiếp cận mới về phương trình hàm.

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

B. NỘI DUNG Chương I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Trong chương này, khóa luận trình bày tóm lượt một số kiến thức cơ bản về ánh xạ, hàm số, phương trình hàm cơ bản làm cơ sở để nghiên cứu chương II.

1.1. Ánh xạ

Cho hai tập hợp X Y,  . Một ánh xạ f từ X vào Y là quy tắc đặt tương ứng

mỗi phần tử x của X với một phần tử duy nhất y của Y mà ta kí hiệu là ( )f x và gọi là

ảnh của x qua ánh xạ f . Ta viết:

x f x

 

Đơn ánh: Ánh xạ f được gọi là đơn ánh nếu:

i. Với mọi x1 x2X thì f x( )1  f x( )2 hoặc ii. Nếu f x( )1  f x( )2 thì x1x2.

Tồn ánh: Ánh xạ f được gọi là toàn ánh nếu (X)f Y, hay với mỗi yY , tồn

tại xX sao cho f x

 

 y. Nói cách khác, phương trình f x

 

 y có nghiệm với mọi

yY .

Song ánh: Ánh xạ f được gọi là song ánh nếu nó vừa là đơn ánh, vừa là tồn ánh.

Nói cách khác, phương trình f x

 

 y có nghiệm duy nhất với mọi yY.

1.2. Hàm số

Định nghĩa: Cho tập X  . Ta gọi một ánh xạ f từ tập X vào tập số thực là

một hàm số (thực). Tập X được gọi là miền xác định (hay tập xác định) và tập ảnh

( )

Y  f X của ánh xạ được gọi là miền giá trị (hay tập giá trị) của hàm số f .

Hoặc f x: y f x( ).

Một hàm số thường được cho dưới dạng bảng hoặc công thức.

các giá trị làm cho công thức f x( ) có nghĩa.

hiệu là D.

1.3. Tính chất của hàm số

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

Định nghĩa. Cho hàm số y f x( ) xác định trên D.

Ta nói hàm số y f x( ) là hàm tuần hoàn trên D nếu tồn tại số dương T 0 sao

+ Hàm số y f x( ) xác định tại x và ở trong lân cận 0 x , khi đó hàm 0 f x được ( )gọi là liên tục tại x0 nếu

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

+ Hàm f x được gọi là liên tục trong khoảng ( , )( ) a b nếu ( )f x liên tục tại mọi x

+ Phương trình hoặc hệ phương trình hàm.

+ Một số điều kiện bổ sung (tăng, giảm, đơn điệu, bị chặn, liên tục, khả vi,…).

1.6. Một số kết quả về phương trình hàm

( ) ( ) ( ), ,

f xy  f x  f y x y thì có dạng f x( )ax, x .

Tuy nhiên, ở một số bài tốn người ta có thể thay đổi giả thiết và phát biểu bài tốn phương trình hàm Cauchy dưới một số dạng khác mà kết quả bài tốn vẫn khơng thay đổi. Chính vì thế chúng ta cần nhận dạng được đâu là phương trình hàm Cauchy. Sau đây là một số tiêu chuẩn nhận dạng phương trình hàm Cauchy thường gặp.

+ Tiêu chuẩn 1: Hàm f x( ) xác định và có đạo hàm trên thỏa mãn điều kiện:

( ) ( ) ( ), ,

f xy  f x  f y x y thì f x( ) có dạng f x( )ax xR a,  tùy ý.

+ Tiêu chuẩn 2: Nếu hàm số f :  thỏa mãn f cộng tính và liên tục trên

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

+Tiêu chuẩn 5: Nếu hàm f :  là hàm cộng tính và đơn điệu trên đoạn

 

a b,

thì f x( )ax.

 

f x   x và f x

 

  x, x .

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

Chương II: CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM GIẢI ĐƯỢC BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ

Ở chương này khóa luận phân loại, hệ thống một số dạng tốn phương trình hàm giải được bằng phương pháp thế khác nhau như đặt ẩn phụ, đưa về phương trình hàm mới, thế giá trị đặc biệt của đối số,… Trình bày chi tiết lời giải, xây dựng hệ thống bài tập phù hợp cho từng dạng cụ thể.

2.1. Phương pháp thế giải bằng cách đặt ẩn phụ 2.1.1. Phương pháp

Xét phương trình hàm dạng: f





 

x



g x

 

Trong đó 

   

x g x, là những hàm số biến số thực đã biết. Trong một số trường hợp nếu đặt t

 

x , ta có thể giải được xh t

 

. Khi đó, thế vào phương trình đã cho ta có f t( )g



h t

 

Từ đó ta có hàm số cần tìm là hàm f(x)g



h x

 

. Tuy nhiên, nhiều khi vấn đề không đơn giản như vậy. Trong trường hợp đó, ta cần sử dụng các phép biến đổi thích hợp, cố gắng đưa phương trình về dạng f





 

x



h





 

x



. Khi đó hàm số cần tìm có dạng f(x)h x

 

Lưu ý: Hàm số f(x) sau khi tìm được cần phải tiến hành thử lại xem hàm số đó có thực sự là nghiệm của bài tốn hay không. Đây là bước rất quan trọng để tránh nhầm lẫn khi kết luận nghiệm.

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

x t

  

 

f xx



</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

Bài toán 4: Cho hàm số f x xác định bởi

 

Trong đó a x b x c x và

     

, , g x là những hàm số đã biết. Giả sử miền xác định

 

của hàm số f x là

 

D , với mỗi fxDf ta xét dãy

 

xn xác định bởi

trình hàm có dạng trên về hệ k phương trình k ẩn. Giải hệ này ta tìm được f x .

 

Trong một số trường hợp thường gặp phương trình hàm có dạng:

  

( )

    

a x f h x b x f g x c x

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

Trong đó a x b x c x g x h x

       

, , , , ( ) là những hàm số đã biết, ta đặt th x( ) hoặc

Bằng cách xét dãy như trên, trong đó g t đóng vai trò 1

 

g x , và nếu dãy nhận

 

được tuần hoàn, áp dụng phương pháp đã trình bày ở trên ta tìm được hàm f x

 

  

1, .

f  ttf t     tt (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

    

Giải hệ trên ta được f x

 

1; x .

Thử lại thấy f x thỏa mãn yêu cầu bài toán.

 

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

xf x

  

 

hay

   

4 53 1

xf x

 .

Thử lại thấy f x thỏa mãn yêu cầu bài toán.

 

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

Vậy hàm số cần tìm là

   

4 5.3 1

xf x



</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

Khi đó phương trình (1) trở thành f x

 

 f x

 

1  1 x ; (1)

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

Đặt 12

Khi đó phương trình (1) trở thành xf x

 

2f x

 

1 1 ; (1)

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

Từ (1), (2), (3) và (4) ta có hệ phương trình

    

Nếu hệ thức đã cho có tính đối xứng giữa các biến số thì ta cố gắng hốn vị các biến

x và y thì ta nên thay x bởi y và y bởi x, nghĩa là hoán vị x và y để thu được phương trình mới. Sau đó kết hợp phương trình vừa tìm được với phương trình ban đầu để thu được phương trình hàm mới.

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

y       ayaxayya   xaax y

Suy ra a0. Khi đó f x

 

  x; x . Thử lại thấy f x thỏa mãn yêu cầu đề bài.

 

Vậy hàm số cần tìm là f x

 

  x; x .

Nhận xét: Việc lựa chọn biểu thức đại số để tính như trong 2 ví dụ trên xuất phát từ

các tính chất của hàm số mà ta có.

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

Bài tốn 3: Tìm hàm số f :  thỏa mãn

 

  

f f f x  f y  f y f x  f y  f x x y (3) Kết hợp (2) và (3) ta được phương trình

Từ đây suy ra f x

 

   xc; x (với c là hằng số). (4)

Thử lại thấy rằng, hàm số xác định bởi (4) không thỏa (1) với mọi hằng số c. Vậy khơng có hàm số nào thoả mãn các u cầu đề bài.

Bài tốn 4: Tìm tất cả các hàm số f :  thỏa mãn

Thay f x

 

   ax; x vào (1) ta được

xy        axyaxyaxy x  a

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

Vậy có duy nhất hàm số thỏa mãn đề bài f x

 

  x; x .

Bài toán 5: Tìm tất cả các hàm số f :  thỏa mãn

 

 



2 1; .

f  f x  f x  x  x

hay a f x

 

 f x



 1



2x  1; x . (3) Kết hợp (2) và (3) ta có phương trình f

 

    xax; x .

Suy ra f x

 

   ax; x . Thay f x

 

   ax; x vào (1) ta được 2xy  ax 2y  ax 2y  1 a 2xy2x  1 a 0.Suy ra f x

 

  x; x .

Vậy có duy nhất hàm số thỏa mãn đề bài là f x

 

  x; x .

Bài toán 6: Tìm tất cả các hàm số f :  thỏa mãn

      

; , .

f x f y  f x f y x y (3) Trong (1) cho x0 ta được f y

 

 f

 

y ; y . (4) Kết hợp (3) và (4) ta được phương trình

</div>Trang 22<div class="page_container" data-page="22">

Vậy hàm số cần tìm là f x

 

  0; x .

2.4. Phương pháp thế tại các giá trị đặc biệt của đối số 2.4.1. Phương pháp

Một số bài toán về phương trình hàm có thể giải quyết bằng các tính chất của tập

chất toàn ánh rất quan trọng.

Nhận xét: Một cách tương tự như việc biến đổi khi giải “phương trình số” mà ta đã

quen thuộc, nhằm chuyển điều kiện của giả thiết thành các điều kiện đơn giản hơn; thì trong “phương trình hàm”, việc lựa chọn các biến số phù hợp với mục đích từ tính chất của hàm số mà đề cho, ta thu được các tính chất khác của hàm đơn giản hơn mà có lợi trong việc tìm ra hàm số.

Hai định hướng chính cho ta chọn đối số:

+ Một là: Chọn đối số sao cho xuất hiện các giá trị hàm có thể tính được. Hoặc cho các biến x,y,… nhận các giá trị bằng số. Thường các giá trị đặc biệt là 0, 1, 2,... 

+ Hai là: Hoặc thế các biến bằng các biểu thức để làm xuất hiện các hằng số hoặc các biểu thức cần thiết. Chẳng hạn, nếu trong phương trình hàm có mặt f x



 y



mà muốn có f

 

0 thì ta thế y bởi – x, mà muốn có f x( ) thì y = 0, muốn có f nx( ) thì thế y bởi y (n 1) .x

Lưu ý: Việc lựa chọn phải có tính kế thừa tức là việc lựa chọn đối số sau phải dùng

kết quả chọn trước.

2.4.2. Một số bài toán vận dụng

Bài toán 1: Tìm tất cả các hàm số f : 0,



 



thỏa mãn điều kiện sau

 

Giả sử f là hàm thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Trong (1) lấy y1 ta được

</div>Trang 23<div class="page_container" data-page="23">

Trong (2) lấy x3 ta được

</div>Trang 24<div class="page_container" data-page="24">

Trường hợp 1: f(0)0

Khi đó (2) trở thành

 

2

Thử lại ta thấy chỉ có hàm f x

 

   x 1; x thỏa mãn yêu cầu đề bài. Còn

 

f x    xx không thỏa mãn yêu cầu đề bài. Thật vậy, giả sử  t : f t

 

   t 1; t .Trong (1) thay

 

f t    tt

Suy ra t2    1 2t (t 1)2   t2 4t 1 t 0.Như vậy, 1 f(0) 1 (mâu thuẫn).

Vậy f x

 

   x 1; x , f x

 

  x; x là hàm số thỏa mãn yêu cầu bài tốn.

Bài tốn 3: Tìm hàm số f :  thỏa mãn

   

  

</div>Trang 25<div class="page_container" data-page="25">

Thử lại ta thấy các hàm f x

 

  0; x và f x

 

  x; x thỏa mãn các yêu cầu đề bài.

Giả sử f x là một nghiệm khác với hai nghiệm trên, nghĩa là

 

 a 0 sao cho

 

f a  và tồn tại b sao cho f b

 

b.

Từ (4) suy ra f a

 

a và f b

 

0. Do đó: Trong (1) thay xa y; b ta được

</div>Trang 26<div class="page_container" data-page="26">

+ Nếu f a



2b



0 thì f a



2b



a trở thành a0 (mâu thuẫn với a0). Vậy có hai hàm số thỏa mãn đề bài là

 

f x  x thỏa (1). Từ (2) lấy x0 ta được f

 

0 0.

Từ (1) lấy x0 ta được f

 

 yf y

 

; y , hay f là hàm số chẵn.

</div>Trang 27<div class="page_container" data-page="27">

Nếu f

 

1 0. Từ (1) cho y1 ta được xf

 

1  f x

  

 x1

    

f x f 1 ; x .Suy ra f x

 

  0; x .

Nếu f

 

1 1. Từ (1) cho y1 ta được

  

  

;

 

; .

x f x  x f x   xxf x   xx

f xa

 ; a hằng số tùy ý.

Dễ thấy f x

 

0 thỏa mãn phương trình (1). Bây giờ ta xét:

 

1

f xa

 

Khi x0 và y0 ta có

  

xf y yf x ay và



x y f x f y

    

ay.Nên f x thỏa (1).

 

Khi x0 và y0 ta có

  

xf y yf x ax và



x y f x f y

    

ax.Nên f x thỏa (1).

 

khix0

</div>Trang 28<div class="page_container" data-page="28">

Kết hợp với (2) suy ra f x

 

  x; x .Thử lại thấy f x

 

thỏa mãn yêu cầu đề bài. Vậy hàm số cần tìm là f x

 

  x; x .

Bài tốn 7: Tìm hàm số f :  thỏa mãn

Thay xa y, 0 vào (1) ta được

 

ff a  f a  aaf a a a a (4) khix0

khix0

</div>Trang 29<div class="page_container" data-page="29">

Thay x f a

 

vào (2) ta được

  

2

 

2

Thử lại ta thấy f x

 

  x; x là nghiệm của phương trình.

Nhận xét: Cũng có những bài tốn mà ta khơng chọn được giá trị đối số làm cho

hai số hạng nào đó triệt tiêu được nên ta chỉ có thể chọn để xuất hiện các số hạng đặc biệt, rồi sau đó tìm cách tính giá trị hàm tương ứng.

Bài tốn 8: Tìm tất cả các hàm số f :  thỏa mãn

Thay vào (1) ta được



; ,

f axy  yf xay x y



; , .

Khi và chỉ khi a x2 ayaxya y2 2  0; x y,  .

</div>Trang 30<div class="page_container" data-page="30">

Đồng nhất hệ số 2 vế ta được a0. Suy ra f x

 

  0; x . Thử lại f x thấy thỏa mãn yêu cầu đề bài.

 



z; , ,2



z; , , .2

    

Suy ra f x( )  x; x và f x( )   x; x .Thử lại có hai hàm số thỏa mãn yêu cầu đề bài

</div>Trang 31<div class="page_container" data-page="31">

f



f y

 

  1



yf

 

1 ; y . (2) Trong (2) thay y  1 f

 

1 ta được

Thay (3) vào (1) ta được    a x



ayb



   x bxyaxb.Đồng nhất hệ số hai vế ta được

 

   

Suy ra f x

 

  x; x và f x

 

   x; x .Thử lại thấy f x thỏa mãn yêu cầu đề bài.

 

</div>Trang 32<div class="page_container" data-page="32">

Có thể nhận dạng được tính chất chất đơn ánh, tồn ánh của hàm số dựa vào các đặc trưng sau:

+ Nếu f



f x

 

ax b  , x thì có khả năng f là song ánh.

+ Nếu một vế có chứa f x và vế còn lại có chứa biến

 

x bên ngồi thì thơng

thường hàm f là đơn ánh.

+ Nếu f đơn điệu thực sự thì f là đơn ánh.

Lưu ý: Trong một vài trường hợp, nếu ta dự đốn được cơng thức của hàm số,

Khi đó a sao cho f a

 

0. Thay xa vào (1) ta được

  

; .

f y  aff y a   ay (3) Vì f là toán ánh nên  x ;  y : f y

 

x.

Khi đó (3) được viết lại f x



a



    axa; x ;

hay f x

 

   xa; x (với a là hằng số). Thử lại thấy f x thỏa mãn yêu cầu đề bài.

 

</div>Trang 33<div class="page_container" data-page="33">

Từ (1) cho x0, ta được f



f y

 

  y; y . Từ đây suy ra f là song ánh trên

. Do đó sẽ có duy nhất a sao cho f a

 

0.Từ đó thay xa y, 0 vào (1) ta được

</div>

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ

UBND TỈNH QUẢNG NAM

<b>TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TỐN </b>

------

<b>KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC </b>

<i><b>Tên đề tài: </b></i>

<b>GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ </b>

Sinh viên thực hiện

<b>TRẦN THỤY TUYỀN </b>

MSSV: 2112020139

<b>CHUN NGÀNH: SƯ PHẠM TỐN KHĨA: 2012 – 2016 </b>

 

 

 

 

 

 

 



 



 

   

 

 



 



 



 





 



 

 

     

 

 

 

 

  

    

       

 

 

 

  

    

 

 

   

 

   

 

 

 

 

    

    

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 



 





 

 

 

 

 