báo cáo cuối kì môn học nhận dạng và điềukhiển hệ thống đề tài mô hình hoá và thiết kế bộ điều khiển cho hệ pendubot

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.16 MB, 50 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

111Equation Chapter 1 Section 1BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP. HỒ CHÍ MINH

KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬBỘ MƠN TỰ ĐỘNG ĐIỀU KHIỂN

BÁO CÁO ĆI KÌ

Mơn học: NHẬN DẠNG VÀ ĐIỀUKHIỂNHỆ THỚNG

Tp. Hồ Chí Minh tháng 5 năm 2023

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

MỤC LỤC

DANH SÁCH HÌNH ẢNH...2

DANH SÁCH BẢNG...3

1.Mô Hình Đới Tượng:...1

1.1Giới thiệu Pendubot:...1

1.2Xây dựng phương trình tốn học:...1

2.Xây dựng môi trường mô phỏng:...9

2.1Xây dựng môi trường chung:...9

2.2Xây dựng hệ thống Pendubot:...10

3.Bộ điều khiển tối ưu:...13

3.1 Bộ điều khiển LQR:...13

3.1.1Cơ sở lý thuyết:...13

3.1.2Thiết kế bộ điều khiển LQR:...15

3.1.3Mô phỏng bộ điều khiển LQR cho hệ PENDUBOT:...17

3.1.4Kết quả mô phỏng:...19

3.2 Bộ điều khiển LQG:...20

3.2.1Tính tốn và thiết kế bộ lọc Kalman:...20

3.2.2Mơ phỏng bộ điều khiển LQR + Kalman:...22

3.2.3Kết quả mô phỏng:...23

4.Bộ điều khiển phi tuyến:...24

4.1Bộ điều khiển trượt:...24

4.1.1Cơ sở lý thuyết:...24

4.1.2Thiết kế bộ điều khiển trượt cho hệ thống SIMO:...24

4.1.3Thiết kế bộ điều khiển trượt cho hệ pendubot...27

4.1.4Mô phỏng bộ điểu khiển trượt cho hệ PENDUBOT:...29

4.1.5Kết quả mô phỏng bộ điểu khiển trượt cho hệ PENDUBOT:...38

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

DANH SÁCH HÌNH ẢNH

Hình 1:Một số mô hình pendubot...1

Hình 2: Mô hình hố Pendubot...1

Hình 3:Mơ hình động cơ điện 1 chiều...7

Hình 4: Thiết lập môi trường step 1...9

Hình 5: Thiết lập môi trường step 2...10

Hình 6: Thiết lập môi trường step 3...10

Hình 7:Cấu trúc khối Matlab-Function mô tả hệ xe Pendubot...11

Hình 8 Khối chuyển đổi q1 thành X1...12

Hình 9: Thông số trong khối Integrator và Integrator1...12

Hình 10: Thông số trong khối Integrator2 và Integrator3...12

Hình 11:Sơ đồ bộ điều khiển LQR...18

Hình 12:Thông số khới Gain...18

Hình 13:Tín hiệu điều khiển điện áp...19

Hình 14:Góc lệch thanh 1...19

Hình 15: Góc lệch thanh 2...20

Hình 16: Sơ đồ cấu trúc bộ lọc Kalman...20

Hình 17:Sơ đồ bộ điều khiển LQG...22

Hình 18:Góc lệch thanh 1...23

Hình 19:Góc lệch thanh 2...24

Hình 20: Cấu trúc bậc của các mặt trượt...25

Hình 21:Sơ đồ bộ điều khiển trượt...29

Hình 22 Lưu đồ giải thuật GA...31

Hình 23: Tín hiêu điều khiển u...36

Hình 24:Góc lệch thanh 1...37

Hình 25:Góc lệch thanh 2...37

Hình 26: Kết quả mô phỏng ngõ ra góc thanh 1...38

Hình 27: Kết quả mơ phỏng ngõ ra góc thanh 2...38

Hình 28 Tín hiệu điều khiển ngõ ra của bộ điều khiển trượt...39

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

DANH SÁCH BẢNG

Bảng 1: Kí hiệu các thơng sớ mơ hình...2

Bảng 2:Các thông số của mô hình...6

Bảng 3: Danh sách các khối cần sử dụng tạo hệ Pendubot...11

Bảng 4: Các khối sử dụng trong matlab simulation...23

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

1. Mô Hình Đới Tượng:1.1 Giới thiệu Pendubot:

Mơ hình Pendubot là mơ hình có ngõ vào điều khiển ít hơn số bậc tự do, có độ phi tuyến caovà rất khó để điều khiển. Pendubot với cấu trúc cơ khí khơng q phức tạp nên được nhiềunhà nghiên cứu sử dụng để kiểm tra giải thuật điều khiển trong các phịng thí nghiệm.Trongbài báo cáo này em sẽ xây dựng bộ điều khiển tối ưu LQR, bộ điều khiển phi tuyến (bộ điềukhiển trượt) dùng giải thuật GA tìm thơng số cho bộ điều khiển trượt ở vị trí TOP với thờigian dài.

Hình 1:Một sớ mơ hình pendubot

1.2 Xây dựng phương trình tốn học:

Hệ thống cơ khí kích thích dưới là một robot với một bộ truyền động ở khớp 1 và khớp 2quay tự do quanh khớp 1.

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

Từ cấu tạo của Pendubot ta cần xây dựng mô hình tốn học cho nó để phục vụ q trình tổnghợp bộ điều khiển và mơ phỏng trên máy tính một cách chính xác. Khi xây dựng phươngtrình động lực học ta sử dụng phương pháp Euler-Lagrange.

Phương trình Euler-Lagrange để mơ tả chuyển động của một hệ bảo tồn. Phương trình nàythường được dùng để khảo sát những chuyển động cân bằng như dao động hay quỹ đạo củacác hành tinh hệ cân bằng con lắc, xe cân bằng cũng như các hệ SIMO khác. Do vậy phươngtrình Euler – Larange đóng một vai trị rất quan trọng trong điều khiển nói chung và hệpendubot của nhóm nói riêng.

Dạng tổng quát của phương trình Euler – Larange.

212\* MERGEFORMAT (.)

Trong đó:

Các biến:q , 1 q và 2  . Trong đó,q và 1 q là các tín hiệu đầu ra và τ là tín hiệu đầu vào. Do hệ2pendubot có 1 tín hiệu vào vào hai tín hiệu ra điều khiển nên  là j  . Khi đó 1  dựa trên bộ1điều khiển được thiết kế. Mỗi biến được định nghĩa như sau:

Bảng 1: Kí hiệu các thơng sớ mơ hình

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

K: động năng (kinetic energy) V: Thế năng (potential energy) : lực tác dụng (generalized forces)

q: tọa độ suy rộng (generalized coordinates)

Với hệ toán học pendubot ta xét các thanh là đồng chất và có tâm của mỗi thanh ở vị trí chínhgiữa của mỗi khớp. Ta tiến hành xây dựng phương trình tốn học cho hệ pendubot thơng quatính tốn động năng và thế năng của hệ.

- Tổng động năng của hệ thống pendubot như sau:12

MERGEFORMAT (.)1

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

Khi đó: v22 x22y v22; 12 x12y12 12112\*MERGEFORMAT (.)

Từ (1.9) (1.10) (1.11)ta có:

Thay (1.12) (1.13) vào (1.4) (1.5) ta có phương trình động năng của hệ thống:

Thế năng của hệ pendubot là:

1 12 211sin 121sin 122sin( 12)

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

qd L

wD q q C q q q G q

Với 12

ww

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

Với q[q1 q2]T ;q và 1 q là góc của khớp 1 so với phương ngang và góc giữa thanh 2 so với2khớp 1; qvà q là vector vận tốc và vector gia tốc góc; 



1 0



T;  là mơ men xoắn bên1ngồi đưa vào thanh 1.

Vì D q( ) là ma trận đối xứng định nghĩa dương nên D q( ) có thể viết dưới dạng:



12



11 12 121222

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

Và

2( )



</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

33133\*MERGEFORMAT (.)

( )

cos1( )

( ) ( , )

qD q

qD q C q q q

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

Hình 3:Mô hình động cơ điện 1 chiều

Ta thay (1.36) (1.35) vào (1.33) (1.34) ta có phương trình động học mới của pendubot:12

MERGEFORMAT (.)21( ) 1( )

MERGEFORMAT (.)34

MERGEFORMAT (.)42( ) 2( )

MERGEFORMAT (.)Với

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

Biến trạng thái mới X [X X X X1234]T để thay thếx[x x x x1 2 3 4]T.Mục đích là để lái biến

trạng thái X về 0 khi hệ thống ổn định. X sẽ được đặt như sau: X1 x1 2 

; X2 x2;X3 x3

X x .Thay x1 X1 2

;x2 X2; x3 X3; x4 X4 vào F x , 1( ) B x , 1( ) F x , 2( ) B x ta2( )được F X , 1( ) B X , 1( ) F X , 2( ) B X .2( )

 Ta thay biến trạng thái mới X [X X X X1234]Tta có phương trình động học mới củapendubot:

MERGEFORMAT (.)221( ) 1( )

MERGEFORMAT (.)Trong đó:

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

- Bước 1: Vào Modeling, chọn Model settings. Hoặc nhấn Ctrl + E để vào Model settings.

Hình 4: Thiết lập môi trường step 1

- Bước 2: Chọn lần lượt Solver => Type: chọn Fixstep => Fixstep size: 0.01

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

Hình 5: Thiết lập môi trường step 2

- Bước 3: Chọn lần lượt Data Import/Export => Tắt Single simulation output như hình bêndưới

Hình 6: Thiết lập môi trường step 3

2.2 Xây dựng hệ thống Pendubot:

 Các khối cần sử dụng:

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

 Bảng 3: Danh sách các khối cần sử dụng tạo hệ Pendubot

Matlab Function Simulation/ Library Browser/ Simulink/ User-Defined Functions/ MATLAB Function.

Continuous/ Integrator.

Hình 7:Cấu trúc khối Matlab-Function mô tả hệ xe Pendubot

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

Hình 8 Khối chuyển đổi q1 thành X1

Hình 9: Thông số trong khối Integrator và Integrator1

Hình 10: Thông số trong khối Integrator2 và Integrator3

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

 Chương trình chuyển đổi q1 thành X1 khối Matlab-Functionfunction x1 = fcn(q1)

X1= q1-pi/2;

 Chương trình mơ tả hệ thống pendubot ở khối Matlab-Function

3. Bộ điều khiển tối ưu:

%%Programmed by Võ Hữu Thành Nhân-20151527%Date 24/04/2023

function [q1_2d,q2_2d] = fcn(q1,q1_d,q2,q2_d,u)m1=0.137;

q1_2d=1/(beta1*beta2-beta3^2*(cos(q2))^2+K3*beta2)*(beta2*beta3*sin(q2)*(q1_d+q2_d)^2+beta3^2*cos(q2)*sin(q2)*q1_d^2-beta2*beta4*g*cos(q1)+beta3*beta5*g*cos(q2)*cos(q1+q2)+beta2*K1*u-K2*beta2*q1_d);q2_2d=-(beta5*g*cos(q1 + q2)*(K3 + beta1 + beta3*cos(q2)) - beta4*g*cos(q1)*(beta2 +

beta3*cos(q2)) - K2*q1_d*(beta2 + beta3*cos(q2)) + beta3*sin(q2)*(q1_d + q2_d)^2*(beta2 + beta3*cos(q2)) + K3*beta3*q1_d^2*sin(q2) + beta3*q1_d^2*sin(q2)*(beta1 + beta3*cos(q2)))/(- beta3^2*cos(q2)^2 + K3*beta2 + beta1*beta2) - (K1*u*(beta2 + beta3*cos(q2)))/(-

beta3^2*cos(q2)^2 + K3*beta2 + beta1*beta2);

</div>Trang 22<div class="page_container" data-page="22">

3.1 Bộ điều khiển LQR:3.1.1 Cơ sở lý thuyết:

Ta có ma trận A và B khi ta điều khiển pendubot ở vị trí top được tính như sau:5312Equation Chapter (Next) Section 1542Equation Section (Next)553Equation Section(Next)

x xu



</div>Trang 23<div class="page_container" data-page="23">

( ) ( ) ( )

* MERGEFORMAT (.)

Trong đó: ( ) [ ( ), ( ),..., ( )]12 Tn

x t  x t x tx t : Vector trạng thái.

( ) [ ( ), ( ),..., ( )]Tm

u t u t u tu t : Vector tín hiệu điều khiển.

Bài tốn đặt ra là tìm tín hiệu điều khiển 𝑢(𝑡) điều chỉnh hệ thống từ trạng thái đầu 𝑥(0) = x0

bất kỳ về trạng thái cuối x t( )f = 0 sao cho tối thiểu chỉ tiêu chất lượng dạng toàn phương.

J u  x t Mx t 



x t Qx t u t Ru t dt

61361\*MERGEFORMAT (.)

Trong đó: 𝑄 và 𝑀 là các ma trận trọng số bán xác định dương. 𝑅 là ma trận trọng số xác định dương.

Bài toán trên được gọi là bài toán điều chỉnh tồn phương tuyến tính.Hàm Hamilton:

Điều kiện cần để có lời giải tối ưu:

64364\*MERGEFORMAT (.)

</div>Trang 24<div class="page_container" data-page="24">

68368\*MERGEFORMAT (.)

Giải phương tình vi phân (3.9), tìm được 𝑥(𝑡) và 𝜆(𝑡). Thay 𝜆(𝑡) vào (3.7) ta tìm được lời giảitối ưu.

m2=0.042;l1=0.2;l2=0.22;lc1=0.1016;lc2=0.1052;I1=0.0017;I2=0.0001477;

</div>Trang 25<div class="page_container" data-page="25">

X2_d=1/(beta1*beta2 -beta3^2*(cos(X3))^2+K3*beta2)*(beta2*beta3*sin(X3)*(X2+X4)^2 + beta3^2*cos(X3)*sin(X3)*X2^2 - beta2*beta4*g*cos((X1+pi/2))+ beta3*beta5*g

*cos(X3)*cos((X1+pi/2)+X3) + beta2*K1*u - K2*beta2*X2);X4_d=-(beta5*g*cos((X1+pi/2)+X3)*(K3+beta1+beta3*cos(X3)) -

beta4*g*cos((X1+pi/2))*(beta2+beta3*cos(X3)) - K2*X2*(beta2+beta3*cos(X3)) + beta3*sin(X3)*(X2 + X4)^2*(beta2+beta3*cos(X3)) + K3*beta3*X2^2*sin(X3) +

beta3*X2^2*sin(X3)*(beta1+beta3*cos(X3)))/(-beta3^2*cos(X3)^2+K3*beta2+beta1*beta2)-(K1*u*(beta2 + beta3*cos(X3)))/(- beta3^2*cos(X3)^2 + K3*beta2 + beta1*beta2);

</div>Trang 26<div class="page_container" data-page="26">

 Sau khi có được ma trận A và ma trận B ta tiến hành tuyến tính hố quanh điểm cân bằngTOP khi X1=0; X2=0; X3=0; X4=0; u=0:

Ta sẽ có được ma trận A và ma trận B như sau:

Ta sẽ tính K dựa vào hàm của matlab:

A =[ 0 1.0000 0 0; 43.2177 -0.1841 -17.2778 0; 0 0 0 1; -34.8035 0.4497 112.9692 0]B =[ 0;

2.6235; 0; -6.4084]

Q=[1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 1 0;0 0 0 1]; R=1;

P = care(A,B,Q,R) K= lqr(A,B,Q,R)



155.229 -29.9187 -155.1856 -17.6754



K  

3.1.3 Mô phỏng bộ điều khiển LQR cho hệ PENDUBOT:

Ta sẽ chọn thơng số đầu vào cho góc lệch thanh 1, vận tốc góc thanh 1, góc lệch thanh 2,vận tốc góc thanh 2:

</div>Trang 27<div class="page_container" data-page="27">

Hình 11:Sơ đồ bộ điều khiển LQR

Hình 12:Thông số khối Gain

3.1.4 Kết quả mơ phỏng:

</div>Trang 28<div class="page_container" data-page="28">

Hình 13:Tín hiệu điều khiển điện áp

Hình 14:Góc lệch thanh 1

</div>Trang 29<div class="page_container" data-page="29">

Hình 15: Góc lệch thanh 2

Nhận xét:

+Khi ta sử dụng bộ điều khiển tối lưu LQR cho hệ thống pendubot khi khơng có nhiễu tanhận thấy thanh 1 và thanh 2 ổn định tại vị trí cân bằng nhanh và biên độ dao động ít. Cụ thếthanh 1 chỉ mấy 1,3(s) để ở vị trí cân bằng và góc lệch lớn nhật là 0.15(rad), thanh 2 mấy 1(s)để ở vị trí cân bằng và góc lệch lớn nhất là 0.19(rad).

+Khi có nhiễu vơ góc lệch thanh 1 và góc lệch thanh 2 thì ta nhận thấy bơ điều khiển LQRkhơng cịn điều khiển hệ thống được tốt nữa. Và nó cũng tiêu tốn nhiều năng lượng hơn.

3.2 Bộ điều khiển LQG:

3.2.1 Tính tốn và thiết kế bộ lọc Kalman:

Hình 16 : Sơ đồ cấu trúc bộ lọc Kalman

</div>Trang 30<div class="page_container" data-page="30">

75 3 75 \* MERGEFORMAT (.)

Trong đó:

LC R

 76 3 76 \* MERGEFORMAT (.)

+ L độ lợi ước lượng.

+ C là ma trận xác định trạng thái quan sát ngõ ra y.+ RN là phương sai của nhiễu tác động lên hệ thống. +  nghiệm của phương trình Ricatti.

Tính tốn cho bộ lọc nhiễu Kalman:

Từ cơng thức (3.21), tìm độ lợi bộ lọc Kalman:

</div>Trang 31<div class="page_container" data-page="31">

3.2.2 Mô phỏng bộ điều khiển LQR + Kalman:

Hình 17 :Sơ đồ bộ điều khiển LQG

Chương trình cho bộ điều khiển:

%%Programmed by Võ Hữu Thành Nhân-20151527%Date 14/06/2023

A =[ 0 1.0000 0 0; 43.2177 -0.1841 -17.2778 0; 0 0 0 1.0000;

-34.8035 0.4497 112.9692 0]B =[ 0;

2.6235; 0; -6.4084]

Q=[1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 1 0;0 0 0 1];R=1;

C=[1 0 0 0;0 0 1 0];G=diag([1 1 1 1]);QN=0.00000001*eye(4)RN=[0.0001 0;0 0.0001];

</div>Trang 32<div class="page_container" data-page="32">

P=care(A,B,Q,R)L=lqe(A,G,C,QN,RN) K= lqr(A,B,Q,R)

Bảng 4 : Các khối sử dụng trong matlab simulation

User-Defined Functions/ MATLABFunction.

</div>Trang 33<div class="page_container" data-page="33">

Hình 19 :Góc lệch thanh 2

Nhận xét: khi ta thêm bộ lọc Kalman vào thì tín hiệu đầu ra mượt hơn và nó bám theo cái tínhiệu nhiễu nhưng góc lệch vẫn dao động xung quanh vị trí cân bằng. Bộ điều khiển LQG vẫnđiều khiển tốt hơn bộ điều khiển LQR khi có nhiễu

4. Bộ điều khiển phi tuyến:4.1 Bộ điều khiển trượt:

4.1.1Cơ sở lý thuyết:

Trong bài báo cáo này, một bộ điều khiển chế độ trượt phân cấp được phát triển cho lớp nàycủa các hệ thống SIMO hoạt động kém. Theo cách tiếp cận này, một hệ thống hoạt động kémnhư vậy được chia thành nhiều hệ thống con theo cấu trúc vật lý của nó. Mặt trượt của mọi hệcon được xác định, khi đó mặt trượt của một hệ con được chọn làm mặt trượt lớp thứ nhất.mặt trượt lớp thứ hai với mặt trượt của một hệ thống con khác. Quá trình này tiếp tục cho đếnkhi bao gồm tất cả các bề mặt trượt của hệ thống con.

4.1.2Thiết kế bộ điều khiển trượt cho hệ thống SIMO:

Xác định bề mặt trượt của nó là:794Equation Section (Next)2 12

MERGEFORMAT (.)

</div>Trang 34<div class="page_container" data-page="34">

Trong đó c là một hằng số dương. Đạo hàm is theo thời gian t trong (4.3) thì tồn tại:i

s c x  x c x  f b u

81481\*MERGEFORMAT (.)

Đặt s = 0 trong (4.4), tín hiệu điều khiển tương đương của hệ thống con thứ i thu được là:i

Cấu trúc phân cấp của trượt, bề mặt trượt được thiết kế theo mô tả sau đây. Một hệ con đượcchọn làm mặt trượt lớp thứ nhất S . Dùng để dựng mặt trượt lớp thứ hai 1 S có mặt trượt là2một hệ thống con khác.Q trình này tiếp tục cho đến khi tất cả các mặt trượt của hệ thốngcon Khơng mất tính tổng qt, s được định nghĩa là 1 S . Cấu trúc của các bề mặt trượt được1thể hiện trong Hình 16.

Hình 20: Cấu trúc bậc của các mặt trượt

Hình 16, mặt trượt của lớp thứ i bao gồm tồn bộ thơng tin của các mặt trượt i - 1 lớp khác vàmặt trượt thứ i của hệ thống con. Kết quả, mặt trượt lớp thứ i được xác định như sau:

</div>Trang 35<div class="page_container" data-page="35">

nghĩa là: ui ui1ueqiuswi 84484\*MERGEFORMAT (.)

Trong đó: u  và 0 0 u là điều khiển chuyển mạch của lớp mặt trượt thứ i.swi

Luật điều khiển (4.5) trên có thể suy ra từ ổn định Lyapunov:

2( )

SV t 

85485\*MERGEFORMAT (.)

Đạo hàm V theo thời gian (4.4) ta có được cơng thức sau:i

87487\*MERGEFORMAT (.)

Trong đó: aj= (j=1,2,…,i-1) là hằng số,vàia =1.i

iiii iijr

j rr

iijrrrr irj r

Quan sát tính ổn định của mặt trượt thứ i ta có:sgn

ii iii

MERGEFORMAT (.)

</div>Trang 36<div class="page_container" data-page="36">

trong đó k và i  là các hằng số dương.i

Từ (4.10) và (4.11) luật điều khiển chuyển mạch của lớp thứ i có thể thu được như sau:

jreqllrj r

91491\*MERGEFORMAT (.)

Với i = n từ (4.5) và (4.12) sau đó thứ bậc của luật trượt được thể hiện như sau:1

Trong(4.13), chỉ điều khiển chuyển đổi của bộ điều khiển chế độ trượt lớp cuối cùng. Cácđiều khiển chuyển đổi của (n-1) lớp thấp hơn khác được hợp nhất. Giai đoạn chế độ tiếp cận,khi bất kỳ trạng thái nào của một hệ thống con lệch khỏi trạng thái của chính nó bề mặt trượtcủa hệ thống con, điều khiển chuyển mạch của lớp cuối cùng sẽ điều khiển nó quay lại. Dođó, trong giai đoạn chế độ trượt, các trạng thái của hệ thống tiếp tục trượt trên mặt trượt lớpcuối cùng.

4.1.3 Thiết kế bộ điều khiển trượt cho hệ pendubot

Như chúng ta thấy muốn xây dựng bộ điều khiển trượt cho hệ pendubot thì hệ thống phải códạng như phương trình 4.1. Mà theo phương trình 4.1 khi mà điều khiển được thìX1,X2,X3,X4 phải tiến về 0 hết. Trong khi đó chúng ta muốn điều khiển hệ pendubot ở vị tríTop tức q1 tiến về pi/2 và q2 tiến về 0. Như vậy thì khi đến vị trí cân bằng thì q1 khơng có về0. Do đó chúng ta đặt biến mới như sau:

</div>