ĐA THỨC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG 10 ĐIỂM

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (669.9 KB, 53 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

UBND TỈNH QUẢNG NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM

KHOA TỐN

------

HUỲNH THỊ HỊA

ĐA THỨC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Quảng Nam, tháng 4 năm 2017

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

UBND TỈNH QUẢNG NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN

ThS. DƯƠNG THỊ THU THÚY MSCB: T34-15111-26647

Quảng Nam, tháng 4 năm 2017

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

LỜI CẢM ƠN

Sau khoảng thời gian học tập và nghiên cứu dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của cơ giáo ThS. Dương Thị Thu Thúy đến nay khóa luận tốt nghiệp của tơi đã được hồn thành.

Tôi xin bày tỏ sự kính trọng cũng như lịng biết ơn sâu sắc tới cô giáo ThS. Dương Thị Thu Thúy đã trực tiếp hướng dẫn tôi, luôn quan tâm và chỉ dẫn tận tình để tơi hồn thành khóa luận này.

Tôi cũng xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến tất cả các thầy cô giáo trong nhà trường, đặc biệt là các thầy cơ giáo trong khoa Tốn đã tận tình chỉ dạy, truyền đạt cho tơi những kiến thức bổ ích và quý báu trong suốt 4 năm học vừa qua. Xin cảm ơn sự giúp đỡ, chia sẻ của tất cả các bạn trong lớp DT13STH01 trong thời gian 4 năm học tại trường cũng như để tôi hồn thành khóa luận này.

Tuy nhiên do thời gian và năng lực có hạn nên chắc chắn khóa luận khơng tránh khỏi những sai sót. Vì vậy, tơi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn để khóa luận được hồn thiện hơn.

Cuối cùng, tơi xin kính chúc quý thầy cô sức khỏe, hạnh phúc và thành cơng trong sự nghiệp trồng người của mình.

Quảng Nam, ngày 25 tháng 04 năm 2017 Sinh viên thực hiện

Huỳnh Thị Hòa

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ... 1

1. Lí do chọn đề tài ... 1

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ... 1

4. Phương pháp nghiên cứu ... 1

1.2.2.5. Định lí về nghiệm hữu tỉ của đa thức ... 12

1.2.2.6. Định lí nghiệm nguyên của đa thức ... 13

CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC ... 15

2.1. Phân tích đa thức thành nhân tử ... 15

2.1.1. Phương pháp dùng nghiệm phức ... 15

2.1.2. Phương pháp hệ số bất định ... 17

2.1.3. Phương pháp đặt ẩn phụ ... 20

2.1.4. Phương pháp sử dụng cách tìm nghiệm nguyên và nghiệm hữu tỉ của đa thức ... 21

2.2. Giải phương trình đại số ... 23

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

2.2.1. Phương trình bậc hai ... 23

2.2.2. Giải phương trình bậc ba ... 25

2.2.3. Giải phương trình bậc bốn ... 30

2.2.4. Giải phương trình bậc cao hơn bốn ... 33

2.3. Sử dụng đa thức trong các bài toán số học ... 37

2.4. Bài toán xác định đa thức ... 40

2.4.1. Xác định đa thức bằng phương pháp hệ số bất định ... 40

2.4.2. Xác định đa thức theo các đặc trưng số học ... 42

2.4.3. Xác định đa thức theo các đặc trưng nghiệm ... 44

KẾT LUẬN ... 47

TÀI LIỆU THAM KHẢO ... 48

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài

Trong chương trình tốn học phổ thơng, đa thức là một chuyên đề được đề cập đến trong chương trình tốn lớp 7, sau đó chúng đều có mặt xuyên suốt đến hết chương trình tốn Trung học phổ thơng ở dạng tường minh hay ẩn tàng. Đa thức là công cụ giúp cho học sinh giải quyết các bài toán từ đơn giản như phân tích đa thức thành nhân tử, giải phương trình bậc hai, bậc ba, bậc bốn…, cho đến vận dụng giải các bài toán liên quan đến số học, chứng minh bất đẳng thức… Tuy nhiên, việc vận dụng đa thức để giải các dạng toán đó khơng phải là việc mà bất kỳ học sinh nào cũng có thể làm nhuần nhuyễn. Chúng thường gây lúng túng cho học sinh bởi vì trong quá trình học đa thức chỉ được đề cập ở dạng kiến thức cơ bản nhất và các bài tập ứng dụng lại

nằm rải rác không liên tục.

Là một giáo viên trong tương lai tôi muốn trang bị cho mình vốn kiến thức tốn học nói chung và đa thức nói riêng thật chắc để sau này làm tốt vai trị của cơ giáo dạy

tốn. Vì tất cả những lý do trên tơi đã chọn đề tài: “ Đa thức và một số ứng dụng” để

làm khóa luận tốt nghiệp của mình.

2. Mục tiêu nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu nhằm giúp cho người đọc nắm được những kiến thức cơ bản về đa thức. Từ đó đi sâu vào nghiên cứu một số ứng dụng của đa thức và có phương

pháp giải phù hợp đối với một số dạng toán cụ thể.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Dùng đa thức để giải quyết một số bài toán liên quan đến số học, giải phương trình đại số, phân tích đa thức thành nhân tử và một số bài toán xác định đa thức.

Phạm vi nghiên cứu: Trong chương trình tốn Trung học phổ thông.

4. Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tài liệu, đọc hiểu tài liệu. - Phân tích, tổng hợp các kiến thức. - Trao đổi, thảo luận với chuyên gia.

5. Đóng góp của đề tài

Đề tài sau khi hoàn thiện là một tài liệu tham khảo để các giáo viên, học sinh nghiên cứu, bồi dưỡng chuyên môn, nâng cao kiến thức về đa thức.

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

6. Cấu trúc đề tài

Khóa luận gồm phần mở đầu và hai chương:

- Chương 1: Kiến thức chuẩn bị - Chương 2: Ứng dụng của đa thức

Phần kết luận và tài liệu tham khảo.

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

Tập hợp tất cả các đa thức với hệ số lấy trong vành A được kí hiệu là [ ]A x . Nếu

các hệ số được lấy trên tập hợp các số hữu tỉ, các số nguyên, số thực hay số phức, thì ta có khái niệm đa thức với hệ số hữu tỉ, đa thức với hệ số nguyên, đa thức với hệ số thực và đa thức với hệ số phức. Tương ứng là các tập hợp [ ], [ ],xx [ ]x và [ ]x .

Ví dụ 1.1. Cho f(x) x54x47x2x8 là đa thức với hệ số thực, ẩn x và x5 là hạng tử cao nhất của f(x).

Định nghĩa 1.2. ( Đa thức bất khả quy)

Giả sử ( )f x A x[ ] là đa thức có bậc lớn hơn 0. Ta nói ( )f x là bất khả quy trên

trường A nếu nó khơng thể phân tích được thành tích hai đa thức bậc dương khác 0 và nhỏ hơn bậc của f x . Trường hợp ngược lại thì ( )( ) f x được gọi là khả quy hay phân

tích được trên A. Nghĩa là f x( )g x h x( ) ( ), với 0 deg ( ) deg ( ) g x  f x và 0 deg ( ) deg ( ). h x  f x

Tính chất bất khả quy của đa thức ln phụ thuộc trường cơ sở.

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

Ví dụ 1.2. Cho đa thức: f x( )x105x88x7x46x317x9 có bậc là 10 và kí hiệu: deg f(x)10.

Định lí 1.1. Bậc của tổng hai đa thức không lớn hơn bậc cao nhất trong hai đa thức đó, tức là:

f x g x  a b x   a b x a b . Do đó: deg(f  )g n và deg(f  )g n khi an bn 0. + Nếu m thì: n

Do đó: deg(f g) n Max n m





Max



deg( ),deg( )fg



Ví dụ 1.3. Cho hai đa thức:

f x( ) x63x54x47x2  ; x 8 g x( )x72x6x43x2  . 3x 7 Suy ra f(x)g(x) x7 x6 3x5 5x44x24x1.

Ta có: deg ( ) 6f x  và deg ( ) 7g x  nên suy ra: Max



deg( ),deg( )fg



 . 7Do đó: deg(f g) 7 Max



deg( ),deg( )fg



Định lí 1.2. Bậc của tích hai đa thức khác khơng bằng tổng các bậc của hai đa thức đó, tức là:

f x g x a b x    a b a b x a b . Vậy: deg(f.g)nmdeg(f)deg(g).

Ví dụ 1.4. Cho hai đa thức

f x( )x7 x 8; g x( )x3x2 3x 7.

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

Từ định nghĩa ta suy ra phép cộng các đa thức của A[x] có các tính chất sau (để cho gọn ta kí hiệu các đa thức bởi f,g,h).

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

Suy ra f x g x( ) ( )x10x93x87x7x49x311x217x56

Từ định nghĩa ta cũng suy ra phép nhân các đa thức của A[x]có các tính chất sau:

Tính chất 1.2. Với mọi ,f gA x[ ], ta có:

i) Giao hoán: fggf . ii) Kết hợp: ( )fg h f gh( ).

iii) Tồn tại đa thức đơn vị, đó là đa thức 1 0 xn  0x1 sao cho:

( ).1 1. ( ) ( )

f x  f x  f x , f x( )A x[ ]. iv) Phép nhân đa thức phân phối đối với phép cộng đa thức:

+ Nếu tồn tại k ,k  sao cho 1 f(x)(x)k nhưng f(x) không chia hết 1

(x)k thì  được gọi là nghiệm bội bậc k của đa thức f(x). Khi đó, ta có: )

(xxgxf   k

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

f( )( ). ( ) (1.1). Thay xvào (1.1) ta được: f( )



 f(

 

 ). ( )g x r. Suy ra: f(



)r.

Hệ quả. f(x)chia hết cho x khi và chỉ khi f()0

Ví dụ 1.7. Cho đa thức f x( ) x3 12x242. Phép chia đa thức f(x) cho x3 được thương là x29x27 và số dư là 123  f(3).

Sơ đồ Horner

Sơ đồ Horner dùng để tìm đa thức thương và dư trong phép chia đa thức f(x)

cho x. Cách làm như sau: Giả sử:

f( ) ( )( 



) . trong đó, các hằng số của g(x) được xác định như sau:

a nan1  a 1 a 0

 bn  anbn1bn an1  b1 b2  a1 b0 b1 a0

Quy tắc: Mỗi phần tử ở dòng dưới bằng tích của  với phần tử đứng ngay trước

nó cộng với phần tử tương ứng ở dịng trên.

1.2.2.2. Định lí 1.4. ( Định lí khai triển một đa thức theo các nghiệm )

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

Cho f(x)A[x] có nghiệm 1,2,,m với bội tương ứng k1,k2,,km thì tồn tại g(x)A[x] và g

 

i 0, với mọi i1, 2, , m. Sao cho:

Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo m.

+ m1, được suy ra từ định nghĩa nghiệm bội của đa thức.

+ m1, theo giả thiết quy nạp, tồn tại h(x)A[x] và h(i)0 với mọi

i = 1,2,…,m - 1.Sao cho:

Vì m là nghiệm của f(x) nên ta có:

Do m với mọi i = 1,2,…,m - 1 nên ih(m)0. Giả sử:

 

xgx

trong đó g(i)0 với mọi i1, 2, , m.

Ví dụ 1.8. Cho đa thức f x( ) x5 7x312x2 6x 36 [ ]x có hai nghiệm nguyên là 2 và 3. Khi đó, tồn tại g x( )   x3 x2 6 [ ]x và ( 2) 0, (3) 0g   g  sao cho:

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

x1, 2,, thì ta có:

21 21 31

31 2 321

01 2

...( 1)

aax xx xx x

aax x xx x x

x xx

     

Lấy (1.2) - (1.3) ta được:

1 x bx x 

 (x1x2)



a(x1x2)b



0+ Xét x1 x2 0  x1  x2thì:

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

+ Xét a(x1x2)b0

abxx1 2 Ta có:

 12 1 0

Thay

x1 2  vào (1.4) ta được:

( 1 2) 1 0

1 

  12 12 1 2 a0



 1 2 a0

 ax1x2 c0 

1 bx cx d 

 ( ) ( ) ( 1) 02

3x bx x cxx 

 ( )[ ( ) ( 1) ] 02

 ( )[ ( ) 1 ] 02

x   1  1

32

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

 x1x2 x3 ab .

x     2  1

x2  1 2  3 1

x  2  1 2 1 3

 1 2 1 3



x1 2  2 3  1 3  . Tương tự, ta cũng có:

ax3 bx2cxd 0,(a0)  2 1 0

 ( ) ( 122313) 1 02

 ax1x2x3 d 0 

x1 2 3  .

Ví dụ 1.10. Cho phương trình bậc ba: 3x3x2 5x10. Theo định lí Vi-et ta có:

1.2.2.4. Định lí 1.6. (Định lí Vi-ét đảo )

Cho n số thực bất kỳ x1,x2,,xn. Đặt:

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

a p q . Mà ( , ) 1p q  ( , ) 1p qn  , nên |q a (1.5). n

Tương tự chứng minh p a : | 0

0 n ( n 1 1 n 2 1 n1)

a qp a p  a p q a q 

     nên a q p0 n Mà ( , ) 1p q  ( , ) 1p qn  , nên p a (1.6) | 0

Từ (1.5) và (1.6) ta cóp là ước của a và 0 q là ước của a . n

Hệ quả:

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

Các số cần thử: 1, 1, 1, 1, 2, 2

     

Nhẩm thấy 1, ,1 22 3

  là nghiệm của f x( ). Dùng sơ đồ Horner, ta được:

6 5 0 -4 -3 2 -1

6 -1 1 -5 2 0 6 2 2 -4 0

3.

1.2.2.6. Định lí 1.8. ( Định lí nghiệm nguyên của đa thức)

Nếu    là nghiệm nguyên của đa thức 1

 và ( 1)1

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

Ví dụ 1.12. Tìm nghiệm ngun của đa thức:

f x( ) 3 x45x3x25x2.

Bài giải

Ta có: (1) 12f  và ( 1)f    , do đó 8 1 khơng phải là nghiệm của ( )f x .

Nghiệm nguyên nếu có của ( )f x phải là ước của 2 là  1, 2. Ta xét:

 2 2(1)



( 1)1

4 12

8 83

Thử lại ( 2) 0f   nên -2 là nghiệm của phương trình Vậy nghiệm nguyên của ( )f x là: 2

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

Trong chương trình tốn lớp 8, học sinh được học cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm, đặt nhân tử chung, hằng đẳng thức. Trong khóa luận này, tác giả xin trình bày thêm một số phương pháp sau đây:

2.1.1. Phương pháp dùng nghiệm phức

Sử dụng đoán nghiệm phức của một đa thức với hệ số thực. Chú ý rằng nếu một đa thức với hệ số thực có một nghiệm phức  abi thì nó cũng có một nghiệm phức liên hợp  abi và khi đó (x



)(x



)là một tam thức bậc hai với hệ số thực.

Bài tốn 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử trên và

a/ f(x)x4x21(x2 x1)2; b/ g(x) x44.

Bài giải

a/ f(x)x4x21(x2 x1)2

Vì f(i) f(i)0 nên x và ixi là nghiệm của f(x).

Chia f(x) cho (xi)(xi)x21 ta được f(x)(x2 1)(x2 x1). Vậy trên : f(x)(x2 1)(x2 x1).

Trên : f(x)(xi)(xi)x12i 3x12i 3. b/ g(x) x4 4

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

Xét trên : ta thấy rằng trong bốn cặp nghiệm phức của g(x)có hai cặp nghiệm liên hợp nhau đó là (1i) và(1i). Ta có:

(x ix i  x2  x ; (x(1i))(x(1i))x22x2.

+ Khi k 3 thì 1 2 2

x   i ; + Khi k 4 thì x4   ; 1

+ Khi k 5 thì 5 2 2

x   i ; + Khi k 6 thì x6   ; i

+ Khi k 7 thì 7 2 2

x  i . Ta có: xk  x8k (k=0,1,…7).

Khi đó: h x( ) ( x1)(x1)



x21





x2 2x1



x2 2x1



</div>Trang 23<div class="page_container" data-page="23">

Các ước của 25 là



  1, 5, 25



và các ước của 1 là

 

 . 1

Suy ra



  1, 5, 25



không phải là nghiệm của đa thức nên f(x) khơng có nghiệm ngun cũng khơng có nghiệm hữu tỷ.

Như vậy nếu f(x) phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng: f(x)(x2 axb)(x2cxd) với a,b,c,d

= x4(ac)x3(acbd)x2 (adbc)xbd . Đồng nhất thức ta được hệ phương trình:



Xét bd 25 với b,d , nên b



1,5,25



. + Với b5d 5 ta có hệ phương trình

a cac

   

   



a caca c

   

   

(Vô lý).

+ Với b     ta có hệ phương trình 5 d 52

a cac

 

 

   

 

Vì sự phân tích đa thức thành nhân tử là duy nhất nên: 25109

(x x4 x3  x2  x

= (x2 x5)2. Vậy trên :

</div>Trang 24<div class="page_container" data-page="24">

(xx2 axbx2 cxd

g      với a,b,c,d

= x4 (ac)x3(acbd)x2(ad bc)xbd. Đồng nhất thức ta được hệ phương trình:

a cac b dad bc

  

   

   

Xét bd  với 9 b,d nên b   



1, 3, 9



. + Với b     ta có hệ phương trình: 3 d 3

a caca c

  

   

</div>Trang 25<div class="page_container" data-page="25">

Đồng nhất thức ta được hệ phương trình: 1

    

 12

  

Khi đó: f t( )t t( 7 ) 10x  x2

 t2 7tx10x2.

Ta xem t27tx10x2 là đa thức bậc hai ẩn t, đa thức này có hai nghiệm là 2x

và 5x .

</div>Trang 26<div class="page_container" data-page="26">

( ) ( 2) 103 10( 2)( 5).

h tt tttt

     

2.1.4. Phương pháp sử dụng cách tìm nghiệm nguyên và nghiệm hữu tỉ của đa thức

Bài tốn 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử

</div>Trang 27<div class="page_container" data-page="27">

  . Suy ra

  là



2, 3 .



Dùng sơ đồ Horner ta được:

1 2 -4 -5 -6 -3

1 -1 -1 -2 0 1 1 1 0

Khi đó: f x( ) ( x3)(x2)(x2 x 1). Vậy trên : f x( ) ( x3)(x2)(x2 x 1).

  , suy ra:

  là 12   Dùng sơ đồ Horner ta được:

2 -1 -4 2 -30 15 1

</div>Trang 28<div class="page_container" data-page="28">

2.2. Giải phương trình đại số[1],[2],[3]

Trong phần này ta xét các đa thức trên trường số thực và quan tâm đến nghiệm thực của phương trình tương ứng.

+ Nếu   phương trình có hai nghiệm thực phân biệt là: 0

bx

</div>Trang 29<div class="page_container" data-page="29">

Trong mục này, tác giả chỉ muốn đề cập một số bài toán chứng minh tồn tại nghiệm thỏa mãn điều kiện nào đó, mà phương pháp ở trên khơng thực sự tối ưu hơn so với việc sử dụng tính chất của đa thức.

Bài tốn 1. Cho cặp số dương ,a b với a b và a b  . Gọi ,1 u v là các nghiệm của nn

tam thức bậc hai:

f x  x b x a n . Chứng minh rằng: u vn, n ( 1;1), n *.

  

</div>Trang 30<div class="page_container" data-page="30">

22 222

(q q ) 2(q q ) 0 . Hay: q 2 q2  2(q1q1).

Thật vậy, ta có:

Đặt: h q( )q 2q2  2(q1q1). Khi đó:

22

</div>Trang 31<div class="page_container" data-page="31">

(u v )  p u v(  ) q 0

 u3   v3 q (u v)(3uv p ) 0 . Chọn u v, thỏa mãn

33 3

Nên

u     và

v     . Gọi u là một căn bậc ba của 1

pu v 

  . Khi đó phương trình (2.3) có nghiệm là:

22111; 211 ; 311 .

</div>Trang 32<div class="page_container" data-page="32">

q  p  .

+ Nếu

04 27

q  p  phương trình (2.3) có một nghiệm thực duy nhất y1  u1 v1

và hai nghiệm phức liên hợp. + Nếu

04 27

q  p  phương trình (2.3) có ba nghiệm thực, trong đó có một

nghiệm kép: y1 2u1và y2  y3   . u1

+ Nếu

04 27

  phương trình (2.3) có ba nghiệm thực y y y phân biệt 1, ,2 3

2111, 211

y u v y u v và 2311

y u v với 1 3 2 1 3,

        . Trong phần này, khóa luận trình bày phương trình bậc ba dưới góc nhìn của đa thức, cụ thể qua các bài toán sau:

Bài tốn 1. Giải phương trình 4x33x m m ,  (2.4). 1

Bài giải

Đặt: m c os cos(2 ) . Khi đó phương trình (2.4) trở thành:

xx cxx c

 

  

 

Vậy phương trình có ba nghiệm là :

1 os3

</div>

ĐA THỨC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG 10 ĐIỂM

UBND TỈNH QUẢNG NAM

<b>TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM </b>

<b>KHOA TỐN </b>

------

<b>HUỲNH THỊ HỊA </b>

<b>ĐA THỨC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG </b>

<i><b>KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC </b></i>

<i><b>Quảng Nam, tháng 4 năm 2017 </b></i>

UBND TỈNH QUẢNG NAM

<b>TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN </b>

<i><b>ThS. DƯƠNG THỊ THU THÚY MSCB: T34-15111-26647 </b></i>

<i>Quảng Nam, tháng 4 năm 2017 </i>



















 





 

 























 

















Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về