ĐA THỨC TỐI TIỂU CỦA TỰ ĐỒNG CẤU VÀ ỨNG DỤNG

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.19 MB, 51 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Quảng Nam, tháng 5 năm 2018

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM

ThS. PHẠM NGỌC HOÀNG

Quảng Nam, tháng 5 năm 2018

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

LỜI CẢM ƠN

Để hồn thành được khóa luận tốt nghiệp này, tôi xin chân thành cảm ơn thầy, cơ giáo trong khoa Tốn trường Đại học Quảng Nam đã cho tôi nhiều kiến thức trong thời gian học tập và đã tạo điều kiện cho tôi học tập và phát triển để tơi hồn thành bài khóa luận của mình.

Đặc biệt tôi xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo Phạm Ngọc Hoàng – thầy giáo trực tiếp hướng dẫn để tơi hồn thành bài khóa luận tốt nghiệp. Tơi xin cảm ơn thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và góp ý kiến trong q trình nghiên cứu và làm bài, để tơi hồn thành bài khóa luận tốt hơn.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng khóa luận khó tránh khỏi những thiếu sót. Vậy mong các thầy cơ giáo đóng góp ý kiến để khóa luận được hồn thiện hơn.

Xin trân trọng cảm ơn!

Quảng Nam, tháng 05 năm 2018 Sinh viên

Lê Thị Niên

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của bản thân tôi và được sự hướng dẫn khoa học của ThS. Phạm Ngọc Hoàng. Các nội dung nghiên cứu, kết quả trong đề tài này là trung thực và không phải sao chép từ bất kỳ tài liệu nào. Nếu khơng đúng như đã nêu trên, tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm về đề tài của mình.

Quảng Nam, tháng 05 năm 2018 Sinh viên

Lê Thị Niên

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

1.1.4. Ma trận và biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính ... 2

1.1.5. Ảnh, hạt nhân của ánh xạ tuyến tính: ... 2

1.1.6. Đơn cấu, tồn cấu và đẳng cấu ... 3

1.2. Tự đ ng cấu tuyến tính và ma trận vng chéo hóa được ... 3

1.4.3. Thuật tốn chéo hóa ... 10

Chương 2: ĐA THỨC TỐI TIỂU VÀ ỨNG DỤNG ... 13

2.1. Dạng chuẩn Jordan của tự đ ng cấu và ma trận ... 13

2.1.1. Tự đ ng cấu lũy linh ... 13

2.1.2. Không gian con riêng suy rộng ... 15

2.1.3. Dạng chuẩn Jordan của một tự đ ng cấu ... 17

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

2.3.2. Tính chất: ... 27

2.3.3. Phương pháp tìm đa thức tối tiểu ... 29

2.4. Một số ứng dụng của đa thức tối tiểu ... 33

2.4.1. Xét tính chéo hóa của tự đ ng cấu: Dựa vào định lí 2.8 ta có hệ quả sau: ... 33

2.4.2. Tính lũy thừa của một ma trận ... 35

2.4.3. Ứng dụng tìm ma trận Jordan: ... 36

2.4.4. Một số ứng dụng khác của đa thức tối tiểu ... 38

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

Phần 1. MỞ ĐẦU 1.1. Lí do chọn đề tài

Đại số tuyến tính là lĩnh vực cơ bản của bộ môn Đại số, nghiên cứu về ma trận, không gian vector, hệ phương trình tuyến tính và các phép biến đổi tuyến tính giữa chúng. Trong đó có khái niệm về nghiệm của một đa thức là một ma trận vuông cấp n. Định lí Cayley –Hamilton nói rằng mọi ma trận vuông cấp n (hay tự đ ng cấu trên kgvt n chiều) là nghiệm của đa thức đặc trưng của nó. Đa thức tối tiểu là trường hợp đặc biệt, nó là ước của đa thức đặc trưng. Từ đó có thể sử dụng đa thức tối tiểu để giải các bài toán liên quan đến đa thức và ma trận như tính luỹ thừa của một ma trận hay tính giá trị của đa thức tại ma trận vng cấp n...

Vì vậy, với mong muốn học hỏi, tìm hiểu sâu thêm về phần đa thức tối tiểu của tự đ ng cấu và một số ứng dụng của nó để giải quyết một số vấn đề của đại số tuyến tính, tôi đã chọn đề tài: “Đa thức tối tiểu của tự đ ng cấu và ứng dụng” để làm khóa luận tốt nghiệp của mình. Khóa luận nhằm hệ thống lại kiến thức cơ sở về tự đ ng cấu, đa thức tối tiểu của tự đ ng cấu và một số ứng dụng sử dụng đa thức tối tiểu như công cụ để giải quyết một số bài tốn. Tơi hy vọng khóa luận sẽ giúp chúng tơi có một cái nhìn tổng qt hơn về đa thức tối tiểu của tự đ ng cấu.

1.2. Mục tiêu nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu về phương pháp tìm đa thức tối tiểu của ma trận hay tự đ ng cấu và ứng dụng của nó để giải các bài tốn liên quan đến ma trận và đa thức.

1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Một số kiến thức cơ sở về tự đ ng cấu. Đa thức tối tiểu của tự đ ng cấu và ứng dụng.

Phạm vi nghiên cứu: Lĩnh vực Đại số tuyến tính.

1.4. Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tài liệu, đọc hiểu tài liệu. - Phân tích, tổng hợp các kiến thức.

- Trao đổi, thảo luận với giảng viên hướng dẫn.

1.5. Đóng góp của đề tài

Đề tài hệ thống lại các kiến thức cơ sở của tự đ ng cấu, tìm hiểu đa thức tối tiểu của tự đ ng cấu và ứng dụng.

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

Khóa luận có thể sử dụng như một tài liệu tham khảo để sinh viên nghiên cứu, b i dưỡng chuyên môn, nâng cao kiến thức.

1.6. Cấu trúc đề tài

Khóa luận g m phần mở đầu, kết thúc và hai chương:

Chương 1: Các kiến thức cơ sở

Chương 2: Đa thức tối tiểu và ứng dụng

Phần tài liệu tham khảo và kiến nghị

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

Phần 2. NỘI DUNG

Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1. Ánh xạ tuyến tính

1.1.1. Định nghĩa

Cho hai khơng gian vector V và V’ trên trường K. Một ánh xạ f V: V'được

gọi là ánh xạ tuyến tính nếu f thỏa mãn hai điều kiện sau đây:

i) (f x y ) f x( ) f y( ),x y V,  (tính bảo tồn phép cộng).

ii) (f x)f x( ), x V,K (tính bảo tồn phép nhân với vơ hướng). Nếu

VV'

thì ánh xạ tuyến tính f V: V được gọi là một tự đ ng cấu. Gọi End V là tập tất cả các tự đ ng cấu :( ) f V V.

Chú ý: Các điều kiện (i) và (ii) trong định nghĩa có thể thay thế bằng điều kiện

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

Giả sử g: VV' sao cho ( )f ei v ii, 1,nTa có: x V 

1.1.4. Ma trận và biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính

Cho f V: V' là ánh xạ tuyến tính từ không gian vector n chiều V vào không

gian vector m chiều V (với '



m n,1



. Giả sử B( ,e e1 2,...,en) và '''12

if ea ea ea ea e

    



, hay tọa độ của vector f e( )j trong cơ sở B’ là

( )jB ( j, j,..., mj), 1,

f e  a aaj n. Vậy f sẽ hoàn toàn xác định nếu biết các hệ số aij,

hay f được xác định bởi ma trận A(aij)M m n K( , ; ).

Ma trận cấp

m n

và A(aij m n)  gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f đối với cặp cơ sở (B; B’), cột thứ j của A chính là tọa độ của f e( )j trong cơ sở B’(j1, )n .

Nếu f một tự đ ng cấu thì ma trận của f là một ma trận vuông cấp n. Khi đó

njjjnj nij i

2) Tự đ ng cấu đ ng nhất idV : n  n có ma trận biểu diễn trong cặp cơ sở chính tắc của n

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

Số chiều của Imf gọi là hạng, ký hiệu rank(f) . Số chiều của Ker( )f được gọi là

số khuyết của f .

1.1.6. Đơn cấu, toàn cấu và đẳng cấu

Định nghĩa: Đ ng cấu :f V V', ta nói f là đơn cấu (tương ứng toàn cấu, đẳng cấu) nếu và chỉ nếu f là đơn ánh (tương ứng toàn ánh, song ánh).

Định lý 1.2: Cho V là không gian vector hữu hạn chiều và :f V V'là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương

i) f là một đơn cấu; ii) Kerf 0V;

iii) f biến một hệ vector độc lập tuyến tính thành một hệ vector độc lập tuyến

tính. Tức là nếu hệ { ,u u1 2,...,um}độc lập tuyến tính thì hệ { ( ), (f u1 f u2),..., (f um)} độc lập tuyến tính;

iv) f giữ nguyên hạng của một hệ vector, tức là

- Tự đ ng cấu tuyến tính f của K-không gian vector n chiều V gọi là chéo hóa

được nếu trong V tìm được ít nhất một cơ sở để ma trận của f đối với cơ sở này là ma

trận chéo. Việc tìm một cơ sở như thế gọi là chéo hóa f.

- Ma trận vuông cấp n trên K gọi là chéo hóa được nếu nó đ ng dạng với một ma trận chéo. Việc tìm một ma trận vuông cấp n khả nghịch C để C-1

AC là ma trận chéo gọi là chéo hóa A.

Cho tự đ ng cấu f có ma trận trong cơ sở nào đó là A. Khi đó f chéo hóa được khi

và chỉ khi A chéo hóa được đ ng thời việc chéo hóa f và chéo hóa A là tương đương.

1.2.2. Định nghĩa

Cho tự đ ng cấu tuyến tính f của K-khơng gian vector V và W là một không gian

con của V. Ta nói W là khơng gian con bất biến đối với f (hay không gian con f-bất

biến) nếu ( )f W W, tức là ( )f w Wvới mọi w W .

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

í ụ:

- V và 0 là các không gian con f-bất biến. - Imf và K rf là các khơng gian con f-bất biến. Vì ( ( ))f f V  f V( ) và  v ker , ( )f f v  0Ker .f

- Nếu f idV thì mọi không gian con của V đều bất biến đối với f.

f đối với cơ sở i.

- Đặc biệt, nếu mỗi Vi là không gian con f-bất biến 1 chiều, nghĩa là , , ,...,

V  ei1 2n và  iK: f e( )i i ie. Khi đó f chéo hóa được và ma trận của f đối với cơ sở ( )e ( ,e e12,...,en) của V là ma trận chéo có dạng

12

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

Chú ý: Cho f là tự đ ng cấu tuyến tính của K- không gian vector n chiều V, giả

sử trong cơ sở ( )e ( ,e e12,...,en) nào đó của V, f có ma trận là M (aij n n)  . Khi đó, với mỗi K, ma trận trong ( ) của f-idv là M In (vì idv có ma trận trong mọi cơ sở là ma trận đơn vị In ).

iả sử Klà một giá trị riêng của f. Khi đó 0 x là một vector riêng của f ứng với  khi và chỉ khi x V ( ) Ker(f idv) hay (M In)( )x 0. ọi cột tọa độ của x

đối với ( ) là ( ,x x12,...,xn)t. Khi đó ta có hệ phương trình

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

Đa thức P XA()det(AXIn) là một đa thức có biến X lấy hệ số trên trường K và

được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A. Phương trình P XA()0 được gọi là

phương trình đặc trưng của ma trận A.

Nếu f là tự đ ng cấu tuyến tính của K- khơng gian vector n chiều V. Đa thức

Nếu  là nghiệm bội k của đa thức đặc trưng P XA() (t.ư Pf( ) ) thì



được gọi là

giá trị riêng bội k của A (t.ư f). Số k được gọi là độ bội đại số của giá trị riêng



. Số

dim V(



) được gọi là độ bội hình học của



Nhận xét:

1) Với mỗi ma trận vng cấp n trên K khơng có q n giá trị riêng (kể cả bội).

Mỗi ma trận vuông cấp n trên trường số phức luôn đủ n giá trị riêng (kể cả bội) cịn mỗi ma trận vng thực cấp lẻ đều có ít nhất một giá trị riêng.

2) Giả sử A và B là hai ma trận vuông cấp n trên K đ ng dạng với nhau, tức là

B=C-1AC với C là ma trận vuông khả nghịch cấp n nào đó. Khi đó

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

1.3.4. Thuật tốn tìm giá trị riêng và vector riêng

Để tìm giá trị riêng, véc tơ riêng của f End V( ) ta thực hiện các bước sau

Bước 1: Tìm ma trận A của f đối với cơ sở nào đó của

V

(cơ sở chính tắc).

Bước 2: Lập đa thức đặc trưng PA

 

X .

Bước 3: Giải phương trình đặc trưng PA

 

X 0

- Nếu PA

 

X 0 vô nghiệm thì f khơng có giá trị riêng, do đó f khơng có

vector riêng. Thuật tốn kết thúc.

- Nếu PA

 

X 0 có nghiệm thì tập nghiệm chính là tập các giá trị riêng của f .

Chuyển sang bước 4.

Bước 4: Tìm vector riêng

Với mỗi giá trị riêng



ta giải hệ phương trình riêng

để tìm khơng gian con riêng ( )V  .

Khi đó V( ) 

 

0 là tập các vector riêng của f ứng với giá trị riêng

.

Thuật toán kết thúc.

Ví dụ 1: Tìm vector riêng, giá tri riêng của tự đ ng cấu

f:

3



3 được xác định

f x y z( , , )( , 4y x4 , 2y  xy2 ),zx y z, ,

3

Giải:

Ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của 3 là 0 1 0

4 4 02 1 2

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

   

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

       

   

trong đó  1, 2,...,k là các vô hướng đôi một khác nhau trong K.

(ii) rank(fiid )Vns , ii 1 2, ,...,k , ở đây si là bội của i x m như là nghiệm của đa thức đặc trưng.

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

Hệ quả: Cho V là không gian vector n chiều, f End V( ) (t.ư AMatn(K)) và

  là tất cả các giá trị riêng đôi một phân biệt của f (t.ư A). Khi đó

f chéo hóa được  với mọi i1, k, độ bội đại số của ibằng độ bội hình học của i.

1.4.3. Thuật tốn ch o hóa

Cho V là khơng gian vector n chiều, f End V( ) có ma trận trong cơ sở nào đó là

AMat K . Để chéo hóa f hay A (nếu có thể) là tìm một ma trận vng cấp n khả nghịch C sao cho C-1AC là ma trận chéo, ta có thuật toán sau:

Bước 1: Lập đa thức đặc trưng P (X) | AA XI |n . Chuyển sang bước 2.

Bước 2: Giải phương trình P (X)A 0 tìm các giá trị riêng

i ) Nếu phương trình khơng có đủ n nghiệm (kể cả bội) thì A khơng chéo hóa được. Thuật tốn kết thúc.

ii) Nếu phương trình có các nghiệm phân biệt  1, 2,...,k mà i có độ bội đại số là si, i=1,2,..,k.

+ Nếu t n tại i, 1 i k sao cho dim ( )V i si thì A khơng chéo hóa được. Thuật toán kết thúc.

+ Nếu với mọi i, 1 i k mà dim ( )V i si thì A chéo hóa được. Chuyển sang bước 3

Bước 3: Với mỗi i=1,2,..,k chọn một cơ sở (i) của V( )i . Khi đó

(e)() là

một cở sở của V(g m toàn vector riêng của A). Lập ma trận C như sau: các cột thứ 1 đến thứ n của C lần lượt là các tọa độ của các vector trong cơ sở ( ). Khi đó

Thuật tốn kết thúc.

s1

s2

sk

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

Vớ dụ 1: Cho ma trận

    

xx4x6 x8x0

x2x6 x7 x8x0

  

    

   

Suy ra V( 1)



( ,t 2t t t, ) | 

 

 t 1 2 1 t( , , ) | 



 ( , , )1 2 1 và dim (V  1) 1. o độ bội đại số của  1 bằng 2 khỏc độ bội hỡnh học của  1 bằng 1 nờn A khụng chộo húa được.

Vớ dụ 2: Chộo húa ma trận A nếu được với

có độ bội đại số là 1 có độ bội đại số là 2

x x3x3x3x0

  

  

    

   

có độ bội đại số là 1

2A

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

xx3x6 x3x0

 

    

     

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

Chương 2: ĐA THỨC TỐI TIỂU À ỨNG DỤNG 2.1. Dạng chuẩn Jor an của tự đ ng cấu và a trận

2.1.1. Tự đ ng cấu lũy linh Định nghĩa:

- Tự đ ng cấu f của K không gian vector

V

được gọi là lũy linh nếu có một

số nguyên dương k sao cho

f

k

0

fk  f fo oof



. Nếu

f

k1

0

thì k gọi là bậc

lũy linh của .f

- Cơ sở

 ee e

1

,

2

,,e

n



của

V

gọi là một cơ sở xyclic đối với f nếu

f e e  ,

 j1,2,...,n1

và

f e 

n

0

- Không gian vector con U của V được gọi là một không gian con xyclic đối với

f nếu U là f bất biến và U có một cơ sở xyclic đối với f | :UU U.

Nhận xét: Nếu

e e

1

, ,

2

,e

n



là một cơ sở xyclic đối với f khi và chỉ khi ma

trận của f đối với cơ sở này có dạng

rank f



rank frank f



Chú ý: Giả sử V  Vi, Vi là không gian con xyclic đối với f . Do Vi là f bất

  

</div>Trang 22<div class="page_container" data-page="22">

Suy ra, số khơng gian

s

chiều trong mọi phân tích là không đổi và bằng

rank f



rank frank f



Ví dụ: Cho tự đ ng cấu

f:

4



4 có ma trận đối với cơ sở chính tắc là

Vậy cơ sở xyclic đối với f là

   

1

,

2

,

3

,

4



Tính số không gian con xyclic

s1

chiều đối với f .

</div>Trang 23<div class="page_container" data-page="23">

V là không gian con xyclic 3 chiều đặt

V

1

 

1

 

2



3

.

Hơn nữa, ma trận của f đối với cơ sở xyclic

   

1

,

2

,

3

,

4



có dạng 0 0 0 0

1 0 0 00 1 0 00 0 0 0

2.1.2. Kh ng gian con riêng suy rộng

Định nghĩa: Cho f End V( ), với mỗi

K

, tập

f xR

  hay Rlà f  bất biến.

</div>Trang 24<div class="page_container" data-page="24">

ii) (f idV) / R là lũy linh. Thật vậy, giả sử ( ,e e1 2,...,ep) là cơ sở của R. Khi

(f



idV)K 0

   tức f idV là lũy linh. iii) R 

 



là giá trị riêng của f .

Thật vậy, giả sử



là giá trị riêng của f Ta có khơng gian con riêng .V( ) Ker f( idV) là K f của er R R 0.

Ngược lại, giả sử R 

 

0 , lấy xR . Chọn m là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho (f 



idV) (x)m 0 và (f 



idV)m1(x)0.

Lúc đó, u (f 



idV)m1(x) là vector riêng của f ứng với giá trị riêng

.

Với mỗi

K

gọi dimV

 

 : độ bội hình học của



(số chiều hình học); dimR : độ bội đại số của



(số chiều đại số)

Mệnh đề: Nếu



là giá tri riêng của tự đ ng cấu f V: V thì d imR bằng bội của



x m như là nghiệm của đa thức đặc trưng của f.

Chứng minh:

Vì R là một không gian con f ổn định của V và

g(fid

V

) | :

R

R



R



là một đ ng cấu lũy linh nên t n tại một cơ sở

 u u

1

,

2

,...,u

m



của Rsao cho ma

trận là chéo khối với các khối ở đường chéo có dạng Js(0). o đó, ma trận của

f|

R đối với cơ sở  là ma trận chéo khối với các khối đường chéo có dạng



</div>Trang 25<div class="page_container" data-page="25">

Bổ sung vào hệ vector  để nhận được một cơ sở

Cu u

1

,

2

,...,u u

m

,

m1

,...,u

n



của

V.

Khi đó, ma trận của f đối với cơ sở

C

có dạng

                

2.1.3. Dạng chuẩn Jor an của ột tự đ ng cấu

Định lí 2.2: Giả sử f End V( ), V là K khơng gian vector n chiều có đa thức đặc trưng P X được phân tích thành f ( )

</div>

ĐA THỨC TỐI TIỂU CỦA TỰ ĐỒNG CẤU VÀ ỨNG DỤNG

<b>UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM </b>

<b>KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC</b>

<b>UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM </b>

<b>ThS. PHẠM NGỌC HOÀNG </b>

<i>V</i><i>V</i>'







<i>m n</i>









<i>V</i>

 

 

 

 



 

.

<i>f</i>:



<i>f x y z</i>( , , )( , 4<i>y</i> <i>x</i>4 , 2<i>y</i>  <i>xy</i>2 ),<i>z</i><i>x y z</i>, ,



 



<i>V</i>

<i>f</i>

0



<i>f</i>

0

 <i>e</i><i>e e</i>

,

,,<i>e</i>



<i>V</i>

 <i>j</i>1,2,...,<i>n</i>1

<i>f e</i> 

0

<i>e e</i>

, ,

,<i>e</i>



<i>rank f</i>

<i>rank f</i><i>rank f</i>

<i>s</i>

<i>rank f</i>

<i>rank f</i><i>rank f</i>

<i>f</i>:



   

,

,

,



<i>s</i>1

<i>V</i>

 

 



.

   

,

,

,



<i>K</i>



 





 







.

<i>K</i>