BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 4 (Số tín chỉ: 3) pdf

1
Trường ĐHQN
Khoa Toán





BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 4
(Số tín chỉ: 3)







Dành cho sinh viên : Khoa Toán
Hệ : Tổng hợp
Khóa : 33
Năm học : 2011-2012
Giảng viên : Nguyễn Thị Phương Lan

2
Chương I: TÍCH PHÂN BỘI

$1 TÍCH PHÂN 2-LỚP

1.1 Định nghĩa tích phân 2-lớp:
1.1.1 Khái niệm về miền đo được:
Miền đa giác là miền đo được (có diện tích). Giả sử D là một miền phẳng bị
chặn, được giới hạn bởi một hay một số hữu hạn đường cong Jordan đóng.
Gọi Q là một miền đa giác chứa trong D, S(Q) là diện tích của nó.
Gọi Q’ là một miền đa giác chứa D, S(Q’) là diện tích của nó.
Giả thiết thêm biên của D và biên của Q, Q’ không có điểm chung.
Tập hợp các miền đa giác Q, Q’ là khác rỗng và vô hạn. Do đó tập hợp các giá
trị S(Q), S(Q’) là khác rỗng và vô hạn.
{S(Q)} bị chặn trên bởi diện tích của một đa giác Q’ nào đó
(
)
{
}
PsupSQ
+
⇒∃= .
{S(Q’)} bị chặn dưới bởi diện tích của một đa giác Q nào đó
(
)

{
}
PinfSQ'
−
⇒∃= .

P,P
+−
lần lượt gọi là diện tích trên, dưới của D.
Ta có
(
)
(
)
Q,Q':SQPPSQ'
+−
∀≤≤≤
.

1. Định nghĩa. Nếu
(
)
PPSD
+−
==
thì D được gọi là miền đo được (có diện tích) và
số S(D) được gọi là độ đo (diện tích) của D.
Từ định nghĩa về miền đo được ta có các kết quả sau:
a) D đo được
0

ε
⇔∀>
bé tùy ý, tồn tại các miền đa giác
QD,Q'D
⊂⊃
sao cho

(
)
(
)
SQ'SQ
ε
−<
.
b) D đo được
⇔
tồn tại hai dãy các miền đa giác
{
}
{
}
nn
Q,Q'
;
nn
QD,Q'D,n
⊂⊃∀

sao cho

(
)
(
)
(
)
(
)
nn
nn
limSQ'limSQSD
→∞→∞
==
.
c) D đo được
⇔
tồn tại hai dãy các miền đo được
{
}
{
}
nn
D,D'
;
n
DD
⊂
,
n

D'D
⊃
,
n
∀
sao cho

(
)
(
)
(
)
(
)
nn
nn
limSD'limSDSD
→∞→∞
==
.

2. Tính chất của miền đo được.
Giả sử
121212
DD,DD, D = DD;D,D
⊂⊂∪
không có điểm trong chung. Nếu
12
D,D

đo được thì D đo được và
(
)
(
)
(
)
12
SD= SDSD
+
.

3. Ví dụ về miền đo được.
Định nghĩa. Đường cong (C) được gọi là đường cong có diện tích - không (đường
cong đo được) nếu
0
ε
∀>
bé tùy ý , tồn tại miền đa giác Q chứa (C) sao cho
(
)
SQ
ε
<
.
3
Đối với miền phẳng D ta có các kết quả sau:
D đo được
⇔
biên

D
∂
của nó có diện tích – không.

Định lý. Nếu đường cong (C) có một trong các dạng dưới đây thì (C) là đường cong
có diện tích - không.
a) y = f(x),
[
]
xa;b
∈
, trong đó f(x) có đạo hàm liên tục trên [a ; b].
b) x = g(y),
[
]
yc;d
∈
, trong đó g(y) có đạo hàm liên tục trên [c ; d].
c) x = x(t), y = y(t),
[
]
ta;b
∈
, trong đó x(t), y(t) có đạo hàm liên tục trên
[a ; b] và thỏa mãn điều kiện
(
)
(
)
[

]
22
x'ty't0,ta;b
+≠∀∈ .

Hệ quả. Nếu biên của D gồm một số hữu hạn các đường có dạng a), b), c) thì D là
miền đo được.
4. Tương tự, có thể xây dựng được khái niệm độ đo (thể tích) của miền
3
T
⊂
R
dựa
vào thể tích khối đa diện.
Nếu T được giới hạn bởi một số hữu hạn các mặt z = z(x,y),
(
)
x,yD
∈
trong
đó z(x,y) là hàm số liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong
D
thì miền T đo
được.

1.2 Định nghĩa tích phân 2-lớp:
1.2.1 Giả sử D là miền phẳng, đo được, bị chặn. Ta gọi đường kính của miền D
là supremum của các khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ thuộc D.
(
)

(
)
M,M'D
dDsupdistM,M'
∈
=

Định nghĩa. Tập hợp các miền phẳng đo được
12n
D,D, ,D
được gọi là một phép
phân hoạch
π
của miền D, nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
a)
n
ii
i1
DD,DD,i1,n
=
=⊂∀=
U
.
b) Với
ij
ij,Dvà D
∀≠
không có điểm trong chung.
Ta thấy
π

chia D thành n miền con đôi một không có điểm trong chung.

1.2.2 Định nghĩa tích phân 2-lớp:
Cho hàm số f(x,y) xác định trong miền đóng, bị chặn và đo được D. Thực hiện
một phép phân hoạch
π
chia D thành n miền con, đo được tùy ý đôi một không có
điểm trong chung
12n
D,D, ,D
. Gọi
i
D
∆
là diện tích của mỗi miền con
(
)
i
Di1,n
= ,
(
)
i
dD
là đường kính của
i
D
,
(
)

(
)
i
1in
dmaxdD
π
≤≤
=
là đường kính phân hoạch. Trong
mỗi miền con
i
D
chọn một cách tùy ý điểm
(
)
iii
N,
ξη
. Lập tổng tích phân:

() ()
nn
iiiii
i1i1
fNDf,D
π
σξη
==
=∆=∆
∑∑

.
Ta thấy
π
σ
phụ thuộc vào
π
và các điểm chọn
(
)
iii
N,
ξη
.
Định nghĩa: Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn
()
d0
Ilim
π
π
σ
→
=

4
mà giới hạn đó không phụ thuộc vào
π
và các điểm chọn
(
)
iii

N,
ξη
thì I được gọi là
tích phân 2-lớp (tích phân Riemann) của hàm số f(x,y) lấy trong miền D và ký hiệu là
(
)
D
fx,ydxdy
∫∫
.
Khi đó hàm số f(x,y) được gọi là khả tích (Riemann) trong miền D.

Chú ý. Tương tự như hàm một biến, tính bị chặn của hàm số f(x,y) là điều kiện cần
để nó khả tích.

1.2.3 Tổng Darboux. Cho hàm số bị chặn f(x,y) trong miền D. Đối với mỗi phân
hoạch
π
chia D thành n miền con, đo được tùy ý đôi một không có điểm trong chung
12n
D,D, ,D
. Đặt
( ) ( )
nn
iiii
i1i1
smD;SMD
ππ
==
=∆=∆

∑∑
và
( ) ( ) ( )
n
ii
i1
SsD
=
=−=∆
∑
ωπππω

trong đó

()
(
)
( )
(
)
i
i
ii
x,yD
x,yD
minffx,y;Msupfx,y,i1,n
∈
∈
===

iii
Mm,i1,n
ω =−= và gọi là dao độ (dao động) của hàm số f(x,y) trong
miền
i
D
.
Các tổng
(
)
(
)
s,S
ππ
lần lượt được gọi là tổng dưới và tổng trên Darboux của
f(x,y) ứng với phân hoạch
π
.
Tập hợp các tổng dưới
(
)
{
}
s
π
và tổng trên
(
)
{

}
S
π
Darboux là các tập khác
rỗng và bị chặn trên và dưới.
Định nghĩa. Đại lượng
(
)
{
}
*
Isups
π
=
được gọi là tích phân dưới Darboux.
Đại lượng
(
)
{
}
*
IinfS
π
= được gọi là tích phân trên Darboux.
Định lý. Nếu
*
*
III
==
thì f(x,y) khả tích trong miền D.

1.2.4 Tiêu chuẩn khả tích.
Định lý 1. Giả sử
2
D
⊂
R
là miền đóng, bị chặn và đo được. Hàm số bị f(x,y) bị
chặn trong D là khả tích nếu và chỉ nếu

()
()
()
n
ii
d0d0
i1
limlimD0
→→
=
=∆=
∑
ππ
ωπω
.
Chứng minh.
(
)
⇒
Vì f(x,y) khả tích nên

*
*
III
==
⇔
0
ε
∀>
bé tùy ý đều
0:
δπ
∃>∀
mà
(
)
d
πδ
<
thì

( )
SI
2
ε
π
<+
và
( )
sI
2

ε
π
>−
(tính chất của infimum và supremum)
Vậy

(
)
(
)
(
)
()
(
)
d0
Sslim0
π
ωπππεωπ
→
=−<⇒=
.
5
(
)
⇐
Giả sử có
( )
(
)

d0
lim0
π
ωπ
→
=
. Khi đó từ các bất đẳng thức
(
)
(
)
*
*
sIIS,
πππ
≤≤≤∀

mà
(
)
d
πδ
<
(
)
(
)
*
*
IISs

ππε
⇒−≤−<
với mọi
(
)
d
πδ
<
.
Vậy
*
*
III
==
và f(x,y) khả tích trong D.
W


1.2.5 Các lớp hàm khả tích.
Định lý 2. Giả sử
2
D
⊂
R
là miền đóng, bị chặn và đo được, f(x,y) liên tục trong D
khi đó f(x,y) khả tích trong D.
Chứng minh. Dùng tiêu chuẩn khả tích.
Vì f(x,y) liên tục trong miền đóng, bị chặn và đo được D nên f(x,y) bị chặn và
liên tục đều trong D
(

)
0,0
εδδε
⇔∀>∃=>
sao cho trong miền con bất kỳ của D
có đường kính bé hơn
δ
thì dao độ
( )
i
SD
ε
ω <
, trong đó S(D) là diện tích của D.
Khi đó với mỗi phân hoạch
π
mà
(
)
d
πδ
<
ta có

() ()
()
nn
iii
i1i1
DDSD

SDSD
εε
ωε
==
∆<∆==
∑∑


⇒
( )
(
)
d0
lim
π
ωπ
→
=
( )
n
ii
d0
i1
limD0
π
ω
→
=
∆=
∑

.
Vậy f(x,y) khả tích trong D.
W


Định lý 3. Giả sử
2
D
⊂
R
là miền đóng, bị chặn và đo được, f(x,y) liên tục trong D,
chỉ gián đoạn trên một số hữu hạn đường có diện tích – không khi đó f(x,y) khả tích
trong D.
Chứng minh. Dùng tiêu chuẩn khả tích.
Lấy
0
ε
>
bé tùy ý. Do f(x,y) bị chặn trong D nên

K0:f(x,y)K,
∃>≤

(
)
x,yD
∀∈
.
Giả sử f(x,y) chỉ gián đoạn trên một đường (C) có diện tích – không. Phủ (C)
bởi hình đa giác Q có diện tích

( )
SQ
4K
ε
< .
Đặt
°
°
DD\intQD
=⇒là miền đóng, bị chặn và đo được, nên f(x,y) liên tục
đều trong
°
D
. Chọn
0
δ
>
đủ bé sao cho với mỗi miền con
°
i
DD
⊂
có đường kính
(
)
i
dD
δ
<
thì dao độ của f(x,y) trong miền đó là

°
( )
°
( )
i
,SD
2SD
<
ε
ω
là diện tích của
°
D
.
Xét phân hoạch
π
sao cho
1
DQ
≡
, các miền con
°
23n
D,D, DD
⊂
có đường
kính
(
)
i

dD
δ
<
,
i2,n
= .
Khi đó

() ( )( )
°
( )
nn
11ii11i
i2i2
DDMmSQD
2SD
ε
ωπωω
==
=∆+∆<−+∆
∑∑

6

°
( )
°
( )
2KSD
4K

2SD
εε
ε
<+=
.
Vậy f(x,y) khả tích trong miền D.
W


Ví dụ. Dùng định nghĩa tính tích phân
(
)
{
}
D
Ixydxdy,Dx,y:0x1,0y1
==≤≤≤≤
∫∫
.
1.2.6 Các tính chất của tích phân 2-lớp. (tích phân 2-lớp có các tính chất tương tự
như tích phân xác định).
Giả sử các hàm dưới dấu tích phân khả tích trong miền lấy tích phân.
1.
(
)
D
dxdySD
=
∫∫
, trong đó S(D) là diện tích miền D.

2.
(
)
(
)
(
)
(
)
DDD
fx,ygx,ydxdyfx,ydxdygx,ydxdy;,const
αβαβαβ±=±=

∫∫∫∫∫∫
.
3. Giả sử
121212
DD,DD, D = DD;D,D
⊂⊂∪
không có điểm trong chung, f(x,y)
khả tích trong các miền
12
D,D
khi đó f(x,y) khả tích trong D và
12
DDD
f(x,y)dxdyf(x,y)dxdyf(x,y)dxdy
=+
∫∫∫∫∫∫
.

4. Nếu f(x,y) khả tích trong D thì
(
)
fx,y
cũng khả tích trong D và
DD
f(x,y)dxdyf(x,y)dxdy
≤
∫∫∫∫
.
5. Nếu
(
)
(
)
D
fx,y0,x,yDf(x,y)dxdy0
≥∀∈⇒≥
∫∫
.
Nếu
(
)
(
)
(
)
DD
fx,ygx,y,x,yDf(x,y)dxdyg(x,y)dxdy
≤∀∈⇒≤

∫∫∫∫
.
6. (Định lý giá trị trung bình)
Nếu f(x,y) liên tục trong D thì
(
)
(
)
(
)
D
,D:f(x,y)dxdyf,.SD
ξηξη∃∈=
∫∫
.

$2 CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN 2-LỚP

2.1 Tích phân 2-lớp trong hệ Đề các.

Để tính tích phân 2-lớp ta có thể đưa tích phân 2-lớp về tích phân lặp.

2.1.1 Các tích phân lặp. Các tích phân dưới đây được gọi là các tích phân lặp.
1.
( ) () ( ) ()
bddb
acca
dxfx,ydy12.dyfx,ydx2
∫∫∫∫

3.
( )
()
(
)
() ( )
()
(
)
()
22
11
yxxy
bd
ayxcxy
dxfx,ydy34.dyfx,ydx4
∫∫∫∫

7
trong đó các hàm
(
)
(
)
12
yx,yx
liên tục trên [a;b], các hàm
(
)
(

)
12
xy,xy
liên tục trên
[c;d].
Điều kiện để các tích phân lặp tồn tại:
- Nếu hàm f(x,y) liên tục trong
(
)
{
}
Dx,y:axb,cyd
=≤≤≤≤
thì các tích
phân (1) và (2) tồn tại và
( ) ( )
bddb
acca
dxfx,ydydyfx,ydx
=
∫∫∫∫
.
- Nếu hàm f(x,y) liên tục trong
(
)
(
)
(
)
{

}
12
Dx,y:axb,yxyyx
=≤≤≤≤
thì
tích phân (3) tồn tại.
- Nếu hàm f(x,y) liên tục trong
(
)
(
)
(
)
{
}
12
Dx,y:cyd,xyxxy
=≤≤≤≤

thì tích phân (4) tồn tại.

2.1.2 Định lý Fubini. (1870 – 1943 nhà toán học Ý)

Định lý 1. Nếu hàm f(x,y) liên tục trong
(
)
(
)
(
)

{
}
12
Dx,y:axb,yxyyx
=≤≤≤≤ và
nếu các hàm
(
)
(
)
12
yx,yx
liên tục trên [a;b] thì tồn tại tích phân
(
)
D
fx,ydxdy
∫∫
và
( ) ( )
()
(
)
2
1
yx
b
Dayx
fx,ydxdydxfx,ydy
=

∫∫∫∫
.
Để chứng minh định lý ta cần bổ đề sau.
Bổ đề. Nếu
( ) ( ) ( ) ( )
()
(
)
( )
2
1
yx
b
ayx
mfx,yM,x,yDthìm.SDdxfx,ydyM.SD
≤≤∀∈≤≤
∫∫
,
trong đó S(D) là diện tích của D.

Chứng minh Định lý1.
Đặt
( )
()
(
)
2
1
yx
b

ayx
Idxfx,ydy
=
∫∫
, I tồn tại.
Vì f (x,y) liên tục trong D nên tích phân
(
)
D
fx,ydxdy
∫∫
cũng tồn tại. Ta cần
chứng minh I =
(
)
D
fx,ydxdy
∫∫
.
Chọn phân hoạch
π
xác định bởi các phương trình:
(
)
(
)
(
)
(
)

01n01n01n
xx,xx, ,xxaxx xbvàyx,yx, ,yx
ϕϕϕ
====<<<====

trong đó
() () () () () ()
011121
1
xyx,xyxyxyx, ,
n
ϕϕ==+−




() () () () ()
n1212
n
xyxyxyxyx
n
ϕ =+−=

.
Xét
( )
()
(
)
( )

()
(
)
( )
()
(
)
j
22
kk
1k11k1j1
x
yxyx
xx
b
nnn
k1k1j1
ayxxyxxx
Idxfx,ydydxfx,ydydxfx,ydy
ϕ
ϕ
−−−
===
===
∑∑∑
∫∫∫∫∫∫
.
8
Vì f(x,y) liên tục trong các miền con
(

)
(
)
(
)
{
}
kjk1kj1j
Dx,y:xxx,xyx
−−
=≤≤≤≤ϕϕ
nên nó đạt giá trị lớn nhất
kj
M
và bé nhất
kj
m
trong miền đó

(
)
(
)
kjkjkj
mfx,yM,x,yD
⇒≤≤∀∈
.
Từ bổ đề

()

()
(
)
j
k
k1j1
x
x
kjkjkjkjkj
xx
mDdxfx,ydyMD,(D
ϕ
ϕ
−−
⇒∆≤≤∆∆
∫∫
là diện tích của
kj
D)
.
Vậy

( ) ( )
nnnn
kjkjkjkj
k1j1k1j1
mDIMDsIS
ππ
====
∆≤≤∆⇔≤≤

∑∑∑∑
. (*)
Mặt khác vì f(x,y) khả tích trong D nên
( )
(
)
()
(
)
(
)
d0d0
D
limslimSfx,y
ππ
ππ
→→
==
∫∫
.
Vậy từ (*) ta có

()
()
(
)
( )
2
1
yx

b
ayxD
Idxfx,ydyfx,ydxdy
==
∫∫∫∫
.
W

Nhận xét. Trong định lý nếu thay đổi vai trò của x và y cho nhau thì ta có
1. Định lý 1’. Nếu hàm f(x,y) liên tục trong

(
)
(
)
(
)
{
}
12
Dx,y:cyd,xyxxy
=≤≤≤≤

và nếu các hàm
(
)
(
)
12
xy,xy

liên tục trên [c;d] thì tồn tại tích phân
(
)
D
fx,ydxdy
∫∫
và
( ) ( )
()
(
)
2
1
xy
d
Dcxy
fx,ydxdydyfx,ydx
=
∫∫∫∫
.
2. Trong trường hợp miền D không thỏa mãn các điều kiện của định lý thì cần chia D
thành hợp hữu hạn miền, đôi một không có điểm trong chung, thỏa mãn các điều kiện
của định lý.
3. Nếu D là hình chữ nhật

(
)
{
}
Dx,y:axb,cyd

=≤≤≤≤

và hàm f(x,y) liên tục trong D thì
( ) ( ) ( )
bddb
Dacca
fx,ydxdydxfx,ydydyfx,ydx
==
∫∫∫∫∫∫
.
Đặc biệt nếu
(
)
(
)
(
)
12
fx,yfx.fy
=
và D là hình chữ nhật thì

() () ()
bd
12
Dac
fx,ydxdyfxdx.fydy
=
∫∫∫∫
.

2.1.3 Các ví dụ.
Ví dụ 1. Đưa tích phân 2-lớp I =
(
)
D
fx,ydxdy
∫∫
về tích phân lặp theo các thứ tự khác
nhau trong đó : a) D là hình thang với các đỉnh O(0;0),A(2;0),B(1;1) và C(0;1).
9
b) D giới hạn bởi:
1
x2,yx,y
x
===
.
Ví dụ 2. Đổi thứ tự lấy tích phân trong các tích phân lặp sau :
a)
( )
2
24x
10
Idxfx,ydy
−
=
∫∫
, b)
( )
2
y

0
12y1
Idyfx,ydx
−−−
=
∫∫
.
Ví dụ 3. Tính tích phân sau:
(
)
22
D
xydxdy
+
∫∫
, D giới hạn bởi:
y = x, y = x + 1, y = 1, y = 3.

2.2 Đổi biến số trong tích phân 2-lớp.

2.2.1 Công thức đổi biến số trong tích phân 2-lớp.
Giả sử D
Oxy
⊂
là miền đóng, bị chặn và đo được.
Xét tích phân I =
(
)
D
fx,ydxdy

∫∫
, trong đó f(x,y) liên tục trong D.
Thực hiện một phép đổi biến số x = x(u,v), y = y(u,v),
(
)
*
u,vD
∈
(5) thỏa mãn
các điều kiện sau :
1. Các hàm x(u,v), y(u,v) liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong miền
đóng, bị chặn và đo được
*
DO'uv
⊂ .
2. Các công thức (5) xác định một song ánh từ miền
*
D
lên miền D.
3. Định thức hàm Jacobi

(
)
( )
( )
uu
*
vv
x'y'
Dx,y

J0,u,vD
x'y'
Du,v
==≠∀∈
(có thể trừ một số điểm).
Khi đó ta có công thức đổi biến số trong tích phân 2-lớp

(
)
(
)
(
)
*
D
D
fx,ydxdyfxu,v,yu,vJdudv
=

∫∫∫∫
. (6)
Ví dụ. Tính các tích phân
a)
(
)
D
2x3ydxdy
+
∫∫
, D giới hạn bởi:

y = -x +1, y = -x + 3, y = 2x-1, y =2x-3.
b)
xy
xy
D
edxdy,D:x0,y0,xy1
−
+
≥≥+≤
∫∫
.
2.2.2 Tích phân 2-lớp trong hệ tọa độ cực.
Công thức liên hệ của điểm M trong hệ tọa độ Đề các (x,y) và hệ tọa độ cực
(
)
r,
ϕ
là
xrcos,yrsin,r0,02
==≥≤≤
ϕϕϕπ
.
Nếu
r0,02
ϕπ
>≤<
thì các công thức trên là một song ánh giữa tọa độ Đề
các và tọa độ cực nên có thể xem chúng như một phép đổi biến số, ta có

(

)
( )
( )
rr
*
x'y'
cossin
Dx,y
Jr0,r,D
x'y'
rsinrcos
Dr,
ϕϕ
ϕϕ
ϕ
ϕϕ
ϕ
====≠∀∈
−
(trừ tại gốc O(0,0)).
10
Từ công thức đổi biến số tổng quát (6) ta có công thức tích phân 2-lớp trong
hệ tọa độ cực

(
)
(
)
*
D

D
fx,ydxdyfrcos,rsinrdrd
ϕϕϕ
=
∫∫∫∫
(7)
Chú ý. - Công thức (7) vẫn đúng trong trường hợp D có chứa gốc tọa độ.
- Nếu D có chứa gốc tọa độ hoặc bao quanh gốc tọa độ thì
02
ϕπ
≤≤
.
- Công thức (7) thích hợp khi D là hình tròn, vành tròn hoặc một phần của
hình tròn, vành tròn và hàm số dưới dấu tích phân có chứa biểu thức
22
xy
+
.

Ví dụ 1. Chuyển sang tọa độ cực, rồi thay đổi thứ tự lấy tích phân trong tích phân
lặp:

2
11x
01x
Idxf(x,y)dy
−
−
=
∫∫

.
Ví dụ 2. Tính các tích phân :
a)
22
22
D
dxdy
,D:1xy4,x0,y0
1xy
≤+≤≥≥
++
∫∫
,
b)
(
)
2222
D
xydxdy,D:xy2x
++≤
∫∫
.
c)
222222
D
xydxdy,D:xy2y,xy1,x0,y0
++≥+≤≥≥
∫∫
.

2.2.3 Tích phân 2-lớp trong hệ tọa độ cực mở rộng.
- Trong trường hợp D là hình elip
22
22
xy
1
ab
+≤
, vành elip hoặc một phần của
hình elip, vành elip có thể đổi biến số
xarcos,ybrsin
ϕϕ
==
.
- Trong trường hợp D là hình tròn tâm I(a,b) bán kính R, có thể đổi biến số
xarcos,ybrsin
ϕϕ
=+=+
.
Ví dụ 4. Tính tích phân:

2222
2222
D
xyxy
1dxdy,D:1,x0,y0;a,b0
abab
−−+≤≥≥>
∫∫
.

$3 TÍCH PHÂN 3-LỚP

3.1 Định nghĩa tích phân 3-lớp. Cho hàm số f(x, y, z) xác định trong miền đóng, bị
chặn và đo được
3
T
⊂
R
. Thực hiện một phép phân hoạch
π
chia T thành n miền
con, đo được tùy ý đôi một không có điểm trong chung
12n
T,T, ,T
. Gọi
i
T
∆
là thể
tích của mỗi miền con
(
)
i
Ti1,n
=,
(
)
i
dT

là đường kính của
i
T
,
(
)
(
)
i
1in
dmaxdT
π
≤≤
=
là
đường kính phân hoạch. Trong mỗi miền con
i
T
chọn một cách tùy ý điểm
(
)
iiii
Nx,y,z
. Lập tổng tích phân
11

( ) ( )
nn
iiiiii
i1i1

fNTfx,y,zT
π
σ
==
=∆=∆
∑∑
.
Ta thấy
π
σ
phụ thuộc vào
π
và các điểm chọn
(
)
iiii
Nx,y,z
.
Định nghĩa. Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

()
d0
Ilim
π
π
σ
→
=

mà giới hạn đó không phụ thuộc vào

π
và các điểm chọn
(
)
iiii
Nx,y,z
thì ta nói I
là tích phân 3-lớp (tích phân Riemann) của hàm số f(x, y, z) lấy trong miền T và ký
hiệu là
(
)
T
fx,y,zdxdydz
∫∫∫
.
Khi đó hàm số f(x, y, z) được gọi là khả tích (Riemann) trong miền T.
Tích phân 3-lớp cũng có các kết quả và tính chất tương tự như tích phân
2-lớp.

3.2 Cách tính tích phân 3-lớp.
Tương tự như tích phân 2-lớp, phương pháp cơ bản để tính tích phân 3-lớp là
đưa tích phân 3-lớp về tích phân lặp và tính liên tiếp 3 tích phân đơn.

3.2.1 Tích phân 3-lớp trong hệ Đề các.
Giả sử T
3
⊂
R
là miền đóng, bị chặn và đo được.
Xét tích phân I =

(
)
T
fx,y,zdxdydz
∫∫∫
, trong đó f(x, y, z) liên tục trong T.
Gọi D(x,y) là hình chiếu của T lên mặt phẳng O(x,y).
Nếu miền T được giới hạn bởi các mặt
(
)
(
)
12
zzx,y,zzx,y
==
trong đó
(
)
(
)
12
zx,yzx,y,
≤

(
)
(
)
x,yDx,y
∀∈

và là các hàm số liên tục trong D(x,y) thì

()
( )
()
(
)
2
1
zx,y
Dx,yzx,y
Idxdyfx,y,zdz
=
∫∫∫
. (1)
- Nếu
(
)
(
)
(
)
(
)
{
}
12
Dx,yx,y:axb,yxyyx
=≤≤≤≤ thì từ (1)
()

(
)
()
()
(
)
22
11
yxzx,y
b
ayxzx,y
Idxdyfx,y,zdz
⇒=
∫∫∫
.
- Nếu
(
)
(
)
(
)
(
)
{
}
12
Dx,yx,y:cyd,xyxxy
=≤≤≤≤ thì từ (1)
()

(
)
()
()
(
)
22
11
xyzx,y
d
cxyzx,y
Idydxfx,y,zdz
⇒=
∫∫∫
.
Vì vai trò của x, y, z như nhau nên có thể xét đến hình chiếu của T lên các mặt
phẳng tọa độ khác và ta có các tích phân lặp theo các thứ tự khác nhau.
Đặc biệt nếu T là hình hộp chữ nhật

(
)
{
}
Tx,y,z:axb,cyd,ezf
=≤≤≤≤≤≤

thì I =
( )
bdf
ace

dxdyfx,y,zdz
∫∫∫
(2)
12
và ngoài ra có thể thay đổi thứ tự lấy tích phân ở vế phải của (2) một cách tùy ý.
Nếu
(
)
(
)
(
)
(
)
123
fx,y,zfx.fy.fz
=
và T là hình hộp chữ nhật thì

() () ()
bdf
123
ace
Ifxdx.fydy.fzdz
=
∫∫∫
.
Ví dụ. Tính các tích phân
a)
T

xydxdydz,T:x0,y0,z0,xyz1
≥≥≥++≤
∫∫∫
,
b)
222
T
zdxdydz,T:0zRxy
≤≤−−
∫∫∫
.
3.2.2 Đổi biến số trong tích phân 3-lớp.
1. Công thức đổi biến số trong tích phân 3-lớp.
Xét tích phân I =
(
)
T
fx,y,zdxdydz
∫∫∫
, trong đó f(x, y, z) liên tục trong T.
Thực hiện một phép đổi biến số
x = x(u,v,w), y = y(u,v,w), z = z(u,v,w);
(
)
*
u,v,wT
∈
(3)
thỏa mãn các điều kiện sau:
a) Các hàm x(u,v,w), y(u,v,w) và z(u,v,w) liên tục và có các đạo hàm riêng liên

tục trong miền đóng, bị chặn và đo được
*
TO'uvw
⊂
.
b) Các công thức (3) xác định một song ánh từ miền
*
T
lên miền T.
c) Định thức hàm Jacobi

( )
( )
( )
uuu
*
vvv
www
x'y'z'
Dx,y,z
Jx'y'z'0,u,v,wT
Du,v,w
x'y'z'
==≠∀∈
(có thể trừ một số điểm).
Khi đó ta có công thức đổi biến số trong tích phân 3-lớp
(
)
(
)

(
)
(
)
*
T
T
fx,y,zdxdydzfxu,v,w,yu,v,w,zu,v,wJdudvdw
=

∫∫∫∫∫∫
. (4)
2. Tích phân 3-lớp trong hệ tọa độ trụ.
Tọa độ trụ của điểm
(
)
Mx,y,zOxyz
∈
là bộ ba số
(
)
r,,z
ϕ
, trong đó
(
)
r,
ϕ
là
tọa độ cực của M’(x,y) là hình chiếu của M lên mặt phẳng Oxy. Giữa tọa độ Đề các

và tọa độ trụ của điểm M có mối liên hệ

xrcos,yrsin,zz;r0,02,z
ϕϕϕπ
===≥≤≤−∞<<+∞
.
Nếu
r0,02,z
>≤<−∞<<+∞
ϕπ
thì các công thức trên là một song ánh
giữa tọa độ Đề các và tọa độ trụ, nên có thể xem chúng như một phép đổi biến số, ta
có

( )
( )
( )
*
cossin0
Dx,y,z
Jrsinrcos0r0,r,,zT
Dr,,z
001
ϕϕ
ϕϕϕ
ϕ
==−=≠∀∈
(trừ các điểm thuộc trục
Oz).
Từ công thức đổi biến số tổng quát (4) ta có công thức tích phân 3-lớp trong

hệ tọa độ trụ
13
(
)
(
)
*
T
T
fx,y,zdxdydzfrcos,rsin,zrdrddz
ϕϕϕ
=
∫∫∫∫∫∫
. (5)
Chú ý: - Công thức (5) vẫn đúng trong trường hợp T có chứa các điểm thuộc Oz.
- Công thức (5) thích hợp khi T là hình trụ, nón, paraboloit tròn xoay hoặc
các miền hình chiếu lên các mặt phẳng tọa độ là hình tròn, một phần của hình tròn.

Ví dụ. Tính các tích phân
a)
2222
T
zxydxdydz,T:xy2y,0za
++≤≤≤
∫∫∫
.
b)
(
)
22222

T
xyzdxdydz,T:xzya
+++≤≤
∫∫∫
.
3. Tích phân 3-lớp trong hệ tọa độ cầu.
Tọa độ cầu của điểm
(
)
Mx,y,zOxyz
∈
là bộ ba số
(
)
r,,
θϕ
, trong đó
rOM,
=

(
)
Oz,OM,
θ =
uuruuuur
(
)
Ox,OM'
ϕ =
uuuruuuur

, M’ là hình chiếu của M lên mặt phẳng Oxy.
Giữa tọa độ Đề các và tọa độ cầu của điểm M có mối liên hệ

xrsincos,yrsinsin,zrcos;r0,02,0
===≥≤≤≤≤
θϕθϕθϕπθπ
.
Nếu
r0,02,0
>≤<≤<
ϕπθπ
thì các công thức trên là một song ánh giữa tọa
độ Đề các và tọa độ cầu, nên có thể xem chúng như một phép đổi biến số, ta có

(
)
( )
( )
2*
Dx,y,z
Jrsin0,r,,T
Dr,,
θθϕ
θϕ
==≠∀∈
(trừ các điểm thuộc trục Oz).
Từ công thức đổi biến số tổng quát (4) ta có công thức tích phân 3-lớp trong hệ tọa
độ cầu
(
)

(
)
*
2
T
T
fx,y,zdxdydzfrsincos,rsinsin,rcosrsindrd
d
=
∫∫∫∫∫∫
θϕθϕθθθϕ
. (6)
Chú ý: -Công thức (6) vẫn đúng trong trường hợp T có chứa các điểm thuộc Oz.
- Nếu T nằm hoàn toàn ở phía trên mặt phẳng Oxy thì 0
2
π
θ
≤≤
.
- Biểu thức
222
xyz
++
trong hệ tọa độ cầu chính là
2
r
.
- Công thức (6) thích hợp khi T là hình cầu, vành cầu hoặc một phần của hình
cầu, vành cầu.
Ví dụ : Tính các tích phân

a)
(
)
222222
T
xydxdydz,T:xyzR,x0,y0,z0;R0
+++≤≥≥≥>
∫∫∫
,
b)
222222
T
xyzdxdydz,T:xyzz
++++≤
∫∫∫
.

$4 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 2-LỚP, 3-LỚP
4.1 Ứng dụng trong hình học.
4.1.1 Tính diện tích của hình phẳng. Diện tích của hình phẳng đóng, bị chặn và đo
được D được tính theo công thức
(
)
D
SDdxdy
=
∫∫
.
14
Ví dụ. Tính diện tích của hình phẳng D giới hạn bởi các đường

a)
2222
y2px,y2qx,x2ry,x2sy;0pq,0rs
====<<<<
.
b)
( )
2222
3
,20,,
2
xyaxxyaxayxyx
+=+=>== .
4.1.2 Tính diện tích của mặt. Giả sử (S) là một mặt trơn, có phương trình là z =
f(x,y), trong đó f(x,y) liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong miền D là hình
chiếu của (S) lên mặt phẳng Oxy. Khi đó diện tích của mặt (S) được tính theo công
thức
22
D
S1pqdxdy
=++
∫∫
, trong đó
22
xy
pz',qz',dS1pqdxdy
===++ .
Ví dụ. Tính diện tích của phần mặt cầu
222
xyz4

++=
nằm trong mặt trụ
22
xy2x
+=
.
4.1.3 Tính thể tích của vật thể.
1. Thể tích của vật thể đóng, bị chặn và đo được T
3
⊂
R
được tính theo công thức
(
)
T
VTdxdydz
=
∫∫∫
.
2. Đặc biệt nếu T là vật thể hình trụ được giới hạn phía dưới bởi mặt
(
)
1
zzx,y
=
,
phía trên bởi mặt
(
)
2

zzx,y
=
, trong đó các hàm
(
)
(
)
12
zx,yvàzx,y
liên tục trong
miền D là hình chiếu của T lên mặt phẳng Oxy, xung quanh là mặt trụ có đường sinh
song song với trục Oz và đường chuẩn là biên của D thì thể tích của T được tính theo
công thức
(
)
(
)
(
)
21
TD
VTdxdydzzx,yzx,ydxdy
==−

∫∫∫∫∫
.
Ví dụ. Tính thể tích của phần hình trụ
22
2
xyax

+= ,
0
a
>
nằm giữa paraboloid

22
2
xyaz
+= và mặt phẳng
Oxy
.

4.1 Ứng dụng trong vật lý.

4.1.1 Ứng dụng của tích phân 2-lớp trong vật lý.
Cho bản phẳng D không đồng chất có khối lượng riêng (tỉ khối) tại điểm
M(x,y)
D
∈
là
(
)
x,y
ρ
, giả thiết hàm
(
)
x,y
ρ

liên tục trong miền D. Ta có
1. Khối lượng của bản phẳng D được tính theo công thức
D
m(x,y)dxdy
ρ=
∫∫
.
2. Tọa độ trọng tâm của bản phẳng D được tính theo công thức
GG
DD
11
xx(x,y)dxdy;yy(x,y)dxdy
mm
ρρ==
∫∫∫∫
.
Đặc biệt: Nếu D là bản phẳng đồng chất thì
GG
DD
11
xxdxdy;yydxdy
S(D)S(D)
==
∫∫∫∫
,
trong đó S(D) là diện tích của miền D.
15
Ví dụ. Cho bản phẳng D là tam giác vuông OAB có các cạnh góc vuông OA = a,
OB = b. Khối lượng riêng tại mỗi điểm thuộc D bằng khoảng cách từ điểm đó đến
cạnh OA. Tìm tọa độ trọng tâm của bản phẳng.

4.1.2 Ứng dụng của tích phân 3-lớp trong vật lý.
Cho vật thể T không đồng chất có khối lượng riêng tại điểm M(x,y,z)
T
∈
là
(
)
x,y,z
ρ
, giả thiết hàm
(
)
x,y,z
ρ
liên tục trong miền T. Ta có
1. Khối lượng của vật thể T được tính theo công thức

(
)
T
mx,y,zdxdydz
ρ=
∫∫∫
.
2. Tọa độ trọng tâm của vật thể T được tính theo công thức

( ) ( )
GG
TT

11
xxx,y,zdxdydz;yyx,y,zdxdydz;
mm
ρρ==
∫∫∫∫∫∫

( )
G
T
1
zzx,y,zdxdydz
m
ρ=
∫∫∫

Đặc biệt. Nếu T là vật thể đồng chất thì

() () ()
GGG
TTT
111
xxdxdydz;yydxdydz;zzdxdydz
VTVTVT
===
∫∫∫∫∫∫∫∫∫
,
trong đó V(T) là thể tích của miền T.
Ví dụ 1.Tính khối lượng của vật thể T:
22222
axyzb,0ab

≤++≤<<
. Biết rằng khối
lượng riêng tại điểm M(x,y,z)
T
∈
bằng lập phương khoảng cách từ điểm đó đến gốc
tọa độ.
Ví dụ 2. Xác định trọng tâm của vật thể đồng chất giới hạn bởi mặt nón
22
zxy
=+

và mặt cầu
222
1
xyz
++=
.

16
Chương II TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT

$1 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT

1.1 Một số khái niệm về đường cong:
Giả sử (C) là đường cong phẳng được cho bởi hệ phương trình dưới dạng tham
số:
x = x(t), y = y(t) ;
[
]
ta;b
∈
(1)
Định nghĩa 1: Đường cong (C) được gọi là:
1. Đường cong Jordan ( đơn, không tự cắt ) nếu các hàm x(t), y(t) liên tục trên
[a;b] và thỏa mãn điều kiện
(
)
(
)
(
)
(
)
(

)
(
)
(
)
11221212
xt,ytxt,yt;t,ta;b,tt
≠∀∈≠
.
Ngoài ra nếu
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
xa,yaxb,yb
≡ thì (C) là đường cong đóng (kín).
Ngược lại (C) được gọi là đường cong không đóng ( không kín).
2. Đường cong trơn nếu các hàm x(t), y(t) có đạo hàm liên tục trên [a;b] và thỏa
mãn điều kiện
(
)
(

)
[
]
22
x'ty't0,ta;b
+≠∀∈ .
3. Đường cong trơn từng khúc nếu nó gồm hữu hạn cung trơn.

Nhận xét: Trên đường cong (C) có thể xác lập một hướng nếu quy ước điểm
(
)
(
)
(
)
11
Mxt,yt
đứng trước điểm
(
)
(
)
(
)
[
]
221212
Nxt,yttt,t,ta;b
⇔<∀∈ . Khi đó
điểm

(
)
(
)
(
)
Axa,ya
= gọi là điểm đầu, điểm
(
)
(
)
(
)
Bxb,yb
= gọi là điểm cuối.
Đường cong phẳng (C) trên đó xác lập một hướng được gọi là đường cong có
hướng. Đường cong (C) với điểm đầu A, điểm cuối B còn được ký hiệu là C(A,B).
Nhà toán học Jordan (Pháp) đã chứng minh: mọi đường cong phẳng, đóng,
Jordan (C) đều chia mặt phẳng thành hai miền khác nhau với biên chung (C), một
miền bị chặn (phần trong), một miền không bị chặn (phần ngoài).
Giả sử (C) là đường cong phẳng, đóng, Jordan. Ta quy ước hướng dương là
hướng khi một điểm chuyển động trên (C) theo hướng đó thì phần trong của (C) luôn
nằm ở bên trái. Hướng ngược lại gọi là hướng âm.

Chú ý: 1. Nếu (C) được cho bởi phương trình trong hệ tọa độ Đề các
(
)
[
]

yyx,xa;b
=∈
, có thể tham số hóa (C) bằng cách đặt
(
)
[
]
xt,yyt;ta;b
==∈
.
2. Đường cong không gian (ghềnh) được cho bởi hệ phương trình dưới dạng
tham số:
x = x(t), y = y(t), z = z(t) ;
[
]
ta;b
∈

cũng được định nghĩa tương tự.

1.2 Định nghĩa tích phân đường loại một (tích phân đường theo độ dài):
1.2.1 Bài toán tính khối lượng của đường cong:
1.2.2 Định nghĩa tích phân đường loại một (tích phân đường theo độ dài):
Giả sử
(
)
C
= C(A,B) là đường cong phẳng, Jordan, trơn. Trên
(
)

C
cho hàm
f(x,y) liên tục. Thực hiện một phép phân hoạch
π
chia
(
)
C
thành n cung nhỏ tùy ý
17
bởi các điểm chia:
01n
AA,A, ,AB
≡≡
. Đặt
i
s
∆
là độ dài của cung nhỏ thứ i,
i1,n
=
;
(
)
i
1in
dmaxs
π
≤≤
=∆

là đường kính phân hoạch. Trên mỗi cung nhỏ
¼
i1i
AA
−
lấy
điểm
(
)
iii
M,
ξη
bất kỳ. Lập tổng tích phân:
( ) ( )
nn
iiiii
i1i1
fMsf,s
π
σξη
==
=∆=∆
∑∑
.
Ta thấy
π
σ
phụ thuộc vào
π
và các điểm chọn

(
)
iii
M,
ξη
.
Định nghĩa: Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn
( )
d0
limI
π
π
σ
→
=
mà giới hạn đó không phụ
thuộc vào
π
và các điểm chọn
(
)
iii
M,
ξη
thì I được gọi là tích phân đường loại một
(tích phân đường theo độ dài) của hàm f(x,y) lấy trên
(
)
C
. Ký hiệu

(
)
()
C
fx,yds
∫
(2)
Nếu tích phân (2) tồn tại thì nói hàm f(x,y) là khả tích trên
(
)
C
.

Nhận xét: 1. Tích phân đường loại một không phụ thuộc vào hướng của
(
)
C
.
2. Tương tự có thể định nghĩa tích phân đường loại một của hàm f(x,y,z)
lấy trên đường cong không gian
(
)
C
và ký hiệu
(
)
()
C
fx,y,zds

∫
.
3. Nếu
(
)
C
trơn hoặc trơn từng khúc và f(x,y) liên tục trên
(
)
C
thì tồn tại
tích phân đường loại một
(
)
()
C
fx,yds
∫
.
4. Độ dài của đường cong
(
)
C
được tính theo công thức
( )
C
lds
=
∫
.

5. Khối lượng của đường cong phẳng
(
)
C
được tính theo công thức
(
)
()
C
mx,yds
ρ=
∫
, trong đó
(
)
x,y
ρ
là khối lượng riêng tại điểm M(x,y) thuộc
(
)
C
,
(
)
x,y
ρ
liên tục trên
(
)
C

.
Khối lượng của đường cong không gian
(
)
C
được tính theo công thức
(
)
()
C
mx,y,zds
ρ=
∫
, trong đó
(
)
x,y,z
ρ
là khối lượng riêng tại điểm M(x,y,z) thuộc
(
)
C
,
(
)
x,y,z
ρ
liên tục trên
(
)

C
.
6. Tích phân đường loại một có các tính chất tương tự như tích phân xác
định.

1.3 Cách tính tích phân đường loại một:
1.3.1 Định lý:
Giả sử
(
)
C
là đường cong phẳng, Jordan, trơn được cho bởi hệ phương trình
dưới dạng tham số (1). Nếu f(x,y) liên tục trên
(
)
C
thì tồn tại tích phân đường loại
18
một
(
)
( )
C
fx,yds
∫
và
( )
( )
() () () ()
b

22
Ca
fx,ydsfxt,ytx'ty'tdt
=+

∫∫
. (3)
Chứng minh: Từ các giả thiết của định lý thì tích phân I ở vế phải của (3) tồn tại. Ta
cần chứng minh tích phân ở vế trái của (3) cũng tồn tại và xảy ra đẳng thức. Giả sử
π
là một phép phân hoạch chia [a ; b] thành n đoạn con
[
]
i1i
t;t,i1,n
−
= . Lập tổng tích
phân:
( ) ( ) ( ) () ()
i
i1
t
nn
22
iiiii
i1i1
t
f,sfx,yx'ty'tdt
−
==



=∆=+





∑∑
∫
π
σξηττ (4)
trong đó
[
]
(
)
(
)
(
)
(
)
ii1iiiiiii
t;t,i1,nvàM;Mx;y
τξηττ
−
∈== .

Mặt khác tích phân I ở vế phải của (3) có thể biểu diễn dưới dạng:

() () () ()
i
i1
t
n
22
i1
t
Ifxt,ytx'ty'tdt
−
=
=+

∑
∫
(5)
Từ (4) và (5) ta có:
( ) ( ) () ()
{ }
() ()
i
i1
t
n
22
ii
i1
t
Ifx,yfxt,ytx'ty'tdt

π
σττ
−
=
−=−+

∑
∫
(6)
vì f(x,y) và x(t), y(t) liên tục nên hàm hợp f [x(t), y(t)] cũng liên tục trên [a ; b] do đó
liên tục đều trên đoạn đó. Ngoài ra khi
(
)
d0
π
→
thì
iii1
ttt0,i1,n
−
∆=−→∀= . Do
đó
0
ε
∀>
bé tùy ý,
(
)
0:mà d
δππδ

∃>∀<
thì

()() () ()
ii
fx,yfxt,yt
l
ε
ττ
−<


(7)
trong đó l là độ dài của đường cong (C).
Giả sử
(
)
d
πδ
<
khi đó từ (7) ta được

() ()
i
i1
t
n
22
i1
t

Ix'ty'tdt
l
−
=
−<+=
∑
∫
π
ε
σε

Vậy
( )
d0
limI
π
π
σ
→
=
.
W


Hệ quả:
1. Nếu (C) được cho bởi phương trình trong hệ tọa độ Đề các
(
)
[
]

yyx,xa;b
=∈
thì:
( )
( )
() ()
b
2
Ca
fx,ydsfx,yx1y'xdx
=+

∫∫

2. Nếu (C) được cho bởi phương trình trong hệ tọa độ cực
(
)
[
]
rr,;
ϕϕαβ
=∈

thì:
19

()
()
() () () ()
22

C
fx,ydsfrcos,rsinrr'd
β
α
ϕϕϕϕϕϕϕ
=+

∫∫
.
3. Nếu
(
)
C
đường cong không gian được cho bởi hệ phương trình dưới dạng
tham số: x = x(t), y = y(t), z = z(t) ;
[
]
ta;b
∈
và f(x,y,z) liên tục trên
(
)
C
thì:

( )
()
() () () () () ()
b
222

Ca
fx,y,zdsfxt,yt,ztx'ty'tz'tdt
=++

∫∫
.
Chú ý: Nếu (C) trơn từng khúc cần chia
(
)
C
thành hữu hạn cung trơn.

1.3.2 Các ví dụ: 1. Tính các tích phân:
a)
(
)
()
(
)
C
Ixyds,C
=+
∫
là biên của tam giác với các đỉnh O(0;0), A(1;0),
B(0;1).
b)
( )
(
)
C

Ixyzds,C
=
∫
là một đoạn của đường đinh ốc:

[
]
xacost,yasint,zbt;t0;2,a,b0
===∈>
π
.
2. Tính khối lượng của đường tròn
(
)
C
:
22
xyax,a>0
+= , biết rằng khối lượng
riêng tại điểm M(x;y) thuộc
(
)
C
bằng khoảng cách từ điểm đó đến gốc toạ độ.

$2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI HAI

2.1 Định nghĩa tích phân đường loại hai (tích phân đường theo tọa độ):
Giả sử
(

)
C
= C(A,B) là đường cong phẳng, Jordan, trơn, không đóng. Trên
(
)
C
cho các hàm hai biến
(
)
(
)
PPx,y,QQx,y
==
liên tục. Thực hiện một phép
phân hoạch
π
chia
(
)
C
thành n cung nhỏ tùy ý bởi các điểm chia
01n
AA,A, ,AB
≡≡
. Đặt
i
s
∆
là độ dài của cung
¼

i1i
AA
−
;
i
x
∆
,
i
y
∆
,
i1,n
=
lần lượt là
hình chiếu của cung
¼
i1i
AA
−
lên trục hoành và trục tung,
(
)
i
1in
dmaxs
π
≤≤
=∆
là đường

kính phân hoạch. Trên mỗi cung nhỏ
¼
i1i
AA
−
lấy điểm
(
)
iii
M,
ξη
bất kỳ. Lập các tổng
tích phân

() () () ()
nnnn
iiiiiiiiii
i1i1i1i1
PMxP,xvà QMyQ,y
ξηξη
====
∆=∆∆=∆
∑∑∑∑
.

Định nghĩa: Nếu tồn tại các giới hạn hữu hạn
( )
( )
()
( )

nn
iiiiii
d0d0
i1i1
limP,xvà limQ,y
ππ
ξηξη
→→
==
∆∆
∑∑

mà các giới hạn đó không phụ thuộc vào
π
và các điểm chọn
(
)
iii
M,
ξη
thì chúng
được gọi là các tích phân đường loại hai (tích phân đường theo tọa độ) của các hàm
(
)
(
)
PPx,y,QQx,y
==
lấy trên đường cong
(

)
C
. Ký hiệu
20

(
)
()
(
)
()
CC
Px,ydxvàQx,ydy
∫∫
.
Tổng của chúng được gọi là tích phân đường loại hai tổng quát. Ký
hiệu
( )
C
PdxQdy
+
∫
.
Nhận xét:
1. Tích phân đường loại hai phụ thuộc vào hướng của
(
)
C
:

() ()
CA,BCB,A
PdxQdyPdxQdy
+=−+
∫∫

2. Đối với đường cong đóng, có hướng dương tích phân đường loại hai được định
nghĩa:

( ) ( ) ( )
CAmBBnA
PdxQdyPdxQdyPdxQdy
+=+++
∫∫∫
i
,
trong đó A,B là hai điểm bất kỳ thuộc
(
)
C
.
Tích phân đường loại hai có hướng âm được định nghĩa:

( )
C
PdxQdyPdxQdy
+=−+
∫∫
ji
.

3. Nếu
(
)
C
trơn hoặc trơn từng khúc và các hàm
(
)
(
)
PPx,y,QQx,y
==
liên tục
trên
(
)
C
thì tồn tại tích phân đường loại hai
( )
C
PdxQdy
+
∫
.
4. Tương tự có thể định nghĩa các tích phân đường loại hai của các hàm ba biến
(
)
(
)
(
)

PPx,y,z,QQx,y,z,RRx,y,z
===
lấy trên đường cong không gian
(
)
C
. Ký
hiệu là
(
)
()
(
)
()
(
)
()
CCC
Px,y,zdx,Qx,y,zdyvàRx,y,zdz
∫∫∫
.
Tổng của chúng cũng được gọi là tích phân đường loại hai tổng quát và ký
hiệu là
( )
C
PdxQdyRdz
++
∫
.
5. Tích phân đường loại hai có các tính chất tương tự như tích phân xác định.

2.2 Cách tính tích phân đường loại hai:
2.2.1 Định lý: Giả sử
(
)
C
là đường cong phẳng, Jordan, trơn được cho bởi hệ
phương trình dưới dạng tham số (1). Nếu các hàm
(
)
(
)
PPx,y,QQx,y
==
liên tục
trên
(
)
C
thì tồn tại tích phân đường loại hai
( )
C
PdxQdy
+
∫
và
( )
() () () () () ()
{ }
b

Ca
PdxQdyPxt,ytx'tQxt,yty'tdt
+=+

∫∫
.
Chứng minh: Chỉ cần chứng minh

() () ()
()
()
b
Ca
Px,ydxPxt,ytx'tdt
=

∫∫
(1)
Dễ thấy tích phân I ở vế phải của (1) tồn tại.
21
Ta cần chứng minh tích phân ở vế trái của (1) cũng tồn tại và xảy ra đẳng thức.
Giả sử
π
là một phép phân hoạch chia [a;b] thành n đoạn con
[
]
i1i
t;t,i1,n
−
= ;

[
]
(
)
(
)
(
)
(
)
ii1iiiiiii
t;t,i1,nvàM;Mx;y
τξηττ
−
∈== .
Lập tổng tích phân
( )
n
iii
i1
P,x
π
σξη
=
=∆
∑
.
Vì
() ( ) ()
i

i1
t
iii1ii1
t
xxxxtxtx'tdt
−
−−
∆=−=−=
∫
nên
() () ()
i
i1
t
n
i1
t
IPxt,ytx'tdt
−
=
= 

∑
∫


( ) ( ) () ()
{ }
()
( )

()
ii
i1i1
tt
n
ii
i1
tt
IPx,yPxt,ytx'tdtx'tdt
Mba
π
ε
σττ
−−
=
⇒−=−<

−
∑
∫∫
,
trong đó
(
)
atb
Mmaxx't
≤≤
= (do P(x,y) liên tục đều).
Giả sử
(

)
d
πδ
<
khi đó
( )
()
( )
i
i1
t
nn
i
i1i1
t
Ix'tdtMt
MbaMba
π
εε
σε
−
==
−<<∆=
−−
∑∑
∫

hay
( )
d0

limI
π
π
σ
→
=
.
W

Hệ quả: 1. Nếu (C) được cho bởi phương trình trong hệ tọa độ Đề các
(
)
[
]
yyx,xa;b
=∈
thì
( )
() () ()
{ }
b
Ca
PdxQdyPx,yxQx,yxy'xdx
+=+

∫∫
.
2. Nếu
(
)

C
đường cong không gian được cho bởi hệ phương trình dưới
dạng tham số x = x(t), y = y(t), z = z(t) ;
[
]
ta;b
∈
và
(
)
(
)
PPx,y,z,QQx,y,z
==

(
)
RRx,y,z
=
liên tục trên
(
)
C
thì:
( )
C
PdxQdyRdz
++=
∫

() () () () () () () () () () () ()
{ }
b
a
Pxt,yt,ztx'tQxt,yt,zty'tRxt,yt,ztz'tdt
=++

∫
Chú ý: Nếu (C) trơn từng khúc cần chia
(
)
C
thành hữu hạn cung trơn.

2.2.2 Ví dụ: Tính các tích phân:
1.
(
)
( )
(
)
(
)
C
xydxxydy,C
−++
∫
là đường nối điểm O(0;0) với điểm A(1;1)
nếu
(

)
C
là
a) y = x. b)
2
yx
=
.
c) đường gấp khúc OBA, với B(1;0).
2.
(
)
( )
22
C
ydxzdyxdz,C
++
∫
i
là giao tuyến của mặt cầu
222
xyz4
++=
với mặt
phẳng
z3
= có hướng vòng quanh ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ điểm về
phía z >0 .
22
2.3 Liên hệ giữa tích phân đường loại một và tích phân đường loại hai:

Giả sử (C) = C(A,B) là đường cong phẳng được cho bởi hệ phương trình dưới
dạng tham số
x = x(s), y = y(s) ;
[
]
s0;S
∈

trong đó x(s), y(s) có đạo hàm liên tục, độ dài cung s được chọn làm tham số.
Gọi
α
là góc lập bởi tiếp tuyến hướng theo phía tăng của cung với hướng
dương của Ox. Ta có
(
)
(
)
cosx's,siny's
αα
==
. Nếu dọc theo
(
)
C
cho các hàm
(
)
(
)
PPx,y,QQx,y

==
liên tục thì
( )
(
)
( )
CC
PdxQdyPcosQsinds
αα+=+
∫∫
.
Tương tự nếu
(
)
C
là đường cong không gian thì

( )
(
)
( )
CC
PdxQdyRdzPcos+Qcos+Rcosds
αβγ++=
∫∫
,
trong đó
,,
αβγ
lần lượt là góc lập bởi tiếp tuyến hướng theo phía tăng của cung với

hướng dương của Ox, Oy, Oz.

2.4 Công thức Green:
Định lý 1: Giả sử
2
D
⊂
R
là miền đóng, đơn liên, bị chặn có biên là đường cong
đóng (C) có hướng dương, trơn hoặc trơn từng khúc. Nếu trong D cho các hàm
(
)
PPx,y,
=

(
)
QQx,y
=
liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một của chúng thì

()
CD
QP
PdxQdydxdy
xy

∂∂
+=−


∂∂

∫∫∫
i
. (1)
Chứng minh: Để chứng minh (1) chỉ cần chứng minh:

( ) ( )
CDCD
PQ
PdxdxdyvàQdydxdy
yx
∂∂
=−=
∂∂
∫∫∫∫∫∫
ii
.
Xét
(
)
(
)
(
)
{
}
12
Dx,y:axb,yxyyx
=≤≤≤≤

trong đó
(
)
(
)
12
yx,yx
liên tục
trên [a;b].
Ta có:

()
(
)
( )
()
()
2
2
1
1
yx
bb
yyx
yyx
Dayxa
PP
dxdydxdyPx,ydx
yy
=

=
∂∂

−=−=−


∂∂
∫∫∫∫∫

=
()
( )
()
( )
bb
21
aa
Px,yxdx +Px,yxdx
−
∫∫


( )
( )
( )
( ) ( )
AmBBnAC
Px,ydxPx,ydxPdx
=+=
∫∫∫

i
.
Tương tự ta cũng có
( )
CD
Q
Qdydxdy
x
∂
=
∂
∫∫∫
i
.
W

Hệ quả: Diện tích của miền D được tính theo công thức:

()
()
C
1
SDxdyydx
2
=−
∫
i
, trong đó
(
)

C
là biên có hướng dương của D.
23
Các ví dụ:
1. Cho
( )
22
C
ydxxdy
I
xy
−
=
+
∫
i
,
(
)
C
là đường cong đóng có hướng dương không đi
qua gốc tọa độ.
Tính I nếu: a)
(
)
C
là đường tròn tâm O(0:0) bán kính R.
b)
(
)

C
là biên của tam giác với các đỉnh A(1;1). B(4;2), C(2;6).
2. Tính tích phân:
(
)
( )
(
)
(
)
xx
AmO
esinyaydxecosyady,AmO
−++
∫
là nửa đường
tròn
22
xy2x,y0
+=>
có hướng từ điểm A(2;0) đến điểm O(0;0).

2.5 Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc vào đường lấy tích phân:
Định lý 2: (Định lý về 4 mệnh đề tương đương):
Giả sử
2
D
⊂
R
là miền mở, đơn liên và trong D cho các hàm

(
)
(
)
PPx,y,QQx,y
==
liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một của chúng. Khi
đó 4 mệnh đề sau là tương đương:
1. Trong miền D xảy ra hệ thức:
( )
PQ
,x,yD
yx
∂∂
=∀∈
∂∂
.
2. Tích phân
( )
(
)
C
PdxQdy0,C
+=
∫
i
là đường cong đóng bất kỳ, trơn hoặc trơn
từng khúc nằm hoàn toàn trong D.
3. Tích phân
( )

CA,B
PdxQdy
+
∫
không phụ thuộc vào đường lấy tích phân, chỉ phụ
thuộc vào điềm đầu A và điểm cuối B, trong đó C(A,B) là đường cong không đóng
bất kỳ, trơn hoặc trơn từng khúc nằm hoàn toàn trong D.
4. Biểu thức Pdx + Qdy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó trong D.

Chứng minh:

(
)
12
⇒
hiển nhiên (theo công thức Green).

(
)
23
⇒
nối A và B bởi hai đường trơn (AmB) và (AnB) bất kỳ nằm hoàn toàn
trong D. Ta chứng minh
( ) ( )
AmBAnB
PdxQdyPdxQdy
+=+
∫∫
.

(
)
34
⇒
Ta chứng minh tồn tại hàm
(
)
ux,yD
∈
sao cho
( )
u
Px,y,
x
∂
=
∂

( )
u
Qx,y
y
∂
=
∂
. Giả sử
(
)
00
Ax;yD

∈
cố định , M(x ; y) thay đổi trong D. Xét hàm số
u (M) =
(
)
( )
AM
ux,yPdxQdyC,Cconst
=++=
∫
.
Hàm u hoàn toàn xác định vì tích phân ở vế phải không phụ thuộc vào đường lấy
tích phân. Xét điểm
(
)
1
Mxh;yD,h
+∈
khá bé. Nối A và M bởi một đường trơn tuỳ
ý trong D, M và
1
M
bởi đường thẳng song song với trục hoành. Ta có
24
( ) ( )
( ) ( ) ( )
11
AMAMMM
uxh,yux,y
11

PdxQdyPdxQdyPdxQdy
hhh

+−

=+−+=+=


∫∫∫

( ) ( )
xh
x
1
Pt,ydtPxh,y,01
h
+
==+θ<θ<
∫
(theo định lý giá trị trung bình).
(
)
(
)
()()
h0h0
uxh,yux,y
u
limlimPxh,yPx,y
hx

→→
+−
∂
⇒=+θ==
∂
.
Tương tự
( )
u
Qx,y
y
∂
=
∂
.
(
)
41
⇒
hiển nhiên.
W

Hệ quả: 1. Nếu Pdx + Qdy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) trong D thì

()
(
)
(
)
CA,B

PdxQdyuBuA
+=−
∫
,
trong đó
(
)
CA,B
là đường cong không đóng bất kỳ, trơn hoặc trơn từng khúc nằm
hoàn toàn trong D.
2. Nếu
2
D
=
R
và Pdx + Qdy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) trong D thì

() ( ) ()
00
y
x
0
xy
ux,yPx,ydxQx,ydyC
=++
∫∫

hoặc
( ) ( ) ( )
00

y
x
0
yx
ux,yQx,ydyPx,ydxC
=++
∫∫
,
trong đó C = const,
(
)
00
x,y
là một điểm bất kỳ thuộc D.
Ví dụ: Chứng minh rằng biểu thức
(
)
y2y
6xedx3xy1edy
+++ là vi phân toàn phần
của hàm u(x,y) nào đó. Tìm hàm u(x,y).

$3 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI MỘT

3.1 Một số khái niệm về mặt trong không gian:
Mặt (S) trong không gian thường được cho bởi phương trình
F(x,y,z) = 0. (1)
Nếu giải ra được đối với các biến x, y, z thì (S) được cho dưới dạng hiện

(

)
(
)
zzx,y,x,yD
=∈
(2)
trong đó z (x, y) liên tục trong D.
Nếu không thể giải được đối với bất cứ biến nào thì (S) được cho dưới dạng ẩn.
Mặt (S) trong không gian cũng được cho bởi hệ phương trình dưới dạng tham
số:

(
)
(
)
(
)
(
)
xxu,v,yyu,v,zzu,v;u,vD
===∈
(3)
trong đó
(
)
(
)
(
)
xu,v,yu,v,zu,v

là các hàm số liên tục trong D.
Chú ý:
Nếu chọn x = u, y = v, z = z (u , v) ;
(
)
u,vD
∈
thì (2) là trường hợp riêng của (3).
25
Định nghĩa 1: Mặt (S) được gọi là
- Mặt đơn nếu với hai giá trị khác nhau của tham số đều tương ứng với hai
điểm khác nhau thuộc
(
)
S
.
- Mặt được chiếu đơn trị lên các mặt phẳng tọa độ nếu mỗi đường thẳng song
song với các trục tọa độ chỉ cắt
(
)
S
tại không quá một điểm.
- Mặt trơn nếu tại mỗi điểm của nó đều tồn tại một mặt phẳng tiếp xúc và khi
dịch chuyển từ điểm này đến điểm khác vị trí của mặt phẳng tiếp xúc biến thiên liên
tục.
Nếu
(
)
S
được cho bởi (2) thì

(
)
S
trơn khi z (x, y) có các đạo hàm riêng liên tục
trong D.
- Mặt trơn từng mảnh nếu
(
)
S
gồm hữu hạn các mảnh trơn.

Định nghĩa 2: Nếu từ mỗi điểm M của mặt trơn (S) đều có thể kẻ được một pháp
tuyến đơn vị
(
)
nM
r
sao cho hàm véc tơ
(
)
nM
r
liên tục trên (S) thì (S) được gọi là mặt
định hướng (mặt hai phía).
Mặt hai phía được đặc trưng bởi tính chất phép vòng quanh trọn một lần theo
chu tuyến đóng bất kỳ thuộc (S) và không cắt biên của (S) không làm thay đổi hướng
của pháp tuyến thành hướng ngược lại.
Mặt không phải là mặt hai phía được gọi là mặt một phía.
Mặt hai phía còn gọi là mặt có hướng và việc chọn một phía xác định bằng cách
chọn hướng của pháp tuyến được gọi là phép định hướng mặt.

Nếu
(
)
S
là mặt hai phía thì nó có phía trên và phía dưới (mặt không kín), phía
ngoài và phía trong (mặt kín).

Ví dụ: - Mặt phẳng là mặt hai phía.
- Mặt trơn bất kỳ xác định bởi phương trình z = z (x,y) là mặt hai phía.
- Mọi mặt kín không có điểm tự cắt đều là mặt hai phía (mặt cầu, mặt
elipxoid).
- Lá Mebius là mặt một phía.

Trong chương này ta chỉ xét đến mặt hai phía.

Chú ý: Nếu
(
)
S
là mặt trơn, hai phía được xác định bởi phương trình z = z (x,y) thì
phía trên (phía ngoài) của
(
)
S
các véc tơ pháp tuyến có cosin chỉ phương là

(
)
22
p

coscosn,Oxpcos
1pq
αγ
==−=−
++
ruuur
.

(
)
22
q
coscosn,Oyqcos
1pq
βγ
==−=−
++
ruuur
.

(
)
22
1
coscosn,Oz
1pq
γ ==
++
ruur
, trong đó

xy
pz',qz'
==
.
Đối với phía dưới (trong) được lấy dấu ngược lại.