TOÁN CAO CẤP GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (8.08 MB, 148 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOANguyễn Đình Huy (Chủ biên)Nguyễn Quốc Lân, Lê Xuân Đại

TOÁN CAO CẤP

GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIATP HỒ CHÍ MINH 2015

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

Cuốn sách dành cho các bạn sinh viên trường Đại học Bách Khoa TpHCM.

Trong biên soạn khơng thể tránh khỏi sai sót và nhầm lẫn mong bạn đọc cho ý kiến. Mọi góp ýgửi về địa chỉ:

Ngày 13 tháng 01 năm 2014Nhóm tác giả

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

Lời nói đầu . . . . i

Mục lục . . . . ii

Chương 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ . . . . 2

1.1. Khái niệm dãy số . . . . 2

1.2. Giới hạn của dãy số . . . . 5

1.3. Giới hạn của dãy đơn điệu. Định lý Weierstrass . . . . 8

1.4. Các phương pháp tìm giới hạn của dãy số . . . . 8

1.5. Bài tập . . . . 15

Lời giải bài tập chương 1 . . . . 15

Chương 2. GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN . . . . 18

2.1. Giới hạn của hàm số . . . . 18

2.2. Giới hạn vô cùng bé của hàm số . . . . 21

2.3. Giới hạn vô cùng lớn của hàm số . . . . 25

2.4. Hàm số liên tục . . . . 26

2.5. Bài tập . . . . 28

Chương 3. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN . . . . 32

3.1. Khái niệm đạo hàm của hàm một biến . . . . 32

3.2. Đạo hàm cấp cao . . . . 38

3.3. Vi phân của hàm một biến . . . . 40

3.4. Tìm giới hạn dạng vơ định theo qui tắc L’ Hopital . . . . 41

3.5. Khai triển Taylor - Maclaurin . . . . 44

3.6. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số . . . . 48

3.7. Bài tập . . . . 52

Chương 4. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN . . . . 54

4.1. Nguyên hàm và tích phân bất định . . . . 54

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

4.2. Phương pháp tính tích phân bất định . . . . 56

4.3. Tích phân của những hàm hữu tỉ . . . . 58

4.4. Tích phân của hàm vơ tỉ . . . . 61

4.5. Tích phân của hàm lượng giác . . . . 64

4.6. Tích phân xác định . . . . 68

4.7. Phương pháp tính tích phân xác định . . . . 71

4.8. Tích phân suy rộng loại 1 . . . . 73

4.9. Tích phân suy rộng loại 2 . . . . 80

4.10. Ứng dụng của tích phân . . . . 85

4.11. Bài tập . . . . 93

Chương 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƠNG THƯỜNG . . . . 94

5.1. Phương trình vi phân cấp một . . . . 94

5.2. Bài tập phương trình vi phân cấp một . . . . 106

5.3. Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng . . . . 107

5.4. Bài tập phương trình vi phân cấp hai . . . . 113

5.5. Hệ phương trình vi phân . . . . 114

5.6. Bài tập hệ phương trình vi phân . . . . 121

CÁC ĐỀ THI TRẮC NGHIỆM GIỮA KỲ . . . . 124

6.1. Đề thi giữa kỳ giải tích 1- Ca 1 năm 2012-2013 . . . . 124

CÁC ĐỀ THI TỰ LUẬN CUỐI KỲ . . . . 130

7.1. Đề thi cuối kỳ giải tích 1- Ca 1 năm học 2013-2014 . . . . 130

7.2. Đề thi cuối kỳ giải tích 1- Ca 2 năm học 2013-2014 . . . . 130

CHƯƠNG TRÌNH MATLAB . . . . 142

Tài liệu tham khảo . . . . 144

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

1.1. Khái niệm dãy số . . . .2

1.2. Giới hạn của dãy số . . . .5

1.3. Giới hạn của dãy đơn điệu. Định lý Weierstrass . . . .8

1.4. Các phương pháp tìm giới hạn của dãy số . . . .8

1.5. Bài tập . . . .15

Lời giải bài tập chương 1 . . . .15

Diện tích hình trịn được xấp xỉ bởi diện tích của những đa giác đều

Tính gần đúng diện tích của hình trịn có bán kính R

Hình 1.1: Diện tích hình trịn được xấp xỉ bởi diện tích của những đa giác đều

A = lim

n→∞An= πR2.

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

1.1.1 Định nghĩa dãy số

Định nghĩa 1.1. Ánh xạ f : N −→ R từ tập hợp số tự nhiên lên tập hợp số thực R được gọi là dãysố.

Dãy số được kí hiệu là (xn). xn được gọi làphần tử tổng quát thứ ncủa dãy số.

Ví dụ 1.1.1. Cho dãy (xn) với xn= 1

n thì x1 = 1, x2 =1

2, . . . , xn=1n, . . .

1.1.2 Sự biểu diễn hình học của dãy sốPhương pháp thứ nhất.

Dãy số (xn) được biểu diễn bằng đồ thị của nó từ những điểm (n, xn).

Hình 1.2: Biểu diễn dãy số trên mặt phẳng

Phương pháp thứ hai.

Dãy số (xn) được biểu diễn bởi những điểm của trục Ox

Hình 1.3: Biểu diễn dãy số trên trục số thực

1 + 1n

, (n ∈ N) là dãy tăng.

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

Chứng minh. Vì xn=

1 + 1n

> 0 nên ta chỉ cần chứng minh xn+1

xn > 1. Ta có

= (1 +

1n+1)n+1(1 +n1)n = (

n+2n+1)n+1(n+1n )n =

.n + 1

(n + 1)2

.n + 1n >

1 − 1n + 1

.n + 1

nn + 1.

n + 1n = 1

Như vậy xn< xn+1Ví dụ 1.1.3. Dãy số xn=

1 +1

n+1n )n+1(n+2n+1)n+2 =

. nn + 1 =

n2+ 2n + 1n2+ 2n

. nn + 1 =

n(n + 2)n+2

. nn + 1 >

1 + 1

. nn + 1 =

n + 1n .

nn + 1 = 1.

Như vậy xn> xn+12. Tính bị chặn.

Định nghĩa 1.3. Dãy số (xn) ⊂ R được gọi làbị chặn trên (dưới), nếu như tồn tại số ∃M ∈ R (m ∈ R),sao cho với mọi ∀n ∈ N ln có xn6 M (xn> m).

Số M (m) được gọi là cận trên (cận dưới)của dãy (xn).

Định nghĩa 1.4. Dãy số (xn) ⊂ R được gọi làbị chặn, nếu nó bị chặn trên và chặn dưới có nghĩa lànếu như tồn tại số ∃M, m ∈ R sao cho với mọi ∀n ∈ N ln có m 6 xn6 M.

Định nghĩa 1.5. Dãy số (xn) ⊂ R được gọi là không bị chặn trên (dưới), nếu như với mọi số∀M ∈ R (m ∈ R), tồn tại số hạng của dãy số xn0 sao cho xn0 > M (xn0 < m).

Ví dụ 1.1.4. Dãy số xn =

1 + 1n

Ví dụ 1.1.5. Dãy số xn= (1 +1n)n, (n ∈ N) bị chặn dưới bởi số m = 0 và bị chặn trên bởi số M = 4.

Chứng minh. Với mọi ∀n ∈ N ln có xn> 0, và xn=

1 + 1n

6 4

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

Hình 1.4: Ý nghĩa hình học của giới hạn của dãy số

1.2.1 Những khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.6. Số a ∈ R được gọi là giới hạn của dãy (xn) ⊂ R,nếu như với mọi ∀ε > 0 tồn tạisố N = N (ε) sao cho với mọi ∀n > N ln có bất đẳng thức |xn− a| < ε.

Chú ý.Nếu số a ∈ R là giới hạn của dãy (xn) ⊂ R thì ta viết là limn→∞xn= a.

Định nghĩa 1.7. Dãy số (xn) ⊂ R có giới hạn hữu hạn a ∈ R được gọi làdãy hội tụ đến a.Khi đóta viết là xn→ a.

Định nghĩa 1.8. Dãy số (xn) ⊂ R được gọi là phân kỳ nếu như mọi số ∀a ∈ R khơng là giới hạncủa dãy số này, có nghĩa là a khơng tồn tại hoặc bằng ∞.

1.2.2 Tính chất của giới hạn hữu hạn của dãy sốĐịnh lý 1.2

Mọi dãy hội tụ (xn) ⊂ R đều bị chặn.

Chú ý.Điều ngược lại khơng đúng. Ví dụ dãy an= (−1)n bị chặn nhưng phân kỳ.

n→∞(xn± yn) = a ± b3. lim

1.2.3 Những giới hạn cơ bản

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

= e.

10. lim

1 +a

= ea, ∀a.

Chú ý.Với p, α > 0, a > 1, khi n → ∞ thì lnpn << nα<< an<< n! << nn

1.2.4 Định lý kẹpĐịnh lý 1.5

xn6 yn6zn, ∀n > n0lim

n→∞xn= lim

n→∞zn= athì lim

Giải. Ta có

0 < 7

nn < 78

= 0 nên lim

7nnn = 0.

1.2.5 Giới hạn vô cùng của dãy số

Định nghĩa 1.9. Số +∞(−∞; ∞)được gọi giới hạn của dãy số (xn) ⊂ R, nếu như với mọi ∀M > 0 tồntại số N = N (M ) > 0 sao cho với mọi ∀n > N ln có bất đẳng thức xn> M (xn< −M ; |xn| > M ).

Chú ý. 1∞ = 0;

10 = ∞

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

Ví dụ 1.2.2. Dãy số xn= qn(n ∈ N) với q > 1 có giới hạn limn→∞qn= +∞.Chứng minh. Vì 0 < 1q < 1 nên theo giới hạn cơ bản, ta có

= lim

1qn = 0.

Lấy 1 số M > 0 bất kỳ và đặt ε = M1 > 0, khi đó theo định nghĩa giới hạn thì đối với số ε > 0 nàytồn tại số N = N (ε) > 0 sao cho với mọi ∀n > N ln có bất đẳng thức |q1n − 0| = q1n < ε = M1, cónghĩa là qn> M (∀n > N ). Như vậy lim

Lấy 1 số M > 0 bất kỳ và đặt ε = M1 > 0, khi đó theo định nghĩa giới hạn thì đối với số ε > 0 nàytồn tại số N = N (ε) > 0 sao cho với mọi ∀n > N ln có bất đẳng thức ||q1n| − 0| = |q|1n < ε = M1 , cónghĩa là |xn| = |qn| = |q|n> M (∀n > N ). Như vậy lim

Định nghĩa 1.11. Số c ∈ R được gọi là giới hạn riêng của dãy (xn), nếu như tồn tại dãy con(xnk) của dãy (xn), hội tụ đến số c.

Ví dụ 1.2.4. Cho dãy (xn) với xn= (−1)n. Với n = 2k thì dãy {1, 1, . . . , 1, . . .} được gọi là 1 dãy concủa dãy (xn) và giới hạn riêng của nó x2k → 1, k → ∞. Với n = 2k + 1 thì dãy {−1, −1, . . . , −1, . . .}cũng là 1 dãy con của dãy (xn) và giới hạn riêng của nó x2k+1→ −1, k → ∞.

1.2.7 Mối quan hệ giữa giới hạn riêng và giới hạn của dãy số hội tụ

Nếu như dãy (xn) hội tụ đến số a, thì với mọi dãy con (xnk) của dãy (xn), giới hạn của nó là a.

Chú ý.Để chứng minh dãy (xn) phân kỳ ta làm như sau:

Cách 1.Chỉ ra 2 dãy con hội tụ về 2 giới hạn riêng khác nhau.

Cách 2.Chỉ ra 1 dãy con phân kỳ.

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

Ví dụ 1.2.5. Nói chung đối với một số dãy số thì có thể tồn tại những giới hạn riêng khác nhau.

Đối với dãy (xn) = (−1)n(n ∈ N), dãy con của nó (x2k) = (−1)2k = 1 và (x2k−1) = (−1)2k−1= −1có giới hạn riêng lần lượt là 1 và -1. Chúng không bằng nhau.

Ví dụ 1.2.6. Khơng phải với dãy số nào cũng có giới hạn riêng.

Dãy số 1, 2, . . . , n, . . . khơng có giới hạn riêng.

Định lý 1.7

Nếu dãy số đơn điệutăng (giảm) (xn) ⊂ Rbị chặn trên(dưới)x1 6 x26 . . . 6 xn6 . . . 6 y(x1 > x2 > . . . > xn> . . . > z),

thì nó có giới hạn hữu hạn. Còn nếu như dãy số đơn điệu tăng(giảm) (xn) ⊂ R khơng bị chặntrên (dưới) thì giới hạn của nó là +∞(−∞).

Ví dụ 1.3.1. Chứng minh rằng dãy số (xn) = (1 +n1)n(n ∈ N) có giới hạn hữu hạn. Giới hạn nàyđược kí hiệu là e.

Chứng minh. Như ta đã biết dãy (xn) trên là dãy tăng và bị chặn trên. Vì vậy theo định lýWeierstrass tồn tại giới hạn hữu hạn

1 + 1

= e.

Chú ý. Số e là số siêu việt (không phải là số đại số). Nó khơng là nghiệm của đa thức với hệ sốnguyên có bậc n > 1.

Số e ≈ 2, 718281828459045, số này còn được gọi là số Neper hay số Ơle.

1.4.1 Dùng biến đổi đại số để tìm giới hạn của dãy số

Ví dụ 1.4.1. Tìm giới hạn I = lim

n2n + 1−

n3n2+ 1

(n + 1 − n + 1)(n + 1 + n − 1)((n + 1)2+ (n − 1)2)

(n2+ 1 − n2+ 1)(n2+ 1 + n2− 1) = limn→∞

2n(n2+ 1)n2 = ∞.

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

1 +n12 + 1= 0.

Ví dụ 1.4.5. Tìm giới hạn I = lim

n2+ 1 − n√

1 +2n+q

1n+ n12

n− 1nn . n

n − 1 <nn − 1.

n! <2

n. Mặt khác limn→∞

n = 0 nên I = 0.

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

Ví dụ 1.4.9. Tìm giới hạn I = lim

2n − 1.

Mặt khác lim

|q| > 1, do đó1

|q| = 1 + h, h > 0. Theo bất đẳng thức Bernoulli (1.1) ở trang3, ta có

|q|n = (1 + h)n> 1 + nh > nh ⇒ 0 < |q|n< 1nh.

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

7n − 1 = −49 vì limn→∞

17n = 0.

Ví dụ 1.4.15. Tìm giới hạn lim

2n+2+ 3n+32n+ 3n

Chia tử số và mẫu số cho 3n ta có

n→∞an= lim

3n + 33

3n + 1 = 27 vì limn→∞

2n3n = 0.

n→∞an= lim

5n − 3.5

5n + 2 = −15

2 vì limn→∞

2n5n = 0.

vì lim

5n(−6)n = 0.

Ví dụ 1.4.18. Tìm giới hạn lim

2n+ 3−n2−n− 3n

Chia tử số và mẫu số cho 3n ta có

3n +91n

16n − 1Do đó lim

n→∞an= lim

n = limn→∞

(−1)nn2 = 0.

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

1.4.4 Dùng định lý Weierstrass về sự tồn tại giới hạn của dãy đơn điệu

Ví dụ 1.4.20. Chứng minh rằng dãy an= 15 + 1 +

52+ 1+ . . . +1

5n+ 1 hội tụ.

Dãy an là dãy đơn điệu tăng. Thật vậy, vì

an+1 = an+ 15n+1+ 1

nên an+1 > an.

Dãy an bị chặn trên. Thật vậy

an= 15 + 1 +

52+ 1+ . . . +15n+ 1 <

52 + . . . + 15n =

5 −5n+11

1 −15 =14

1 − 1

< 1

Như vậy, dãy an đã cho đơn điệu tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ.

Ví dụ 1.4.21. Chứng minh rằng dãy an= 13 + 1 +

32+ 2+ . . . +1

3n+ n hội tụ.

Dãy an là dãy đơn điệu tăng. Thật vậy, vì

an+1 = an+ 13n+1+ n + 1

nên an+1 > an.

Dãy an bị chặn trên. Thật vậy

an= 13 + 1+

32+ 2+ . . . +13n+ n <

32 + . . . + 13n =

3 −3n+111 −13 =

1 − 1

< 1

Như vậy, dãy an đã cho đơn điệu tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ.

Ví dụ 1.4.22. Chứng minh rằng dãy an= 2

n! hội tụ và tìm giới hạn của nó.

Giải. Dãy an là dãy đơn điệu giảm. Thật vậy, vì

an =

Ví dụ 1.4.23. Cho dãy a1 = √2, an+1 = √2an. Chứng minh rằng dãy (an) hội tụ và tìm giới hạncủa nó.

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

Dãy an là dãy đơn điệu tăng vì a1 < a2 < a3< . . . .Ta sẽ chứng minh dãy an bị chặn trên bởi 2.Thật vậy, a1 =√2, a2=√2a1 <√2.2 = 2.

Giả sử đã chứng minh được rằng an6 2. Ta sẽ chứng minh an+1 6 2.

Thật vậy, an+1=√2an6√2.2 = 2. Vậy theo nguyên lý qui nạp ta có an6 2, ∀n ∈ NNhư vậy, dãy an đã cho đơn điệu tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ.

n→∞an= 2.

Ví dụ 1.4.24. Cho dãy x1 =√a, x2 =pa +√a, . . . , xn=r

a +q

a + . . . +√a

n dấu căn

, a > 0. Chứng

minh rằng dãy (xn) hội tụ và tìm giới hạn của nó.

Giải. Dãy an là dãy đơn điệu tăng vì x1 < x2 < x3 < . . . . Ta sẽ chứng minh dãy xn bị chặn trênbởi √a + 1.

Thật vậy, x1=√a <√a + 1, x2=pa +√a <pa +√a + 1 <pa + 2√a + 1 =√a + 1.Giả sử đã chứng minh được rằng xn6√a + 1. Ta sẽ chứng minh xn+16√a + 1.

Thật vậy, xn+1 =√a + xn < pa +√a + 1 < pa + 2√a + 1 = √a + 1. Vậy theo nguyên lý quinạp ta có xn6√a + 1, ∀n ∈ N

Như vậy, dãy xnđã cho đơn điệu tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ.Giả sử lim

n→∞xn= x. Ta có xn+1=√a + xn⇒ x2

n+1 = a + xn.Lấy giới hạn 2 vế của đẳng thức này khi n → ∞ ta được

n→∞x2n+1= a + lim

Do đó x2 = a + x ⇒ x = 1 −√

1 + 4a

√1 + 4a

, k ∈ N

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

= e−1.

Ví dụ 1.4.27. Tìm giới hạn lim

1 + 1

= lim

1 + 1

= e1.

Ví dụ 1.4.28. Tìm giới hạn lim

2n+ 12n

= lim

1 + 1

= e.

1.4.6 Chứng minh dãy số phân kỳ

Để chứng minh dãy (xn) phân kỳ ta làm như sau:

Cách 1. Chỉ ra 2 dãy con hội tụ về 2 giới hạn riêng khác nhau.Cách 2. Chỉ ra 1 dãy con phân kỳ.

Ví dụ 1.4.29. Chứng minh rằng dãy an= (−1)n2n + 3

3n + 1 phân kỳ.

Giải. Xét 2 dãy con với chỉ số chẵn và lẻ ta có

a2k = (−1)2k2.2k + 33.2k + 1 →

a2k+1= (−1)2k+12.(2k + 1) + 33.(2k + 1) + 1 → −

khi k → ∞. Vậy tồn tại 2 dãy con có giới hạn khác nhau nên dãy đã cho phân kỳ.

1.4.7 Tóm tắt các khái niệm cơ bản của chương 1Giới hạn của dãy số

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

4. lim

1 + 2

8. lim

ln(n2+ 3)ln(2n3+√n)

9. lim

12. lim

n + (−1)nn − (−1)n

13. lim

sin(n3)ln(1 +√5n3+ 1)

16. I = lim

17. I = lim

ln(n2+ 2n cos n + 1)1 + ln(n + 1)

23. I =q

6 +p6 +√6 + . . .

Bài tập 1.5.2. Sử dụng định lý Weierstrass về sự tồn tại giới hạn của dãy đơn điệu:

1. Tìm giới hạn của dãy an được xác định như sau: 0 < a1 < 1, an+1= an(2 − an), ∀n > 1.2. Cho dãy a1 = √k5, an+1 = √k

5an, k ∈ N. Chứng minh rằng dãy (an) hội tụ và tìm giới hạn củanó.

3. Chứng minh rằng dãy an= n!

nn hội tụ và tìm giới hạn của nó.

Lời giải bài tập chương 1

2n + 1n + 3

3n+2n−5= 8

n) = 0

1 + 2

= e2

n4+ 5n= 5

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

cos(n4)ln(1 +√4

n3+ 2n) = 08.lim

ln(n2+ 3)ln(2n3+√

n) =23

n = 010.lim

2n+ 3n= 311.lim

nn + 1cos

sin(n3)ln(1 +√5

n3+ 1) = 014.lim

16. I = lim

lg(n) + lg10lg(n)

5n + 1n + 5

= en→∞lim

ln(5 −24n+5)

n = e0= 1.

21. I =lim

2n2− 5n + 3n5+ 1

= en→∞lim

ln 2n2− 5n + 3n5+ 1

23. I =q

6 +p6 +√

6 + . . . = 3

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

1.5.21. Đầu tiên ta sẽ chứng minh anbị chặn, cụ thể là 0 < an< 1. Thật vậy, ta có 0 < a1< 1.Giả sử đã chứng minh được rằng 0 < an< 1. Ta sẽ chứng minh 0 < an+1< 1. Thật vậy, an+1=an(2 − an) = 1 − (1 − an)2. Do 0 < (1 − an)2 < 1 nên 0 < an+1< 1. Vậy theo nguyên lý qui nạp ta có0 < an+1< 1, ∀n ∈ N.

Bây giờ ta sẽ chứng minh dãy an đơn điệu tăng. Thậy vậy an+1= an(2 − an) ⇒ an+1

an = 2 − an > 1. Từđó an+1> an. Như vậy, dãy an đã cho đơn điệu tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ. Giả sử lim

n→∞an= a.Ta có an+1 = an(2 − an). Lấy giới hạn 2 vế của đẳng thức này khi n → ∞ ta được lim

n→∞an+1 =lim

5. Thật vậy, an+1=√k

5an 6 51k+1

k(k−1)= 5k−11 =k−1√5.Vậy theo nguyên lý qui nạp ta có an 6k−1√

5. Vì an>√k

5 nên a =k−1√

5. Vậy lim

3. Dãy anlà dãy đơn điệu giảm. Thật vậy, vìan+1

an =

= n

(n + 1)n< 1,nên an+1< an.

Dãy an bị chặn dưới bởi 0 vì an> 0. Dãy an đã cho đơn điệu giảm và bị chặn dưới nên nó hội tụ.Giả sử lim

n!nn= 0.

</div>Trang 22<div class="page_container" data-page="22">

GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤCCỦA HÀM MỘT BIẾN

2.1. Giới hạn của hàm số . . . .182.2. Giới hạn vô cùng bé của hàm số . . . .212.3. Giới hạn vô cùng lớn của hàm số . . . .252.4. Hàm số liên tục . . . .262.5. Bài tập . . . .28

Lý thuyết tương đối của Albert Einstein

Nếu L0 là khoảng cách từ người đứng yên đến vật đang đứng yên, L là khoảng cách từ ngườiđứng yên đến vật đang chuyển động với vận tốc v(m/s) thì ta có cơng thức

L = L0.r

1 −v

c2 = L0.r

2.1.1 Định nghĩa điểm giới hạn

Cho X ⊂ R là 1 tập hợp số nào đó, còn a ∈ R là 1 số cố định nào đó.

</div>Trang 23<div class="page_container" data-page="23">

Hình 2.1: Chuyển động của vật với vận tốc gần bằng vận tốc ánh sáng

Định nghĩa 2.1. Nếu số a ∈ R là điểm giới hạncủa tập hợp X ⊂ R, thì tồn tại dãy số (xn) ⊂ X \ ahội tụ về điểm a này xn→ a.

Định nghĩa 2.2. Tập hợp (a − ε, a + ε), với ε > 0 là số tùy ý, được gọi là lân cận của a. Kí hiệuO(a, ε).

2.1.2 Định nghĩa giới hạn của hàm số

Cho hàm số f (x) xác định trên tập hợp X ⊂ R và a ∈ R là điểm giới hạn của tập hợp X này.Định nghĩa 2.3. Số A ∈ R được gọi là giới hạn của hàm số f (x) khi x → a, nếu như với mọi dãy∀(xn) ⊂ X \ a hội tụ về a : xn→ a, dãy giá trị của hàm số tương ứng hội tụ về A : f (xn) → A.

Ví dụ 2.1.1. Giới hạn của hàm số f (x) = x+1, khi x → 0 là 1 vì với ∀xn→ 0 thì f (xn) = xn+1 → 1.

Ví dụ 2.1.2. Tìm giới hạn I = lim

ln nn

Giải. Xét 2 dãy xn = 2πn+1 π2

→ 0 và yn = nπ1 → 0. Ta có lim

n→∞f (xn) = lim

n→∞sin(2πn + π2) =lim

n→∞sin(π2) = 1 và lim

n→∞f (yn) = lim

n→∞sin(πn) = 0. Vậy @I.

</div>Trang 24<div class="page_container" data-page="24">

2.1.3 Giới hạn của hàm số từ một phía

Xa+ = {x ∈ X \ x > a}, Xa− = {x ∈ X \ x < a}. Cho hàm số f (x) xác định trên tập hợp X ⊂ Rcòn a ∈ R là điểm giới hạn của tập hợp Xa+(Xa−).

Định nghĩa 2.4. Số A ∈ R được gọi là giới hạn của hàm số f (x) khi x → atừ bên phải (từ bên trái)

nếu như lim

1, x > 00, x = 0−1, x < 0

x→a+0f (x) = Alim

x→a[f (x) ± g(x)] = A ± Blim

x→a[f (x).g(x)] = A.B

Nếu có thêm điều kiện B 6= 0 thì lim

f (x)g(x) =

</div>Trang 25<div class="page_container" data-page="25">

Phân loại giới hạn của hàm số

Các dạng không phải vô địnha

0 = ∞(a 6= 0);a∞ = 0;

∞a = ∞;a.∞ = ∞(a 6= 0); q∞= 0(|q| < 1).

7 dạng vô định trong giới hạn hàm số∞

∞ ,0

0 , ∞ − ∞ , 0.∞ ,1

∞ , ∞0 , 00

Tính chất của giới hạn của hàm số

1. Nếu hàm số f (x) khi x → a có giới hạn hữu hạn lim

x→af (x) = A thì giới hạn đó là duynhất.

2. Nếu(

y→3sin y = sin 3

Tìm giới hạn I = lim

α(x)β(x) =

2.2.1 Định nghĩa

Cho hàm số α = α(x) xác định trên tập hợp X ⊂ R và số a là điểm giới hạn của tập hợp X.Định nghĩa 2.5. Hàm số α = α(x) được gọi là hàm vô cùng bé(VCB) khi x → a, nếu như giới hạncủa nó bằng 0

x→aα(x) = 0.

</div>Trang 26<div class="page_container" data-page="26">

2.2.2 Tính chất của hàm vô cùng bé

Cho hàm số α = α(x) và β = β(x) xác định trên cùng 1 tập hợp X ⊂ R và số a ∈ R là điểm giớihạn của tập hợp X.

α = α(x) −V CB khi x → a

β = β(x) −V CB khi x → a ⇒ α ± β = α(x) ± β(x) −V CB khi x → a

α = α(x) −hàm bị chặn∀x ∈ O(a, ε)

β = β(x) −V CB khi x → a ⇒ α.β = α(x).β(x) = α(x).β(x) −V CB khi x → a3o Nếu α = α(x) làVCB khi x → a thì với mọi∀c ∈ R tích c.α(x) cũng làVCB khi x → a.4o

2.2.4 Vô cùng bé tương đương

Định nghĩa 2.6. Những VCB α = α(x) và β = β(x) khi x → a được gọi là tương đương nếu nhưlim

Chú ý. Tổng các VCB cóbậc thấp nhấtcủa tử và mẫu phải TỒN TẠI, có nghĩa là chúng khôngbị triệt tiêu.

</div>Trang 27<div class="page_container" data-page="27">

2.2.5 Những giới hạn cơ bản

1. lim

sin xx = 1.

2. lim

loga(1 + x)

x = logae =1

2.2.6 Bảng những hàm vô cùng bé tương đương

Khi x → 0những hàm VCB sau tương đương

1. sin x ∼ x, tan x ∼ x, 1 − cos x ∼ 12x

1 + x − 1 ∼ x

n(n ∈ N)6. sinh x ∼ x, cosh x − 1 ∼ x

Bảng các VCB tương đương thường gặp khi x → 0.

1. x, sin x, arcsin x, sinh x, tan x, arctan x, ln(1 + x), ex− 1 là các VCB tương đương.

2. x

2 , 1 − cos x, cosh x − 1 là các VCB tương đương.3. (1 + x)α− 1 và αx là 2 VCB tương đương

</div>Trang 28<div class="page_container" data-page="28">

Cách sử dụng VCB tương đương khi tính giới hạnĐịnh lý 2.5

u(x) → 0 khi x → af (x) ∼ g(x) khi x → 0

thì f (u(x)) ∼ g(u(x)) khi x → a.

Định lý 2.6

Nếu α(x) → α06= 0 và β(x) ∼ β(x) khi x → a thì α(x).β(x) ∼ α0.β(x) khi x → a

2.2.7 Tính giới hạn bằng cách thay vô cùng bé tương đương

x22 ) =

∼ 2cos 1.

1 + x3− 12

2cos 1.x3

5x3 = 52cos 1.

2.2.8 Những lỗi SAI thường gặp

1. Nếu f (x), g(x) là những VCB tương đương khi x → a thì f (x) + C ∼ g(x) + C, C 6= 0SAI ???

4. Nếu f (x) ∼ f (x), g(x) ∼ g(x) khi x → a thì f (x) ± g(x) ∼ f (x) ± g(x) có thể SAI ???

ví dụ sin x ∼ tan x khi x → 0 nhưng sin x − x và tan x − x KHÔNG tương đương nhau.lim

sin x − x

tan x − x = −1/2. Nguyên nhân SAI: VCB có bậc thấp nhất ở tử và mẫu KHƠNG TỒNTẠI vì hệ số của nóbằng 0. SỬ DỤNG được quy tắc ngắt bỏ VCB có bậc cao hơn khi tổng cácVCB có bậc thấp nhất phải TỒN TẠI.

Ví dụ 2.2.2. Tìm I = lim

ex2− cos xx2

</div>Trang 29<div class="page_container" data-page="29">

Giải.I = lim

1 − cos xx2 = 1

f (x)

g(x) = 0 thì f (x) được gọi là VCL cóbậc thấp hơng(x).

4. không tồn tại lim

f (x)

g(x) hữu hạn hay vơ cùngthì f (x), g(x) được gọi là VCL khơng so sánh được.

2.3.3 Vô cùng lớn tương đương

Định nghĩa 2.8. Những hàm vô cùng lớn f (x) và g(x) khi x → a được gọi là tương đương nếu nhưlim

f (x)g(x) = 1.

Chú ý.Tổng các VCL cóbậc cao nhất của tử và mẫu phải TỒN TẠI, có nghĩa là chúng không bịtriệt tiêu.

Những giới hạn cơ bản của vô cùng lớn.

</div>Trang 30<div class="page_container" data-page="30">

2.3.4 Tìm giới hạn bằng cách thay VCL tương đương

Ví dụ 2.3.1. I = lim

x2+ 4 + 2x + 3√x√

Ví dụ 2.3.2. I = lim

x2+ 4 −√x2+ xx

Giải.Khi x → +∞ ta có √x2+ 4x→+∞∼ x,√x2+ xx→+∞∼ x nên những VCL có bậc cao nhất nàybịtriệt tiêu.

2.4.1 Hàm số liên tục tại 1 điểm

Cho hàm số f (x) xác định trên tập hợp số X ⊂ R và điểm x0 ∈ X là điểm cố định của tập hợp Xnày.

Định nghĩa 2.9. Hàm số f (x) được gọi làliên tụctại điểm x0 ∈ X, nếu như ln có đẳng thức

f (x) = f (x0).

Định lý 2.7

Cho điểm x0 ∈ X là điểm giới hạn của tập hợp X+

x0, Xx−0 có nghĩa cũng là điểm giới hạn củatập hợp X. Khi đó để hàm số f (x) liên tục tại điểm x0 ∈ X điều kiện cần và đủ là ln có đẳngthức

1. có ít nhất 1 trong 2 giới hạn f (x0+ 0) và f (x0− 0)không tồn tại hoặc bằng vô cùng.

2. cả 2 giới hạn f (x0+ 0) và f (x0− 0) tồn tại hữu hạn nhưng khơng thỏa mãn ít nhất 1 trongnhững đẳng thức trên.

2.4.2 Điểm gián đoạn loại I.

Định nghĩa 2.11. Điểm x0 ∈ X được gọi làđiểm gián đoạn loại Icủa f (x) nếu tại x0 ∃ giới hạnhữuhạnf (x0+ 0) và f (x0− 0) nhưng khơng thỏa mãn ít nhất 1 trong 2 đẳng thức f (x0+ 0) = f (x0− 0) =f (x0).

</div>Trang 31<div class="page_container" data-page="31">

Định nghĩa 2.12. Điểm x0 ∈ X được gọi làđiểm gián đoạn khử được của f (x) nếu tại x0 ∃ nhữnggiới hạn hữu hạn f (x0+ 0) và f (x0− 0) sao cho f (x0+ 0) = f (x0− 0) 6= f (x0).

Ví dụ 2.4.1. Khảo sát điểm gián đoạn của hàm số

f (x) =(

|x|, x 6= 01, x = 0

Định nghĩa 2.13. Điểm x0 ∈ X được gọi làđiểm gián đoạn với bước nhảy hữu hạncủa hàm số f (x)nếu như tại điểm này tồn tại những giới hạnhữu hạnf (x0+0) và f (x0−0) sao cho f (x0+0) 6= f (x0−0).Khi đó f (x0+ 0) − f (x0− 0) 6= 0 được gọi là bước nhảycủa hàm số f (x) tại điểm x0.

Ví dụ 2.4.2. Hàm số

f (x) = sign(x) =

1, x > 00, x = 0−1, x < 0

Giải.Rõ ràng f (0 + 0) = lim

x→0+01 = 1 và f (0 − 0) = lim

x→0−0(−1) = −1. Như vậy f (0 + 0) 6= f (0 − 0)và x0 = 0 là điểm gián đoạn với bước nhảy hữu hạn f (0 + 0) − f (0 − 0) = 2 của hàm số f (x).

2.4.3 Điểm gián đoạn loại II

Định nghĩa 2.14. Điểm x0 ∈ X được gọi là điểm gián đoạn loại II của hàm số f (x) nếu như tạiđiểm này có ít nhất 1 trong 2 giới hạn f (x0+ 0) và f (x0− 0) hoặc bằngvơ cùng hoặckhơng tồn tại.

Ví dụ 2.4.3. Khảo sát điểm gián đoạn của hàm số

f (x) =

x, x 6= 00, x = 0

Giải.Ta sẽ chứng minh f (0 + 0) không tồn tại. Xét 2 dãy xn= 2πn+1 π2

→ 0 và yn= nπ1 → 0. Ta cólim

2.4.4 Tóm tắt các khái niệm cơ bản của chương 2

</div>Trang 32<div class="page_container" data-page="32">

Giới hạn và tính liên tục của hàm số

1. Giới hạn của hàm số. Tính chất cơ bản

2. Giới hạn vơ cùng bé.

3. Giới hạn vô cùng lớn

4. Hàm số liên tục. Điểm gián đoạn: loại I, loại II.

2.5.1 Tìm giới hạn bằng cách thay VCB tương đương

Bài tập 2.5.1. Tìm các giới hạn sau bằng cách thay VCB tương đương

1. I = lim

ln(1 + x tan x)x2+ sin3x

2. I = lim

ln(cos x)ln(1 + x2)

3. I = lim

sin(ex−1− 1)ln x

4. I = lim

(ex− 1)(cos x − 1)sin3x + 2x4

5. I = lim

sin 2x + 2 arctan 3x + 3x2ln(1 + 3x + sin2x) + xex

Bài tập 2.5.2. 1. Tìm a ∈ R để lim

ln(1 + a3x)x + limx→0

tan(3ax)x + limx→0

2. I = lim

x→0 1 + 2x4 1sin2 x

3. I = lim

x→0 1 − tan2x

1sin2 2x

</div>Trang 33<div class="page_container" data-page="33">

6. I = lim

ex1 +1

2.5.5 Tìm giới hạn của biểu thức có dạng f (x)g(x) khi x → a2.5.6 Tính liên tục của hàm số

Bài tập 2.5.7. 1. Tìm a để hàm số sau liên tục tại x0= 0

f (x) =

x sin1

x, x 6= 0a, x = 0.

2. Tìm a để hàm số sau liên tục tại x0 = 0

f (x) =(

ax2+ 1, x > 0−x, x 6 0.3. Tìm a để hàm số sau liên tục tại x0 = 0

f (x) =(

cos x, x 6 0a(x − 1), x > 0.

4. Tìm a, b để hàm số sau liên tục trên tập xác định của nó

f (x) =

(x − 1)3, x 6 0ax + b, 0 < x < 1

x, x > 1.5. Tìm a, b để hàm số sau liên tục trên tập xác định của nó

f (x) =(

x, |x| 6 1x2+ ax + b, |x| > 1.

Lời giải bài tập chương 2

2.5.11. lim

x→0ln(1 + x tan x) = 0, lim

x→0x2+ sin3x = 0 nên ta có thể thay chúng bằng VCB tương đương.Khi x → 0 thì ln(1 + x tan x)x→0∼ x tan xx→0∼ x2vì ln(1 + u(x)) ∼ u(x) khi u(x) → 0 và tan x ∼ x.Khi x → 0 thì x2+ sin3xx→0∼ x2.

Vậy I = lim

x2= 1.2. Ta có lim

Vậy I = lim

x2= −12.

</div>Trang 34<div class="page_container" data-page="34">

3. Ta có lim

x→1sin(ex−1− 1) = 0 và lim

x→1ln x = 0 nên ta có thể thay chúng bằng những VCB tương đương.Khi x → 1 thì sin(ex−1− 1)x→1∼ ex−1− 1x→1∼ x − 1 vì sin(u(x))x→1∼ u(x), eu(x)− 1 ∼ u(x) khi u(x) → 0.Khi x → 1 thì ln x = ln(1 + (x − 1))x→1∼ x − 1.

Vậy I = lim

x − 1x − 1 = 1.4. Ta có lim

2 , sin

3x + 2x4 x→0∼x3. Vậy I = lim

x3= −12.5. Ta có lim

x→0sin 2x + 2 arctan 3x + 3x2= 0 và lim

x→0ln(1 + 3x + sin2x) + xex= 0 nên thay VCB tương đương.Khi x → 0 thì sin 2x + 2 arctan 3x + 3x2 x→0∼ (2x + 2.3x), ln(1 + 3x + sin2x) + xex x→0∼ 3x + x.

Vậy I = lim

8x4x = 2.

2.5.21. Ta có lim

ln(1 + a3x)x = a

52− 3

r1 −√

2x2x = 1.

2. Đặt t = −x. Ta có√

x2+ 14 + x√

x2− 2 + x =√

t2+ 14 − t√

t2− 2 − t =

t2− 2 + t)(−2)(√

t2+ 14 + t). Khi t → +∞ thì√

t2− 2 +tt→+∞∼t + t,√

t2+ 14 + tt→+∞∼t + t.Vậy I = lim

1 + 8x2− 4

x2 −48 .8x2x2 −4

= e82. I = lim

x→01 + 2x4

sin2 x= e0= 13. I = lim

x→01 − tan2x

− tan2 x.− tan2 x

sin2 2x= e−1/4=√41e

4. I = lim

x→0(1 + (cos x − 1))cos x−11 .cos x−1

x2= e−1/2=√1e

5. I =lim

1 + 42x2− 1

2x2 −14 .4x22x2 −1

= e2

</div>Trang 35<div class="page_container" data-page="35">

6. I =lim

1 + (e1x+ 1x− 1)

1

ex + 1x−1

2/x1/x = 2.

2.5.71. Vì 0 6

x sin1

6 |x| nên limx→0

x sin 1

= 0 ⇒ lim

x sin1

= 0. Để hàm số sau liên tục tạix0= 0 thì a = 0.

Đáp số. a = 1, b = −1.

</div>Trang 36<div class="page_container" data-page="36">

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦAHÀM MỘT BIẾN

3.1. Khái niệm đạo hàm của hàm một biến . . . .323.2. Đạo hàm cấp cao . . . .383.3. Vi phân của hàm một biến . . . .403.4. Tìm giới hạn dạng vô định theo qui tắc L’ Hopital . . . .413.5. Khai triển Taylor - Maclaurin . . . .443.6. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số . . . .483.7. Bài tập . . . .52

Bài toán máy bay rơi

Trong lĩnh vực hàng không, giả sử máy bay đang bay thì hết xăng, độ cao của máy bay khi hếtxăng được mơ tả bởi phương trình H(t) = H0+ v0t − 16t2, với H0(km) là độ cao của máy baylúc hết xăng, v0(km/h) là vận tốc của máy bay lúc hết xăng. Thời gian từ lúc hết xăng cho đếnkhi máy bay đạt độ cao lớn nhất là 0, 3h. Hãy tìm vận tốc v0 của máy bay khi hết xăng?

Hình 3.1: Tìm vận tốc của máy bay khi hết xăng

</div>Trang 37<div class="page_container" data-page="37">

Thời gian từ lúc hết xăng cho đến khi máy bay đạt độ cao lớn nhất là 0, 3h, có nghĩa là khi t = 0, 3thì v(0, 3) = 0.

Theo cơng thức, ta có

v(t) = (H(t))0 = v0− 32.t.

Như vậy v(0, 3) = v0− 32.(0, 3) = 0 ⇒ v0 = 9, 6(km/h)

3.1.1 Định nghĩa đạo hàm của hàm một biến

Định nghĩa 3.1. Cho hàm số y = f (x) xác định trong lân cận của điểm x0. Giới hạn (nếu có) củatỉ số

f (x) − f (x0)x − x0

được gọi làđạo hàm của hàm số y = f (x) tại x0 và được ký hiệu là f0(x0) hay y0(x0).

Định nghĩa 3.2. Đạo hàm tráicủa y = f (x) tại x0 là giới hạn trái (nếu có)

f−0 (x0) = lim

f (x) − f (x0)x − x0

Như vậy f+0(0) = 1 6= −1 = f−0(0). Do đó hàm số khơng có đạo hàm tại x0 = 0.

3.1.2 Các quy tắc tính đạo hàm

</div>Trang 38<div class="page_container" data-page="38">

y0 = u0± v0 = u0(x0) ± v0(x0). (3.6)

Định lý 3.4

Nếu hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm hữu hạn u0= u0(x) và v0 = v0(x) tại điểm x0 ∈ Xthì tại điểm này hàm số y = u.v = u(x).v(x) cũng có đạo hàm hữu hạn y0 tại điểm x0, lúc nàyluôn có đẳng thức

y0= u0.v + u.v0 = u0(x0).v(x0) + u(x0).v0(x0). (3.7)

Chú ý.Cơng thức (3.7) cũng có thể mở rộng cho tích của hữu hạn những hàm số.

(u.v. . . . ω)0 = u0.v. . . . .ω + u.v0. . . . .ω + . . . + u.v. . . . .ω0.

Định lý 3.5

Nếu hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm hữu hạn u0= u0(x) và v0 = v0(x) tại điểm x0 ∈ Xsao cho v(x0) 6= 0 thì tại điểm này hàm số y = u

v =u(x)

Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm hữu hạn f0(x0) tại điểm x0 cịn hàm số z = g(y) có đạo hàmhữu hạn g0(y0) tại điểm tương ứng y0 = f (x0) ∈ E(f ), thì hàm hợp z = h(x) = g(f (x)) có đạohàm hữu hạn tại điểm x0, lúc đó ln có đẳng thức

h0(x0) = g0(y0).f0(x0) ⇔ zx0 = z0y.y0x. (3.9)

</div>Trang 39<div class="page_container" data-page="39">

Ví dụ 3.1.2. Tìm đạo hàm của hàm y = sin5(4x + 3)

Giải.y0 = 5 sin4(4x + 3). cos(4x + 3).(4x + 3)0= 20 sin4(4x + 3) cos(4x + 3).

3.1.4 Đạo hàm của hàm ngượcĐịnh lý 3.7

Cho hàm số y = f (x)tăng (hoặc giảm), liên tục trên khoảng X ⊂ R xác định từ khoảng X ⊂ Rlên tồn khoảng Y ⊂ R và có đạo hàm hữu hạn f0(x0) 6= 0 tại điểm x0. Khi đó hàm ngượcx = g(y) = f−1(y) có đạo hàm hữu hạn tại điểm tương ứng y0 = f (x0) ∈ Y, và ln có đẳngthức

g0(y0) = 1

f0(x0) ⇔ x

0y = 1

Ví dụ 3.1.3. Tìm đạo hàm của hàm ngược của hàm y = x + x3, x ∈ R.

Giải. Hàm số y liên tục khắp nơi và là hàm tăng, đạo hàm y0 = 1 + 3x2 > 0, ∀x ∈ R nênx0y = 1

2 được gọi là hàm cos hyperbolic.

Định nghĩa 3.5. Hàm số tanh x = sinh x

cosh x được gọi là hàm tan hyperbolic.

Định nghĩa 3.6. Hàm số coth x = cosh x

sinh x được gọi là hàm cotan hyperbolic.

Đạo hàm của những hàm sơ cấp

Hàm hằng