VẬN DỤNG NGUYÊN LÍ KHỞI ĐẦU CỰC TRỊ VÀ NGUYÊN LÍ DIRICHLET ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN THI HỌC SINH GIỎI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (894.06 KB, 52 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM

KHOA: TOÁN ------

PƠLOONG THỊ NEO

VẬN DỤNG NGUYÊN LÍ KHỞI ĐẦU CỰC TRỊ VÀ NGUYÊN LÍ DIRICHLET ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN

THI HỌC SINH GIỎI TRUNG HỌC PHỔ THƠNG

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Quảng Nam, tháng 6 năm 2021

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM

KHOA: TỐN ------

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Quảng Nam, tháng 6 năm 2021

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khố luận, tơi xin bày tỏ lịng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến thầy giáo TS. Trần Văn Sự, người đã dành thời gian trực tiếp hướng dẫn, tận tình, chu đáo và giúp đỡ tơi thực hiện đề tài của mình.

Cuối cùng, tơi xin gửi đến những người thân yêu và bạn bè một lời cảm ơn chân thành vì mọi người đã ln khích lệ, động viên tơi trong suốt q trình thực hiện đề tài này.

Mặc dù đã cố gắng và nỗ lực hết mình nhưng khơng thể tránh khỏi những thiếu sót cần bổ sung và chỉnh sửa. Kính mong nhận được các lời nhận xét, góp ý của q thầy cơ giáo và các bạn để khố luận được hồn thiện hơn.

Quảng Nam, tháng 06 năm 2021

Sinh viên thực hiện

Pơloong Thị Neo

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ... 2

1.Lý do chọn đề tài ... 2

2. Mục tiêu nghiên cứu ... 2

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ... 2

3.1. Đối tượng nghiên cứu ... 2

1.5. Một số kiến thức liên quan đến bất đẳng thức ... 9

1.5.1. Bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân ... 9

1.8.5. Ngun lí Dirichlet cho diện tích ... 15

CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG NGUN LÍ KHỞI ĐẦU CỰC TRỊ VÀ NGUN LÍ DIRICHLET VÀO BÀI TỐN... 16

2.1. Nguyên lí khởi đầu cực trị ... 16

2.1.1. Ứng dụng vào giải bài tốn hình học tổ hợp ... 16

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

2.1.2. Ứng dụng vào giải bài toán tổ hợp ... 22

2.1.3. Ứng dụng vào giải bài tốn số học ... 24

2.2. Ngun lí Dirichlet ... 26

2.2.1. Ứng dụng vào giải bài tốn hình học tổ hợp ... 26

2.2.2. Ứng dụng vào giải bài toán tổ hợp ... 31

2.2.3. Ứng dụng vào giải bài toán số học ... 33

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài

Trong Tốn học, có một số bài tốn mà chúng ta dùng nhiều phương pháp khác nhau để đưa ra một lời giải đúng. Chẳng hạn như phương pháp giải trực tiếp, phương pháp phản chứng, phương pháp quy nạp tốn học, … để tìm ra lời giải cho các bài tốn khá hóc búa. Trong các bài tốn về lý thuyết tập hợp nói chung, lý thuyết tổ hợp nói riêng, ngun lí khởi đầu cực trị và ngun lí Dirichlet là hai ngun lí có nội dung khá đơn giản nhưng cũng là phương pháp rất hiệu quả dùng để chứng minh nhiều kết quả sâu sắc trong tốn học. Đặc biệt, hai ngun lí này có thể áp dụng rộng rãi trong việc chứng minh các bài tốn tổ hợp thường xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia cũng như kỳ thi Olympic tốn học quốc tế cho học sinh, sinh viên.

giúp đỡ của giảng viên hướng dẫn khóa luận, tôi mạnh dạn chọn đề tài “Vận dụng

nguyên lí khởi đầu cực trị và nguyên lí Dirichlet để giải các bài toán thi học sinh giỏi Trung học phổ thông” làm đề tài khố luận tốt nghiệp cuối khóa của mình.

2. Mục tiêu nghiên cứu

Khố luận được hồn thành với mục tiêu nghiên cứu vận dụng ngun lí khởi đầu cực trị và ngun lí Dirichlet để giải các bài toán thi học sinh giỏi Trung học phổ thông.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1. Đối tượng nghiên cứu

3.2. Phạm vi nghiên cứu

4. Phương pháp nghiên cứu

- Hệ thống hoá, giải quyết vấn đề và sưu tầm giải quyết bài toán.

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.

Chương 2: Ứng dụng nguyên lí khởi đầu cực trị và nguyên lí Dirichlet.

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Lý thuyết tập hợp

Trong cuộc sống ta có rất nhiều ví dụ về tập hợp: Tập hợp các em học sinh của một lớp học, tập hợp các số tự nhiên, tập hợp các tam giác…

1.1.1. Cách biểu diễn tập hợp

Thơng thường người ta hay biểu diễn một tập hợp M như một phần mặt phẳng được giới hạn bởi một đường cong khép kín. Phần mặt phẳng này được tơ màu hoặc đánh dấu để nhận biết được.

Mỗi phần tử x của một tập M được kí hiệu bởi x



M và được biểu diễn như một điểm trong phần mặt phẳng được giới hạn đó. Cịn khi x khơng phải là phần tử của tập hợp M thì ta viết xM.

Lợi ích của sự biểu diễn này cho ta hình ảnh trực quan hơn về giao của hai tập hợp cũng như hợp của hai tập hợp. Giao của hai tập hợp A và B cho trước, được kí hiệu là A B là miền giao của hai phần biểu diễn tương ứng (xem hình bên phải) và hợp của hai tập hợp A và B này, được kí hiệu làA Blà tồn bộ miền mặt phẳng dùng để biểu diễn hai tập hợp này (xem hình bên trái)

a. Liệt kê tất cả các phần tử

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

Chẳng hạn tập hợp tất cả các chữ số trong hệ thập phân:



0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9



.

b. Thông qua quy tắc nhận biết đơn giản

Trong phương pháp biểu diễn tập hợp này, người ta chỉ liệt kê vài phần tử đầu tiên của tập hợp để người đọc có thể nhận ra ngay quy tắc nhận biết chúng và dùng dấu “…” để dễ hiểu là cịn các phần tử khác nối tiếp theo quy luật đó. Chẳng hạn tập hợp tất cả các số tự nhiên được biểu diễn như sau:



1, 2 , 3, ...



.

Tập hợp tất cả các số tự nhiên chẵn được biểu diễn như sau:



2 , 4 , 6 , ...



.

M: = {nN: n là số chính phương}.

Trong cách biểu diễn này, quy tắc nhận biết rất có thể đơn giản về hình thức, nhưng khi vận dụng để nhận biết một phần tử có thuộc tâp hợp được biểu diễn hay khơng là một vấn đề khó khăn. Chẳng hạn tập hợp các số nguyên tố được biểu diễn như sau:

Ví dụ 1: Hãy biểu diễn tập hợp tất cả các số thực trên mặt phẳng toạ độ Đề Các. Giải:

a. Tập hợp rỗng

Tập hợp khơng có phần tử nào được gọi là tập hợp rỗng và được kí hiệu bởi .

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

2, 3





1, 2, 3



Như thường lệ, ta kí hiệu tập hợp tất cả các tập con của một tập hợp A bởi P(A). Ví dụ 5: Cho trước hai tập hợp A và B. Chứng minh rẳng tổng số phần tử của

A B và A Bbằng tổng số phần tử của A và B. Giải:

Ta biểu diễn các tập hợp A và B như hình bởi các phần của mặt phẳng bao bởi các đường đóng kín. Giả sử rằng A có n phần tử và B có mphần tử.

NếuA Bcó a phần tử thì số phần tử A\B là n a phần tử và số phần tử B \A là m a phần tử. Tập hợpA Bcó:



n a



 a



m a



 n m a phần tử.

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

Bước 3: Kết luận là khẳng định của bài toán là đúng.

Rất nhiều bài tốn chứng minh trực tiếp có thể dài, nhưng bằng phương pháp chứng minh phản chứng nhiều khi ta có được một chút chứng minh ngắn gọn. Trong chứng minh phản chứng, ta có thêm một giả thiết làm chỗ tựa cho chứng minh (đó là mệnh đề ngược lại với kết luận của bài tốn). Đơi khi xuất phát từ giả thiết được tạo thêm này chúng ta dễ suy luận hơn.

Ví dụ 6: Biết rằng số



là một số vơ tỉ. Chứng minh rằng trong khai triển thập phân của số  3,1415...sẽ có một chữ số xuất hiện vơ hạn lần.

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

xác đó là chữ số gì. Vì sự tồn tại một chữ số có tính chất như vậy trong khai triển thập phân của số



chỉ được chứng tỏ bằng chứng minh phản chứng mà thơi. Cịn khi a là một số hữu tỉ có vơ hạn chữ số sau dấu phẩy trong biểu diễn thập phân của

nó, thì ta dễ dàng tìm tất cả chữ số xuất hiện vơ hạn lần sau dấu phẩy trong biểu diễn thập phân của a .

Ý tưởng là để chứng minh một tính chất A cho một cấu hình P, ta xét một đặc trưng f P

 

của P là một hàm có giá trị ngun dương. Bây giờ giả sử tồn tại một cấu hình P khơng có tính chất A, khi đó sẽ tồn tại một cấu hình P0 khơng có tính chất A với f P nhỏ nhất. Ta sẽ tìm cách suy ra điều mâu thuẫn.

 

0

Lúc này, ngồi việc chúng ta có cấu hình P0 khơng có tính chất A, ta cịn có mọi cấu hình P với f P

 

 f P

 

0 đều có tính chất A.

1.3. Một số tính chất của phép chia hết Định nhĩa 1.1 phép chia hết:

Gải sử a b, là hai số nguyên và b  , ta nói b chia hết 0 a hay a chia hết cho b

nếu như có một số nguyên qsao cho a bq. Khi ấy ta cịn nói b là ước của a hay a

là bội của b và viết a b . Một số tính chất:

i) Nếu a b và b c thì a c .

ii) Nếu a b , a c và



b c  thì a bc,



1  .

iii) Nếu ab c và



b c  thì a c,



1  . 1.4. Một số tính chất của đồng dư thức Định nghĩa 1.2 đồng dư thức:

Cho m là một số ngun dương, ta nói hai số ngun a và b đồng dư với nhau

theo mơđun m nếu trong các phép chia a và b cho m ta được cùng một số dư, nghĩa là có các số q q r  1, 2, với 0r m, sao cho:

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

Hệ thức a (mod bm) được gọi là đồng dư thức. Một số tính chất:

  

1.5. Một số kiến thức liên quan đến bất đẳng thức

1.5.1. Bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân

Cho n số thực dương a a1, 2,...,an thì trung bình cộng của n số đó lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng, nghĩa là:

Chứng minh:

Ta dùng phương pháp quy nạp theo n: Với n  2, ta có chứng minh :

Để chứng minh bất đẳng thức tổng qt ta xét bất đẳng thức phụ: Nếu

x x

1, 2 

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">



111



111



111





a x bn  n



2 0. Từ đó suy ra:

a x  a b xb  . Cộng vế theo vế ta đươc:

a a  ax  a b a b  a bx b b  b  . Ta thấy vế trái là một tam thức bậc hai. Đặt:

f x  a a  ax  a b a b  a bx b b  b . Với a12 a22 ...an2 0 và f x( )0,  x nên nếu a12 a22 ...an2 0 thì:

Cuối cùng ta thấy dấu “=” của bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:  '0

a x b1  1 a x b2  2 ...a x bn  n 0

b1ka1 b2 ka2 ...bn kan ,k  . 1.6. Nguyên lý bù trừ

Cho tập X và n tập con X X1, 2,...,Xn. Ta có

kk

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

 X1X2...Xn  Xn1 



X1X2...Xn



Xn1 . Ta có:

kk

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

1.7. Nguyên lí khởi đầu cực trị

Nguyên lí 2: Trong một tập hợp khác rỗng các số tự nhiên ln ln có thể chọn

được số bé nhất.

Ngun tắc này dùng để chứng minh những bài tốn mà trong tập hợp những giá trị phải xét tồn tại giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất.

Thơng thường ngun lí khởi đầu cực trị được sử dụng cùng với phương pháp chứng minh phản chứng. Ngun lí khởi đầu cực trị được vận dụng trong trường hợp tập những giá trị cần phải khảo sát chỉ là một tập hợp hữu hạn (ngun lí 1) hoặc có thể vơ hạn (ngun lí 2) nhưng tồn tại một phần tử nhỏ nhất (hoặc lớn nhất).

1.8.1. Nội dung ngun lí Dirichlet

Nếu nhốt n 1 con thỏ vào n cái chuồng thì ln tồn tại một chuồng chứa ít nhất

hai con thỏ.

1.8.2. Ngun lí Dirichlet mở rộng

Cũng tương tự như vậy, ngun lí Dirichlet mở rộng được phát biểu như sau: “Nếu nhốt n con thỏ vào m m ( 2)chuồng thì tồn tại một chuồng có ít nhất

n mm

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

A cho tương ứng với một phần tử củaB thì tồn tại ít nhất hai phần tử khác nhau của

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

1.8.5. Ngun lí Dirichlet cho diện tích

NếuKlà một hình phẳng, cịn K K K1, 2, 3,...,Kn là các hình phẳng sao cho

</div>Trang 20<div class="page_container" data-page="20">

CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ KHỞI ĐẦU CỰC TRỊ VÀ NGUN LÍ DIRICHLET VÀO BÀI TỐN.

2.1. Ngun lí khởi đầu cực trị

2.1.1. Ứng dụng vào giải bài tốn hình học tổ hợp

Bài tốn 1: Cho ABC là tam giác nhọn. Lấy một điểm P bất kì trong tam giác. Chứng minh rằng khoảng cách lớn nhất trong các khoảng cách từ P tới ba đỉnh A, B, C khơng nhỏ hơn hai lần khoảng cách bé nhất trong các khoảng cách từ P tới ba cạnh của tam giác đó.

A

1

C

1

</div>Trang 21<div class="page_container" data-page="21">

Giải:

Phân tích: Trong tất cả các cách nối các cặp điểm xanh và đỏ với nhau bởi 1000 đoạn thẳng sẽ tồn tại một cách nối mà tổng độ dài các đoạn thẳng nối nhỏ nhất. Ta chứng minh rằng cách nối này thoả mãn u cầu đặt ra của bài tốn.

Thật vậy, giả sử trong cách nối này có hai đoạn thẳng A B1 1vàA B2 2cắt nhau (Ai màu đỏ và Bi màu xanh) tại điểm O. Khi đó ta thay hai cạnh nối này bằng cạnh A B1 2vàA B2 1.

Dễ thấy đây là một cách nối từng cặp các đỉnh xanh và đỏ với nhau bởi 1000 đoạn thẳng với tổng độ dài các đoạn thẳng nhỏ hơn vì: A B1 2A B2 1 A B1 1A B2 2 (vơ lí).

Bài tốn 5: Trên một sân chơi có một số em bé đứng sao cho khoảng cách giữa các em đơi một khác nhau. Trong tay mỗi em bé có một quả bóng. Sau hiệu lệnh của chị phụ trách, mỗi em đưa quả bóng của mình cho bạn đứng gần nhất. Chứng minh rằng mỗi em bé nhận được khơng q 5 quả bóng.

A A A > 600.

B1

</div>Trang 24<div class="page_container" data-page="24">

Suy ra 6 

10 iii

A A A



> 3600 là điều vơ lí (quy ướcA7 A1). Vậy mỗi em bé nhận được khơng q 5 quả bóng.

Bài tốn 6 : Trên một sân chơi có 10 em bé đứng. Biết rằng khoảng cách giữa các em bé đơi một khác nhau và mỗi em bé có trong tay một quả bóng. Sau hiệu lệnh của chị phụ trách, mỗi em đưa quả bóng của mình cho bạn đứng gần nhất. Hỏi rằng có ít nhất bao nhiêu em bé cịn có bóng trong tay.

Giải :

Xét hai emA và B có khoảng cách tới nhau nhỏ hơn khoảng cách giữa hai em bất kì khác. Khi đó A đưa bóng cho B và B đưa bóng cho A nên sau hiệu lệnh của chị phụ trách có ít nhất hai em cịn có bóng trong tay.

Các em cịn lại khácA và B được đánh số là A1, , A4(các em đưa bóng của mình cho A) và B1, , B4(các em đưa bóng của mình cho B) như trong hình (bên trái).

</div>Trang 25<div class="page_container" data-page="25">

Do tính chất là cạnh lớn nhất trong các tam giácA AAii1



i 1, 2, 3



và B BBii1



i 1, 2, 3



nên các góc  0

AA B  BA B  4 4 ABA4+

A BB ,

 

AA B ABB .

 

BB A BAA . Và ta có khi cộng vế với vế hai bất đẳng thức cuối:

Trong ví dụ trong hình, các vị trí các em bé đứng đánh số từ 1 tới 10. Các vị trí của các em số 1 tới số 3 và 5 là vị trí của bốn đỉnh của ngũ giác đều nội tiếp đường trịn tâm tại 4. Tương tự như vậy là vị trí của 8, 9 và 10. Ta có thể thay đổi vị trí các

</div>Trang 26<div class="page_container" data-page="26">

2.1.2. Ứng dụng vào giải bài tốn tổ hợp:

Bài tốn 1: Bảy người câu được 100 con cá. Biết rằng khơng có hai người nào câu được số cá như nhau. Chứng minh rằng có ba người câu được tổng cộng khơng ít hơn 50 con cá.

Giải: Ta sắp xếp các người câu cá theo thứ tự để số cá câu được của họ giảm dần.

Nếu người thứ tư câu được khơng ít hơn 15 con cá thì ba người đầu câu được khơng ít hơn 16 + 17 + 18 = 51 con cá.

Bài tốn 2: Trong một cuộc thi học sinh giỏi tỉnh có 65 học sinh tham gia đến từ hai trường. Mỗi học sinh thi một trong 4 mơn Tốn, Lý, Hố, Anh Văn. Biết rằng trong 5 học sinh thi cùng một mơn thì có hai học sinh cùng tuổi. Chứng minh rằng trong 65 học sinh có ít nhất 3 học sinh đến từ một trường, thi cùng một mơn và bằng tuổi nhau.

Giải:

46

</div>

VẬN DỤNG NGUYÊN LÍ KHỞI ĐẦU CỰC TRỊ VÀ NGUYÊN LÍ DIRICHLET ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN THI HỌC SINH GIỎI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

PƠLOONG THỊ NEO

VẬN DỤNG NGUYÊN LÍ KHỞI ĐẦU CỰC TRỊ VÀ NGUYÊN LÍ DIRICHLET ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN

THI HỌC SINH GIỎI TRUNG HỌC PHỔ THƠNG

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC



















 

 

 

 

 





















 

 

 

 









<i>x x</i>









<i>x x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

















<i>A</i>

<i>C</i>





<i>CD</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>







<i>B</i>











Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về