giải các bài tóan ứng dụng nguyên lí dirichlet

1
I.Giớithiệu:
NguyênlýĐirichlê(Dirichlet)còngọilà"nguyêntắcnhốtthỏvàolồng"hoặc
"nguyêntắcxếpđồvậtvàongănkéo"hoặcnguyêntắclổchuồngcâu".
Nộidungcủanguyênlýnàyhếtsứcđơngiảnvàdễhiểu,nhưnglạicótácdụngrất
lớn tronggiảitoán.Nhiềukhicónhữngbàitoán,ngườitađãdùngrấtnhiều
phươngpháptoánhọcđểgiảimàvẫnchưađiđếnkếtquả,nhưngnhờnguyênlý
Đirichlêmàbàitoántrởnêndễdànggiảiquyết.Thídụmộtbàitrong đềt hivào
trườngĐHSPVinh cónămrabàinhưsau:
…Cótồntạihaykhôngsốcódạng:
20022002 20022002chiahếtcho2003?
Tuynhiên,cónhữngbàitoáncóvẻhiểnnhiênlàthế.Songtrongtoánhọcphải
chứngminh.Chẳnghạn:Hãy chứngminhrằngtrong11sốtựnhiênbấtkỳbaogiờ
cũngcóítnhất2sốcóchữsốtậncùnggiốngnhau.
NguyênlýDỉichletứngdụng rấtđadạng,từsốhọc,topo,logichọc…đềucó
nhữngbài toánhay.Xingiớithiệumộtloạtbài toán sau
II.Cácbàitoánmẫu,ứngdụngnguyênlíDirichlet:
A.Cácbàitoánsốhọc:
1.Toánsuyluận logic:
*Bài1:
Đề1: Có10độibóngthiđấuvớinhau trongmộtgiải,mỗiđộiphảiđấumột
trậnvớicácđộikhác.CMRvàobấtcứlúcnàocũngcóhaiđộiđãđấusốtrậnnhư
nhau.
GIẢI:Rõràngnếutrong10độibóngcó1độichưađấumộttrậnnàothìtrong
cácđộicònlạikhôngcóđộinàođãthi đấu9trận.Nhưvậy10độichỉcósốtrận
đấuhoặctừ0đến8hoặctừ1đến9.Vậytheonguyênlý Đirichlêphảicóítnhất2
www.laisac.page.tl
G
G
i
i

ả
ả
i
i
c
c
á
á
c
c
b
b
à
à
i
i
t
t
o
o
á
á
n
n
ứ
ứ
n
n
g
g

d
d
ụ
ụ
n
n
g
g
N
N
g
g
u
u
y
y
ê
ê
n
n
l
l
ý
ý
D
D
i
i
r
r

i
i
c
c
h
h
l
l
e
e
t
t
PhạmHuyH oạt
2
độicósốtrậnđấunhưnhau.(Độichưađấutrậnnào,sốtrận=0)
*Bài2:
Đề2: Có6độibóngthiđấuvớinhau(mỗiđộiphảiđấu1trậnvới5độikhác).
CMRvàobấtcứlúcnàocũngcó3độitrongđótừngcặpđãđấuvớinhauhoặc
chưađấuvớinhautrậnnào.
GIẢI:Giảsử6độibóngđólàA,B,C,D,E,F.XétđộiA.
Theonguyênlý Đirichlêtasuyra:Aphảiđấuhoặckhôngđấuvớiítnhất3đội
khác.Khôngmấttínhtổngquát,giảsửAđãđấuvớiB,C,D.
NếuB,C,Dtừngcặpchưađấuvớinhauthìbàitoán đượcchứngminh.
NếuB,C,Dcó2độiđãđấuvớinhau,vídụBvàCthì3độiA,B,Ctừngcặpđãđấu
vớinhau.
Nhưvậybấtcứlúcnàocũngcó3độitrongđótừngcặpđãđấuvớinhauhoặc
chưađấuvớinhautrậnnào.
*Bài3:
Đề3: CMRtrongnngườibấtkì,tồntạihaingườicósốngườiquennhưnhau
(kểcảtrườnghợpquen0người)

GIẢI:Tươngtựvídụ1,taxétn nhóm 
*Bài4:
Đề4: Trong45họcsinhlàmbàikiểmtrakhôngcóaibịđiểmdưới2,chỉcó2
họcsinhđượcđiểm10.CMRítnhấtcũngtìm được6họcsinhcóđiểmkiểmtra
bằngnhau(điểmkiểmtralàmộtsốtựnhiêntừ0đến10)
GIẢI:Có43họcsinhphânchiavào8loạiđiểm(từ2đến9).Giảsửmỗiloại
trong8loạiđiểmđềulàđiểmcủakhôngquá5họcsinhthìlớphọccókhôngquá
5.8=40họcsinh,íthơn43họcsinh.Vậytồntại6họcsinhcóđiểmkiểmtrabằng
nhau.
2.Ứngdungtrongbàitoán chiahết:
Trongcácphéptínhtrênsốnguyênthìphépchialàrấtđặcbiệt.Phépchiacóhàng
loạtcáctínhchấtmàcácphépcònlạikhôngcó.
Chẳnghạn, cácphéptoáncộng,trừ,nhânđềuthựchiệnvớisố0cònphépchia
thìkhôngthể.Vìnhữnglídođặcbiệtđómàtrongtoánhọcxâydựnghẳn1lý
thuyếtvềphépchia.
NhữngvídụsaucóliênquanmậtthiếtgiữaphépchiavànguyênlýDirchlet
*Bài5:
Đề: CMRtồntạimộtsốtựnhiêngồmtoànchữsố1chiahếtcho2007.
GIẢI: Xét2008sốcódạng1,11, ,11 11.TheonguyêntắcĐirichlêthìtồntại
haisốcócùngsốdưkhichiacho2007.Giảsửhaisốđólà:
A={11 1}_{n}vàB={11 1}_{k}vớik<n.
KhiđóA –B ={11 1}_{nk}.10^kchiahếtcho2007
Do(2007,10^k)=1nênC={11 1}_{nk}chiahếtcho2007.
* Bài6:
3
ĐỀ: CMRtrongn+1sốbấtkìthuộctậphợp\{1,2,3, ,2n\}luônchọnđượchai
sốmàsốnàylàbộicủasốkia.
GIẢI:Viếtn+1sốđãchodướidạng:
a_1=2^{k_1}b_1,a_2=2^{k_2}b_2, ,a_{n+1}=2^{k_{n+1}}b_{n+1}
Trongđób_1,b_2, ,b_{n+1}làcácsốlẻ.Tacó:1<=b_1,b_2, ,b_{n+1}<=2n

1.Mặtkháctrongkhoảngtừ1đến2n1cóđúngnsốlẻnêntồntạihaisốm<=n
saochob_n=b_m.Khiđó,tronghaisốa_nvàa_mcómộtsốlàbộicủasốkia.
*Bài7:
Cho5sốnguyênphânbiệta_i(i=1,2,3,4,5).Xéttích:
P=(a_1a_2)(a_1a_3)(a_1a_4)(a_1a_5)(a_2a_3)(a_2a_4)(a_2a_5)(a_3
a_4)(a_3a_5)(a_4a_5).CMRPchiahếtcho288
GIẢI:Biết288=3^2.2^5→Cầnchứngminh Pchiahếtcho3².2^5
Bước1: Chứngminh Pchiahếtcho9.
Xét4sốa_1,a_2,a_3,a_4tồntại2sốcócùngsốdưkhichiacho3.Giảsửa_1
đồngdưa_2(mod3)thìa_1–a_2 chiahếtcho3.
Xéta_2,a_3,a_4,a_5trong4sốnàylạitồntại2sốcócùngsốdưkhichiacho3.
SuyraPchiahếtcho9.
Bước2: ChứngminhPchiahếtcho2^5
Trong5sốđãchocó3sốcùngtínhchẵnlẻ.
Nếucó4sốchẵn,chẳnghạna_1=2k_1,a_2=2k_2,a_3=2k_3,a_4=2k_4thì:
P=32(k_1k_2)(k_1k_3)(k_1k_4)(a_1a_5)(k_2k_4)(k_2k_3)(a_2a_5)(a_3
a_4)(a_3a_5)(a_4a_5)chiahếtcho32.
Nếucó3sốchẵn,2sốlẻthì đặt:
a_1=2k_1,a_2=2k_2,a_3=2k_3,a_4=2k_4+1,a_5=2k_5+1
TacóP=16(k_1k_2)(k_1k_3)(k_2k_3).M
Trong3sốk_1,k_2,k_3có2sốcùngtínhchẵnlẻ.Giảsửk_1đồngdưk_1(mod2)
thìk_1k_2chiahếtcho2nênPchiahếtcho32.
Nếucó3sốlẻlàa_1,a_2,a_3còna_4,a_5chẵnthì đặta_1=2k_1+1,a_2=2k_2+1,
a_3=2k_3+1,a_4=2k_4,a_5=2k_5
Tiếptheo: XéttươngtựcũngcóPchiahếtcho32.
VậytacóPchiahếtcho288.
3.ỨngdungtrongToánvềtổng,hiệu,chữsốtậncùng cácloại:
*Bài8:
Đề: Cho51sốnguyêndươngkhácnhaucó1chữsốvàcó2chữsố.CMRtacó
thểchọnra6sốnàođómàbấtcứ2sốnàotrongsốđãlấyraấykhôngcóchữsố

hàngđơnvịgiốngnhaucũngkhôngcóchữsốhàngchụcgiốngnhau.
GIẢI:
Vìcó51sốnêntìm được6chụcsaochomộtnhómcókhôngíthơn6sốrơivào
4
mộttrongcácsốchụcđó,mộtnhómcókhôngíthơn5sốrơivàochụckhác Cuối
cùngcóítnhấtmộttrongcácsốđãchorơivàomộtchụcnàođó(nhưvậysốcác
chụckhácnhaukhôngíthơn6)vềcácsốđãcholàkhácnhau(chúýcácsốdạng
xétnhiềunhấtcó2chữsố)dođóởnhómcuốicùngtalấymộtsố,sauđónhóm
trướcđó(vìcóítnhất2chữsốhàngđơnvịcủahaisốtrongnhómấykhácnhau)ta
lấymộtsốkhácvớichữsốhàngđơnvịkhácsốchọntrước,rồinhómtrướcđólại
lấy1sốcóchữsốhàngđơnvịkhác2sốchọntrước Cuối cùngsẽđược6sốphải
tìmvớicácchữsốkhácnhau.
*Bài9:
ĐỀ: Chọnbấtkìn+1sốtrong2nsốtựnhiêntừ1đến2n(n≥2).CMRtrongcácsố
đượcchọncóítnhất1sốbằngtổngcủa2sốđượcchọn(kểcảcáctrườnghợp2số
hạngcủatổngbằngnhau).
GIẢI:
Giảsửa_1<a_2< <a_n<a_{n+1}làn+1sốđượcchọn.
Xétnsố:a_{n+1}a_1=b_1
a_{n+1}a_2=b_2
(mỗihiệuđềunhỏhơn2n)
a_{n+1}a_n=b_n
Trongtập2n+1sốđólàa_1,a_2, ,a_{n+1},b_1,b_2, ,b_ntồntại2sốbằng
nhau,haisốấykhôngthểcùngthuộcdãya_1,a_2, ,a_{n+1}cũngkhôngthểcùng
thuộcdãyb_1,b_2, ,b_n.Tacó:
a_{n+1}a_1=a_isuyraa_{n+1}=a_1+a_i(đpcm)
B.Cácbàitoánhìnhhọc:(Cácđiểm &đườngthẳng)
*Bài10:
Đề: Chomộthìnhvuôngvà13đườngthẳng,mỗiđườngthẳngđềuchiahình
vuôngthànhhaitứgiáccótỉsốdiệntích2:3.CMRtrongsố13đườngthẳngđó,có

ítnhất4đườngthẳngcùngđiquamộtđiểm.
GIẢI:GọidlàđườngthẳngchiahìnhvuôngABCDthànhhaitứgiáccótỉsố
diệntích2:3.Đườngthẳngdkhôngthểcắthaicạnhkềnhaucủahìnhvuôngvìkhi
đókhôngtạothànhhaitứgiác.GiảsửdcắthaicạnhABvàCDtạiMvàN,khiđó
nócắtđườngtrungbìnhEFtạiỊ
GiảsửS_{AMND}=\frac{2}{3}S_{BMNC}thìEI=\frac{2}{3}IF
Nhưvậymỗiđườngthẳngđãchochiacácđườngtrungbìnhcủahìnhvuôngtheotỉ
số2:3.Có4điểmchiacácđườngtrungbìnhcủahìnhvuôngABCDtheotỉsố2:3.
Có13đườngthẳng,mỗiđườngthẳngđiquamộttrong4điểm.Vậytheonguyênlý
Đirichlêcóítnhất4đường thẳngđiquamộtđiểm.
* Bài11:
5
Đề: BêntrongtamgiácđềuABCcócạnh =1đ/v đặt5điểm.CMRtồntại2
điểmcókhoảngcáchnhỏhơn0,5đ/v.
GIẢI:Cácđườngtrungbìnhcủatamgiácđều ABCcạnh1đ/v sẽchianóralàm
4tamgiácđều với cạnh =0,5đ/v.Dođótrongmộttamgiácnhỏđócóítnhất2
điểmđãcho,vàcácđiểmđókhôngthểrơivàocácđỉnhcủatamgiác.Vậykhoảng
cáchgiữahaiđiểmđónhỏhơn0,5đ/v.
C.Cácbàitoánvềtômàu
* Bài12:
Đề:Giảsửmỗiđiểmtrongmặtphẳng kẻlướiôvuông(Nhưvởhọcsinhlớp1,
giấyôvẽbảnđồ…)đượctôbằngmộttrong2màuđỏhoặcxanh
Chứngminhtồntại1hìnhchữnhậtcócácđỉnhcùngmàu
Giải:Giảsửtacómộtlướiôvuôngtạobởi3đườngnằmngangvà9đường
thẳngđứng,mỗinútlướiđượctôbởimộtmàuxanhhoặcđỏ.
Xét3nútlướicủamộtđườngdọc,mỗinútcóhaicáchtômàunênmỗibộbanút
trênđườngdọcấycó2.2.2=8cáchtômàu.
Có9đườngdọc,mỗiđườngcó8cáchtômàunêntồntạihaiđườngcócáchtômàu
nhưnhau.
ChẳnghạnhaibộbađiểmđólàA_1,A_2,A_3vàB_1,B_2,B_3

Vì3điểmA_1,A_2,A_3chỉđượctôbởihaimàunêntồntạihaiđiểmcùngmàu,
chẳnghạnA_1vàA_2,khiđóhìnhchữnhậtA_1A_2B_2B_1có4đỉnhcùngmột
màu.
* Bài13:
Đề: Giảsử1bàncờhìnhchữnhậtcó3x7ôvuôngđượcsơnđenhoặctrắng.
Chứngminhrằngvớicáchsơnmàubấtkì,trongbàncờluôntồntạihìnhchữnhật
gồmcácôở4góclàcácôcùngmàu
Giải:
Mẫusơnmàucóthểxảyravớibàncờnàycódạngtừ1đến8.Giảsửmộttrongsố
cáccộtthuộcdạng1.Bàitoánsẽđượcchứngminhnếutấtcảcáccộtcònlạithuộc
dạng1,2,3hoặc4.Giảsửtấtcảcáccộtcònlạithuộcdạng5,6,7,8Khiđótheo
nguyênlíDirichlet2trongsố6cộtcó2cộtcùng1dạngvànhưvậybàitoáncũng
đượcchứngminh
Chứngminhhoàntoàntươngtựnếu1cộtcódang8.Giảsửkhôngcócộtnào
trongcáccột1,8thìtheonguyênlíDirichletcũngcó2cộtcùngdạngvàbàitoán
cũngđựocchứngminh
6
III.Bàitậpthựchànhứngdụngng uyênlíDirichlet
1/.Toánsuyluận:
Bài14:Tronglớphọccó30họcsinh.KhiviếtchínhtảemAphạm14lỗi,cácem
khácphạmítlỗihơn.CMRcóítnhấtlà3họcsinhđãmắcsốlỗibằngnhau(kểcả
nhữngngườimắc0lỗi)
Bài15:Cho5ngườitùyý.CMRtrongsốđócóítnhất2người cósốngườiquen
nhưnhautrongsố5ngườiđãchọn(hiểurằngAquenBthìBquenA)
Bài16:Trong1giảibóngđácó10độithamgia,bấtcứhaiđộinàotrongsốđó
cũngphảiđấuvớinhau1trận.CMRtạibấtcứthờiđiểmnàocũngcó2độiđãđấu
đượccùng sốtrận.
2./.Sựchiahết:
Bài17:CMRtrong100sốtùyýthìcóítnhất10sốđôimộtcóhiệuchiahếtcho
11.

Bài18:CMRnếu(n,19)=1thìluônluôntồntạimộtsốtựnhiênkkhác0saocho
(n^k1)\vdots19.
Bài6:CMRluôntồntạimộtsốgồmtoànchữsố7chiahếtcho2121992.
Bài19:Cho20sốtựnhiênkhácnhaua_1,a_2, ,a_{20}khôngvượtquá70.
CMRgiữacáchiệua_ia_k(i>k)luôntìmđượcítnhất4hiệubằngnhau.
3./.Các vấnđềkhác:
Bài20:CMRtồntạivôsốsốtựnhiênnsaochotrongdạng thậpphâncủaS^ncó
ítnhất2000chữsố0đứngkềnhau.
Bài21:Trong2nsốtừ1đến2n(n\geq2)cóthểlấybaonhiêusốđểtổngcủahai
sốđãchọn(cóthểbằngnhau)khôngbằngsốnàotrongcácsốđượcchọn.
Bài22: Sốcáchọcviêncủamộtlớphọcítnhấtlàbaonhiêuđểcóítnhất2học
viêncósốđiểmnhưnhautrongkỳthimônToán ,nếudựđịnhthangđiểmlà010
vàchênhlệch0,5điểm/bài?
Bài23Chứngmìnhrằngnếuchọn151giáotrìnhmáytínhphânbịêtđượcđánhsố
thứtựtừ1đến300thìcóítnhất2giáotrìnhcósốthứtựliêntiếp?
4./.Đánhgiácácđiểm,đườngthẳng:
Bài24:Tronghìnhchữnhật3.4đặt6điểm.CMRtrongcácđiểmnàytìm được2
điểmmàkhoảngcáchtrongchúngkhônglớnhơn\sqrt{5}
7
Bài25:Tômàuđỏcáccungcủamộtđườngtrònmộtcáchtùyý,biếtrằngtổngđộ
dàicáccungbịtônhỏhơnnửachuviđườngtròn.
a,CMRluônvẽđược1đườngkínhmàcả2đầukhôngbịtômàu.
b,CMRluôntồntại1dâycungcủađườngtròncóđộdàichotrướcbéhơnđường
kínhmà2đầucủanókhôngbịtô.
5./.Gócvàđ ộdài:
Bài26:Bêntrongđườngtrònbánkínhn đặt4nđoạnthẳngcóđộdài1.CMRcó
thểkẻmộtđườngthẳngsongsonghoặcvuônggócvớiđườngthẳng1chotrướcvà
cắtítnhất2đoạnthẳngđãcho.
Bài27:Bêntronghìnhvuôngcạnh10đ/vđặtmộtsốđườngtròncóchuvi bằng
1,6đ/v.CMRluôntìm được1đườngthẳngcắtítnhất4trongsốcácđườngtròn đã

cho.
Bài28:ChohìnhvuôngABCDcóAB=14cm.Tronghìnhvuôngcóđánhdấu76
điểmphânbiệt.Chứngminhrằngtồntạimộtđườngtròncóbánkính2cmchứa
trongnóítnhất4điểmtrongsốcácđiểmtrên