Tích Phân: Chuỗi Luỹ Thừa

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

<small>1</small> Chuỗi lũy thừa

Định nghĩaBán kính hội tụ

<small>2</small> Chuỗi Taylor

<small>TS. Đào Huy Cường (Bộ mơn Tốn Ứng Dụng)Giải tích 2 (Calculus 2)</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

(cofficients) của chuỗi lũy thừa.

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

Xét chuỗi lũy thừa:

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

Định nghĩaChuỗi có dạng

c_n(x − a)ⁿ = c₀+ c₁(x − a) + c₂(x − a)²+ · · · ,

lũy thừa tâm a (power series centered at a).

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

Định nghĩa

Miền hội tụ của một chuỗi lũy thừa là tập hợp chứa tất cả cácgiá trị x mà khi thay vào chuỗi lũy thừa ta được chuỗi số hội tụ.

Miền hội tụ =(

<small>TS. Đào Huy Cường (Bộ mơn Tốn Ứng Dụng)Giải tích 2 (Calculus 2)</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

Khi đó, ta chỉ có ba khả năng xảy ra:

|x − a| < R và phân kỳ khi |x − a| > R.

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

Số dương R trong trường hợp (c) được gọi là bán kính hộitụ (radius of convergence).

Ta quy ước bán kính hội tụ R = 0 trong trường hợp (a) vàR = +∞ trong trường hợp (b).

<small>TS. Đào Huy Cường (Bộ môn Tốn Ứng Dụng)Giải tích 2 (Calculus 2)</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa

c<small>n</small>(x − a)ⁿ có thể đượctính bởi cơng thức:

Ta gọi tập hợp

{x : |x − a| < R}

là khoảng hội tụ.

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

S (x ) =

<small>n=0</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

Tính chất của tổng chuỗi lũy thừa

Tổng của chuỗi lũy thừa liên tục trên miền hội tụ của nó.Trong khoảng hội tụ, đạo hàm (tích phân) của tổng chuỗibằng chuỗi đạo hàm (tích phân) tương ứng.

Bán kính hội tụ của chuỗi đạo hàm và chuỗi tích phân bằngbán kính hội tụ của chuỗi ban đầu.

<small>TS. Đào Huy Cường (Bộ mơn Tốn Ứng Dụng)Giải tích 2 (Calculus 2)</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

HD: Xét chuỗi lũy thừa

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

Định lý

Cho hàm số f khả vi vô hạn lần trong khoảng (a − R; a + R).

Khi đó,f (x ) =

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

Các chuỗi Maclaurin cơ bản

Miền hội tụ là D = R

<small>TS. Đào Huy Cường (Bộ mơn Tốn Ứng Dụng)Giải tích 2 (Calculus 2)</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

Các chuỗi Maclaurin cơ bản

11 − x ⁼

xⁿ1

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

Các chuỗi Maclaurin cơ bản

Nếu α ∈ N, thì miền hội tụ D = R.

Nếu α /∈ N và α > 0, thì miền hội tụ D = [−1; 1].Nếu −1 < α < 0, thì miền hội tụ D = (−1; 1].Nếu α ≤ −1, thì miền hội tụ D = (−1; 1).

<small>TS. Đào Huy Cường (Bộ mơn Tốn Ứng Dụng)Giải tích 2 (Calculus 2)</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 20</span><div class="page_container" data-page="20">

Các chuỗi Maclaurin cơ bản

</div><span class="text_page_counter">Trang 21</span><div class="page_container" data-page="21">

Các chuỗi Maclaurin cơ bản

</div><span class="text_page_counter">Trang 22</span><div class="page_container" data-page="22">

Các chuỗi Maclaurin cơ bản

Miền hội tụ là D = R

</div><span class="text_page_counter">Trang 23</span><div class="page_container" data-page="23">

Các chuỗi Maclaurin cơ bản

</div><span class="text_page_counter">Trang 24</span><div class="page_container" data-page="24">

Ví dụ

Hãy sử dụng các chuỗi Maclaurin cơ bản để tìm chuỗi Maclaurincủa hàm số sau:

f (x ) = ln(1 + x − 2x²).

</div>