Tóm Tắt: Ứng Dụng Quan Hệ Thứ Tự Và Bậc Tôpô Trong Nghiên Cứu Một Số Lớp Bao Hàm Thức

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

<b>PHẦN 1. NỘI DUNG 1. Mở đầu </b>

Định lý Banach-Caccioppoli về điểm bất động của ánh xạ co được tìm ra khá sớm và tìm được ngay ứng dụng trong nghiên cứu các phương trình đại số và vi phân. Nó cho phép chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm và xây dựng dãy lặp đơn giản hội tụ về nghiệm. Định lý điểm bất động của Schauder cho phép nghiên cứu nhiều lớp phương trình vi phân mới. Điểm hạn chế của Định lí Schauder là khi áp dụng cho quả cầu tâm  (phần tử zero của không gian định chuẩn) thì khơng khẳng định được điểm bất động tìm được là khác , trong khi các phương trình mơ tả các hiện tượng trong tự nhiên đã có nghiệm  và ta cần tìm nghiệm khác . Hạn chế này được khắc phục nhờ Lý thuyết bậc tôpô của ánh xạ, được J. Leray, J. Schauder xây dựng và được phát triển trong các cơng trình của M. Krasnoselskii, F. Browder, P. Rabinowitz,... Lý thuyết này cho phép chứng minh sự tồn tại nghiệm không tầm thường, đánh giá số nghiệm và nghiên cứu cấu trúc của tập nghiệm (như tính liên thơng, compact).

Quan hệ thứ tự được sử dụng trong Toán học trừu tượng khá sớm. Ví dụ, quan hệ thứ tự đã được sử dụng vào đầu thế kỷ 20 để chứng minh các dạng tương đương của tiên đề chọn như bổ đề Zorn, định lý Hausdorff về xích cực đại,.... Các kết quả này sau đó được sử dụng để chứng minh Định lý Tychonoff về tích các khơng gian compact, Định lý Hahn – Banach và nhiều định lý của Tôpô và Giải tích hàm. Tuy nhiên, Lý thuyết về các phương trình trong khơng gian có thứ tự chỉ được xây dựng một cách hệ thống vào thập niên 1940 trong cơng trình của M. Krein – A. Rutman ([25]). Lý thuyết này được phát triển mạnh mẽ trong những năm 1950 – 1970 trong các cơng trình của M. Krasnoselskii và các học trò, của N. Dancer, P. Rabinowitz, R. Nussbaum, S. Carl, S. Heikkila (xem [1, 4, 6, 7, 11, 13, 23, 24, 36, 39] và các tài liệu tham khảo trong đó). Nó tiếp tục được hoàn thiện cho đến tận ngày nay.

Các kết quả trừu tượng của Lý thuyết phương trình trong khơng gian có thứ tự tìm được những ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu nhiều lớp phương trình, bất phương trình xuất phát từ Cơ học, Vật lý, Hóa học, Y – Sinh học, Kinh tế học,... vì những ưu điểm sau:

- Chúng cho phép chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm có các tính chất đặc biệt như tính dương, tính đơn điệu, tính lồi,... là những tính chất cần có của nghiệm của các bài tốn xuất phát từ các mơ hình thực tế.

- Chúng cho phép nghiên cứu các phương trình chứa các dữ kiện không tốt như các ánh xạ không liên tục,... là những tình huống thường gặp trong thực tế.

- Chúng cho phép đánh giá khoảng tồn tại nghiệm và xây dựng các dãy lặp đơn điệu hội tụ về nghiệm từ hai phía.

Do sự phát triển nội tại của Toán học cũng như sự phát triển trong các lĩnh vực mới của khoa học như Công nghệ thông tin, Tốn tài chính,... mà nảy sinh nhu cầu nghiên cứu những hướng mới trong Lý thuyết phương trình trong khơng gian có thứ tự, ví dụ như nghiên cứu các phương trình với ánh xạ đa trị (hay cũng gọi là các bao hàm thức).

Các ánh xạ đa trị được nghiên cứu có hệ thống từ những năm 1950 trong Lý thuyết tối ưu, Lý thuyết điều khiển, trong nghiên cứu các bao hàm thức vi phân. Sự tồn tại nghiệm được chứng minh nhờ các mở rộng của Định lý Banach-Caccioppoli, Định lý Schauder lên trường hợp ánh xạ đa trị, hoặc định lý Knaster – Kuratowski – Mazurkiewicz, bất đẳng thức Ky Fan,... Lý thuyết bậc tơpơ cho các ánh xạ đa trị có giá trị lồi, tác động trong khơng gian Banach có thứ tự được xây dựng vào thập niên 1970 trong các công trình của Y. Borisovich, R. Nusbaum, W. Petryshyn, P. Fitpatrick, đã cung cấp một công cụ mới hiệu quả hơn trong nghiên cứu bao hàm thức. Dựa vào nó, các Định lý điểm bất động của M. Krasnoselskii,

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

Leggett – Williams đã được chứng minh cho các ánh xạ đa trị và được ứng dụng cho các bao hàm thức vi phân (xem [13, 17, 20, 34, 35] và các tài liệu tham khảo trong đó). Tuy nhiên, việc sử dụng quan hệ thứ tự trong nghiên cứu các bao hàm thức còn hạn chế do chưa có một định nghĩa phù hợp về thứ tự giữa hai tập hợp. Gần đây, với việc sử dụng các dạng thứ tự thích hợp giữa các tập hợp mà quan hệ thứ tự đã được áp dụng có hiệu quả kết hợp với sử dụng bậc tôpô để thu được các kết quả có ý nghĩa [4, 5, 20, 27, 30, 32, 37, 38].

Để nghiên cứu các bao hàm thức vi phân chứa các toán tử vi phân khơng tuyến tính (ví

<i>dụ tốn tử p-Laplace) mà Lý thuyết bậc tơpơ cho các ánh xạ có giá trị khơng lồi cũng được </i>

xây dựng. Nói riêng, R. Bader trong bài báo [2] đã xây dựng bậc tôpô tương đối theo một tập lồi, cho lớp ánh xạ dạng <i>P T với T là ánh xạ đa trị lồi, P là ánh xạ đơn trị phi tuyến và </i>

ứng dụng vào nghiên cứu các bao hàm thức vì phân.

Trong luận án này, chúng tôi sẽ sử dụng sâu hơn và có hệ thống hơn các quan hệ thứ tự và Lý thuyết bậc tơpơ trong nón, kết hợp với các phương pháp đánh giá nghiệm, sử dụng tốn tử giải của bài tốn liên kết để tính bậc tôpô cho các ánh xạ đa trị và ứng dụng vào bái toán điểm bất động và các phương trình, bao hàm thức vi phân cụ thể.

Dưới đây chúng tơi mơ tả sơ lược nội dung chính của luận án. Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án có hai chương, tương ứng với phần Lý thuyết và Ứng dụng.

<b>1.1 Bậc tôpô của ánh xạ đa trị trong không gian Banach có thự tự 1.1.1 Bậc tơpơ của một số lớp ánh xạ đa trị có giá trị lồi </b>

Ở mục này, dựa trên các tính chất đặc trưng của bậc tơpơ trong nón của lớp ánh xạ đa trị compact, nửa liên tục trên, có giá trị lồi, đóng, chúng tơi chứng minh một số kết quả dễ áp dụng về tính bậc cho một số lớp ánh xạ hoặc trên các miền đặc biệt. Một kết quả đáng chú ý ở phần này là đạo hàm của một ánh xạ đa trị compact cũng là một ánh xạ compact và bậc tôpô của ánh xạ ban đầu có thể được tính qua bậc tơpơ của đạo hàm của nó.

Sau đó chúng tơi áp dụng các kết quả thu được về tính bậc tơpơ để chứng minh các kết quả sau:

 Sự tồn tại một hoặc nhiều điểm bất động không tầm thường của các ánh xạ đa trị compact với giá trị lồi, là mở rộng các Định lý về ánh xạ nén hoặc giãn nón của M. Krasnoselskii, Định lý Leggett – Williams cho ánh xạ đơn trị.

 Sự tồn tại nghiệm của bao hàm thức phụ thuộc tham số (cũng gọi là bài toán giá trị riêng phi tuyến), nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi tham số tiến về . Các kết quả trong mục này của luận án đã được công bố trong [TG1], [TG2].

<b>1.1.2 Bậc tơpơ của một số lớp ánh xạ đa trị có giá trị không lồi </b>

Trong bài báo [2], R. Bader đã xây dựng bậc tôpô theo một tập lồi cho lớp ánh xạ đa trị dạng <i>P T, trong đó T là ánh xạ đa trị có giá trị lồi, nửa liên tục trên đối với tôpô-chuẩn và tôpô yếu, P là ánh xạ đơn trị (có thể khơng tuyến tính), liên tục đối với tơpơ yếu và tơpơ-</i>

chuẩn. Các xây dựng và lập luận trong [2] cũng đúng cho lớp ánh xạ nêu trên khi thay tôpô yếu bởi tôpô ( ) -yếu. Tuy nhiên, cho đến nay các ứng dụng của bậc tôpô này trong nghiên cứu các bao hàm thức vi phân còn hạn chế. Theo hiểu biết của chúng tôi, bậc tôpô này mới được sử dụng để chứng minh dạng đa trị của Nguyên lý loại trừ phi tuyến (Nonlinear Alternative Principle) của Schauder về tồn tại điểm bất động trên một quả cầu tâm . Kết quả này không đủ để thu được điểm bất động không tầm thường của các bao hàm thức.

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

Do đó, trong luận án, chúng tơi đã chứng minh một số kết quả về tính bậc tơpơ của R. Bader. Các kết quả này được được công bố trong [TG4] và được sử dụng trong chương 2 để chứng minh sự tồn tại một hoặc hai nghiệm không tầm thường của phương trình logistic suy rộng chứa yếu tố phi địa phương.

<b>1.2 Ứng dụng vào một số lớp bao hàm thức và phương trình với điều khiển </b>

<b>1.2.1 Bao hàm thức vi phân cấp hai với điều kiện biên nhiều điểm và chứa số hạng phi địa phương </b>

Trong mục này chúng tơi xét bài tốn

 

Các kết quả về bài toán (1) – (2) được cơng bố trong [TG2].

<b>1.2.2 Bài tốn biên nhiều điểm liên hợp với điều khiển phản hồi </b>

Trong mục này của luận án, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại của hàm <i>u</i><i>C^m</i>( )<i>I</i> và ( )

<i>L I</i>

 <small></small> thỏa mãn

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

<small>( )</small>

( ) ( ) , ( ), '( ),...., ( ) , , (3)( ) 0 , 0 1 , 1, 2,...., , (4)( ) ( , ( )) hkn trong , (5)

với <i>p p</i>₁, ₂,....,<i>p là các hàm liên tục trên I sao cho mọi nghiệm khơng tầm thường _m</i>

của phương trình vi phân <i>Lu</i>0<i> có trên I ít hơn m 0-điểm, kể cả bội. </i>

Khi  là hằng số thì (3) – (4) là bài toán biên giá trị riêng và tham số  đóng vai trị là tác động bên ngồi lên hệ thống được mơ tả tốn học bởi hệ (3) – (4). Như vậy, trong bài toán (3) – (5) chúng tôi cho phép tham số điều khiển <i> không những phụ thuộc vào biến t </i>

(có thể là biến thời gian hoặc biến khơng gian) mà cịn phụ thuộc vào trạng thái của hệ thống

<i>ở thời điểm hay vị trí t, như trong (5). Như vậy (3) – (5) là bài toán điều khiển phản hồi </i>

(feedback control).

Khi 1 và khơng địi hỏi nghiệm phải thuộc một nón, bài toán (3) – (4) đã được nghiên cứu trong [22]. Sử dụng công cụ bậc tôpô Leray – Schauder và kỹ thuật đánh giá tiên nghiệm, tác giả của [22] đã chứng minh bài tốn có số chẵn nghiệm (số nghiệm cũng có thể là 0). Khi  là hằng số và <i>f</i>  <i>f t x</i>( , ), bài toán (3) – (4) được xét trong [8, 9]. Sử dụng Định lý Krasnoselskii về điểm bất động của ánh xạ giãn hoặc nén hình nón, tác giả chứng minh sự tồn tại của một hoặc hai nghiệm khơng tầm thường thuộc một món đặc biệt.

Để nghiên cứu bài tốn (3) – (4) – (5) chúng tơi chuyển nó về bài tốn điểm bất động của một ánh xạ đa trị compact, nửa liên tục trên, có giá trị lồi, đóng. Sử dụng cơng cụ bậc tơpơ trong nón, kết hợp với đánh giá tiên nghiệm và các lý luận về thứ tự, chúng tôi chứng minh bài tốn có một hoặc hai nghiệm khác  trong một nón đặc biệt. Chúng tơi cũng xây dựng một ví dụ minh họa cho các điều kiện được đưa ra trong các định lý.

Các kết quả về bài tốn (3) – (4) – (5) được cơng bố trong [TG3].

<b>1.2.3 Phương trình logistic suy rộng với điều khiển phản hồi </b>

Trong bài báo [18], M. Gutin và R. MacCamy đưa ra phương trình sau đây để mô tả trạng thái dừng của sự phát tán của một loài thú trong tự nhiên

^{( )} ^{( )} ^,ˆ

<i>ua x ub x u trongutren</i>

Trong phương trình trên, <i>u</i><i>u x</i>( )<i> chỉ mật độ của thú tại điểm x trong không gian sống </i>

còn tham số 0 đo độ tăng trưởng của thú.

Sau này, phương trình (6) được gọi là phương trình logistic và được mở rộng thành

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

^{( , ,} ⁾ ^{( , ,} ⁾ ^,0 ˆ .

<i>f x uug xuu trongren</i>

<i>u</i> 

trong đó <i>f g</i>, <i> là các hàm đơn trị, F là hàm đa trị thỏa mãn một số điều kiện cần thiết. </i>

về sự phát tán của thú chính xác và tự nhiên hơn.

Như vậy chúng tôi cho phép độ tăng trưởng  phụ thuộc vào vị trí trong khơng gian sống

 và vào mật độ của thú dạng (9). Chúng tôi cho rằng điều này làm cho sự mơ tả tốn học tán của thú chính xác và tự nhiên hơn.

Cũng nhằm mục đích mơ tả chính xác hơn q trình phát tán của thú mà nhiều lớp phương trình phi địa phương được đưa vào nghiên cứu, như phương trình chứa số hạng Kirchhoff



,



<i>_p</i> ( , , ) ( , ) trong , 0 trenˆ .

<i>M x uu</i> <i>f x uug xuu</i>

 

_* <small>'*</small>

Sử dụng các kết quả tính bậc tơpơ của ánh xạ đa trị dạng <i>P T</i> ở mục 1.2, kết hợp với đánh giá tiên nghiệm và các lý luận thứ tự, chúng tơi chứng minh bài tốn có ít nhất một nghiệm không âm, không tầm thường trong các trường hợp   <i>p</i> 1 và   <i>p</i> 1, bài toán có hai nghiệm khơng âm, khơng tầm thường khi   <i>p</i> 1. Các kết quả này được công bố trong [TG4].

Các kết quả chính của luận án đã được báo cáo trên các Hội nghị khoa học của Nghiên cứu sinh, Trường Đại học sư phạm Tp HCM, Hội nghị Toán học miền Trung Tây nguyên lần 4 tại Huế, tháng 8 năm 2022, Hội nghị Toán học Việt nam lần thứ 10, tháng 8 năm 2023.

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

<b>2 Tóm tắt các kết quả chính của luận án </b>

<b>Chương 1. Bậc tơpơ của ánh xạ đa trị tác động trong khơng gian banach có thứ tự </b>

Các ánh xạ đa trị được quan tâm nghiên cứu nhiều từ những năm 1950 do sự phát triển nội tại của Toán học cũng như để giải quyết một số bài toán xuất phát từ khoa học tự nhiên, kỹ thuật, kinh tế,... Các định lý điểm bất động cho ánh xạ đa trị của S. Nadler, K. Fan là sự mở rộng của các định lý của Banach và Schauder. Lý thuyết bậc tôpô cho ánh xạ đa trị được xây dựng trong thập niên 1970 trong các cơng trình của T. Ma, của Y. Borisovich và các cộng sự, của W. Petryshyn,... và đã tìm được các ứng dụng cho các bao hàm thức vi phân (xem [3, 11, 13] và các tài liệu tham khảo trong đó). Gần đây, các ứng dụng mới của bậc tôpô của ánh xạ đa trị được đưa ra trong [31, 32, 38].

Trong chương này, dựa trên các kết quả tổng quát về bậc tôpô của ánh xạ đa trị trong khơng gian Banach có thứ tự, chúng tôi chứng minh một số kết quả mới để dễ áp dụng vào các bài toán cụ thể về bậc tôpô này và chứng minh các định lý về sự tồn tại điểm bất động trong nón, vectơ riêng trong nón của một số lớp ánh xạ đa trị. Nói riêng, chúng tơi chứng minh rằng đạo hàm theo nón của ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, compact có giá trị lồi, đóng cũng là ánh xạ compact và bậc tơpơ của ánh xạ ban đầu có thể tính dựa vào bậc tơpơ của ánh

compact <i>C</i><i>K</i>sao cho

<i>t x u</i> <i>A x</i> <i>x</i>  <i>t</i>  <i>uC</i>    <i>xK</i> . Khi đó,

  

1 khi ,( , )

0 khi .

  

<b>Định lý 1.1.2 </b>

Giả sử



<i>X K</i>,



là khơng gian Banach có thứ tự, _{là tập mở, bị chặn.}<i>A K</i>:  

( )

<i>cc K</i>

 là ánh xạ nửa liên tục trên, compact và tồn tại ánh xạ <i>B K</i>:   <i>K</i> <b> hoàn </b>

toàn liên tục và thỏa mãn:

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

(i) inf B( ) 0

<small> </small>  ,

(ii) <i>x</i><i>A x</i>( )<i>tB x</i>( ),     <i>xK</i> , <i>t</i> 0.Khi đó, ( , ) 0<i>i_KA</i>   .

<b>2.1.2 Tính bậc trên các miền đặc biệt Định lý 2.1.3 </b>

Cho



<i>X K</i>,



là khơng gian Banach có thứ tự, <i>: K</i>  là hàm số lồi, liên tục,

<b>2.1.3 Bậc tôpô của ánh xạ khả vi Định lý 2.1.5 </b>

<i>i) Giả sử D là một K – lân cận của x , ánh xạ đa trị </i>₀ <i>A D</i>: 2 \<i>^Y</i>

 

 có giá trị đóng, bị chặn

<i>khả vi Fréchet theo nón K tại x . Khi đó, nếu A là ánh xạ compact thì </i>₀

ii) Giả sử ánh xạ đa trị <i>A K K</i>: \ <i>_r</i> 2 \<i>^Y</i>

 

 <i><b> (r > 0 đủ lớn) có giá trị đóng, bị chặn khả vi </b></i>

<i>Fréchet theo nón K tại </i><i>. Khi đó, nếu A là ánh xạ compact thì</i> <small>'</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

2) Giả sử <i>A K K</i>: \ <i>_r</i> <i>cc K</i>( ) là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, compact và có đạo hàm theo

<i>nón K tại </i> là <i>A</i>_^' đồng thời <i>A</i>_^' <i> khơng có trong K vectơ riêng với giá trị riêng bằng 1. Khi </i>

    và <i>A K</i>:  ₂ <i>cc K</i>( ) là ánh xạ nửa liên tục trên, compact. Giả sử một

<b>trong hai điều kiện dưới đây thỏa mãn: </b>

(i) <i>A x</i>( )₁ <i>x</i> ,   <i>xK</i> ₁ và <i>A x</i>( ) ₂  <i>x</i> ,  <i>xK</i> ₂, (ii) <i>A x</i>( )₂  <i>x</i> ,   <i>xK</i> ₁ và <i>A x</i>( )₁ <i>x</i> ,   <i>xK</i> ₂,

<i>Khi đó A có điểm bất động trong K</i>  



<small>2</small> \ <small>1</small>



.

Các định lý dưới đây khẳng định sự tồn tại nhiều điểm bất động của ánh xạ đa trị. Cho



<i>X K</i>,



là khơng gian Banach có thứ tự, ta ký hiệu

<i>K</i>  <i>x</i><i>Kx</i> <i>rr</i> <i>K</i>  <i>x</i><i>Kx</i> <i>rK</i>  <i>x</i><i>Kx</i> <i>r</i> . Đặt <i>K</i>( , , ) <i>a b</i> 



<i>x</i><i>K</i> ( )<i>x</i> <i>a</i>; <i>x</i> <i>b</i>



(0 <i>ab</i>),với :<i>K</i>[0,) là hàm lõm, liên tục. Dễ dàng chứng minh được<i>K</i>( , , ) <i>a b là tập hợp lồi, đóng và bị chặn trong K </i>

(ii) Nếu <i>x</i><i>K_d</i> thì <i>y</i> <i>d</i>, với mọi <i>y</i><i>A x</i>( ),

(iii) Nếu <i>x</i><i>K</i>( , , ) <i>a c</i> và <i>y</i> <i>b</i> thì ( )<i>y</i> <i>a</i>, với mọi <i>y</i><i>A x</i>( ).

<i>Khi đó, A có ít nhất ba điểm bất động trên K_c</i>.

<b>2.1.5 Ứng dụng vào bài toán giá trị riêng, vectơ riêng của ánh xạ đa trị Định lý 2.1.9 </b>

Giả sử



<i>X K</i>,



là khơng gian Banach có thứ tự, _{là tập mở, bị chặn và chứa} ,

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

<b>Định lý 2.1.10 </b>

Cho



<i>X K</i>,



là không gian Banach có thứ tự. <i>A K</i>: <i>cc K</i>( )<b> là ánh xạ nửa liên tục </b>

trên, compact, <i>A</i>( ) 

 

 và một trong hai điều kiện dưới đây thỏa mãn:

<small></small>   (nếu có điều kiện (i)) và lim <i>x</i>_ 0

<small></small>  (nếu có điều kiện (ii)).

<b>2.2 Bậc tôpô của một lớp ánh xạ đa trị có giá trị khơng lồi </b>

Trong phần này chúng tôi chứng minh một số kết quả về bậc tơpơ theo nón cho một số lớp ánh xạ đa trị có giá trị khơng lồi, được xây dựng bởi nhà toán học R. Bader.

Các kết quả này sẽ được ứng dụng trong nghiên cứu phương trình logistic với điều khiển phản hồi.

<b>Định nghĩa </b>

<i>I. Cho E là khơng gian Banach với thứ tự sinh bởi nón K và khơng gian Banach F với nón </i>

<i>K</i> , được trang bị tơpơ  , trong đó

(a)  là tôpô cảm sinh của tôpô yếu



<small>*</small>



,

Giả sử ánh xạ đa trị <i>F K</i>: 2 \<i>^K</i>

 

 là ánh xạ hợp có dạng <i>F</i> <i>P T</i>, trong đó

<i>T là ánh xạ đa trị từ K vào K , P là ánh xạ đơn trị từ </i>₁ <i>K vào K. Ta nói ánh xạ F là phân tích </i>₁

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

Khi đó,

1 khi ,( , )

0 khi .

<i>aDiF D</i>

 

<b>Mệnh đề 2.2.2 </b>

Giả sử <i>D</i><i>E</i> là tập mở, bị chặn và <i>F</i> <i>P T K</i>: <i>K</i> <b>là ánh xạ phân tích được </b>

<i>thỏa mãn T là ánh xạ compact theo dãy, nghĩa là nếu B</i><i>K</i>là tập bị chặn và

 

<i>x_n_n</i> <i>T B</i>( )thì

 

<i>x<small>n</small>_n</i> có dãy con hội tụ đối với tơpơ  .

Ta có <i>i_K</i>( ,<i>F D</i>)0 trong các trường hợp sau đây, 1. Tồn tại phần tử <i>u</i><small>0</small><i>K</i>\

 

 sao cho

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

<b>Chương 2. Ứng dụng vào một số lớp bao hàm thức và phương trình với điều khiển phản hồi </b>

Trong chương này, chúng tôi áp dụng các kết quả trừu tượng về bậc tôpô của ánh xạ đa trị tác động trong khơng gian có thứ tự và các định lý về sự tồn tại điểm bất động trong nón, vectơ riêng trong nón của ánh xạ đa trị để nghiên cứu một số lớp bao hàm thức vi phân và hai lớp phương trình vi phân với điều khiển dạng phản hồi. Các bài toán này được đưa về bài toán điểm bất động của hai lớp ánh xạ đa trị được xét trong Chương 1.

<b>2.3 Bao hàm thức vi phân cấp hai với điều kiện biên nhiều điểm và chứa số hạng phi địa phương </b>

trong đó

 <i>f</i> :[0,1] ^ <i>cc</i>( ^) là ánh xạ đa trị compact và là hàm Caratheodory trên, nghĩa là

<i>hàm f thỏa mãn các tính chất dưới đây: </i>

a1) Với mọi <i>x</i> ^, hàm <i>tf t x</i>( , ) là hàm số đo được, nghĩa là với mọi<i>y</i> , hàm số <i>D t</i>( )inf



<i>y</i><i>z z</i>,  <i>f t x</i>( , )



đo được.

a2) Hàm số <i>xf t x</i>( , ) nửa liên tục trên hkn trên [0,1]. a3) Với mọi <i>r</i>0, tồn tại <small>1</small>



<i>u x</i> 



<i>x</i>^ <i>s ds</i>   , trong đó <i>K</i> 



<i>x</i><i>C</i>



[0,1] : ( )



<i>x t</i>   0, <i>t</i> [0,1]



là nón trong <i>C</i>



[0,1]



,  <i>_i</i> 0 (<i>i</i>1, 2,...,<i>m</i>2) và

 

2

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

trong đó

( , ) ( , ) ( , )1

<i>G t sG t s</i> <i>G</i>  <i>s</i>

 <small></small>

<i>Ánh xạ T là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, compact và có giá trị lồi, đóng. </i>

</div>