tóm tắt luận án tương đương morita cho nửa vành và đặc trưng một số lớp nửa vành

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRẦN GIANG NAM
TƯƠNG ĐƯƠNG MORITA CHO NỬA VÀNH
VÀ ĐẶC TRƯNG MỘT SỐ LỚP NỬA VÀNH
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 62.46.05.01
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
VINH - 2011
Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh
Người hướng dẫn khoa học:
1. PGS. TSKH. NGUYỄN XUÂN TUYẾN
2. PGS. TS. NGÔ SỸ TÙNG
Phản biện 1: GS. TSKH. Ngô Việt Trung
Viện Toán học, Hà Nội
Phản biện 2: PGS. TS. Nguyễn Tiến Quang
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
Phản biện 3: TS. Hoàng Đình Hải
Trường Đại học Hồng Đức Thanh Hóa
Luận án sẽ được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp trường họp tại Trường
Đại học Vinh
Vào hồi . . . . . . giờ . . . . . . ngày . . . . . . tháng . . . . . . năm . . . . . .
Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Quốc gia, Hà Nội.
- Trung tâm thông tin-thư viện Nguyễn Thúc Hào, Trường Đại học Vinh.
1
Mở đầu
1 Lý do chọn đề tài
Khái niệm nửa vành được giới thiệu bởi Vandiver vào nằm 1934, là tổng quát
hóa khái niệm vành không giao hoán theo nghĩa không đòi hỏi tính đối xứng
của phép cộng. Kể từ đó, nửa vành được quan tâm nghiên cứu cả về phương

diện lý thuyết lẫn áp dụng bởi nhiều nhà toán học. Nhiều tính chất và áp dụng
của nửa vành đã được trình bày trong một số tài liệu như K. Glazek (2002), J.
S. Golan (1999), U. Hebisch - H. J. Weinert (1996),
Luận án này quan tâm đến khái niệm nửa vành như là một tổng quát hóa
khái niệm vành có đơn vị không giao hoán theo nghĩa nói trên.
Một phương pháp để nghiên cứu đối tượng toán học là người ta tìm cách đưa
nó về các đối tượng khác dễ hơn và nghiên cứu các đối tượng này. Chẳng hạn,
để nghiên cứu các hình hình học người ta thường cắt chúng bởi các siêu phẳng
và nghiên cứu các siêu diện. Điều này cũng được tiến hành một cách tương tự
cho các nửa vành, ở đây các siêu phẳng được thay thế bằng các tương đẳng và
các siêu diện chính là các nửa vành thương tương ứng. Với mỗi nửa vành R, luôn
có một tương đẳng ρ trên R để nửa vành thương R/ρ là không có tương đẳng
không tầm thường. Do đó, nghiên cứu nửa vành tương đẳng tự do giúp ta hiểu
một phần nào cấu trúc của nửa vành R.
Với mỗi tương đẳng ρ trên nửa vành R, lớp tương đương 0
ρ
của phần tử 0
theo quan hệ ρ, là một iđêan của R; ngược lại, với mỗi iđêan I của R, nó cảm
sinh một tương đẳng Bourne ≡
I
trên R. Nói cách khác, ta có hai tương ứng
ρ −→ 0
ρ
và I −→ ≡
I
lần lượt là ánh xạ từ tập các tương đẳng trên R đến tập
các iđêan của R và ngược lại. Từ đây, ta có thể hiểu được nửa vành không có
tương đẳng không tầm thường R thông qua dàn các iđêan của nó; chẳng hạn,
khi R là một vành, hai ánh xạ nói trên là các ánh xạ ngược của nhau, do đó,
vành R là không có tương đẳng không tầm thường nếu và chỉ nếu 0 và R chỉ là

hai iđêan của nó. Điều này không còn đúng cho các nửa vành. Vì thế, nửa vành
chỉ chứa các iđêan tầm thường, được gọi là không có iđêan không tầm thường.
Cấu trúc của các nửa vành giao hoán không có tương đẳng tự do và iđêan
không tầm thường đã được mô tả. Cụ thể, Sidney S. Mitchell - Paul B. Fenoglio
(1988) chứng minh được rằng các nửa vành giao hoán không có tương đẳng
2
không tầm thường chỉ là các trường, hoặc là nửa vành Boole B; dễ thấy rằng
các nửa vành giao hoán không có iđêan không tầm thường chỉ là các nửa trường.
Gần đây, R. El Bashir - J. Hurt - A. Janˇcaˇrík - T. Kepka (2001) đã mở rộng hai
kết quả trên cho nửa vành giao hoán không đòi hỏi phần tử không và đơn vị.
C. Monico (2004) đã mô tả các nửa vành (không đòi hỏi phần tử không và
đơn vị) hữu hạn không có tương đẳng không tầm thường; nhưng sự mô tả này
là không đầy đủ. Sau đó, J. Zumbragel (2008) đã phân loại một cách đầy đủ các
nửa vành (không đòi hỏi phần tử đơn vị) hữu hạn không có tương đẳng không
tầm thường. Việc mô tả một cách đầy đủ nửa vành không có tương đẳng không
tầm thường bất kỳ vẫn chưa làm được.
Bourne - Zassenhaus (1957) đã mô tả được cấu trúc của nửa vành nửa đơn
không có tương đẳng không tầm thường và không chứa các iđêan một phía lũy
linh khác không; cụ thể hơn, các nửa vành này chỉ là các nửa vành ma trận
trên các nửa thể. Steinfeld - Wiegandt (1967) chỉ ra rằng kết quả này vẫn đúng
cho nửa vành nửa đơn không có tương đẳng không tầm thường. Sau đó, Stone
(1977) mở rộng kết quả trên cho nửa vành mà nó có thể nhúng được vào một
vành nào đó. Weinert (1984) nghiên cứu không có tương đẳng không tầm thường
nửa vành ma trận và nửa vành nửa nhóm. Khái niệm nửa vành mà Weinert xem
xét là không đòi hỏi phần tử đơn vị. Tính đến thời điểm hiện tại, việc phân loại
nửa vành iđêan tự do vẫn là một câu hỏi mở.
Một cách khác để nghiên cứu đối tượng toán học là người ta cố gắng hiểu
cách nó tác động lên các đối tượng khác. Nói cách khác, chúng ta có thể hiểu
được đối tượng toán học nhờ vào phạm trù các biểu diễn của nó. Lý thuyết biểu
diễn (lý thuyết môđun) của nhóm, vành và đại số có thể soi sáng nhiều thông

tin về cấu trúc của chúng. Việc dùng phạm trù những biểu diễn thích hợp để
mô tả cấu trúc nửa vành cũng đã được nghiên cứu. Phạm trù các biểu diễn của
nửa vành được gọi là phạm trù các nửa môđun. Cũng giống như vành, vị nhóm
và dàn phân phối, các khái niệm nửa môđun thường được sử dụng để đặc trưng
nửa vành là xạ ảnh, phẳng và nội xạ. Ở đây khái niệm nửa môđun xạ ảnh và
nội xạ được định nghĩa theo cách thông thường, còn nửa môđun trái G là phẳng
(đơn-phẳng) nếu hàm tử − ⊗
R
G bảo toàn giới hạn ngược hữu hạn (bảo toàn
tính đơn cấu của các đồng cấu). Mọi nửa môđun xạ ảnh là phẳng; chiều ngược
lại là không đúng. O. Sokratova (2002) đã chỉ ra rằng tính xạ ảnh và tính phẳng
của các nửa môđun trên nửa vành giao hoán cộng lũy đẳng là phân biệt. Y.
Katsov (2004) mở rộng kết quả này cho các nửa vành cộng chính quy như sau:
Nếu R là một nửa vành cộng chính quy sao cho tồn tại một đồng cấu nửa vành
từ R lên B, thì tính xạ ảnh và tính phẳng của các nửa môđun trên R là phân
biệt; hệ quả rút ra từ khẳng định này là: tính xạ ảnh và tính phẳng của các nửa
môđun trên nửa vành giao hoán cộng chính quy R là tương đương khi và chỉ
khi R là một vành hoàn chỉnh. Đồng thời, Y. Katsov (2004) còn phát biểu giả
thuyết dưới đây:
3
Giả thuyết. Tính xạ ảnh và tính phẳng của các nửa môđun trên một nửa vành
cộng chính quy R là tương đương khi và chỉ khi R là một vành hoàn chỉnh.
Đối với các nửa môđun, tính phẳng suy ra tính đơn-phẳng, nhưng chiều ngược
lại nói chung là không đúng. Bulman-Fleming và McDonwell (1978) chỉ ra rằng
một B-nửa môđun trái A là phẳng khi và chỉ khi A là đơn-phẳng, và khi và chỉ
khi A là một nửa dàn phân phối. E. B. Katsov (1986) mở rộng kết quả này cho
các nửa môđun trên Đại số Boole hữu hạn. Gần đây nhất, Y. Katsov (2004)
chứng minh được rằng khẳng định trên vẫn còn đúng đối với các nửa môđun
trên Đại số Boole bất kỳ. Đồng thời, Y. Katsov (2004) cũng nêu ra bài toán sau:
Bài toán. Mô tả lớp của các nửa vành sao cho tính phẳng và tính đơn-phẳng

của các nửa môđun trên chúng là tương đương.
Tính đến thời điểm này, giả thuyết và bài toán nêu trên vẫn chưa có lời giải.
Mặt khác, việc dùng khái niệm nửa môđun nội xạ để nghiên cứu nửa vành
cũng đã được quan tâm bởi một số nhà toán học và họ nhận được một số kết
quả đáng chú ý sau: H. Wang (1994) chỉ ra rằng mỗi nửa môđun trên nửa vành
cộng lũy đẳng đều nhúng được vào nửa môđun nội xạ nào đó. Y. Katsov (1997)
mở rộng kết quả này cho nửa vành cộng chính quy. S. N. Il’in (2008) chứng minh
được rằng các nửa vành thỏa mãn điều kiện Baer và mọi nửa môđun trên đó đều
nhúng được vào nửa môđun nội xạ chỉ là các vành. Cuối cùng, Ahsan - Shabir
- Weinert (1998) đặc trưng được nửa vành chính quy von Neumann thông qua
các nửa môđun cyclic p-nội xạ. Nói chung, các kết quả theo hướng này vẫn còn
ít.
Với các lí do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài “Tương đương Morita cho
nửa vành và đặc trưng một số lớp nửa vành” làm đề tài luận án tiến sĩ.
Những vấn đề sau của đề tài được tập trung nghiên cứu:
(1) Mô tả cấu trúc của nửa vành không có tương đẳng không tầm thường và
nửa vành không có iđêan không tầm thường;
(2) Dùng các nửa môđun phẳng, xạ ảnh, nội xạ để nghiên cứu nửa vành nửa
đơn, đặc biệt là hướng đến giải quyết giả thuyết và bài toán nêu trên của Y.
Katsov.
2 Mục đích nghiên cứu
Mục đích của Luận án là đặc trưng các tính đơn, không có tương đẳng không
tầm thường và không có iđêan không tầm thường cho các lớp nửa vành chứa
iđêan một phía tối tiểu xạ ảnh, nửa vành cô lập một phía, nửa vành đầy đủ
và nửa vành sắp thứ tự dàn; đặc trưng nửa vành nửa đơn thông qua các nửa
môđun phẳng, xạ ảnh, nội xạ; đồng thời, trả lời giả thuyết và bài toán nêu trên
của Y. Katsov cho nửa vành nửa đơn cộng chính quy.
4
3 Đối tượng nghiên cứu
Nửa vành không có tương đẳng không tầm thường, nửa vành không có iđêan

không tầm thường, nửa vành đơn và nửa vành nửa đơn.
4 Phạm vi nghiên cứu
Đại số kết hợp. Lý thuyết nửa vành và nửa môđun.
5 Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng tương đương Morita để nghiên cứu những vấn đề đặt ra của Luận
án.
6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Mở rộng lý thuyết tương đương Morita cho phạm trù nửa vành. Mô tả cấu
trúc nửa vành không có tương đẳng không tầm thường, nửa vành không có iđêan
không tầm thường, nửa vành đơn và nửa vành nửa đơn cho một số lớp nửa vành
đặc biệt. Đồng thời, trả lời giả thuyết và bài toán nêu trên của Y. Katsov cho
nửa vành nửa đơn cộng chính quy.
7 Tổng quan và cấu trúc luận án
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận án được chia làm
bốn chương.
Chương 1 của Luận án mở rộng lý thuyết tương đương Morita cho nửa vành.
Trong Mục 1.1, chúng tôi trình bày lại một số khái niệm, tính chất và ví dụ
về nửa vành và nửa môđun. Trong Mục 1.2, thiết lập điều kiện cần và đủ để
một nửa môđun hữu hạn sinh là xạ ảnh (Mệnh đề 1.2.4), hoặc là một vật sinh
(Mệnh đề 1.2.8) và đặc trưng vật sinh xạ ảnh cho phạm trù nửa môđun (Định
lý 1.2.9). Trong Mục 1.3, chúng tôi giới thiệu khái niệm tương đương Morita cho
nửa vành (Định nghĩa 1.3.1). Chúng tôi đặc trưng được các hàm tử (hiệp biến)
giữa các phạm trù nửa môđun có phù hợp phải (Định lý 1.3.5) và qua đó mô tả
được tương đương Morita thông qua phạm trù nửa môđun (Định lý 1.3.12).
Trong Chương 2, chúng tôi nghiên cứu áp dụng của lý thuyết tương đương
Morita cho tính không có tương đẳng không tầm thường, tính không có iđêan
không tầm thường và tính đơn của nửa vành. Trong Mục 2.1, chúng tôi trình
5
bày lại các khái niệm và một số kết quả về nửa vành không có tương đẳng không
tầm thường và nửa vành không có iđêan không tầm thường. Đồng thời, chúng

tôi đặc trưng được nửa vành không có iđêan không tầm thường thông qua vành
đơn và nửa vành đơn cộng lũy đẳng (Mệnh đề 2.1.6). Đặc trưng tính không có
iđêan không tầm thường, tính đơn của nửa vành tự đồng cấu của vị nhóm giao
hoán cộng lũy đẳng (Định lý 2.1.9). Trong Mục 2.2, chúng tôi chỉ ra rằng tính
không có tương đẳng không tầm thường, tính không có iđêan không tầm thường
và tính đơn của nửa vành bảo toàn qua tương đương Morita (Định lý 2.2.6).
Trong Mục 2.3, chúng tôi mô tả cấu trúc của nửa vành đơn thông qua các iđêan
một phía của nó (Định lý 2.3.1) và qua đó mô tả được cấu trúc nửa vành đơn
chứa iđêan một phía tối tiểu xạ ảnh (Định lý 2.3.2). Kết hợp Mệnh đề 2.1.6
và Định lý 2.3.2, chúng tôi đưa ra một biểu diễn cho nửa vành không có iđêan
không tầm thường chứa iđêan một phía tối tiểu xạ ảnh (Định lý 2.3.4).
Chương 3 của Luận án nghiên cứu tính không có tương đẳng không tầm
thường, tính không có iđêan không tầm thường và tính đơn cho một số lớp nửa
vành đặc biệt. Trong Mục 3.1, Luận án mô tả cấu trúc nửa vành Artin trái
(phải) xích không có iđêan không tầm thường và nửa vành Artin trái (phải)
xích đơn (Định lý 3.1.4); cũng như, mô tả cấu trúc nửa vành không có tương
đẳng không tầm thường sắp thứ tự dàn (Định lý 3.1.5). Trong Mục 3.2, chúng
tôi đặc trưng nửa vành nửa đơn cô lập một phía (Định lý 3.2.4 và Định lý 3.2.6)
và qua đó phân loại được nửa vành Artin trái (phải) cô lập trái (phải) không
có iđêan không tầm thường (Định lý 3.2.7) và nửa vành Artin trái (phải) cô
lập trái (phải) không có tương đẳng không tầm thường (Định lý 3.2.10). Trong
Mục 3.3, chúng tôi phân loại nửa vành đầy đủ không có tương đẳng không tầm
thường (Định lý 3.3.6). Dùng Định lý 2.2.6, chúng tôi đặc trưng nửa vành đơn
chứa phần tử vô cùng (Định lý 3.3.9) và qua đó biểu diễn được nửa vành không
có iđêan không tầm thường chứa phần tử vô cùng (Định lý 3.3.10).
Chương 4 của Luận án nhằm đặc trưng nửa vành nửa đơn và nửa vành nửa
đơn cô lập dựa vào các khái niệm nửa môđun phẳng, nửa môđun xạ ảnh, nửa
môđun nội xạ ; đặc biệt là trả lời giả thuyết và bài toán của Y. Katsov cho
nửa vành nửa đơn cộng chính quy. Trong Mục 4.1, chúng tôi chứng minh các
tính xạ ảnh, nội xạ, nội xạ ổn định, phẳng và đơn-phẳng đều bất biến qua phép

tương đương phạm trù giữa các phạm trù nửa môđun. Áp dụng các kết quả này
và Định lý 1.3.12, chúng tôi đặc trưng được nửa vành nửa đơn thông qua các
nửa môđun nêu trên (Định lý 4.1.6). Kết hợp Định lý 3.2.4 và Định lý 4.1.6 cho
phép ta đặc trưng được nửa vành nửa đơn cô lập thông qua nửa môđun xạ ảnh
và nội xạ ổn định (Định lý 4.1.10). Trong Mục 4.2, chúng tôi chỉ ra rằng giả
thuyết của Y. Katsov là đúng cho các nửa vành nửa đơn cộng chính quy (Định
lý 4.2.1), và mô tả cấu trúc nửa vành nửa đơn cộng chính quy mà trên đó tính
phẳng và đơn-phẳng của các nửa môđun là tương đương (Định lý 4.2.4).
6
Chương 1
TƯƠNG ĐƯƠNG MORITA
1.1 Kiến thức chuẩn bị
Trong tiết này, chúng tôi trình bày lại một số khái niệm, tính chất của nửa
vành, nửa môđun; khái niệm tích tenxơ cho các nửa môđun theo quan điểm của
Y. Katsov (1997).
Từ đây trở đi, ta ký hiệu M
R
và
R
M lần lượt là phạm trù các nửa môđun
phải và phạm trù các nửa môđun trái trên nửa vành R, một cách tương ứng.
1.2 Vật sinh xạ ảnh
Trong tiết này, dựa trên những hiểu biết về vật sinh xạ ảnh của hai phạm trù
môđun và vị nhóm, Luận án giới thiệu và nghiên cứu chi tiết khái niệm vật sinh
xạ ảnh cho phạm trù nửa môđun. Để làm điều này ta phải cần đến vật xạ ảnh
hữu hạn sinh và vật sinh trong phạm trù nửa môđun.
Gọi S =
R
M(P, P ) := End (
R

P ) là một nửa vành các tự đồng cấu của R-nửa
môđun trái
R
P ∈ |
R
M|. Khi đó, P trở thành một R-S-song nửa môđun với
cấu trúc S-nửa môđun phải trên P. Chúng ta viết Q = P
∗
:=
R
M(
R
P,
R
R) với
S-R-song nửa môđun đối ngẫu P
∗
của R-S-song nửa môđun P . Ta xác định
một tự đồng cấu qp ∈ S bởi p

(qp) = (p

q)p với mọi p, p

∈ P và q ∈ Q. Khi đó,
chúng ta nhận được khẳng định dưới đây:
Bổ đề 1.2.2. Các tương ứng (p, q) −→ pq và (q, p) −→ qp lần lượt xác định
(R, R)-đồng cấu α : P ⊗
S
Q −→ R và (S, S)-đồng cấu β : Q ⊗

R
P −→ S, một
7
cách tương ứng.
Kết quả dưới đây cho ta một đặc trưng của các R-nửa môđun trái xạ ảnh hữu
hạn sinh
R
P ∈ |
R
M| nhờ vào đồng cấu β : Q ⊗
R
P = P
∗
⊗
R
P −→ S = End
(
R
P ) được xác định trong Bổ đề 1.2.2.
Mệnh đề 1.2.4. Một R-nửa môđun trái
R
P ∈ |
R
M| là xạ ảnh và hữu hạn sinh
khi và chỉ khi β : Q ⊗
R
P −→ S là một toàn cấu.
Bây giờ chúng ta chuyển sang xem xét vật sinh trong phạm trù các nửa
môđun. Luận án này quan tâm đến khái niệm vật sinh theo nghĩa dưới đây.
Định nghĩa 1.2.6. Nửa môđun trái

R
P ∈ |
R
M| được gọi là một vật sinh
(generator) của phạm trù các nửa môđun trái
R
M nếu nửa môđun trái
R
R là
một phép co của một tổng trực tiếp hữu hạn ⊕
i
P của nửa môđun
R
P .
Mệnh đề 1.2.8. Một nửa môđun trái hữu hạn sinh
R
P ∈ |
R
M| là một vật sinh
của
R
M khi và chỉ khi (R, R)-đồng cấu α : P ⊗
S
Q −→ R là một toàn cấu.
Hơn nữa, nếu α là một toàn cấu, thì nó là đẳng cấu.
Một nửa môđun trái
R
P ∈ |
R
M| được gọi một vật sinh xạ ảnh (progenerator)

của phạm trù các nửa môđun
R
M nếu nó vừa là một vật sinh, vừa là xạ ảnh
hữu hạn sinh. Kết quả dưới đây là một đặc trưng vật sinh xạ ảnh trong phạm
trù các nửa môđun.
Định lý 1.2.9. Một R-nửa môđun
R
P ∈ |
R
M| là một vật sinh xạ ảnh nếu và
chỉ nếu các đồng cấu α : P ⊗
S
Q −→ R và β : Q ⊗
R
P −→ S là các đẳng cấu.
1.3 Tương đương Morita
Trong tiết này, dựa trên những hiểu biết về lý thuyết tương đương Morita của
các vành và các vị nhóm, chúng tôi nghiên cứu lý thuyết tương đương Morita
cho phạm trù nửa vành.
Định nghĩa 1.3.1. Nửa vành R được gọi là tương đương Morita với nửa vành
S, ký hiệu là R ≈ S, nếu tồn tại một vật sinh xạ ảnh
R
P ∈ |
R
M| của
R
M sao
cho S
∼
=

End (
R
P ).
8
Kết quả sau mô tả các hàm tử (hiệp biến) giữa các phạm trù nửa môđun có
phù hợp phải.
Định lý 1.3.5. Với mỗi hàm tử F : M
R
−→ M
S
các phát biểu sau đây là
tương đương:
(i) F có một phù hợp phải;
(ii) F là khớp phải và bảo toàn đối tích;
(iii) Tồn tại duy nhất (sai khác đẳng cấu tự nhiên) một R-S-song nửa môđun
P ∈ |
R
M
S
| sao cho các hàm tử − ⊗
R
P : M
R
−→ M
S
và F là đẳng cấu tự
nhiên, tức là, F
∼
=
− ⊗

R
P.
Áp dụng Định lý 1.3.5, ta nhận được kết quả dưới đây, nó cho biết tương
đương Morita giữa các nửa vành có ý nghĩa gì về mặt phạm trù.
Định lý 1.3.12. Với hai nửa vành R và S, các điều kiện sau là tương đương:
(i) R và S là tương đương Morita;
(ii) Hai phạm trù nửa môđun M
R
và M
S
là tương đương;
(iii) Hai phạm trù nửa môđun
R
M và
S
M là tương đương.
1.4 Kết luận Chương 1
Trong chương này, Luận án đã giải quyết được những vấn đề sau.
- Thiết lập điều kiện cần và đủ để một nửa môđun hữu hạn sinh là xạ ảnh
(Mệnh đề 1.2.4), hoặc là một vật sinh (Mệnh đề 1.2.8).
- Đặc trưng vật sinh xạ ảnh cho phạm trù nửa môđun (Định lý 1.2.9).
- Giới thiệu khái niệm tương đương Morita cho các nửa vành (Định nghĩa
1.3.1). Mô tả được các hàm hiệp biến giữa các phạm trù nửa môđun có phù
hợp phải (Định lý 1.3.5). Đặc trưng được tương đương Morita của các nửa vành
thông qua phạm trù nửa môđun (Định lý 1.3.12).
9
Chương 2
BẤT BIẾN MORITA VÀ ÁP
DỤNG
2.1 Nửa vành tự đồng cấu của vị nhóm giao hoán lũy đẳng

Trong tiết này, chúng tôi trình bày lại các khái niệm và một số kết quả về
các nửa vành không có tương đẳng và iđêan không tầm thường. Mặt khác, Luận
án đặc trưng được nửa vành không có iđêan không tầm thường thông qua vành
đơn và nửa vành đơn cộng lũy đẳng và nghiên cứu các tính đơn cho nửa vành
tự đồng cấu của vị nhóm giao hoán lũy đẳng.
Nửa vành R được gọi là không có tương đẳng không tầm thường (congruence-
free), hay là tương đẳng-đơn (congruence-simple) nếu đường chéo id
R
và R
2
chỉ
là hai tương đẳng trên R. Nửa vành R được gọi là không có iđêan không tầm
thường (ideal-free), hay là iđêan-đơn (ideal-simple) nếu 0 và R chỉ là hai iđêan
của nó; và R được gọi là đơn nếu R là không có iđêan và tương đẳng không tầm
thường.
Cấu trúc của các nửa vành giao hoán không có tương đẳng không tầm thường
và nửa vành không có iđêan không tầm thường đã được mô tả. Tiếp theo, Luận
án sẽ quan tâm đến các nửa vành không có tương đẳng và iđêan không tầm
thường không giao hoán. C. Monico (2004) đã mô tả các nửa vành (không đòi
hỏi phải chứa phần tử 0 và 1) hữu hạn không có tương đẳng không tầm thường.
Tuy nhiên, sự mô tả này là không đầy đủ. Sau đó, J. Zumbragel (2008) chỉ mới
phân loại được các nửa vành (không đòi hỏi phải chứa phần tử 1) hữu hạn không
10
có tương đẳng không tầm thường. Nửa vành vô hạn không có tương đẳng không
tầm thường cũng đã được nghiên cứu bởi J. Zumbragel (2008), J. Jeˇzek - T.
Kepka - M. Maróti (2009) và một số tác giả khác.
Nửa vành không có iđêan không tầm thường không giao hoán đã được nghiên
cứu bởi Bourne-Zassenhaus (1957), O. Steinfeld - R. Wiegandt (1967), Stone
(1977), Weinert (1984),
Tiếp theo, chúng tôi sẽ đưa ra một cách tiếp cận khác cho các nửa vành

không có iđêan không tầm thường thông qua các nửa vành đơn cộng lũy đẳng.
Chúng tôi gọi đồng cấu nửa vành f : R −→ S là nửa đẳng cấu mạnh nếu
Ker(f) := f
−1
(0) = {0} và f(I)  S với mọi iđêan thực sự I của R.
Một nửa vành R được gọi là cộng lũy đẳng nếu vị nhóm (R, +) là lũy đẳng.
Mệnh đề sau cho thấy việc nghiên cứu các nửa vành không có iđêan không tầm
thường có thể quy về việc nghiên cứu các nửa vành đơn cộng lũy đẳng.
Mệnh đề 2.1.6. Một nửa vành R là không có iđêan không tầm thường nếu và
chỉ nếu một trong hai khả năng dưới đây xảy ra:
(i) R là một vành đơn,
(ii) Tồn tại một nửa đẳng cấu mạnh từ R lên một nửa vành đơn cộng lũy
đẳng nào đó.
Mệnh đề 2.1.6 đã biến việc nghiên cứu tính không có iđêan không tầm thường
(tính đơn) về việc nghiên cứu tính không có iđêan không tầm thường (tính đơn)
cho nửa vành con của nửa vành tự đồng cấu của vị nhóm giao hoán lũy đẳng.
Định lý 2.1.9. Với mỗi vị nhóm giao hoán lũy đẳng (M, +, 0), các điều kiện
sau là tương đương:
(i) End(M) là nửa vành đơn;
(ii) End(M) là nửa vành không có iđêan không tầm thường;
(iii) M là một dàn phân phối hữu hạn.
11
2.2 Bất biến Morita
Trong tiết này ta chỉ ra tính không có iđêan không tầm thường, tính không
có tương đẳng không tầm thường và tính đơn của nửa vành đều được bảo toàn
qua tương đương Morita. Đồng thời, chúng tôi còn đưa ra một cách để xây dựng
ba lớp nửa vành nêu trên.
Kết quả sau cho thấy rằng tính không có iđêan không tầm thường, tính không
có tương đẳng không tầm thường và tính đơn của nửa vành đều bất biến qua
tương đương Morita.

Định lý 2.2.6. Cho R và S là hai nửa vành tương đương Morita với nhau.
Khi đó, R là không có iđêan không tầm thường (không có tương đẳng không tầm
thường) khi và chỉ khi S là không có iđêan không tầm thường (không có tương
đẳng không tầm thường). Đặc biệt, R là một nửa vành đơn khi và chỉ khi S là
một nửa vành đơn.
Tính không có iđêan không tầm thường, tính không có tương đẳng không
tầm thường và tính đơn được bảo toàn khi mở rộng chúng sang giới hạn trực
tiếp.
Mệnh đề 2.2.7. Cho {R
i
| R
i
∈ |SRing|, i ∈ I} là một họ trực tiếp các nửa
vành và R = lim
−→
I
R
i
. Nếu R
i
, i ∈ I là không có iđêan không tầm thường (tương
ứng, không có tương đẳng không tầm thường và đơn) thì R là không có iđêan
không tầm thường (tương ứng, không có tương đẳng không tầm thường và đơn).
Cho trước một nửa vành D và gọi R
i
= M
2
i
(D) (i ≥ 0) là nửa vành ma
trận cấp 2

i
trên D. Ta có thể xem R
i
như là vành con của R
i+1
khi đồng nhất
(2
i
× 2
i
)-ma trận M với (2
i+1
× 2
i+1
)-ma trận

M 0
0 M

.
Mệnh đề 2.2.8. Nửa vành R = lim
−→
I
R
i
là không Artin trái.
Từ Mệnh đề 2.2.7 và Mệnh đề 2.2.8, bằng cách chọn nửa vành D đặc biệt, ta
sẽ nhận được các ví dụ về nửa vành không có iđêan không tầm thường, không
có tương đẳng không tầm thường và đơn không Artin. Đồng thời, hai mệnh đề
trên cũng nói lên rằng cấu trúc của vành không có iđêan không tầm thường,

không có tương đẳng không tầm thường và đơn tổng quát là phức tạp. Do đó,
12
tiết và chương tiếp theo, chúng tôi chỉ nghiên cứu cấu trúc của các nửa vành nói
trên cho một số lớp nửa vành khá đặc biệt.
2.3 Áp dụng
Trong tiết này, ứng dụng kết quả hai tiết trước, chúng tôi nghiên cứu chi tiết
tính đơn và tính không có iđêan không tầm thường cho lớp các nửa vành chứa
iđêan một phía tối tiểu xạ ảnh, đặc biệt là lớp các nửa vành hữu hạn.
Kết quả sau đây cho phép ta mô tả cấu trúc của nửa vành đơn thông qua các
iđêan một phía của nó.
Định lý 2.3.1. Cho R là một nửa vành đơn và I là một iđêan trái khác không.
Đặt D = End(
R
I). Khi đó,
(i) Đồng cấu tự nhiên f : R −→ End(I
D
) là một đẳng cấu nửa vành;
(ii) I là một vật sinh của
R
M và là một D-nửa môđun phải xạ ảnh hữu hạn
sinh;
(iii) Tồn tại một số nguyên dương n và một phần tử lũy đẳng e trong nửa
vành ma trận M
n
(D) sao cho R
∼
=
eM
n
(D)e;

(iv) D là một nửa vành đơn nếu và chỉ nếu I là một R-nửa môđun trái xạ
ảnh hữu hạn sinh.
Một iđêan trái (phải) I của một nửa vành cho trước R gọi là xạ ảnh nếu
R-nửa môđun trái (phải) I là xạ ảnh trong phạm trù
R
M (M
R
). Áp dụng Định
lý 2.3.1 và các kết quả ở tiết trước, ta mô tả được cấu trúc của nửa vành đơn
chứa iđêan một phía tối tiểu xạ ảnh.
Định lý 2.3.2. Với mỗi nửa vành R, các điều kiện sau là tương đương:
(i) R là một nửa vành đơn chứa iđêan trái tối tiểu xạ ảnh;
(ii) R là một nửa vành đơn chứa iđêan phải tối tiểu xạ ảnh;
(iii) R là tương đương Morita với thể D, hoặc tương đương Morita với B.
(iv) R là đẳng cấu với một vành ma trận M
n
(D) trên một thể D, hoặc đẳng
13
cấu với nửa vành tự đồng cấu End(M) của một dàn phân phối hữu hạn M.
Kết hợp Mệnh đề 2.1.6 và Định lý 2.3.2 ta có định lý sau, mô tả cấu trúc
của nửa vành không có iđêan không tầm thường chứa iđêan một phía tối tiểu
xạ ảnh.
Định lý 2.3.4. Cho R là một nửa vành chứa một iđêan trái (hoặc phải) tối
tiểu xạ ảnh. Khi đó, R là không có iđêan không tầm thường khi và chỉ khi R
đẳng cấu với một vành ma trận M
n
(D) trên một thể D, hoặc tồn tại một nửa
đẳng cấu mạnh từ R lên nửa vành tự đồng cấu End(M) của một dàn phân phối
hữu hạn M.
2.4 Kết luận Chương 2

Trong chương này, Luận án giải quyết được những vấn đề sau.
- Đặc trưng nửa vành không có iđêan không tầm thường thông qua vành đơn
và nửa vành đơn cộng lũy đẳng (Mệnh đề 2.1.6). Đặc trưng tính không có iđêan
không tầm thường của nửa vành tự đồng cấu của vị nhóm giao hoán cộng lũy
đẳng (Định lý 2.1.9, Hệ quả 2.1.11).
- Chỉ ra rằng tính không có tương đẳng, iđêan không tầm thường và tính đơn
của nửa vành bảo toàn qua tương đương Morita (Định lý 2.2.6).
- Mô tả cấu trúc của nửa vành đơn thông qua các iđêan một phía của nó
(Định lý 2.3.1) và qua đó mô tả được cấu trúc nửa vành đơn chứa iđêan một
phía tối tiểu xạ ảnh (Định lý 2.3.2). Đưa ra một biểu diễn cho nửa vành không
có iđêan không tầm thường chứa iđêan một phía tối tiểu xạ ảnh (Định lý 2.3.4).
14
Chương 3
TÍNH ĐƠN CỦA MỘT SỐ LỚP
NỬA VÀNH
3.1 Nửa vành được sắp thứ tự dàn
Trong tiết này chúng tôi quan tâm đến tính không có iđêan không tầm thường,
tính không có tương đẳng không tầm thường và tính đơn cho hai lớp nửa vành
cộng lũy đẳng đặc biệt, đó là nửa vành Artin trái (phải) xích và nửa vành được
sắp thứ tự dàn.
Mỗi nửa vành cộng lũy đẳng R, được sắp thứ tự bởi quan hệ thứ tự (tự nhiên):
x, y ∈ R, x ≤ y nếu và chỉ nếu x + y = y. Với quan hệ thứ tự này R là một nửa
dàn với phần tử bé nhất là 0 và x ∨ y = x + y; đồng thời, (R, ≤) thỏa mãn hai
điều kiện sau: với mọi x, y, z ∈ R,
(i) Nếu x ≤ y thì x + z ≤ y + z;
(ii) Nếu x ≤ y thì xz ≤ yz và zx ≤ zy.
Hơn nữa, quan hệ thứ tự này cũng là quan hệ thứ tự duy nhất trên R thỏa mãn
các điều kiện nói trên.
Takahashi-Wang (1993) gọi một nửa vành R là xích (chain) nếu R là cộng
lũy đẳng và được sắp thứ tự toàn phần theo quan hệ thứ tự tự nhiên.

Cho G là một nhóm nhân được sắp thứ tự toàn phần và 0 /∈ G. Đặt
R = G ∪ {0}. Mở rộng quan hệ thứ tự trên G lên R bằng cách 0 ≤ g với
mọi g ∈ G. Hơn nữa, định nghĩa 0g = g0 = 0 với mọi g ∈ G. Khi đó (R, max, ·)
15
là một nửa thể và được gọi là nửa vành "max–plus". Kết quả dưới đây mô tả
cấu trúc của nửa vành Artin trái (phải) xích không có iđêan không tầm thường
và nửa vành Artin trái (phải) xích đơn.
Định lý 3.1.4. (i) Một nửa vành Artin trái (phải) xích R là không có iđêan
không tầm thường khi và chỉ khi R là một nửa vành"max–plus".
(ii) Một nửa vành Artin trái (phải) xích R là đơn khi và chỉ khi R
∼
=
B.
Một nửa vành R được gọi là được sắp thứ tự dàn (lattice-ordered) nếu tồn
tại một cấu trúc dàn (R, ∨, ∧) trên R sao cho a + b = a ∨ b và ab ≤ a ∧ b với
mọi a, b ∈ R. Định lý sau cho thấy cấu trúc của nửa vành không có tương đẳng
không tầm thường được sắp thứ tự dàn.
Định lý 3.1.5. Với mỗi nửa vành được sắp thự dàn R, các phát biểu sau là
tương đương:
(i) R là nửa vành không có tương đẳng không tầm thường;
(ii) R là nửa vành đơn;
(iii) R
∼
=
B.
3.2 Nửa vành nửa đơn cô lập
Trong tiết này ta sẽ mô tả cấu trúc của nửa vành nửa đơn cô lập (một phía).
Áp dụng kết quả này ta nhận được cấu trúc của nửa vành Artin cô lập không có
iđêan không tầm thường và nửa vành Artin cô lập không có tương đẳng không
tầm thường.

Một iđêan trái I của nửa vành cho trước R được gọi là cô lập nếu và chỉ nếu
với mỗi a, b ∈ R, nếu a và a + b ∈ I thì suy ra b ∈ I. Các iđêan phải và iđêan cô
lập cũng được định nghĩa theo một cách tương tự. Một nửa vành R được gọi là
cô lập trái (phải) nếu mọi iđêan trái (phải) của nó đều cô lập.
Kết quả sau đây sẽ cho ta một số đặc trưng về nửa vành nửa đơn cô lập một
phía.
Định lý 3.2.4. Với mỗi nửa vành cô lập trái R, các phát biểu sau là tương
16
đương:
(i) R là một nửa vành nửa đơn;
(ii) R là một tổng hữu hạn của các iđêan trái tối tiểu;
(iii) Mọi iđêan trái của R là một hạng tử trực tiếp của R;
(iv) R là Artin trái và Rad(
R
R) = 0.
Định lý sau mô tả cấu trúc của nửa vành nửa đơn cô lập một phía.
Định lý 3.2.6. Với mỗi nửa vành R, các phát biểu sau là tương đương:
(i) R là một nửa vành nửa đơn cô lập trái;
(ii) R là một nửa vành nửa đơn cô lập phải;
(iii) R
∼
=
D
1
× · · · × D
n
× M
n
1
(R

1
) × · · · × M
n
r
(R
r
), trong đó D
1
, . . . , D
n
là
các nửa thể phi đối xứng, R
1
, . . . , R
r
là các thể và n, r, n
1
, . . . , n
r
là các số tự
nhiên.
Áp dụng Định lý 3.2.6, ta phân loại nửa vành Artin trái (phải) cô lập trái
(phải) không có iđêan không tầm thường.
Định lý 3.2.7. Một nửa vành Artin trái (phải) và cô lập trái (phải) R là không
có iđêan không tầm thường khi và chỉ khi R
∼
=
M
n
(R

1
) với R
1
là một thể nào
đó và n là một số nguyên dương, hoặc R là một nửa thể phi đối xứng.
Áp dụng Định lý 3.2.7, ta nhận được kết quả dưới đây, nó cho biết cấu trúc
của nửa vành Artin trái (phải) cô lập trái (phải) không có tương đẳng không
tầm thường.
Định lý 3.2.10. Một nửa vành Artin trái (phải) và cô lập trái (phải) R là không
có tương đẳng không tầm thường khi và chỉ khi R
∼
=
M
n
(R
1
) với R
1
là một thể
và n là một số nguyên dương, hoặc R
∼
=
B.
3.3 Nửa vành đầy đủ tương đẳng tự do
Tiết này chúng tôi mô tả cấu trúc của nửa vành đầy đủ không có tương đẳng
không tầm thường, nửa vành đơn chứa phần tử vô cùng và biểu diễn được nửa
17
vành không có iđêan không tầm thường chứa phần tử vô cùng.
Một nửa vành đầy đủ (R, +, ., 0, 1, Σ) là một nửa vành cùng với phép cộng
vô hạn Σ là một mở rộng của phép cộng “ + ” và thỏa mãn luật phân phối và

kết hợp vô hạn; tức là, (R, +, ., 0, 1, Σ) là nửa vành đầy đủ nếu (R, +, ., 0, 1) là
một nửa vành và với mọi họ {x
i
| i ∈ I} gồm những phần tử của R, tổng Σ
i∈I
x
i
được xác định và thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) Σ
i∈∅
x
i
= 0, Σ
i∈{1}
x
i
= x
1
, Σ
i∈{1,2}
x
i
= x
1
+ x
2
;
(2) Nếu I = ∪
j∈J
I

j
là một phân hoạch, thì Σ
j∈J
(Σ
i∈I
j
x
i
) = Σ
i∈I
x
i
;
(3) Σ
i∈I
zx
i
= z(Σ
i∈I
x
i
), Σ
i∈I
x
i
z = (Σ
i∈I
x
i
)z, với mọi z ∈ R.

Cho M là một dàn đầy đủ. Ký hiệu CEnd(M) là tập hợp tất cả các tự đồng
cấu đầy đủ của M; nghĩa là, f ∈ CEnd(M) khi và chỉ khi f : (M, ∨) −→ (M, ∨)
là một đồng cấu vị nhóm và f(∨
i∈I
m
i
) = ∨
i∈I
f(m
i
), với mọi họ {m
i
| i ∈ I} ⊆
M. Khi đó, CEnd(M) là một nửa vành đầy đủ với phép cộng vô hạn Σ được xác
định bởi (Σ
i∈I
f
i
)(m) = ∨
i∈I
f
i
(m), với mọi {f
i
| i ∈ I} ⊆ CEnd(M) và m ∈ M.
Định lý sau mô tả cấu trúc nửa vành đầy đủ không có tương đẳng không tầm
thường; nó mở rộng kết quả của J. Zumbragel (2008) về cấu trúc của nửa vành
hữu hạn không có tương đẳng không tầm thường.
Định lý 3.3.6. Với mỗi nửa vành đầy đủ R là không có tương đẳng không tầm
thường khi và chỉ khi R đẳng cấu với một nửa vành con đầy đủ S của nửa vành

đầy đủ CEnd(M) sao cho F
M
⊆ S, trong đó M là một dàn đầy đủ khác không.
Một phần tử a của một nửa vành R được gọi là vô cùng nếu r + a = a với
mọi r ∈ R. Định lý sau cho ta cấu trúc của nửa vành đơn chứa phần tử vô cùng,
đặc biệt là nửa vành đơn đầy đủ.
Định lý 3.3.9. Với mỗi nửa vành R, các phát biểu sau là tương đương:
(i) R là một nửa vành đơn chứa phần tử vô cùng;
(ii) R tương đương Morita với nửa vành Boole B;
(iii) R
∼
=
End(M), trong đó M là một dàn hữu hạn phân phối;
(iv) R là một nửa vành đơn đầy đủ.
18
Kết hợp Mệnh đề 2.1.6 và Định lý 3.3.9 cho ta một biểu diễn của nửa vành
không có iđêan không tầm thường chứa phần tử vô cùng.
Định lý 3.3.10. Cho R là một nửa vành chứa phần tử vô cùng. Khi đó, R là
nửa vành không có iđêan không tầm thường khi và chỉ khi tồn tại một nửa đẳng
cấu mạnh từ R lên nửa vành tự đồng cấu End(M) của một dàn phân phối hữu
hạn M.
3.4 Kết luận Chương 3
Trong chương này, Luận án đã giải quyết được những vấn đề sau.
- Mô tả cấu trúc của nửa vành Artin trái (phải) xích không có iđêan không
tầm thường và nửa vành Artin trái (phải) xích đơn (Định lý 3.1.4). Mô tả cấu
trúc của nửa vành không có tương đẳng không tầm thường sắp thứ tự dàn (Định
lý 3.1.5).
- Đặc trưng được nửa vành nửa đơn cô lập một phía (Định lý 3.2.4 và Định
lý 3.2.6). Phân loại nửa vành Artin trái (phải) cô lập trái (phải) không có iđêan
không tầm thường (Định lý 3.2.7) và nửa vành Artin trái (phải) cô lập trái

(phải) không có tương đẳng không tầm thường (Định lý 3.2.10).
- Phân loại được nửa vành đầy đủ không có tương đẳng không tầm thường
(Định lý 3.3.6). Mô tả cấu trúc nửa vành đơn chứa phần tử vô cùng, đặc biệt là
nửa vành đơn đầy đủ (Định lý 3.3.9) và qua đó biểu diễn được nửa vành không
có iđêan không tầm thường chứa phần tử vô cùng (Định lý 3.3.10).
19
Chương 4
ĐẶC TRƯNG ĐỒNG ĐIỀU CỦA
NỬA VÀNH
4.1 Nửa vành nửa đơn và nửa vành cô lập
Trong tiết này, ứng dụng các kết quả của Chương 1, chúng tôi chỉ ra rằng tính
nội xạ, xạ ảnh và phẳng của các nửa môđun được bảo toàn qua tương đương
phạm trù. Từ đó, chúng tôi đặc trưng được nửa vành nửa đơn và nửa vành nửa
đơn cô lập dựa vào các nửa môđun này.
Một đồng cấu α : M −→ N được gọi là ổn định (steady, k-regular) nếu phát
biểu dưới đây
∀ m, m

∈ M(α(m) = α(m

) ⇐⇒ ∃ k, k

∈ ker(α) : m + k = m

+ m

)
là đúng.
Cho M là một R-nửa môđun trái. Khi đó, một R-nửa môđun trái P được
gọi là M-xạ ảnh ổn định nếu với mỗi toàn cấu ổn định giữa các nửa môđun

trái f : M −→ N và với mọi đồng cấu g : P −→ N, tồn tại một R-đồng cấu
h : P −→ M sao cho f ◦ h = g.
Khái niệm nửa môđun xạ ảnh ổn định được H.M.J. Al-Thani đưa ra vào năm
1996. Bây giờ, lấy đối ngẫu (hình thức) khái niệm này, chúng tôi giới thiệu khái
niệm nửa môđun nội xạ ổn định như sau: Cho M là một R-nửa môđun trái. Khi
đó, một R-nửa môđun trái U được gọi là M-nội xạ ổn định nếu với mỗi nửa
môđun con K của M và với mỗi R-đồng cấu ổn định g : K −→ U, tồn tại một
R-đồng cấu ổn định h : M −→ U sao cho h◦ i = g, trong đó i : K  M là phép
20
nhúng chính tắc. Nửa môđun
R
U ∈ |
R
M| là nội xạ ổn định nếu
R
U là M-nội
xạ ổn định, với mọi nửa môđun
R
M ∈ |
R
M|.
Định lý 1.1.9 đã chỉ ra rằng song hàm tử tích tenxơ −⊗− : M
R
×
R
M −→ M
là một phù hợp trái của hàm tử Hom. Do đó, hàm tử − ⊗
R
G bảo toàn các
giới hạn trực tiếp; nghĩa là, −⊗

R
G luôn khớp phải (MacLane (1971)). Một nửa
môđun trái G ∈ |
R
M| được gọi là phẳng nếu hàm tử − ⊗
R
G bảo toàn các giới
hạn ngược hữu hạn. Nửa môđun trái G được gọi là đơn-phẳng (mono-flat) nếu
hàm tử − ⊗
R
G : M
R
−→ M bảo toàn các đơn cấu. Theo Katsov (2004), mọi
nửa môđun xạ ảnh đều phẳng, và mọi nửa môđun phẳng đều là đơn-phẳng.
Kết quả sau cho ta những đặc trưng của nửa vành nửa đơn dựa vào các khái
niệm của nửa môđun phẳng, nửa môđun xạ ảnh và nửa môđun nội xạ.
Định lý 4.1.6. Với mỗi nửa vành nửa đơn R, các điều kiện sau là tương đương:
(i) Mọi R-nửa môđun trái hữu hạn là xạ ảnh;
(ii) Mọi R-nửa môđun trái hữu hạn là phẳng;
(iii) Mọi R-nửa môđun trái hữu hạn là đơn-phẳng;
(iv) Mọi R-nửa môđun trái hữu hạn là nội xạ;
(v) Mọi R-nửa môđun trái hữu hạn là nội xạ ổn định;
(vi) R là một vành nửa đơn.
Dùng Định lý 4.1.6, cho phép ta nhận lại được kết quả của S. N. Il’in - Y.
Katsov (2011) về đặc trưng của nửa thể và đặc trưng vành nửa đơn cho nửa
vành cô lập thông qua nửa môđun xạ ảnh và nửa môđun nội xạ ổn định.
Định lý 4.1.10. Với mỗi nửa vành cô lập trái R, các phát biểu sau là tương
đương:
(i) R là một vành nửa đơn;
(ii) Mọi R-nửa môđun trái là xạ ảnh;

(iii) Mọi R-nửa môđun trái là nội xạ ổn định.
21
4.2 Nửa vành nửa đơn cộng chính quy
Trong tiết này, chúng tôi mô tả lớp nửa vành nửa đơn cộng chính quy mà
trên đó tính phẳng và tính xạ ảnh, hoặc tính phẳng và tính đơn-phẳng của các
nửa môđun là tương đương.
Một nửa vành R là cộng chính quy (additively regular) nếu (R, +, 0) là một
vị nhóm chính quy; nghĩa là, với mỗi r ∈ R, tồn tại r

∈ R sao cho r +r

+r = r.
Hiển nhiên, mọi vành hoặc nửa vành cộng lũy đẳng đều là nửa vành cộng chính
quy.
Chúng ta đã biết ở tiết trước mọi nửa môđun xạ ảnh là phẳng. Chiều ngược
lại là không đúng. Cụ thể hơn, năm 2002, O. Sokratova đã chỉ ra rằng tính xạ
ảnh và tính phẳng của các nửa môđun trên nửa vành giao hoán cộng lũy đẳng
bất kỳ là phân biệt. Năm 2004, Y. Katsov mở rộng kết quả này cho các nửa
vành cộng chính quy như sau: Nếu R là một nửa vành cộng chính quy sao cho
tồn tại một đồng cấu nửa vành từ R lên B, thì tính xạ ảnh và tính phẳng của
các nửa môđun trên R là phân biệt; hệ quả rút ra từ khẳng định này là: tính
xạ ảnh và tính phẳng của các nửa môđun trên nửa vành giao hoán cộng chính
quy R là tương đương khi và chỉ khi R là một vành hoàn chỉnh. Đồng thời, Ông
còn nêu ra giả thuyết rằng: tính xạ ảnh và tính phẳng của các nửa môđun trên
nửa vành cộng chính quy R là tương đương khi và chỉ khi R là một vành hoàn
chỉnh. Định lý dưới đây cho thấy giả thuyết này là đúng cho nửa vành nửa đơn
cộng chính quy.
Định lý 4.2.1. Với mỗi nửa vành nửa đơn cộng chính quy R, các phát biểu sau
là tương đương:
(i) Mọi R-nửa môđun trái phẳng là xạ ảnh;

(ii) R là một vành nửa đơn.
Chúng ta đã biết rằng mọi nửa môđun phẳng là đơn-phẳng. Chiều ngược
lại là không đúng. Năm 1978, Bulman-Fleming và McDonwell chỉ ra rằng một
B-nửa môđun trái A là phẳng khi và chỉ khi A là đơn-phẳng, và khi và chỉ khi A
nửa dàn phân phối. Năm 1986, E. B. Katsov mở rộng kết quả này cho các nửa
22
môđun trên Đại số Boole hữu hạn. Gần đây nhất, năm 2004, Y. Katsov chứng
minh được rằng khẳng định trên vẫn còn đúng đối với các nửa môđun trên Đại
số Boole bất kỳ. Đồng thời, Y. Katsov cũng nêu ra bài toán: Mô tả lớp của các
nửa vành sao cho tính phẳng và tính đơn-phẳng của các nửa môđun trên chúng
là tương đương.
Định lý sau đưa ra câu trả lời cho bài toán nêu trên của Katsov cho nửa vành
nửa đơn cộng chính quy.
Định lý 4.2.4. Với mỗi nửa vành nửa cộng chính quy R, các điều kiện sau là
tương đương:
(i) Mọi R-nửa môđun trái đơn-phẳng là phẳng;
(ii) R
∼
=
M
n
1
(D
1
) × · · · × M
n
r
(D
r
), trong đó D

1
, . . . , D
r
là các thể, hoặc là
nửa vành Boole B.
4.3 Kết luận Chương 4
Trong chương này, Luận án đã giải quyết được những vấn đề sau.
- Chứng minh các tính xạ ảnh, phẳng, đơn-phẳng, nội xạ và nội xạ ổn định
đều bảo toàn qua phép tương đương phạm trù giữa các phạm trù nửa môđun.
Thiết lập một số đặc trưng của nửa thể thông qua các nửa môđun nêu trên. Áp
dụng các kết quả này và Định lý 1.3.12, Luận án đặc trưng nửa vành nửa đơn
và nửa vành nửa đơn cô lập (Định lý 4.1.6 và Định lý 4.1.10) dựa vào các khái
niệm nửa môđun phẳng, nửa môđun xạ ảnh, nửa môđun nội xạ.
- Mô tả các nửa vành nửa đơn cộng chính quy mà trên đó tính phẳng và tính
xạ ảnh của các nửa môđun là tương đương (Định lý 4.2.1), hoặc tính phẳng và
tính đơn-phẳng của các nửa môđun là tương đương (Định lý 4.2.4).
23
Kết luận của Luận án
Luận án đã thu được những kết quả chính sau.
1. Nghiên cứu, mở rộng lý thuyết tương đương Morita cho phạm trù nửa vành.
2. Chứng minh các tính không có tương đẳng không tầm thường, không có iđêan
không tầm thường và đơn của nửa vành được bảo toàn qua tương đương
Morita. Ứng dụng kết quả này, Luận án đưa ra cấu trúc của nửa vành đơn
chứa iđêan trái (phải) tối tiểu xạ ảnh, và đặc biệt là cấu trúc của nửa vành
đơn hữu hạn.
3. Mô tả cấu trúc của nửa vành nửa đơn cô lập trái (phải). Ứng dụng kết quả
này, Luận án mô tả cấu trúc của nửa vành Artin trái cô lập trái không có
iđêan không tầm thường và nửa vành Artin trái cô lập trái không có tương
đẳng không tầm thường. Đồng thời, Luận án mô tả cấu trúc của nửa vành
đầy đủ không có tương đẳng không tầm thường, nửa vành không có tương

đẳng không tầm thường được sắp thứ tự dàn, nửa vành Artin trái (phải) xích
không có iđêan không tầm thường và nửa vành đơn chứa phần tử vô cùng.
4. Đưa ra một biểu diễn cho nửa vành không có iđêan không tầm chứa iđêan
trái (phải) tối tiểu xạ ảnh và nửa vành không có iđêan tầm thường chứa phần
tử vô cùng.
5. Dùng công cụ tương đương Morita cho các nửa vành, Luận án đặc trưng được
nửa vành nửa đơn thông qua các lớp nửa môđun xạ ảnh hữu hạn, nội xạ hữu
hạn, phẳng hữu hạn, đơn-phẳng hữu hạn, và đặc trưng được nửa vành nửa
đơn cô lập trái (phải) thông qua nửa môđun xạ ảnh ổn định và nội xạ ổn
định, cũng như mô tả cấu trúc của nửa vành nửa đơn cộng chính quy mà trên
đó tính phẳng và tính xạ ảnh, hoặc tính phẳng và tính đơn-phẳng của các
nửa môđun là tương đương.