Một số bài toán bất đẳng thức thi học sinh giỏi lớp 9 và tuyển sinh vào lớp 10 chuyên

<span class="text_page_counter">Trang 1</span><div class="page_container" data-page="1">

Chuyên đề 5: BẤT ĐẲNG THỨC (Cần file Word, liên hệ: 0905414206) Cấu trúc gồm 4 phần:

* Một số bài toán cơ bản (Thi chung cho tất cả các mơn)

* Một số bài tốn cơ bản (Dành cho thi chuyên Tin) * Một số bài toán nâng cao (Dành cho thi chuyên Toán)

* Một số bài toán nâng cao (Dành cho thi HSG)

A. MỘT SỐ BÀI TỐN CƠ BẢN (TỐN CHUNG) Bài 1.(Tốn chung – TS 10 chuyên năm học 2023-2024)

Cho ba số thực không âm , ,x y z thỏa mãn xy yz zx  2023. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P6x<small>2</small> 6y<small>2</small>  . z<small>2</small>

<small>  </small>

Vậy giá trị lớn nhất của Q bằng 4.

0,25

Bài 3.(Toán chung – TS 10 chuyên năm học 2021-2022)

Cho ba số thực , ,x y z thỏa mãn x0, y 0, z và 2 x y z   Tìm giá trị lớn nhất 4.của biểu thức Hxyz.

<small>xyx yz</small>

<small>zx y z</small>

<small>     </small>

<small>   </small>

Vậy giá trị lớn nhất của H bằng <small>2</small>.

0,25

</div><span class="text_page_counter">Trang 2</span><div class="page_container" data-page="2">

Bài 4.(Toán chung – TS 10 chuyên năm học 2019-2020)

Cho hai số thực x y, thỏa mãn x3; y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3.

Bài 5.(Toán chung – TS 10 chuyên năm học 2018-2019)

Cho a; b; c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng

+

+

<small>222</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 3</span><div class="page_container" data-page="3">

Bài 6.(Toán chung – TS 10 chuyên năm học 2017-2018)

Cho ba số thực dương , ,x y z thỏa mãn x y z   . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3<small>2</small>

2y yzP_ xy_ xz_ 

. + Áp dụng: <small>a b,0</small> ta có

<small>2a b</small>

<small>ab</small>_ <small></small> , dấu bằng xảy ra khi <small>a b</small> .

<small>(3 )</small>

<small>2y y z</small>

Cho biểu thức: A ⁴ ^{x 2}x 2

Bài 9.(Toán chung – TS 10 chuyên năm học 2013-2014)

Cho a, b thỏa điều kiện: 0 ≤ a ≤ 2 ; 0 ≤ b ≤ 2 và a + b = 3. Chứng minh rằng: a<small>2</small> + b<small>2</small> ≤ 5.

Cách 1:

a<small>2</small> + b<small>2</small> = (a + b )<small>2 </small> - 2ab = 9 - 2ab

Do: 0 <small></small>a<small></small>2 ; 0 <small></small> b <small></small>2 => ( 2 - a)(2 - b ) <small></small>0 => ab<small></small>2 Nên: a<small>2</small> + b<small>2</small> 9 - 4 = 5

Cách 2:

Ta có a = 3 – b nên a<small>2</small> + b<small>2</small>5 <small></small>b<small>2</small> - 3b + 2 <small></small>0<small></small>(b - 1)(b - 2) <small></small> 0

</div><span class="text_page_counter">Trang 4</span><div class="page_container" data-page="4">

Do giả thiết: a = 3 - b <small></small>2 và 0 <small></small> b <small></small>2 => 1 <small></small> b <small></small>2 Nên (b - 1)(b - 2) <small></small> 0 . Vậy a<small>2</small> + b<small>2</small> 5

B. MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN (TOÁN CHUYÊN TIN) Bài 1.(Toán chuyên Tin – TS 10 chuyên năm học 2023-2024)

Cho ba số dương , ,a b c thỏa mãn a b c  6. a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S ab bc ca   . b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ₂ ₂ ₂

Cho ba số dương a b c, , thỏa mãn a b c  6.

a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S ab bc ca   . ^0,5Ta có: a<small>2</small>  b<small>2</small> c<small>2</small> ab bc ca  , dấu “=” xảy ra khi a b c  . 0,25

36 a b c  a b c 2 ab bc ca  3 ab bc ca 

12S ab bc ca

     . 12

  . 3

  ^{.Bất đẳng thức (*) luôn đúng với mọi số thực x;}

y khác 0. Vậy bất đẳng thức đã cho luôn đúng với mọi số thực x; y khác 0.

0,25

</div><span class="text_page_counter">Trang 5</span><div class="page_container" data-page="5">

Cách 2: Đặt t ^x ^y

Bất đẳng thức đã cho trở thành <small>t2    3t2 0</small>

 

<small>t1t2</small>



<small>0 (*)</small> ^0,25Với t2 , (*) luôn đúng nên bất đẳng thức đã cho luôn đúng ^0,25Với t 2 , (*) luôn đúng nên bất đẳng thức đã cho ln đúng ^0,25

Bài 3.(Tốn chun Tin – TS 10 chuyên năm học 2021-2022)Cho ba số thực dương

a b c, ,

thỏa mãn a b c ^{1 1 1}

<small>ab bccaa b c</small>

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1. Vậy Min P=3. 0,25 Bài 4.(Toán chuyên Tin – TS 10 chuyên năm học 2020-2021)

Cho các số thực dương , ,a b c thỏa mãn a b c  2020. Chứng minh rằng

0,25

0,25 Tương tự suy ra ⁴ ₂ ⁴ ; ⁴ ₂ ⁴

 _  _

</div><span class="text_page_counter">Trang 6</span><div class="page_container" data-page="6">

1 1 3 13b c 16 b c

 _ _

4 1 3 13b c 4 b c

Tương tự ⁴ ^{1 3 1}3c a 4 c a

 _  _ _ _

Cộng theo vế thu được kết quả

( Không cần đánh giá dấu bằng xảy ra vẫn cho điểm tối đa ) ^0,25Bài 5.(Toán chuyên Tin – TS 10 chuyên năm học 2019-2020)

Cho ba số thực dương x y z, , . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

</div><span class="text_page_counter">Trang 7</span><div class="page_container" data-page="7">

Đẳng thức xảy ra khi

<small>a b</small>

<small>a b</small>

<small>a b </small>

Khơng mất tính tổng quát, giả sử x  y z 0.

x y z .

maxT khi <small>( ; ; ) ( ; ;0)</small>^{3 3}<small>2 2</small>

<small>x y z</small> hoặc <small>( ; ; ) (0; ; )</small>^{3 3}<small>2 2</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 8</span><div class="page_container" data-page="8">

Dấu bằng xảy ra khi: ³, 02

x y z .

<small>maxT</small> khi <small>( ; ; ) ( ; ;0)</small>^{3 3}<small>2 2</small>

<small>x y z</small> hoặc <small>( ; ; ) (0; ; )</small>^{3 3}<small>2 2</small>

Bài 2.(Toán chuyên – TS 10 chuyên năm học 2022-2023)

Cho ba số thực dương x y z, , thỏa mãn xyz 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

</div><span class="text_page_counter">Trang 9</span><div class="page_container" data-page="9">

Bài 3.(Toán chuyên – TS 10 chuyên năm học 2021-2022)

Cho ba số thực dương x y z, , thỏa mãn xy yz zx xyz   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức H ² ₂ ² ₂ ² ₂

0,25

Chứng minh được ⁽ ⁾²

<small>3a b c</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 10</span><div class="page_container" data-page="10">

Thật vậy: <small>()</small>² <small>222</small>

<small>3a b c</small>

<small>ab bc ca</small>_ _ _ <small> </small> _ <small>a b</small>_ _{ }<small>b c</small> _{ }<small>c a</small> _ _(đúng).

<small>ab bc ca</small> . Do đó <small>H</small> ¹<small>2</small> . Dấu bằng xảy ra khi ¹

<small>a b c  </small> hay <small>x  y z3</small>. Vậy giá trị nhỏ nhất của H bằng ¹

<small>2</small> 0,25 Bài 4.(Toán chuyên – TS 10 chuyên năm học 2020-2021)

Cho ba số thực dương x y z, , thỏa mãn x y z  3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

0,25

Bài 5.(Toán chuyên – TS 10 chuyên năm học 2019-2020)

Cho ba số thực dương , ,a b c thỏa mãn . .a b c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1.

</div><span class="text_page_counter">Trang 11</span><div class="page_container" data-page="11">

Bài 6.(Toán chuyên – TS 10 chuyên năm học 2018-2019)Cho ba số thực dương a b c . Chứng minh rằng: , ,

<small>xy yz zx</small>_ _ _ <small>y zx z xy x yz</small>_ _ _<small>xyz x y z</small>_{ } _ <small>()</small>²<small>9xy yz zx</small>

0.25

</div><span class="text_page_counter">Trang 12</span><div class="page_container" data-page="12">

Cách khác:

0 < a ≤ 1; 0 < b ≤ 1  (1 – a)(1 – b) ≥ 0  1 + ab ≥ a + b.

 c + abc ≥ ca + bc Tương tự: b + abc ≥ ab + bc a + abc ≥ ab + ca

Cộng 3 bất đẳng thức vế theo vế ta có đpcm.

Bài 9.(Tốn chun – TS 10 chuyên năm học 2015-2016)

Cho ba số thực x; y; z thỏa mãn: x<small>2</small> + y<small>2</small> + z<small>2</small> ≤ 9. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x + y + z  ( xy + yz + zx)

Ta có <small>xy yz xz</small> ^{(x y z)}² ^(x² ^y² ^{z )}²<small>2</small>

Do đó <small>P x y z</small> ^{(x y z)}² ^(x² ^y² ^{z )}²<small>2</small>

<small></small> ^{( chẳng hạn x = 2; y = 2; z = 1)}

0.25

Bài 10.(Toán chuyên – TS 10 chuyên năm học 2014-2015)

Trong hệ trục Oxy có đường thẳng (d): y = 2014  x cắt trục Ox tại điểm A, cắt Oy tại điểm B. Một điểm M( x; y) di động trên đoạn AB (M khơng trùng với A và B), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

<small>P</small> , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = <small>1007</small>

Vậy GTNN của P là 2 1007

0.25

</div><span class="text_page_counter">Trang 13</span><div class="page_container" data-page="13">

Bài 11.(Toán chuyên – TS 10 chuyên năm học 2013-2014)Cho hai số x và y thỏa mãn:

GTNN của xy là 1 Khi (x = 1; y =1) hoặc (x = 1; y = 1) ^0.25D. MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO (HSG 9)

x y   x  x y x y  xy y  (1)



<small>2</small> ₃ ₂ ₂ ₃

xy x y   x y x y xy  (2)

Cộng vế theo vế (1) và (2), ta được: x<small>4</small>3x y<small>3</small> 4x y<small>2 2</small>3xy<small>3</small>y<small>4</small>  0  x<small>4</small>4x y<small>22</small> y<small>4</small> 3xy x



<small>2</small>y<small>2</small>



(3) Đẳng thức xảy ra khi x y.

_ _ _ _ _ _       _ _

0,25

</div><span class="text_page_counter">Trang 14</span><div class="page_container" data-page="14">

Do đó P M N     . 6 3 33

P xảy ra khi M  và 6 N  , hay 3 x y z   1.Vậy giá trị lớn nhất của P là 3, đạt được khi x y z   1.

T khi ( ; ; ) (1;0;0)x y z  hoặc ( ; ; ) (0;1;0)x y z  hoặc ( ; ; ) (0;0;1)x y z  . 0,5

2 

maxT khi ( ; ; ) (1;0;0)x y z  hoặc ( ; ; ) (0;1;0)x y z  hoặc

Bài 3.(HSG lớp 9 – năm học 2021-2022)

Cho ba số thực dương x y z, , thỏa mãn xyz1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

</div><span class="text_page_counter">Trang 15</span><div class="page_container" data-page="15">

Dấu bằng xảy ra khi x   y z 1

A   (Dấu bằng xảy ra khi <small>a b c </small> hay x y z  1) Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 1.

0,25

</div><span class="text_page_counter">Trang 16</span><div class="page_container" data-page="16">

Nhận xét: Đặt x a y b z x a b c <small>3</small>,  <small>3</small>,  <small>3</small> ( , , 0,abc1)

<small>       </small>

Vậy giá trị lớn nhất của A bằng <small>4 2</small> khi ¹.2a b  (Có cơ sở kết luận mới cho điểm phần này)

0,25

Bài 6.(HSG lớp 9 – năm học 2018-2019)

Cho ba số thực , ,x y z thỏa mãn ¹ ¹ ¹ 32x 1 2y 1 2z 1

   ^{. Tìm giá trị lớn nhất của biểu}

</div><span class="text_page_counter">Trang 17</span><div class="page_container" data-page="17">

- Áp dụng (a b )<small>2</small> 4 ,ab ta có: <small>2</small>

   (dấu bằng xảy ra khi x y z  ) 0,25

 b<small>2</small> +ac ≤ ab+bc (*)  ^{a b} 1 ^a

b    (chia 2 vế (*) cho bc) c cvà ^b ^c 1 ^c

a b   ( chia 2 vế (*) cho ab) a

0,25 0,25  ^{a b b} ^c ^a ^c 2 2(^a ^c)

b      c a b c a c  a _0,25Để chứng minh (1) ta tiếp tục chứng minh 2 2(^a ^c)

c a

2a c

c   (2) a _0,25Ta có: 2 ≥ a ≥ c ≥ 1  1 x ^a 2

(2)  x+¹x  ⁵

2  2x<small>2</small>5x+2  0  (x2)(2x1)  0 ( đúng vì 1  x 2(2) được chứng minh  (1) được chứng minh.

Dấu “=”xảy ra khi a=2, b=c=1 hoặc a=b=2, c=1 và các hốn vị của nó.

</div><span class="text_page_counter">Trang 18</span><div class="page_container" data-page="18">

ac a

 

Tương tự :

ba b

 

cb c

 

<small>2y</small>

</div><span class="text_page_counter">Trang 19</span><div class="page_container" data-page="19">

   <small> thì a = b = 2c nên A = 8B = 24. Vậy GTNN của A là 24 khi </small>a 5, b 5, c ⁵

<small>0,25 </small>

</div>